第一篇：2018年高考数学总复习第十章计数原理、概率第2讲排列与组合!
第2讲 排列与组合
基础巩固题组(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.(2016·四川卷)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24 B.48
C.60 D.72 解析 由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A3种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A4种方法，所以奇数的个数为A3A4＝3×4×3×2×1＝72，故选D.答案 D 2.(2017·东阳调研)某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A.16种 C.42种
B.36种 D.60种
414解析 法一(直接法)若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A4种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C3A4种方法.由分类加法计数原理知共A4＋C3A4＝60(种)方法.法二(间接法)先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共4＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求共4种，所以总投资方案共4－4＝64－4＝60(种).答案 D 3.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A.C7A5 2
222 B.C7A2
222
C.C7A5
D.C7A5
23解析 首先从后排的7人中抽2人，有C7种方法；再把2个人在5个位置中选2个位置进行排列有A5种.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C7A5.答案 C 4.(2017·金华调研)甲、乙两人从4门课程中各选修两门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有________种()A.30 B.36
C.60
D.72
222解析 甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：当甲、乙所选的课程中2门均不相同时，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C4C2＝6种方法；当甲、乙所选的课程中有且只有1门相同时，分为2步：①从4门中选1门作为相同的课程，有C4＝4种
122选法，②甲从剩余的3门中任选1门，乙从最后剩余的2门中任选1门有C3C2＝6种选法，由分步乘法计数原理此时共有C4C3C2＝24种方法.综上，共有6＋24＝30种方法.答案 A 5.某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.36种 C.48种
B.42种 D.54种
111解析 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个节目无限制条件，有A4种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个节目中选1个节目排在第一位有C3种排法，其他3个节目有A3种排法，故有C3A3种排法.依分类加法计数原理，知共有A4＋C3A3＝42种编排方案.答案 B 6.(2016·东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A.10 C.20
B.16 D.24 1
31313
44解析 一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座.∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A5＝20种坐法.答案 C 7.(2017·浙江五校联考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72 C.144
B.120 D.168
2解析 法一 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品中2□相声□”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个人，其形式为“□小品1□相声□小品2□”.有A2A4＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法.法二 先不考虑小品类节目是否相邻，保证歌舞类节目不相邻的排法共有A3·A4＝144(种)，再剔除小品类节目相邻的情况，共有A3·A2·A2＝24(种)，于是符合题意的排法共有144－24＝120(种).答案 B 8.(2017·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，9×5＝45种坐法.答案 45
能力提升题组(建议用时：20分钟)14.(2017·武汉调研)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是()A.72 C.240
B.144 D.288 解析 第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一起看作一个复合元素A，这对夫妻有2种排法，故有C3A2＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，这对夫妻有2种排法，从剩下的那对夫妻中选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一起看作另一个复合元素B，有C2A2C2＝8种排法；第三步，将复合元素A，B和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A3＝6种排法，由分步乘法计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288种，故选D.答案 D 15.设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60 C.120
B.90 D.130
312112解析 因为xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5，且1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.①xi(i＝1，2，3，4，5)中4个0，1个为－1或1，A有2C5个元素； ②xi中3个0，2个为－1或1，A有C5×2×2＝40个元素； ③xi中2个0，3个为－1或1，A有C5×2×2×2＝80个元素； 从而，集合A中共有2C5＋40＋80＝130个元素.答案 D 16.(2017·慈溪调考)在某班进行的演进比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为________(用数字作答).解析 若第一个出场是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有C2C3A3＝36种；若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有C2A2A3＝24种.故所有出场顺序的排法种数为36＋24＝60.答案 60 17.(2017·诸暨模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数字中任意取4个数字，组成一个没有重复且能被3整除的四位数，则这样的四位数共有________个(用数字作答).5-
