建模考试作业

第一篇：建模考试作业

兰州商学院陇桥学院2012—2013学年第1学期期末考试 数学建模与数学实验、经济管理数学模型

试题

“数学建模与数学实验”、“经济管理数学模型”考试说明：

1．本试卷共十个题，其中一、二必做，三至十题中任选若干题来做；

2.本课程考试为开卷考试，按规定时限交卷。且开卷考试要求独立完成。雷同卷一律作废； 3．上交打印稿，交卷时间 第十八周上课时间； 4．认真填写试卷首页各项内容，不能空白。必需填写内容： 1． 姓

名：陈泳纲

2． 专

业：金融学（理财方向）

3． 计算机能力（等级考试级别及使用软件情况）： 4． 是否参加全国大学生数学建模竞赛（否）5． 联系电话：*** 一．简述什么是数学模型和数学建模的基本步骤.（20分）

数学建模的基本步骤

一、数学建模题目

1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。

2）给出若干假设条件：

1.只有过程、规则等定性假设； 2.给出若干实测或统计数据； 3.给出若干参数或图形等。

根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。

二、建模思路方法

1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。

2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有：

1）.回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,„,n，确定函数的表达式。

2）.时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。

3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。

3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。

三、模型求解：

模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合 适的求解软件的选择至关重要

常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用

图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。

四、自学能力和查找资料文献的能力：

建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。

五、论文结构：

0、摘要

1、问题的重述，背景分析

2、问题的分析

3、模型的假设，符号说明

4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等）

5、模型的求解

6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析

7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进

8、参考文献

9、附录

六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：

1、摘要：这是评阅者首先将会看到的部分，摘要的好坏对一篇论文能否获奖起到非常重要的作用。

2、一个模型的好坏往往取决于所采用的方法是否合适，采用了一种方法就要明确说明它的合理性，决不能拿到一个问题随便找个方法便往上套。如数据分析预测问题：数据的特点决定了所能采用的方法，对小样本数据的预测往往采用灰色预测、支持矢量机等，而数据量较大的预测则多用神经网络、时间序列等，优化问题的数据优化求解方法更是多种多样，不同的方法适合于不同类型的问题，选择一个合适的方法往往事半功倍。

3、最终数值结果的正确性或合理性是第一位的，结果的表示方法也是不容忽视的，直观清晰的表示更容易为人们所注意、所理解。精心设计表格或采用直观的图形无疑是两种较好的结果表示方法。

4、对论文结果进行合理地分析与误差检验也必不可少，在模型的推广与改进中大胆的提出创新性的想法也会引人注意。

5、论文的排版：一个好的版式会让一篇好的论文更增光彩，一篇论文应该包括两个层次的含义：内容与表现，前者是指文章作者用来表达自己思想的文字、图片、表格、公式及整个文章的章节段落结构等，而后者则是指论文页面大小、边距、各种字体等

二.请结合各自专业谈谈学习数学模型和数学建模课程的体会.（20分）

数学方法在现代经济发展中起着越来越重要的作用，而数学模型是经济学研究必需的工具，运用所学的数学知识通过建立模型来解决经济问题是经济专业学生参加工作后经常要做的工作。大学教育，对于大部分学生来说是他们走向工作岗位前最后的以学习为主的阶段，也是他们各项单科知识得以融会贯通，综合素质积淀最快，最关键的时期。因此，在经济类专业学生的数学基础课上，应该重视培养学生在这方面的能力。数学建模选修课的开设和数学建模竞赛的开展，为培养学生的知识应运能力和创造性思维提供两人良好的环境和机会。数学建模是运用数学的语言和方法，去描述或模拟实际问题中的数量关系，并解决实际问题的一种强有力的数学手段。这门课程作为高等数学，线性代数，概率论与数理统计的后继课程，学生已经初步掌握高等数学的相关基础理论知识和思维方法，具备开设这门课的基础。数学建模的一般步骤可概括为以下几点：

1.2.3.4.5.建模准备。了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集掌握必要的数据资料。分析问题，弄清其对象的本质特征。

建模假设。根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，提出若干符合客观实际的假设。、建立模型。根据模型假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的定量或定性关系，采用尽量简单的数学工具，建立数学模型。

模型求解。为了得到结果解决实际问题，要对模型进行求解，在难以得出解析解时，应当借助计算机求出值解。

模型解析。对模型求解得带的结果进行数学的分析，有时是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态，有时则根据所得的结果给出数学上的预测，有时则是给出数学上的最优决策或控制。不论哪种情况还常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性或灵敏度分析等。

