青岛版第五章《几何证明初步》单元教学设计 2

第一篇：青岛版第五章《几何证明初步》单元教学设计 2

青岛版第五章《几何证明初步》单元教学设计

一、教材分析

1、本章的主要知识有以下几点：

命题的概念、定义的概念、命题的题设和结论、“如果。。。，那么。。。”形式的命题、真命题与假命题、为什么要证明、证明平行线的判定定理、互逆命题、证明的基本步骤和书写格式、证明三角形内角和定理、证明的方法及步骤、三角形全等的条件、几何证明的条件及应用、反证法的概念及证明过程。

2、地位与作用

本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识，轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形等内容的基础上安排的。在这之前，学生已经积累了一定的观察、实验、归纳、类比、猜测、和反思等数学活动经验，探索出了一些基本的平面图形的性质和判定方法，具有了一定的作图、表达的技能和合情推理的能力。

二、学情分析

在几何证明初步这一章中，让学生通过观察、操作与类比，探索并掌握几何证明的方法与步骤。理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，特别是全等三角形的特征与性质以及识别方法。让学生在以前说理的基础上，进一步学习一些主要的推理论证的方法，加强数学的理性训练。引导学生认识证明的必要性，学会由定理、公理出发，证明有关的命题，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生养成言必有据的正确思维习惯。

三、教学目标

1、了解定义、命题、公理、定理、推论的意义，会区分命题的条件

和结论，了解原命题与逆命题的概念。

2、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证

明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式。

3、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。体

会反证法的含义。

4、掌握八条公理。

5、证明平行线的判定定理。了解平行线性质定理的证明。

6、证明三角形的内角和定理，掌握它的推论。

7、证明两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。

8、证明角平分线的性质定理及其逆定理。

9、证明角平分线的性质定理及其逆定理。

10、证明等腰三角形的性质定理及判定定理。证明等边三角形的性

质定理及判定定理。

11、掌握直角三角形的判定定理、性质定理及直角三角形全等的判

定定理。

12、了解原命题及其逆命题的概念，识别两个互逆的命题，知道原

命题成立，逆命题不一定成立。

四、重难点

1、重点：知道利用反例可以判断一个命题是错误的；学会用综合法

证明的格式，会利用全等三角形证明角平分线和线段垂直平分线的定理，以及等腰三角形和直角三角形的性质定理和判定定理。

2、难点：区分命题的条件和结论，推理论证能力的培养，以及反证法

五、策略方法

1、让学生通过观察、操作、探索来掌握几何证明的步骤和方法，引导学生认识证明的必要性。

2、教授教材内容时，教师应尽量提供大量的实例，并展开充分的交流，要求学生能在了解定义与命题的概念的基础上，能对简单的真命题、假命题做出判断，让学生自主讨论，主动参与、探索。课堂教学一般由探索新知、引出概念等环节组成，但每个环节的时间安排不宜过多。

3、在教学中通过多种思考方法的交流，激发学生放入发散性思维，在交流中，发展学生的逻辑思维及表达能力，所以在课堂上要注意给学生留出自主的空间。随后引入典型或精选的例题，让学生进一步感受到几何证明的原理性，例如在证明三角形三个内角的和等于180度时，要请学生思考不同的证明方法，越多越好，以此培养学生的创新精神。

4、在几何的证明教学中，要大量呈现例题，反复求证。在教学中要注意把未知的问题转化为已知的条件，用学过的定理、公理来推导命题的正确性。

六、教学资源

1、本章涉及到逻辑思维的一些基本规律，例如同一律、矛盾律、排中律等，它们是学生正确思维与正确认识的必要条件。

2、本章继续学习与深化概念，因为概念是反映事物的本质属性的思维形态。概念中又涉及到属性与概念，概念的内涵与外延，概念的种和类，概念的定义，概念的分类等。对概念进行正确的分类，可以帮助我们弄清概念之间的联系与区别，可以使我们的知识系统化，并能促进我们逻辑思维的发展。

3、数学思想——推理和证明。（1）推理是根据一个或几个判断得出另一个判断得思维过程。一个具体的几何推理是由作为前提的几个已知条件与作为结论的几何性质组成。由于这样的组成，它使我们可得到新的判断，从而获得新的知识。在几何中常用的推理有演绎推理和归纳推理。（2）在证明中谈到了证明的意义、结论及规则。由一个或几个判断得真实性，进而断定另一个判断得真实性的逻辑方法叫证明。重点理解并运用直接证法与间接证法特别是反证法的引入让学生的思维更宽广。