第二篇：计数原理-10.2 排列与组合(教案)
响水二中高三数学（理）一轮复习
教案 第十编 计数原理 主备人 张灵芝 总第52期
§10.2 排列与组合
基础自测
1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个.答案 54 2.（2008·福建理）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有 种.答案 14 3.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有 种.（用式子表示）答案 A88
4.在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法种数是（用式子表示）.3答案 C100-C394
5.（2007·天津理）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）.答案 390
例题精讲
例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余
155人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步计数原理，共有站法：A4·A5=480（种）.2方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A5种站法，然后中24间人有A44种站法，根据分步计数原理，共有站法：A5·A4=480（种）.5方法三 若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A5种站法，从总数中减去这两种 329
5情形的排列数，即共有站法：A66-2A5=480（种）.（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A55种站法，再把
52甲、乙进行全排列，有A22种站法，根据分步计数原理，共有A5·A2=240（种）站法.方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放
2412入，有A15种方法，最后让甲、乙全排列，有A2种方法，共有A4·A5·A2=240（种）.（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A442种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A5种站法，故共有站法为2A44·A5=480（种）.52也可用“间接法”，6个人全排列有A66种站法，由（2）知甲、乙相邻有A5·A2=240种站法，所52以不相邻的站法有A66-A5·A2=720-240=480（种）.（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A4然后将甲、乙按条件插入站队，有3A24种，2种，故共有A4（3A24·2）=144（种）站法.方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A2然后把甲、4种，乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A3最后对甲、乙进行排列，有A22种3种方法，32方法，故共有A24·A3·A2=144（种）站法.（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，24有A44种，根据分步计数原理，共有A2·A4=48（种）站法.方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下
24的4人去站，有A44种站法，由分步计数原理共有A2·A4=48（种）站法.54（6）方法一 甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A5种，且甲在左端而乙在右端的站法有A4 330 54种，共有A66-2A5+A4=504（种）站法.方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不145114在右端有A14·A4·A4 种，故共有A5+A4·A4·A4=504（种）站法.例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.2解（1）第一步：选3名男运动员，有C36种选法.第二步：选2名女运动员，有C4种选法.2共有C36·C4=120种选法.（2）方法一 至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4233241由分类计数原理可得总选法数为C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246种.方法二 “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.5从10人中任选5人有C10种选法，其中全是男运动员的选法有C56种.所以“至少有1名女运动员”的5选法为C10-C56=246种.（3）方法一 可分类求解：
443“只有男队长”的选法为C8； “只有女队长”的选法为C8； “男、女队长都入选”的选法为C8； 43所以共有2C8+C8=196种选法.方法二 间接法：
55从10人中任选5人有C10种选法.其中不选队长的方法有C8种.所以“至少1名队长”的选法为55C10-C8=196种.44（4）当有女队长时，其他人任意选，共有C9种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C8种选法.444其中不含女运动员的选法有C5种，所以不选女队长时的选法共有C8-C5种选法.所以既有队长又有女444运动员的选法共有C9+C8-C5=191种.331 例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？
解（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选
1212个放2个球，其余2个球放在另 外2个盒子内，由分步计数原理，共有C14C4C3×A2=144种.（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个 子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有C2、（2，2）两类，第一类有序不4种方法.4个球放进2个盒子可分成（3，1）均匀分组有CC24(C342C11A234C11A22种方法；第二类有序均匀分组有
2C24C2A22·A
22种方法.故共有+2C24C2A22·A22）=84种.巩固练习
1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.12解(1)先排个位，再排首位，共有A13·A4·A4=144（个）.1123(2)以0结尾的四位偶数有A35个，以2或4结尾的四位偶数有A2·A4·A4个，则共有A5+ 12A12·A4·A4=156（个）.2(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A4个，3作千位，1作 321百位时有2A13个，所以共有2A5+3A4+2A3=162（个）.2.某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
