学案(第8课时)24.3正多边形和圆[推荐5篇]

第一篇：学案(第8课时)24.3正多边形和圆

24.3 正多边形和圆

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，•求正六边形的周长和面积．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

EODFACMB

三、巩固练习

教材P115 练习1、2、3 P116 探究题、练习．

四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P107 复习巩固1 综合运用5、7 P108 8．

2．选用课时作业设计．

CNhADGEBF课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°

B．45°

C．30°

D．22．5°

(1)

(2)

(3)

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．

A．36°

B．60°

C．72°

D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）

A．18°

B．36°

C．72°

D．144°

二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．

第二篇：《正多边形和圆》第二课时参考教案

24.3 正多边形和圆

第二课时

教学目标：

1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形．

2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形．

3、通过画图培养学生的画图能力；

4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力．

5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力． 教学重点：

(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形． 教学难点：

准确作图． 教学过程：

一、新课引入：

前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．

二、新课讲解：

由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．

n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．

另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．

由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．

学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．

大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)

请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．

大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)请同学们用此二法在图上画出正八边形．

照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……

大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．

方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．

方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)

在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．

请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．

大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．

请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？

在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB ∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°． ∴ DE是⊙O内接正12边形一边．

三、课堂小结：

这堂课你学了哪些知识？(安排中等生回答：1．用量角器等分圆周作正n边形；2．用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)

四、布置作业

第三篇：正多边形和圆反思

正多边形和圆教学反思

孙叶

这一节课，我花了十分钟的时间已经让学生通过看书感知了中心、中心角、半径、边心距的定义，这节的教学重点是特殊的正多边形和圆中边心距、边长、半径的关系。

我先给了学生五分钟看书上正六边形的例题，在黑板上画了半径为R的正四边形、正六边形、正三角形及其外接圆，点拨例题后我以表格的形式给出学生的第一个问题是：分别用R表示正四边形、正六边形、正三角形的边长、周长、边心距和面积。以前一直习惯于我讲学生听，这节我试着让学生讲，学生在黑边前的讲解的时候我发现其他学生听的更认真，虽然讲解的学生还存在着声音小、讲解不是太透彻等缺点，但整体还可以，多给学生机会肯定会有提高。整节课我围绕这个问题花了很长的时间，目的是让更多的学生体会并且学会这种构造直角三角形的思想。其中我给学生补充的知识有：有一个角是30度的直角三角形的三边比和等腰直角三角形的三边比的推导及结论，我觉得这样可以为学生的运算节省时间。

这节课的第二个问题是：探究正三角形的外接圆半径R和内切圆的半径r的数量关系，以及它们与正三角形的高之间的数量关系。在这个过程由两个同学去讲解，田礼厚同学通过连接半径转化R构造直角三角形，而郑文豪同学通过构造弦心距转化r构造直角三角形，同样都是转化，但转化的不一样，我觉得学生的思维表现的很活跃。

整节课设计的问题较少，重点在于让学生体会构造思想和转化思想，学生表现很积极，但是没有练习以及反馈的时间，在接下来的练习课上我觉得困扰学生的不是构造直角三角形的思想而是计算的速度及准确性，但快速准确运算又不是一天两天的功夫，我认为对于我的学生而言，每节课还得给适当的运算来锻炼学生。

第四篇：正多边形和圆教学反思

正多边形和圆教学反思

儋州市西联中学 邓高春

正多边形和圆，下面对这节课教学进行如下反思：

一、成功之处：

1、本节课的教学从生活实际出发（观看美丽图案），引导学生得出定义。这一做法渗透了数学来源于实践，反过来又作用于实践的辨证唯物主义思想。对定义的教学，不是简单地由教师告诉学生，而是由学生自己观察、猜想、探究得出结论，让学生体验知识的产生过程。

2、学生走上讲台，拉近了师生之间的距离。教师不是高高在上，而是与学生处在同等位置上，培养了学生能力。

3、备课仔细，对课堂上可能出现的问题作了充分地考虑。如在探究正多边形的定义的时候，对学生可能得出的结论作了充分的准备。反映了教师的基本功扎实。

4、整堂课都体现了对学生动手能力的培养。在探究正多边形和圆的关系时，让学生自己动手操作，画圆，实验并进行猜想，这正是新大纲教改思路的体现。

5、注重学生间的合作交流。表现形式有同位或小组讨论。实验表明学生之间的知识交流比师生间交流更利于学生的知识掌握。同时，这种形式也培养了学生将来走向社会后能够充分地表达自己的见解，听取别人的意见。

6、注重学法指导。在进行正多边形和圆关系的第二个结论时，指导学生自学，教给学生学习的方法，“授学生以渔”，为学生将来的终身教育打下基础。

7、小结的形式。

8、本节课一个突破性的地方就是在课堂上让学生质疑，让学生对本节课不明白的地方或是与老师意见不一致的地方敢于提出自己的见解。尽管在这方面做得不是很到位，但是已跨出大胆的一步。