模型检验。分析所得结果的实际意义，用实际问题的数据现象等来检验模型的真实性，合理性和适用性。模型只有在被检验，评价，确认基本符合要求后，6.才能被接受，否则需要修改模型。要得到一个符合现实的数学模型，一个真正适用的数学模型其实是需要不断改进和完善的。

数学教育是基础教育的提高阶段，应着眼于未来，为培养高素质的人才打好基础。数学建模课程的数学以掌握概念，强化应用，培养技能为教学重点，在教学环节中，充分注意引导学生通过对各种实际问题建立数学模型，求解及检验，掌握数学概念，方法的应用，逐步培养学生综合应运所学知识解决实际问题的能力，并结合数学内容特点培养数学独立学习的习惯。充分重视习题课的安排和课外作业的选择，使学生有足够的复习和练习时间，及时正确地独立完成作业。根据数学建模的特点，不难看出，在对经济类专业学生的数学教学中，渗透建模思想，开展建模活动，具有深远意义。

1.培养学生的应用意识.数学具有极其广泛的应运性。在我们的日常生活中，运用到数学知识的例子随处可见。在社会盛会的各个领域里，数学的概念，法则和结论更是被广泛地应运着，很多看似与数学无关的问题都可以运用数学工具加以解决。数学建模是沟通实际问题与数学工具之间的桥梁，通过对学生进行数学建模教学，能够促进理论与实践相结合，并且逐步培养学生的应用意识。

2.培养学生的能力。通过数学建模课程的教学与参加数学建模竞赛的实践，使我们深刻感受到数学建模过程，不仅是对大学生知识和方法的培养，更是对当代大学生各种能力的培养。(1)抽象能力概括。应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是十分关键的一步，同时也是十分困难的一步。建立数学模型过程，是把错综复杂的实际问题简化，抽象，概括为合理的数学结构的过程。数学建模过程使学生对复杂的事物有意识地区分主要因素与次要因素，本质与表面现象，从而抓住本质解决问题。它有利于提高学生思维的深刻性和抽象概括能力。

自学能力。使大学生在未来的工作和科研中受益匪浅。

洞察力和想象力。数学建模的模型假设过程就是根据对实际问题的观察分析，类比，想象用数理建模或系统辨识建模方法作假设，通过形象思维对为题进行简化，模型化，作出合理的想象，形成实际问题数理化的设想。

利用计算机解决问题的能力。

创新能力。鼓励学生开阔视野，大胆怀疑，勇于进取。让学生充分发挥想象力。

论文写作和表达能力。数学建模成绩的好坏与论文的撰写有着密切的关系数学建模的答卷，是评价的唯一依据。写好论文的训练，是科技写作的一种基本训练。通过数学建模竞赛，学生能够学会如何更加准确地阐述自己的观点想法。

(7)合作交流能力，团队合作精神。大学生数学建模竞赛过程中，必需学会如何清楚地表达自己的思想，实现知识的交流与互补。必需学会如何倾听别人的意见以发挥整体的作用，学会合作，从不同的观点中总结出最优的方案以谋求最大成功。

3.体现学生的主体性。数学建模发挥了学生的参与意识，体现了学生的主题性。教师的主导作用体现在创设好问题情境，激发学生自主地探索解决问题的途径，而学生的主体作用体现在始终明确自身是竞赛的主体。学生必须在全过程集中自己的思想系统区接受教师发出的教学信息，与原有知识体系融合，内化为新的体系。学生要(2)(3)

(4)(5)(6)对教师所给予的信息有批判性地，发展性地能动反映，要在相互讨论，启发下寻求更多更好的解答方案。强化数学建模的对策：

1.激发学生的学习兴趣。兴趣是学习的动力。

2.通过组建数学建模协会，推进数学建模教学。我们可以开展一些讲座，宣传数学建模的意义，激发学生学习数学建模的兴趣，提高学生的数学应用意识和参加数学建模的积极性。

3.不断提高教师自身的水平。首先要求教师本身具有数学建模的能力，否则无法组织学生的数学建模活动。因此，应该对数学教师进行建模培训，帮助他么树立数学建模的意识，掌握数学建模的知识，方法和教学形式，使他们能够最大限度地利用学校资源开展数学建模活动。

