海伦公式[推荐阅读]

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简介:写写帮文库小编为你整理了多篇相关的《海伦公式》,但愿对你工作学习有帮助,当然你在写写帮文库还可以找到更多《海伦公式》。

第一篇:海伦公式

海伦公式

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为下述推导[1]

cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)/2

则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶在1247年也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,中国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

当P=1时,△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)

代入解得s=8√ 3

证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长

有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1

r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r

∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2

∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2

=ptanA/2tanB/2tanC/2

=r

∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

第二篇:海伦公式原理简介

原理简介

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p为半周长:

p=(a+b+c)/2

——————————————————————————————————————————————

注1:“Metrica”(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。

——————————————————————————————————————————————

由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。编辑本段证明过程 证明(1)

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为

cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明(2)

我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}

当P=1时,△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得

△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)

代入解得s=8√ 3 证明(3)

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明(4)通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1)编辑本段推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p =(a+b+c)/2,则

S△ABC

=1/2 aha

=1/2 ab×sinC

= r p

= 2R^2sinAsinBsinC

= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中,S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的证明

证一 勾股定理

如右图

勾股定理证明海伦公式。

证二:斯氏定理

如右图。

斯氏定理证明海伦公式

证三:余弦定理

分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对其进行证明。

证明:要证明S =

则要证S =

=

= ab×sinC

此时S = ab×sinC/2为三角形计算公式,故得证。

证四:恒等式

恒等式证明(1)

恒等式证明(2)证五:半角定理

∵由证一,x = = -c = p-c

y = = -a = p-a

z = = -b = p-b

∴ r3 = ∴ r =

∴S△ABC = r·p = 故得证。

二、海伦公式的推广

由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形=

现根据猜想进行证明。

证明:如图,延长DA,CB交于点E。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD ∴ = = =

解得: e = ① f = ②

由于S四边形ABCD = S△EAB

将①,②跟b = 代入公式变形④,得到: ∴S四边形ABCD = 所以,海伦公式的推广得证。

编辑本段例题:

C语言版:

如图四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求:四边形可能为等腰梯形。解:设BC = x 由海伦公式的推广,得:(4-x)(2+x)2 =27

x4-12x2-16x+27 = 0

x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1)= 0(x-1)(x3+x2-11x-27)= 0 x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(“请输入三角形第一边的长度”)b=inputbox(“请输入三角形第二边的长度”)c=inputbox(“请输入三角形第三边的长度”)a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*q msgbox(“三角形面积为”&s), ,“三角形面积” 在VC中实现

#include #include main()int a,b,c,s;printf(“输入第一边n”);scanf(“%d”,&a);printf(“输入第二边n”);scanf(“%d”,&b);printf(“输入第三边n”);scanf(“%d”,&c);s=(a+b+c)/2;printf(“面积为:%fn”,sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c)));C#版:

using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args)

double a, b, c, p, s;

Console.WriteLine(“输入第一条边的长度:n”);a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“输入第二条边的长度:n”);b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“输入第三条边的长度:n”);c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p =(a+b+c)/2;s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p-c));Console.WriteLine(“我算出来的面积是{0}”, s);Console.Read();

第三篇:海伦公式的证明

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第四篇:海伦公式与四边形面积公式

海伦公式与四边形面积公式

2007年08月01日 星期三 00:43 我们知道,已知三角形的三条边长度a,b,c(2p=a+b+c),就可以由海伦公式得到三角形的面积:

所以:已知圆内接三角形的三边长,其面积公式为海伦公式。事实上,对于圆内接四边形,已知其四边形的四边长(不妨设其为a,b,c,d,2p=a+b+c+d),也可以求其面积,而且公式的形式与海伦公式相类似:

证明:

设圆内接四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,设∠BAD=θ,则∠BCD=180°-θ,设其对角线BD=x,由余弦定理有:

联立两式解得:

第五篇:高中数学必修五《海伦公式探究》

海伦公式探究

背景:海伦公式在数学学习中使用非常广泛,它方便了日常数学学习中三角形的面积计算,使我们只需知道任意三角形的三边长度,就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗?本次探究,着手海伦公式的证明方法、推广,使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明,并且合理使用。

过程:海伦公式 证明 三斜求积术 推广 运用 余弦定理

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王 希伦(Heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米得所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

如右图,假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由图下公式求得。

证明Ⅰ:

与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变

a2b2c2形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为:cosC

2abS1absinC① 21ab1cos2C② 21(a2b2c2)2③ ab12224ab141414144a2b2(a2b2c2)④

(2aba2b2c2)(2aba2b2c2)⑤ [(ab)2c2][c2(ab)2]⑥

(abc)(abc)(abc)(abb)⑦

abb 2abcabcabc,pb,pc, 则pa222设p上式(abc)(abc)(abc)(abc)

16p(pa)(pb)(pc)

所以,S△ABC

p(pa)(pb)(pc)

证明Ⅱ:我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。

定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜,则三角形面积为:

原文见<数书九章>卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余,半之.同乘于上,以小斜幂并大斜幂,减上.余,四约之为实,开平方,得积.

证明:如 图,a=u+v,b2=h2+u2,c2=h2+v2 所以,u2-v2=b2-c2

(u+v)(u-v)=(b+c)(b-c)a(u-v)=(b+c)(b-c)(u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a,所以22又 h=b-u,三角形面积=a.h/2

此即:,其中c>b>a.将根号下的多项式分解因式,便成为可见,三斜求积术与古希腊海伦公式是等价的 所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:

设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p =

1(a+b+c),则 211S△ABC =aha=ab×sinC = r p 22abc 4R = 2R­­­­2sinAsinBsinC =

=p(pa)(pb)(pc)

p(pa)(pb)(pc)就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记其中,S△ABC =载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、海伦公式的变形

S=p(pa)(pb)(pc)

(abc)(abc)(acb)(bca)

① [(ab)2c2][c2(ab)2] ②(a2b2c22ab)[(a2b2c22ab)] ③ 4a2b2(a2b2c2)④ 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4 ⑤ 141 =41 =41 =41 =4 =

证一:根据勾股定理证明。分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC =导出海伦公式。

1aha入手,运用勾股定理推2

证二:根据斯氏定理证明。

根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:

{已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积}

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形(pa)(pb)(pc)(pd)(其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)

代入解得s83

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

二、海伦公式的推广

由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p==(pa)(pb)(pc)(pd)

现根据猜想进行证明。

证明:如图,延长DA,CB交于点E。

设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB~△ECD

abcd,则S

2四边形

SEABfbb2e∴== = aefcdS四边形ABCDd2b2解得: e =b(abcd)b(adbc)① f = ②

d2b2d2b2d2b2由于S四边形ABCD =S△EAB

b2b(d2b2)将①,②跟b =代入公式变形④,得:22db

所以,海伦公式的推广得证。

三、海伦公式的推广的应用

海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用,特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中,直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。

例题:如图,四边形ABCD内接于圆O中,SABCD =求:四边形可能为等腰梯形。解:设BC = x 由海伦公式的推广,得:

33,AD = 1,AB = 1, CD = 2.4133(112x)(11x2)(2x11)(2x11)= 44(4-x)(2+x)2 =27 x4-12x2-16x+27 = 0 x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1)= 0(x-1)(x3+x2-11x-27)= 0 x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。

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