七、课时分配

5．1定义与命题1课时

5.2为什么要证明1课时

5.3什么是几何证明2课时

5.4平行线的性质定理和判定定理

5.5三角形内角和定理2课时

5.6几何证明举例4课时

11.6反证法1课时

回顾与总结2课时 共计13课时

第二篇：一课一练103几何证明初步2

一课一练103几何证明初步

2知识点

一、互逆命题与互逆定理

1、命题的概念：对一件事情的语句。

温馨提示：

1、每个命题都有条件（题设）和结论两部分； ○

2、命题的一般形式是“如果„（条件），那么„（结论）”○；

3、正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题，验证一个命题是真命题，要经过严格 ○

证明，说明一个命题是假命题，只要指出一个反例即可。

2、互逆命题：

在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个 命题的，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做，那么另一个命 题叫做它的。

温馨提示：

1、任何一个命题都有逆命题；○

2、把一个命题的条件、结论交换，就得到它的逆命题；○

3、原命题成立，逆命题不一定成立，反之亦然。○

3、互逆定理：

如果一个定理的能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理 叫做。

温馨提示：

1、逆定理、互逆定理，一定是真命题； ○

2、不是所有的定理都有逆定理。○

二、相关定理 A

4C32E1BD

F

（一）、平行线的性质与判定：（三性质和五判定）

三性质：

1、“两直线平行，同位角相等 ”。∵AB//CD，∴。

2、“两直线平行，内错角相等”。∵AB//CD，∴。

3、“两直线平行，同旁内角互补”。∵AB//CD，∴。

五判定：

1、“同位角相等，两直线平行”。∵，∴AB//CD2、“内错角相等，两直线平行”。∵，∴AB//CD3、“同旁内角互补，两直线平行”。∵，∴AB//CD4、“平行与同一条直线的两直线平行”。

∵a//b，b//c，∴。

5、在同一平面内，垂直与同一条直线的两直线平行。

∵a⊥c，b⊥c，∴a//b

c

a ba

c

b

温馨提示：

（1）两条平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线平行；

（2）两条平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；

（3）两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直。

（二）、三角形内角和及外角定理：

1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推理过程：作CM∥AB，则∠A=，∠B=，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○作MN∥BC，则∠2=，∠3=，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． ○

A

MC B

温馨提示：

（1）证明的思路很多，基本思想是组成平角．

（2）应用内角和定理可解决已知二个角求第三个角或已知三角关系求三个角．

0（3）特殊三角形的内角关系：直角三角形两锐角互余；等边三角形每个内角都等于602、三角形的外角的定义

三角形，叫做三角形的外角.温馨提示：

每个顶点处都有两个外角，但这两个外角是对顶角.如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.所以说一个三角形有六个外角，但我们每个一个顶点处只选一个外角，这样三角形的外角就只有三个了.3．三角形外角的性质

A（1）、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．

（2）、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

（3）、三角形的三个外角和为360°。

温馨提示： B

外角与相邻的内角互为邻补角。

（三）、全等三角形

1．定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互 相重合的边叫做

对应边，互相重合的角叫做对应角．

2．性质 两全等三角形的相等、相等。

温馨提示：

(1)全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高分别相等。(2)对应的量分别相等。

3．判定

(1)判定1：．(“SAS”)

(1)判定2：．(“ASA”)

(3)判定3：．(“SSS”)

(4)判定4：．(“AAS”)

(5)判定5：．(“HL”)

温馨提示：

1“HL”定理是直角三角形独有的，对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定方法同样 ○

适用于直角三角形．

（2）等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合． 即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．

（3）等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则ba．图

1（1）、定理的作用：证明两条线段相等；

（2）、⊿ABC是等腰三角形，CD三线合一；

（3）、线段AB关于它的垂直平分线轴对称；关于中点D中心对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.○

2注意线段垂直平分线性质定理和逆定理区别和联系 ○

3、关于三角形三边垂直平分线的定理（三角形的外心）：

三角形三边的垂直平分线相交于一点（外心），并且的距离相等.如图2，若直线i,j,k分别是△ABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i,j,k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.温馨提示：

结合三角形外心的性质掌握，如：外心位置、OA＝OB＝OC.几何作图应用等进行掌握

图

2（七）、角平分线

1、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点。如图3，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若，则。温馨提示：

① 证明两条线段相等（相等量：OD=OC、FC=FD；∠ COF=∠DOF、∠CFO=∠DFO）； ② 与用于几何作图问题；

③ 与圆切线长定理有密切联系

④ 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.2、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：

在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.图

3如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD

⊥OB于D，定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线 ○

是一个角的角平分线

2注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.○

3、关于三角形三条角平分线的定理：

（1）关于三角形三条角平分线交点（内心）的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点的距离相等.如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；

② 若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.温馨提示：

结合三角形内心性质掌握，如：内心位置、IF=IE=IP、实际中的几何作图等进行掌握.