综上所述，对经济类专业学生开设数学建模课程，对学生的发展有着非常重要的意义。通过组织数学建模活动和竞赛，不仅能够提高师生对数学的认识水平，而且能够培养一批既具有创新意识，创新精神和实践应运能力，有具有竞赛意识和团队意识，团结协作和拼搏精神的优秀大学生，从而促进学生综合素质的全面发展。全国大学生数学建模竞赛组委会李大潜院士曾经说过：“数学教育本质上就是一种素质教育，数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径。”因此，我们队经济类专业学生开设数学建模课程，将数学建模活动和数学教学有机地结合起来，就能够在胡傲雪实践中更好地体现和完成素质教育。

七．酒驾检测

设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml)。现有一起交通事故，在事故发生3个小时，测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml)；又过两个小时后，测得其酒精含量降为40%(mg/ml)。试判断：事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定?（设酒精浓度的变化率与酒精含量成正比）。（30分）

解：设C(t)为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为

d(t)kC(t)dt其通解是：C(t)C(0)ek，而C(0)就是所求量。由题设可知C(3)56,C(5)40, 则：

C(0)e由此解得e2k3k56,C(0)e5k40.56k0.17C(0)56e8k94 40可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定

第二篇：数学建模作业2

有风条件下的森林救火

【摘要】:僧林救火问题是一个优化问题，我们可以采用定积分和极值法来求森林的面积，救火的总费用=单位森林面积损失费*损失面积+每个队员的单位时间的灭火费用*人数*灭火时间+单位人数-一次性支出*参加救火的消防员人数.在有风的条件下我们可以把损失的面积的图像看作是扇形或椭圆，我们可以用定积分的方法来算损失的面积，最后求出总费用从而解决这个问题.【关键词】:森林救火 优化模型 定积分 极值问题 1.问题重述

森林失火了！消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢？派的队员越多森林的损失越小，但是救援的开支就越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援损失和消防队员人数的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目.2.问题分析

森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，所以需要综合考虑森林损失费和救援损失和消防队员人数的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目.所以这是一个优化问题.救火的总费用由森林损失费和救援费组成，损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火之间的时间差有关，灭火时间又取决参加灭火的消防队员的人数，队员越多灭火时间就越快.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗，另一部分是运送队员和器材等一次性支出。3.符号说明

c1

c2

c3

烧毁单位面积森林的损失费

派出的消防人员单位时间的费用

每个人的一次性开支

x

消防队员人数

b(t)

森林损失面积

t1

开始救火时间

t2

或被扑灭的时间 4模型假设

1）森林损失面积为扇形且角度不变

2）

风速不变

3）消防员足够多

4）

第三篇：电力系统建模仿真作业

风电并网后静态电压稳定性分析的建模与仿真

电力系统经常采用P-V曲线分析法来分析有关静态电压稳定性的问题,P代表穿越传输断面传送的功率或者一个区域的总负荷,V代表代表性节点或关键节点的电压。P-V曲线分析法即是建立一个区域负荷或者传输界面潮流和节点电压之间的关系曲线,从电力系统当前的稳定运行点开始,通过不断增加P,使用潮流计算,描出代表节点的电压变化曲线,用P-V曲线的拐点来表示区域负荷或者传输界面功率的增加导致整个系统临界电压崩溃的程度,即系统静态电压稳定极点。

在把P-V曲线法用于研究风电的接入对电压静态稳定性的影响时,P代表的是风电场输出的有功功率,V为机端电压、风电接入点电压（PCC电压）等其他需要监测的母线电压。

实际上，P-V曲线法是在静态情况下,研究风速变化导致的风电场输出有功功率的变化对电网电压的影响。用风电输出的有功功率引起的电压水平的变化及当前运行点到电压崩溃点的“距离”,反映风电接入的电网的电压稳定裕度。

在求取风电接入系统的P-V曲线时 ,除了系统平衡节点外,一般不考虑网内其他常规机组的有功功率的变化以及网内负荷的变化情况。

综上,电网基于静态电压稳定性的风电接纳能力,即是以电网的静态电压稳定性作为约束条件,在保证电网静态电压稳定的基础上尽可能多接入风电。通常系统静态电压越限临界点所接入的风电容量即为系统可接纳的最大风电并网容量。

1算例

本文通过IEEE14节点标准测试系统作为算例，风电场通过变压器和110 kV线路接入IEEEl4节点标准测试系统的14号节点，使用以上算法对基于静态电压稳定性下的一风电场的并网功率极限进行计算。