3解（1）只需从其他18人中选3人即可，共有C18=816（种）.5（2）只需从其他18人中选5人即可，共有C18=8 568（种）.43（3）分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C18+C18=6 936（种）.332（4）方法一（直接法）至少一名内科医生一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三
4233241内二外；四内一外，所以共有C112C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656（种）.方法二（间接法）由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，55得C520-（C8+C12)=14 656(种）.3.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；
（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.2解（1）分三步：先选一本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C5种选法；对于余下的三本 123全选有C33种选法，由分步计数原理知有C6C5C3=60种选法.233（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基础上，还应考虑再分配的问题，因此共有C16C5C3A3=360种选法.222（3）先分三步，则应是C6C4C2种选法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、222E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C6C4C2种分法中还有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）3共有A33种情况，而且这A3种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只算作一种情况，故分法有222C6C4C2A33=15种.222C6C4C2（4）在问题（3）的工作基础上再分配，故分配方式有
A33222·A33= C6C4C2=90种.回顾总结
知识 方法 思想
课后作业
一、填空题
1.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有 个.答案 36 2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有 种.333 答案 10 3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 种.答案 960 4.(2008·天津理)有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 种.答案 1 248 5.在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读（不能跳读），共有 种不同的读法.答案 252 6.（2008·安徽理）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（用式子表示）.22答案 C8A6
7.平面内有四个点，平面内有五个点，从这九个点中任取三个，最多可确定 个平面，任取四点，最多可确定 个四面体.（用数字作答）答案 72 120 8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是.（用数字作答）答案 40
二、解答题
9.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？
解 可先分组再分配，据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2
22个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C3A4种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个223元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案.由分类计数原理可知共有C3A4+A4=60种方案.10.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有一名女生；（2）两队长当选；
334（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选.4解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（种）.3（2）将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C11=165（种）.423（3）至少有一名队长含有两类：有一名队长和两名队长.故共有：C12·C11+C2·C11=825（种）.55或采用间接法：C13-C11=825（种）.（4）至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生.2345故选法为C5·C8+C15·C8+C8=966（种）.11.已知平面∥，在内有4个点，在内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
2解（1）所作出的平面有三类：①内1点，内2点确定的平面，有C14·C6个；②内2点，2内1点确定的平面，有C2C1③，本身.∴所作的平面最多有C1C6+C2C1（个）.4·4·4·6个；6+2=983（2）所作的三棱锥有三类：①内1点，内3点确定的三棱锥，有C14·C6个；②内2点，内2312点确定的三棱锥，有C24·C6个；内3点，内1点确定的三棱锥，有C4·C6个.32231∴最多可作出的三棱锥有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（个）.（3）∵当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等,且平面∥，∴体积不相同的三棱锥最多有
322C36+C4+C6·C4=114（个）.12.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，共有多少种不同排法？
解 ∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个.12（1）两人一个前排，一个后排，方法数为C18·C12·A2种； 212（2）两人均在后排左右不相邻，共A12-A22·A11=A11种；
1（3）两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，共C1C1A2②两人同左同右，有2（A2A24·4·2种；4-A3·2）122112212种.综上可知，不同排法种数为C18·C12·A2+A11+C4·C4·A2+2（A4-A3·A2）=346种.335
第三篇：数学高考复习名师精品教案：第86课时：第十章 排列、组合和概率-随机事件的概率
数学高考复习名师精品教案
第86课时：第十章 排列、组合和概率——随机事件的概率
一．课题：随机事件的概率 二．教学目标：
1．了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；
2．掌握等可能事件的概率公式，并能熟练地运用排列组合的知识解决等可能事件的概率问题；