第三篇：初二几何证明2

18.2（5）证明举例(5)

教学目标

1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路;

2、能利用全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质来证明有关线段相等、角相等的简单问题;

3、了解添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；

4、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态.教学重点及难点

重点：分析基本思路，掌握规范的表达格式.难点：辅助线的添加.教学用具准备

黑板、粉笔、学生准备课堂练习本.教学流程设计

教学过程设计

1． 例题讲解

例题9 已知:如图,在△ABC与△A’B’C’中, AB=A’B’,BC= B’C’,CA=C’A’.求证: △ABC≌△A’B’C’.证明:设边BC最长.如图，把△ABC与△A’B’C’拼在一起，使边BC与B’C’重合，并使点A、A’在B’C’的两侧；再联结A’A.∵AB=A’B’,AC=A’C’(已知),∴∠1=∠2, ∠3=∠4(等边对等角).∴∠1+∠3=∠2+∠4(等式性质).即∠B’A’C’=∠BAC.在△ABC与△A’B’ C’中,AB=A’B’(已知)

∠B’A’C’=∠BAC(已证)

AC=A’C’(已知),∴△ABC≌△A’B’C’(S.A.S).【说明】本例是补证“边边边”定理，证明的思路是通过图形的运动把一些分散的元素集中在一个图形中，然后利用已有的“边角边”定理，证明两个三角形全等.这种利用图形的运动的方法，学生以前从未遇到，在后面的例题11中还会用到，要注意分析和引导.例题10 已知：如图17-14,四边形ABCD中,AB=DC, ∠B=∠C.求证: ∠A=∠D.证明:分别联结AC、DB(如图17-15).在△ABC与△DCB中,AB=DC(已知)

∠ABC=∠DCB(已证)

BC=CB(已知),∴△ABC≌△DCB(S.A.S)

得AC=DB(全等三角形的对应边相等).在△ABD与△DCA中,DB=AC(已知)

AB=DC(已知)

AD=DA(公共边),∴△ABD≌△DCA(S.S.S)

∴∠BAD=∠CDA(全等三角形的对应角相等).【说明】 本例是证明两个角相等，比较自然

地会想到利用三角形全等.但通过分析，发现需要

证两次三角形全等，有一定难度.对本例还介绍了

通过构造等腰三角形来进行证明的第二种方法.两种方法都需要添加辅助线构造三角形，第一种

方法的证明过程相对复杂些，但较第二种方法容

易想到．

怎样添置辅助线要在以后的学习中不断实践、探索、领悟，要重视图形的运动对添线的启示，而构造基本图形以及补全图形是常用的添线方法.2．反馈练习，巩固知识

(1)已知：如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC.求证：OA=OB.（第1题）B D E C（第2题）

(2)已知：如图，点D、E在BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.3、课堂小结

你能讲一讲，证明角相等，一般可以采用什么方法吗？

4、布置作业

练习册.

第四篇：几何证明初步测试题

2010—2011学第二学期学习效果评价 八年级数学（第十一章）试题（高春燕）

一、选择题

1．下列命题中，真命题是（）

6、△ABC中，∠C=90，AC=BC,AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,垂足为点E,若AB=10则△DBE周长为（）

A．10B.8C.12D.9

7.如图点D在AB上，点E在AC上并且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC

A．互补的两个角若相等，则两角都是直角B．直线是平角C．不相交的两条直线叫平行线D．和为180°的两个角叫做互补角2．如图，AB∥CD,AF 分别交AB、CD于A、C并且CE平分∠DCF,∠1=800，则

等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°

（2）（3）

3．如图，那么

等于（）

A．180°B．360°C．540°D．720°4．下列结论中不正确的是（）

A．如果一条直线与两条平行线中的一条平行，那么这条直线与另一条也平行B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，那么这条直线与另一条也垂直C．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么这条直线与另一条也相交

D．以上结论中只有一个不正确

5、在△ABC中，AC=BC＞AB,点P为△ABC所在平面内一点，且点P与△ABC的任意两个顶点构成△PAB, △PBC,△PAC均为等腰三角形，则满足上述条件的所有点P的个数为（）

A.3个B.4个C.6个D.7个

8、如图∠1=∠2，PM⊥OA于点M,则P点到OB的距离等于（）的长B.OP的长C.PM的长D.都不正确

A

E

C

（7）

（8）

9、如图所示，AB的垂直平分线为MN，点P在MN上，则下列结论中，错误的是（）

A、PA=PBB、OA=OBC、OP=OBD、ON平分∠APB

10、如图，直角三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC,BE平分∠ABC，交AD于点 E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）