风电场110kv线路IEEE14节点系统图2.2 风电场接入IEEE14系统图

图中变压器标幺变比取1（在实际运行中，可以通过改变变压器的分接头来调控特定节点的电压），风电场接入系统的线路参数为12.6+j24.96Ω。本文基于双馈感应风机的风电场进行电压静态稳定约束下接纳能力计算。1.1基于双馈感应风机的风电场接纳能力计算 1.1.1Powerworld仿真软件简介

Powerworld是一个面向对象的电力系统大型可视化分析和计算程序,其拥有优异的交互性能以及友好的用户界面。PowerWorld软件集电力系统潮流计算、静态安全分析、灵敏度分析、经济调度EDC/AGC、短路电流计算、,最优潮流OPF、GIS功能、无功优化、用户定制模块、电压稳定分析PV/QV、ATC计算、等多种庞大复杂功能于一体,并使用数据挖掘技术来实现强大丰富的三维可视化显示技术。

1.1.2Powerworld仿真算例

按照前文所介绍的算例，仿真系统单线图如下图所示：

图1.1 Power World下的ieee14节点系统接线图

本文在原模型中另加入15号母线，并在15号母线上添加了一台双馈式感应风机来等值一个风电场。

本例中双馈异步电机风电机组采用恒功率因数控制方式,且功率因数cosφ = l，利用Powerworld中P-V曲线绘制功能，不断增加在15号母线处的双馈式感应电机的有功输出，绘制出风电接入处电压随风机并网功率变化的P-V曲线图。如下图所示：

图1.2 风电接入处P-V曲线图

大规模风电接入后,电力系统电压稳定性降低的原因是风机会消耗一定的无功功率。由上图可以看出，当风电输出有功功率功率较小时，风电接入地区的电压有所上升，这是因为风电的接入为接入地区的电网提供了一定的有功功率，减少了该地区从主网吸收的功率，使得传输线路及变压器上的无功损耗减小，降低了主网与风电接入点的电压差。

当风电场输出的有功功率进一步增加时，风电接入地区电压下降，这是因为当风电场输出较大时，风电场附近局部电网由受端系统转化为送端系统。当外送的有功出力继续增加时，线路及变压器上的无功消耗增大，需要从主网吸收大量的无功功率，无功功率的传输导致风电接入点的电压与主网的压差不断增大，导致接入点电压水平不断下降。当系统电压升高或降低超过电力系统的规程规定的标准时，就容易导致电压失稳。

此外，风电接入前的并网点电压水平以及风电场的功率因数也是影响电网接纳风电能力的重要因素。风电接入前,并网点的电压水平由整个系统决定，当并网点的电压水平很高时，如果风电的接入容量较小，则对并网点的电压的抬升效果可能会造成电压越上限。当风电场运行在不同的功率因数下，即风电机组吸收或发出无功功率会抬升或降低并网点及附近母线电压，可能会造成电压越限,使电网失去电压稳定性。由于常规电机具有一定的无功调节能力，可以在机组的无功极限内通过控制其无功输出以保证连接节点的电压维持稳定，所以当风电场出力较小时，与常规机组连接的母线电压变化不大。

但是在风电场出力持续增大的过程中，如果常规机组的无功调节能力达到了机组极限，即发出的无功功率超过极限值时，则随着风电场并网功率的持续增加，其输出无功不会再改变，以保证风电机组的稳定运行，因此，母线电压仍会下降。如下图所示：

图1.3 发电机母线的P-V曲线图

再绘制出其余节点的P-V曲线图，如图1-4和1-5所示：

图1.4 剩余母线P-V曲线图

图1.5 剩余母线P-V曲线图

绘制出所有母线的P-V曲线图后，分别观察其母线电压是否越限，得到节点电压越限时风电场输出功率的集合，取其最小值即为基于电力系统静态电压稳定性下的风电最大并网功率。

第四篇：数学建模公选课作业

数学建模概述

经过一个学期公选课的学习，我第一次接触到了数学建模这个概念。通过课上老师一些数学模型的介绍，我学到了很多知识，下面就来讲讲我独特的收获。首先，什么是数学建模呢？数学建模是把数学应用于实际中去，把实际问题译成数学语言。对于一个实际问题，主要由：建立模型（是由数字，字母和数学符号组成的，描述对象数量规律的公式，图表），解问题，将计算结果带回到实际中去检验。当人们设计产品参数，规划交通网络，制定生产计划，控制工艺过程，预报经济增长，确定投资方案时，都需要将研究对象的内在规律用数学的语言和方法表达出来，并将求解得到的数量结果返回到实际对象的问题中去，这种解决问题的全过程就称为建立数学模型，简称数学建模。