三．教学重点：等可能事件的概率的计算． 四．教学过程：
（一）主要知识：
1．随机事件概率的范围 ； 2．等可能事件的概率计算公式 ；
（二）主要方法：
1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的； 2．等可能事件的概率P(A)m，其中n是试验中所有等可能出现的结果（基本事n件）的个数，m是所研究事件A中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算m,n的关键是抓住“等可能”，即n个基本事件及m个基本事件都必须是等可能的；
（三）基础训练：
1．下列事件中，是随机事件的是（C）
（A）导体通电时，发热；（B）抛一石块，下落；（C）掷一枚硬币，出现正面；（D）在常温下，焊锡融化。2．在10张奖券中，有4张有奖，从中任抽两张，能中奖的概率为（C）
(A)1124(B)(C)(D)23353．6人随意地排成一排，其中甲、乙之间恰有二人的概率为（C）
(A)1111(B)(C)(D)345104．有2n个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两个数之和为偶数的概率为（C）
(A)11n1n1(B)(C)(D)22n2n12n
1（四）例题分析：
例1．袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回抽三次，计算下列事件的概率：
（1）三次颜色各不同；（2）三种颜色不全相同；（3）三次取出的球无红色或无黄色；
解：基本事件有3327个，是等可能的，3A32（1）记“三次颜色各不相同”为A，P(A)；
279（2）记“三种颜色不全相同”为B，P(B)2738； 279232315；（3）记“三次取出的球无红色或无黄色”为C，P(C)279例2．将一枚骰子先后掷两次，求所得的点数之和为6的概率。解：掷两次骰子共有36种基本事件，且等可能，其中点数之和为6的有
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5种，所以“所得点数和为6”的概率为
5。36例3．某产品中有7个正品，3个次品，每次取一只测试，取后不放回，直到3只次品全被测出为止，求经过5次测试，3只次品恰好全被测出的概率。
5解：“5次测试”相当于从10只产品中有序的取出5只产品，共有A10种等可能的基本事件，“3只次品恰好全被测出”指5件中恰有3件次品，且第5件是次
224C7C3A41品，共有CCA种，所以所求的概率为。5A1020272344
例4．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务，这里任何人当选的机会都是相同的，如果选出的2人有相同性别的概率是，求这个班级中的男生，女生各有多少人? 解： 设此班有男生n人(n∈N,n≤36)，则有女生(36-n)人，从36人中选出有相同性别的2人，只有两种可能，即2人全为男生，或2人全为女生.从36人中选出有相同性别的2人，共有(Cn2+C36-n2)种选法.22CnC36n因此，从36人中选出2人，这2人有相同性别的概率为 2C36221CnC36n依题意，有＝ 22C3612经过化简、整理，可以得到 n2-36n+315＝0.所以n＝15或n＝21，它们都符合n∈N，n<36.答：此班有男生15人，女生21人；或男生21人，女生15人.五．课后作业：
1．100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是()(A)3(B)4(C)2(D)1 2．5人随意排成一排，其中甲不在左端，且乙在中间的概率为（）
(A)3334(B)(C)(D)5201025
3．抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于()(A)1131(B)(C)(D)
3842
4.将8个参赛队伍通过抽签分成A、B两组，每组4队，其中甲、乙两队恰好不在同组的概率为()(A)4123(B)(C)(D)
7725
5.袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为()(A)1245(B)(C)(D)
33331133
6．将骰子抛2次，其中向上的数之和是5的概率是()(A)111(B)(C)(D)97
3694
７.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号
码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为。
8.9支球队中，有5支亚洲队，4支非洲队，从中任意抽2队进行比赛，则两洲各有一队的概率是.9.接连三次掷一硬币，正反面轮流出现的概率等于.10.在100个产品中，有10个是次品，若从这100个产品中任取5个，其中恰有2个次品的概率等于.11.4位男运动员和3位女运动员排成一列入场；女运动员排在一起的概率是 ；男、女各排在一起的概率是 ；男女间隔排列的概率是.12.从1，2，3，……，9这九个数字中随机抽出数字，如依次抽取，抽后不放回，则抽到四个不同数字的概率是 ；如依次抽取，抽后放回，则抽到四个不同数字的概率是.13．20个零件中有3个次品，现从中任意取4个，求下列事件的概率：（1）4个全是正品；（2）恰有2个是次品。
14.从1，2，3，4，5这五个数字中，先任意抽取一个，然后再从剩下的四个数字中再抽取一个，求下列事件的概率：
（1）第一次抽到的是奇数；（2）第二次抽到的是奇数；（3）两次抽到的都是奇数；（4）两次抽到的都是偶数；（5）两次抽到的数字之和是偶数．
15．6名同学随意站成一排，求下列各种情况发生的概率：
（1）甲站左端；（2）甲站左端，乙站右端；（3）甲、乙两人相邻；（4）甲、乙两人不相邻；（5）甲不站排头、排尾；（6）甲站在乙的左边（可以相邻，也可以不相邻）．
第四篇：高考数学一轮复习第14章 计数原理、二项式定理、概率14.1两个基本计数原理教学案 苏教版
第14章 计数原理、二项式定理、概率
14．1 两个基本计数原理
考纲要求
1．理解分类计数原理和分步计数原理．
2．会用分类计数原理和分步计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
1．分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有__________种不同的方法．
2．分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有____________种不同的方法．
1．5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有__________种．
2．有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是__________．
3．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法数为__________．从第1,2,3层分别各取一本书，不同的取法数为__________．
4．由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有________． 5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有________种(用数字作答)．
在计数问题中如何判定是分类计数原理还是分步计数原理？
提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类计数原理；如果每类办法中的每种方法只能完成事件的一部分，就用分步计数原理．
一、分类计数原理的应用