A、AB=BFB、AE=EBC、AD=DCD、∠ABE=∠DFE

A.OA

N

P

B

D

（10）

二、填空题

11、在△ABC 中，（1），则∠B=度；（2），则∠B=度；（3），则∠B=度．

12、将命题“钝角大于它的补角”写成“如果„那么”的形式：

13、如图，已知：DE⊥AB，且∠A=∠D=290则∠ACB=

（13）

（16）、在△ABC 中,D、E分别在AB、CD上并且DE‖BC,AE=1,CE=2,则S△ADE:S△ABC=、等腰三角形腰上的高与底边夹角为15°，则顶角的度数为、如图，已知：在△ABC中，∠B=900, ∠1=∠2, ∠3=∠4，则的度数为

三、解答题、已知如图，在∠AOB中OC平分∠AOB,CA⊥OA,CB⊥OB,垂足分别为A、B,AB

交OC于点K，在图中你能找到哪些结论？

（分别写出一组相等的角、线段,一组全等的三角形一个等腰三角形）

B C

O

A

—2010

（17学第二学期学习效果评价）

18、如图，在五角形 八年级数学期末试题中，求证：∠A+∠B+∠C+

（18）

∠D+∠E=1800

（命题人：贾绪真、王云鹏）（时间：90分钟）

一、选择题

19、已知：如图，AB‖DC,点E是BC上一点，∠1=∠2,∠3=∠4．求证：AE⊥

DE1、下列计算正确的是（）A、（5-32=2B、a2b3=abbC、1÷

1

55

2=

D、2516=5-

420 如图

2、下列结论正确的是（,在△ABC中两个外角∠EAC和∠）FCA的平分线交于D点,求证：∠ADC=90（A0-

1∠ABC（B）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（C）顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；（D）两个等边三角形全等.(20)

21．如图，△

3、下列说法错误的是（ABC 中，∠B＞∠C,AD⊥BC,AE）平分∠BAC,求证：A、任意一个命题都有逆命题。

B、定理“全等三角形的对应角相等”有逆定理 C、正方形都相似是真命题

D、“画平行线”不是命题

4、如图下列条件不能判定l1∥l2的是

(9)14151617

第五篇：八年级数学下册 几何证明初步知识点

第十一章 几何证明初步知识点整理

1.定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义.2.命题：对事情进行判断的语句叫做命题.每个命题都由条件和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推断出的事项.一般地,命题可以写成“如果„„,那么„„”的形式,其中“如果”引出的部分是条件,“那么”引出的部分是结论.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.例如,下列句子都不是命题:(1)你喜欢数学吗?(2)作线段AB=CD.⑶清新的空气；⑷不许讲话。3.正确的命题称为真命题,不正确的的命题称为假命题.4.反例：要指出一个命题是假命题，只要能举出一个例子，使它具备命题的条件，而不符合命题的结论就可以了。这种例子称为反例。

5.公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据。这些公认为正确的命题叫做公理。

证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理.本套教材以下列基本事实作为公理： 1.两点确定一条直线。

2.过直线外一点可以作且只能作一条直线与已知直线平行。3.两直线平行,同位角相等。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。5.判断三角形全等的方法：SAS ASA SSS。6.全等三角形的对应角相等，对应边相等。

7.在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替.例如,如果a=b,b=c,那么a=c,这一性质也看作公理,称为“等量代换”.判断：

所有的命题都是公理。所有的真命题都是定理。所有的定理是真命题。所有的公理是真命题。

6.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。Eg:(1)两条直线平行，内错角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．

注意: 一个命题是真命题,它的逆命题却不一定是真命题.如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理！（勾股定理和它的逆定理）

7.三角形内角和定理：三角形三个角的内角和等于180° 推论一：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。推论二：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。8.直角三角形的两个锐角互余。有两角互余的三角形是直角三角形。三角形的外角和等于360°。

9.反证法：先提出与命题的结论相反的假设,推出矛盾,从而证明命题成立.这种证明的方法叫做反证法.反证法的步骤：否定结论—推出矛盾—肯定结论 Eg:

1、“a＜b”的反面应是（）（A）a≠＞b（B）a ＞b（C）a=b（D）a=b或a ＞b

2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？ ___________________________________

3、写出下列各结论的反面：

（1）a//b（2）a≥0（3）b是正数（4）a⊥b(5)至多有一个（6）至少有一个 常用的互为否定的表述方式：

都是——不都是；大于——不大于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个；至少有n个——至多有(n-1)个；至多有一个——至少有两个