那么如何进行数学建模呢？经过学习，我了解到数学建模分为以下六个阶段

第一阶段：模型准备

对原始实际问题进行调查了解，抽象出语言叙述的模型及相应的数据条件等，常称为原始模型。实际上抽象出原始模型时常常已对模型的进一步建立及求解有了一些想法，比如采用哪种类型模型等。此步骤注意要将所有搜集到信息表述出来，不得遗漏。

第二阶段： 模型的假设

这是非常关键的步骤，不同的假设将导致不同的模型。利用合理的、必要的假设，可简化模型使很难的无法下手的问题变的易于解决。但过度的简化而得到模型可能无实用价值，舍不得简化又可能导致得到一个无法求解的模型或模型的解非常复杂，以致无法应用。到底简化到什么程度要看问题的性质与建模的目的以及建立模型中的某些需要。这里要提醒注意的是：对于一个假设，最重要的是它是否符合实际情况，而不是为了解决问题的方便。

通常作出合理假设的依据：一是处于对问题内在规律的认识；二是来自对数据或现象的分析，也可是两者的综合。作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量使问题简化（比如线形化、均匀化等）。经验在这里也常起重要作用。有些假设在建模过程中才会发现。因此在建模是要注意调整假设。

第三阶段：模型的建立

根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各个量之间的等式或不等式关系，列出表格，画出图形或确定其他数学结构，是建立数学模型的第三步。为了完成这项数学模型的主体工作，人们常常需要广阔的应用数学知识，除了微积分、微分方程、线形代数及概率统计等基础知识外，还会用到诸如规划论、排队论、图与网络及对策论等。推而广之，可以说任何一个数字分支都可能应用到建模过程中。当然，这并非是要求你对数学的各个分支都精通，事实上，建模时还有一个原则，即尽量采用简单的数学工具，以便更多的人了解和使用。当然建模时需要有灵活、清醒的头脑和创造性思维的能力。

第四阶段：模型的求解

根据模型的性质，选择适当方法去解。可能是解析方式，也可是求近似解。再根据建模目的对系统进行预测，决策与控制。

第五阶段：模型的检验

把上述结果翻译回原问题，并与实际数据进行比较，检验模型的适用性与合理性。如果模型不实用，必须从模型假设那里重新开始，直到得到可用模型。

第六阶段：模型的推广

在一个领域里解决问题时建立的模型，常常摁扣简单的稍加处理推广到其他领域。讨论一下这方面内容常可增加模型的应用价值。

经过这六个阶段就可以建构成一个完整的数学模型，非常奇妙。无可置否，数学建模这样过程绝对非常锻炼人的思维能力，以后我得踊跃参加，并且把这种积极动脑的思想用到生活中来。

知识的海洋是无穷无尽的，我会扬起我的帆，在知识的海洋中乘风破浪，在未来的时间里闯出一片属于我的天地。

第五篇：电力电子电路建模与分析大作业

XX大学

研究生课程论文/研究报告

课程名称：电力电子系统建模与分析

任课教师：

完成日期：

2016

年

X

月

X

日

专

业：

电力电子与电力传动

学

号：

姓

名：

同组成员：

成绩：

题目要求

某用户需要一直流电源，要求：直流输出24V/200W，输出电压波动及纹波均<1%。用户有220V交流电网（±10%波动变化）可供使用：

(1)

设计电源主电路及其参数；

(2)

建立电路数学模型，获得开关变换器传函模型；

(3)

设计控制器参数，给出控制补偿器前和补偿后开环传递函数波特图，分

析系统的动态和稳态性能；

(4)

根据设计的控制补偿器参数进行电路仿真，实现电源要求；

(5)

讨论建模中忽略或近似因素对数学模型的影响，得出适应性结论(量化

性结论：如具体开关频率、具体允许扰动幅值及频率等）。

主要工作

本次设计主要负责电源主电路及其参数的的设计，以及建立电路数学模型并获得开关变换器传函模型这两部分内容，具体如下：

(1)

本次设计电源主电路及其参数，采用从后向前的逆向设计思想。首先根据系统输出要求，设计了后级DC/DC型Buck电路的参数。接着设计了前级不控整流电路以及工频变压器的参数。考虑到主电路启动运行时的安全性，在主电路中加入了软启动电路；

(2)