x2y2【例1】方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈mn{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆有多少个？
方法提炼
使用分类计数原理计数的两个条件一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．二是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．
请做针对训练3
二、分步计数原理的应用
【例2】已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，点P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限的点？(3)点P可表示多少个不在直线y＝x上的点？ 方法提炼
应用分步计数原理要注意两点：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么，必须经几步才能完成．
(2)完成这件事需分为若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步本事件都不可能完成．
请做针对训练1
三、两个计数原理的综合应用
【例3】某个同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读．
(1)若他从这些书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？
(3)若从这些参考书中选两本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？ 方法提炼
在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求．
请做针对训练2
从近三年高考试题来看，高考对此部分内容考查都在附加题中．单独考查较少，往往结合概率进行考查，题型为解答题，难度为中档题．
1．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有__________种．
3．高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人．
(1)从高三一班或二班或三班学生中选一名学生任校学生会主席，有多少种不同的选法？
(2)从高三一班、二班的男生中，或从高三三班的女生中选一名学生任校学生会体育部部长，有多少种不同的选法？
参考答案
基础梳理自测 知识梳理
1．N＝m1＋m2＋…＋mn 2．N＝m1×m2×…×mn 基础自测
51．32 解析：分5步完成，每一步有两种不同的方法，故不同的报名方法有2＝32种． 2．12 解析：由分步计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4种选法，第二步选长裤有3种选法，所以有4×3＝12种选法．
3．15 120 解析：由分类计数原理，不同的取法总数为4＋5＋6＝15.由分步计数原理，不同的取法总数为4×5×6＝120.4．174个 解析：可用排除法，由0,1,2,3可组成的所有四位数有3×4×4×4＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3×3×2×1＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．
5．24 解析：分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法；其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法；最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法．于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)．
考点探究突破
【例1】 解：以m的值为标准分类，分为五类．第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；第三类：m＝3时，使n>m，n有4种选择；第四类：m＝4时，使n>m，n有3种选择；第五类：m＝5时，使n>m，n有2种选择．
∴共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法，即有20个符合题意的椭圆． 【例2】 解：(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成： 第一步确定a的值，共有6种确定方法； 第二步确定b的值，也有6种确定方法．
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：
第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法； 第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．
由分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数是3×2＝6.(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个． 由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．
【例3】 解：(1)完成的事情是带一本书，无论是带外语书还是带数学书、物理书，事情都能完成，从而确定为分类计数原理，结果为5＋4＋3＝12种．
(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理中各选一本书后，才能完成这件事，因此应用分步计数原理，结果为5×4×3＝60种．
(3)选1本数学书和选1本外语书，应用分步计数原理，有5×4＝20种选法，同样地，选外语书、物理书各一本有5×3＝15种选法，选数学书、物理书各一本有4×3＝12种选法，应用分类计数原理，结果为20＋15＋12＝47种．
演练巩固提升 针对训练
1．14 解析：用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．
2．30 解析：分两类．第一类：A类选修课选1门，B类选修课选2门，不同的选法有3×6＝18(种)；第二类：A类选修课选2门，B类选修课选1门，不同的选法有3×4＝12(种)．根据分类计数原理共有18＋12＝30种不同的选法．
3．解：(1)完成这件事有三类方法：
第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法； 第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有50＋60＋55＝165种选法．(2)完成这件事有三类方法：
第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法； 第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法，综上知，共有30＋30＋20＝80种选法．
第五篇：数学高考复习名师精品教案：第87课时：第十章 排列、组合和概率-互斥事件有一个发生的概率
数学高考复习名师精品教案
第87课时：第十章 排列、组合和概率——互斥事件有一个发生的概率
一．课题：互斥事件有一个发生的概率
二．教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率．
三．教学重点：互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式． 四．教学过程：
（一）主要知识：
1．互斥事件的概念： ； 2．对立事件的概念： ； 3．若A,B为两个事件，则AB事件指 ． 若A,B是互斥事件，则P(AB) ．
（二）主要方法：
1．弄清互斥事件与对立事件的区别与联系； 2．掌握对立事件与互斥事件的概率公式；
（三）基础训练：
1．某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级为次品，若产品中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则在成品中任意抽取一件抽得
正品的概率为（）
(A)0.04(B)0.96(C)0.97(D)0.99 2．下列说法中正确的是（）
(A)事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大(B)事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小(C)互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件(D)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
3．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为（）
(A)2827(B)(C)(D)
15515157为概104．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以率的事件是（）
(A)都不是一等品(B)恰有一件一等品(C)至少有一件一等品(D)至多一件一等品
5．今有光盘驱动器50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为（）
1312133C5C5C52C5C45C5C45C52C45(A)3(B)(C)1－3(D)33C50C50C50C50
（四）例题分析：
例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：
(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.4解：从8个球中任意摸出4个共有C8种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A1，恰有2个白球为事件A2，3个白球为事件A3，4个白
球为事件A4，恰有i个黑球为事件Bｉ，则(1)摸出2个或3个白球的概率：
221C5C3C33365C3PP(AA)P(A)P(A) 11212244C8C8777(2)至少摸出1个白球的概率P2＝1－Ｐ（B4）＝1－0＝1
4C513(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A4）＝1－4
C814答：(1)摸出2个或3个白球的概率是；(2)至少摸出1个白球的概率是1；(3)至少摸出1个黑球的概率是
13.1467例2． 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各一只；(3)取到的2只中至少有一只正品.
解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有62＝36种不同取法.(1)取到的2只都是次品情况为22＝4种.因而所求概率为
41. 369(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为 P=42244 36369(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为P=1-
答：(1)取到的2只都是次品的概率为；(2)取到的2只中正品、次品各一只的概率为；(3)取到的2只中至少有一只正品的概率为.例3．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?
198919498912
解：设男生有x名，则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为
C2x(x1)x 2C363635选得2名委员都是女性的概率为
2C36x(36x)(35x)23635C36以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于，得
x(x1)(36x)(35x)1，解得x=15或x=21 36353635212即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名.答：男女生相差6名.例4．在某地区有2000个家庭，每个家庭有4个孩子，假定男孩出生率是.(1)求在一个家庭中至少有一个男孩的概率；
(2)求在一个家庭中至少有一个男孩且至少有一个女孩的概率； 解：(1)P(至少一个男孩)＝1-P(没有男孩)＝1-()4＝
121215； 1611-1616(2)P(至少1个男孩且至少1个女孩)＝1-P(没有男孩)-P(没有女孩)＝1-＝；
五．课后作业： 781．如果事件A、B互斥，那么（B）
(A)A+B是必然事件(B)A+B是必然事件(C)A与B一定互斥(D)A与B一定不互斥
2．甲袋装有m个白球，n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球,(mn),现从两袋中各摸一个球,A：“两球同色”,B：“两球异色”，则P(A)与P(B)的大小关系为()
(A)P(A)P(B)(B)P(A)P(B)(C)P(A)P(B)(D)视m,n的大小而定
3．甲袋中装有白球3个，黑球5个，乙袋内装有白球4个，黑球6个，现从甲袋内随机抽取一个球放入乙袋，充分掺混后再从乙袋内随机抽取一球放入甲袋，则甲袋中的白球没有减少的概率为()(A)3735259(B)(C)(D)144444444．一盒内放有大小相同的10个球，其中有5个红球，3个绿球，2个白球，从中任取2个球，其中至少有1个绿球的概率为()(A)2827(B)(C)(D)
15515155．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有1件次品的概率为（）
(A)7211(B)(C)(D)
929146．从装有10个大小相同的小球（4个红球、3个白球、3个黑球）口袋中任取两个，则取出两个同色球的概率是（）
(A)1241(B)(C)(D)
355157．在房间里有4个人，至少有两个人的生日在同一个月的概率是（）
(A)(B)(C)14124155(D)96968.战士甲射击一次，问：
(1)若事件A(中靶)的概率为0.95，A的概率为多少?
(2)若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率为多少?事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?
9.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.10.某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.11.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率；(2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.12.在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少? 答案：
41。96 6
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