本次DC/DC变换器的建模并没有采用传统的状态空间平均方法，而是采用更为简单、直观的平均开关建模方法，建立了Buck变换器小信号交流模型。最后，推到出了开关变换器的传递函数模型，并给出了Buck电路闭环控制框图。

设计主电路及其参数

1.1主电路设计

根据题目要求，系统为单相交流220V/50Hz输入，直流24V/200W输出。对于小功率单相交流输入的场合，由于二极管不控整流电路简单，可靠性高，产生的高次谐波较少，广泛应用于不间断电源(UPS)、开关电源等场合。所以初步确定本系统主电路拓扑为：前级AC-DC电路为电源经变压器降压后的二极管不控整流，后级DC-DC电路为Buck斩波电路，其中Buck电路工作在电感电流连续模式（CCM），前后级之间通过直流母线和直流电容连接在一起。系统主电路结构如图1-1所示。

图1-1

系统主电路结构图

1.2主电路参数设计

本次设计电源主电路参数，采用从后向前的逆向设计思想。先对后级DC/DC型Buck电路的参数进行设计，接着对前级不控整流电路以及工频变压器的参数进行设计。下面分别对后级的Buck电路和前级经变压器降压后的不控整流电路各参数进行分析设计。

1.2.1

输出电阻计算

根据系统电路参数：，可计算：

输出电流：

（1-1）

负载等值电阻：

（1-2）

1.2.2

BUCK电路占空比及开关频率选择

根据Buck电路占空比计算公式：

假定占空比，可得：

（1-3）

由于开关频率越低，低频扰动频率的选择范围越小，滤波电感的体积越大，整体装置的体积和重量越大。开关频率高，可以用更小的电感来滤除高次谐波，但是开关频率过高会导致开关管功耗变大，发热量显著增加，电路效率变低，散热器体积也更大。因此要折中效率、体积选择开关频率，本次设计选择MOSFET开关频率。

1.2.3

BUCK电路滤波电感选择

由BUCK电路电感电流连续的临界条件：

可得要保证电路工作在CCM模式下，则电感应满足：

（1-4）

根据开关频率，则

（1-5）

假定电感纹波电流为输出负载电流额定值的30%，此时电感值应为：

（1-6）

保留一定余量，本系统实取。

1.2.4

BUCK电路滤波电容选择

电容容值越大，输出电压将近似为恒定，但电容越大，装置体积和成本也相应增大，因此本系统根据输出电压的纹波要求选取电容。本设计按输出电压纹波不超过输出电压的1%进行计算：

（1-7）

保留一定余量，本系统实取。

1.2.5

开关管MOSFET选择

开关导通时MOSFET端电压近似为0V，开关关断时MOSFET承受最大电压为：

（1-8）

一个开关周期内流过开关管的电流最大值等于电感电流最大值，即：

（1-9）

综上，考虑裕量，选择MOSFET的型号为IRF650A，其额定参数为。

1.2.6

整流后直流侧电容选择

直流母线电压通过单相桥式整流而来故每个周期发生2次脉动，单相工频电压的周期为T=0.02s，在T/2周期内电容完成一个充电和放电的周期。直流侧电容的选择依据有：

（1）

有依电流为依据的，例如：每0.5A电流1000uF

（2）

有依RC时间常数为依据的，例如：单相不控整流电路

其中，T为交流电源周期

则：

（1-10）

（3）还有一种经验数据：

负载电流(A)

2A

1A

0.5-1A　0.1-0.5A

＜0.1A　＜0.05A

滤波电容(μF)4000

2000

1000

500

200-500　　200

根据直流侧电压平均值为48V，则直流侧的等效电流约为，由经验数据可大概估算直流侧电容为10000uF。本系统实际选择100V/100uF

CL20型金属化聚脂膜电容器，采用10只并联。

1.2.7

整流二极管选择

（1）确定整流二极管的耐压值

根据全桥整流电路中每个二极管所承受的反向电压：

可得整流二极管耐压值为：

（1-11）

其中，为整流桥输入电压有效值，1.1为电压波动系数，为安全系数。

则二极管耐压值为：

（1-12）

（2）确定整流二极管的额定电流值

流过每个二极管的平均电流为直流侧电流的一半，取电流波动系数取1.1，安全系数，则整流二极管额定电流值为：

（1-13）

根据上述参数选择二极管型号为P600D，查其参数手册可知二极管的通态压降为,则每个二极管额通态损耗为：

（1-14）

1.2.8

变压器选择

电压比：

变压器电压比的计算原则是电路在最大占空比和最低输入电压的条件下，输出电压能达到要求的上限。根据公式：

其中，为二极管整流桥输出电压最小值；为最大占空比，取0.9；为

考虑管压降和线压降，取2V；为最高输出电压。

实际根据单相二极管不控整流电路的输入输出关系，可得不控整流的输入侧电压，即变压器二次侧电压为：

（1-15）

则变压器电压比为：

（1-16）

容量：

根据系统输出功率，考虑电路损耗及效率，变压器容量选择为300VA。

铁芯截面积：

铁芯截面积是根据变压器总功率P确定的，根据变压器次级功率为P2=200W。计算变压器输入功率P1（考虑变压器效率η=0.9）P1=P2/0.9=222.2w。

则铁芯截面积为：

（1-17）

匝数：

变压器匝数的选择（工频变压器)

根据变压器最高输出电压，电源周期，铁心截面积，铁心材料所允许的最大磁通密度的变化量,则变压器二次侧绕组匝数为：

（1-18）

则变压器一次侧绕组匝数：

（1-19）

绕组导体截面：

根据流过每个绕组的电流值和预先选定的电流密度，即可计算出绕组导体截面：

（1-20）

其中，导体电流密度选。

1.2.9

主电路软启动设计

由于二极管不控整流后直流侧电容上的初始电压为零，在输入电路合闸的瞬间，会形成很大的瞬时冲击电流，主电路软启动电路不仅可以防止合闸时电路受到浪涌电流的冲击，它还能使电路缓慢的启动，减小了变换器和输出电容上的电流最大值，软启动电路性能的好坏，会直接影响到电源的工作性能，元器件的寿命，所以很重要。常用的软启动有：采用功率热敏电阻电路、采用SCR、R电路、继电器与电阻构成的回路、采用定时触发器的继电器与限流电阻的电路等等。根据系统实际的需要为了避免系统启动可能引起系统内浪涌问题，采用加入软启动环节进行处理，如下图1-2所示。先通过电阻R对输入滤波环节的滤波电容进行预充电，充电完成后接入时间继电器KT使电阻R短路。加入了软启动环节后，避免了瞬时大电压及大电流的冲击，保证了系统工作安全及元器件安全。

图1-2

软启动电路结构图

建立电路数学模型，获得开关变换器传函模型

由于状态空间平均方法建模纯粹基于数学，计算推导比较繁琐、模型不直观。而平均开关建模方法，是直接通过电路变换得到电力电子电路小信号交流模型，更直观、使用更方便，所以本次DC/DC变换器建模采用平均开关方法建模。

2.1建立电路数学模型

任一DC/DC变换器可分割成两个子电路，一个子电路为线性定常子电路，另一个为开关网络子电路。线性定常子电路无需进行处理，关键是通过电路变换将非线性的开关网络子电路变换成线性定常电路。如图2-1所示，为Buck变换器电路。图2-2给出了Buck变换器的开关网络子电路，开关网络子电路用二端口网络表示，端口变量为。

图2-1

Buck变换器电路

图2-2

Buck变换器开关网络子电路

根据开关管导通时，开关管关断时。将上述开关网络子电路用受控源替代，如图2-3所示。且替代后，受控源网络端口与开关网络子电路端口的电量波形应保持一致。将替代后的开关网络的受控源电路与原来的线性定常子电路组合一起，得到含有受控源的等效Buck电路如图2-4所示。

图2-3

受控源替代开关网络子电路

图2-4

受控源替代开关网络的Buck电路

应用开关周期平均的概念，对图2-4等效电路中的各个电量作开关周期平均运算：

（2-1）

得到以开关周期平均值表示的等效电路如图2-5所示，该电路仍是一个非线性电路。

图2-5

经开关周期变换后的Buck变换器

采用扰动法，对上述等效电路中的各个电量引入小信号扰动，即令：

（2-2）

得到有小信号扰动作用的等效电路如图2-6所示。

图2-6

小信号扰动的Buck电路

其中：

（2-3）

将图2-6等效电路各个电量中含有的二次项忽略(主要是受控源电量)

：

（2-4）

得到线性近似、受控源表示的小信号等效电路如图2-7所示。

图2-7

忽略二次项影响的小信号扰动的Buck电路

进一步用理想变压器替代受控源，得到线性近似、理想变压器表示的小信号等效电路如图2-8所示。

图2-8

用理想变压器表示的小信号等效Buck电路

2.2开关变换器传递函数模型

由上述建立的Buck电路小信号交流平均开关模型可推出变换器的传递函数为：

输入至输出的传递函数：

（2-5）

控制至输出的传递函数：

（2-6）

Buck电路闭环控制框图如图2-9所示。

图2-9

Buck电路闭环控制框图

其中：

（1）

为需要设计的控制器；

（2）

为PWM调制器传递函数；

（3）

为输出电压对占空比的传递函数；

（4）

为反馈环节的传递函数。

设计中取，将计算数值带入闭环控制框图，可得本系统Buck电路闭环控制框图如图2-10所示。

图2-10本系统

Buck电路闭环控制框图

其中原始回路增益为：

（2-7）

设计控制器参数

没有加控制器补偿前变换器原始回路增益函数：

（3-1）

其伯德图如图3-1所示。

图3-1

原始回路增益伯德图

利用超前—滞后补偿网络来校正系统，设计的补偿网络的传递函数为：

（3-2）

相应的补偿网络的伯德图如图3-2所示。

图3-2

补偿网络伯德图

补偿后系统开环传递函数伯德图如图3-3所示。

图3-3

补偿后系统伯德图

由图可以看出此时系统的相位余量为67.5°，幅值余量为20.3dB。

电路仿真

根据以上设计的主电路以及控制器参数，在PSIM中搭建仿真电路，并进行仿真验证，仿真模型以及仿真结果如下所示：

图4-1

主电路仿真模型

图4-2

控制电路仿真模型

系统输出电压Uo与输出电流Io的波形如图4-3和4-5所示。

图4-3

输出电压波形图

图4-4

输出电压有效值

图4-5

输出电流波形图

图4-6

输出电压局部放大图

由图4-6可知，输出电压稳态值为24V，波动约为0.02%<1%，满足设计要求，超调量为12.5%，调节时间大约为3ms。

图4-7

突加100%负载输出电压波形图

由图4-7可知，在0.04s时加入100%的负载扰动，输出电压依然稳定在24V，且满足1%的纹波设计要求。

图4-8

输出电路电压、电流波形图

图4-9

输出电路电压、电流有效值

由图4-9中输出电压、电流有效值计算，输出功率约为P=U*I=24*8.3=199.2W,输出功率基本满足设计要求。

建模中忽略或近似因素对数学模型的影响

（1）开关频率对电路模型的影响

开关频率越低，低频扰动频率的选择范围越小，滤波电感的体积越大，整体装置的体积和重量越大。开关频率高，可以用更小的电感来滤除高次谐波，但是开关频率过高会导致开关管功耗变大，发热量显著增加，电路效率变低，散热器体积也更大，更加因此要折中效率、面积选择开关频率。

电路模型的开关频率越大，输出结果越接近数学模型，一般开关频率可以取截止频率的100倍。

（2）扰动频率对数学模型的影响

扰动频率过高：如果高于开关频率，由于一般使用正弦信号模拟扰动，在一个开关周期内扰动信号正负分量相互抵消，小信号扰动失去意义。

扰动频率过低：如果扰动频率过低，在多个开关周期内扰动信号基本为恒定值，相当在给定电压上叠加了一个几乎不变的直流量，不能很好地体现其为小信号“动态”模型。

综上，扰动频率的选择应在一个合适的范围内，这样既可以方便地对电路进行分析和控制，又不失动态建模的意义。

（3）扰动幅度的影响

小信号扰动的幅值应远小于稳态工作点的各量的幅值。根据仿真结果可得随着扰动幅度增大，数学模型的输出电压变化幅度较小。扰动幅值不超过±5V时，输出电压纹波仍满足1%的设计要求。

（4）其他影响

实际电路中存在电感的等效电阻、开关管的开通关断时间、管压降等都会对电路模型的输出产生影响，这些量的大小也会影响小信号建模的准确性和适用性。

参考文献

[1]

裴云庆,等.开关稳压电源的设计和应用[M].北京：机械工业出版社,2010.[2]

王兆安,等.电力电子技术[M].5版.北京：机械工业出版社,2009.[3]

林渭勋.现代电力电子技术[M].北京：机械工业出版社,2006.[4]

张崇巍.PWM整流器及其控制[M].北京：机械工业出版社,2003.[5]

徐德鸿.电力电子系统建模及控制[M].北京：机械工业出版社,2006.[6]

张占松

蔡宣三.开关电源的原理与设计(修订版)[M].电子工业出版社,2006.