二、不足之处：

1、在讨论时应该放得更开一些，可以采用多种形式，如：下位找自己熟悉的同学讨论，或是不局限有于一个小组，而进行多组合作，或是与老师（甚至是听课老师）讨论。

2、应注意多媒体板演的示范作用，投影应适时。

第五篇：浮力学案(第3课时)(新)

温馨提示：请妥善保管好每一份学案，以备检查）

《浮力》学案（第3课时）班级：

组别：

姓名：

一、知新必备：

1、【物体的浮沉与浮力F浮和重力G物的关系】

（1）F浮_____G物，物体上浮（2）F浮_____G物，物体下沉（3）F浮_____G物，物体悬浮（4）F浮_____G物，物体漂浮

2、【物体的浮沉与密度的关系】

（1）ρ物_____ρ液，物体上浮（正在向上运动）或漂浮（处于静止状态）（2）ρ物_____ρ液，物体下沉（3）ρ物_____ρ液，物体悬浮

二、考点突破：浮力的应用

（一）、轮船（小组自学讨论P98-99相关内容，完成下面填空）（1）采用_____________的办法增大可以利用的浮力

注释:实心钢铁密度大于水，它比同体积的水重，放入水中时受到的重力 浮力，所以（填“下沉”或“上浮”）；做成空心，重力（填“变大”、“变小”或者“不变”），但V浮力增大，轮船可以浮在水面。（2）关于轮船的几个有关浮力的问题：

a、轮船总是漂浮在液面的，所以F浮 G船，船的重力不变，所以无论船在海里还是河里，它受到的浮力。

b、排水量（）---------指轮船按设计要求在满载时排开水的质量

例题解析1（关于排水量的计算）：当轮船漂浮在水里时，F浮 G船+G货，可以推出G排=G船+G货，m排=m船+m货

排

增大，所以受到（m排为轮船的排水量）

趁热打铁：一艘轮船空载时排开水的质量为2600t，满载时排水量为5800t，则轮船自身的质量为______，它最多可以装_________t的货物。

例题解析2（关于船身上浮还是下沉）：当轮船漂浮在水里时，F浮 G船，而F浮=ρ液×g×V排，当轮船从河里进入海里时，ρ液_______，则V排________，所以轮船船身会 一些。

趁热打铁：轮船满载时，船和货物总重9.8×104 N，则船在海洋航行所受浮力是_____ N，轮船的排水量是_________t。同一艘轮船从河里驶进海洋之后，受到的重力大小_________，受到的浮力___________，排开水的体积___________（填“不变”“变大”或“变小”），轮船要___________些（填“沉下”或“浮起”）。

（二）、潜水艇（小组自学讨论P99相关内容，完成下面填空）

浸没在水中的潜水艇无论下潜多深，它所受的浮力。潜水艇的上浮和下沉要靠改变自身的 来实现。

若要下沉，可（填“充”或“排”）水，使F浮 G；

若要上浮，可（填“充”或“排”）水，使F浮 G。总结：潜水艇靠水舱的充水和排水改变_____________的大小实现上浮和下沉．

趁热打铁：一个质量是50g的鸡蛋悬浮在盐水中不动时，它受到的浮力是_____N。（取g = 10N / kg）

（三）、气球和飞艇（小组自学讨论P99-100相关内容，完成下面填空）

气球和飞艇里充的是密度 空气的气体，热气球里充的是被燃烧器加热、体积膨胀、密度变小了的热空气。

总结：气球和飞艇靠在气囊中充入密度小于空气的气体实现上升．

注释:当F浮≥G球时，气球或飞艇可升上天空.若要使充氦气或氢气的气球或飞艇降回地面，可以放出球内的一部分气体，使气球积缩小，浮力减小，使浮力小于G球.对于热气球，只要停止加热，热空气冷却，气球体积就会缩小，减小浮力，使浮力小于G球而降回地面.（四）、密度计

密度计（观察老师演示）是测定液体密度的仪器，它是个密封的玻璃管，下端装有铅粒，上端有刻度。把它放在待测的液体中时，它漂浮在液面上，液面所对的刻度值就是待测液体的密度值。

原理：当密度计漂浮在液面上时，F浮=______，密度计的重力不变，则ρ液×g×V排也不变，当ρ液越大，则V排就越小，所以它的刻度值越靠下越大。趁热打铁：

1、把一根密度计先后放入三种不同的液体中，静止时如图8-23所示，那么密度计在三种液体中受到的浮力（）。

A．甲最大

B．乙最大

图8-23 C．丙最大

D．甲、乙、丙一样大

2、把一个自制的密度计分别放入两种不同的液体中,情况如图中的甲乙所示.由此得出的下列判断中正确的是: A.这个密度计在甲中受的浮力较大

B.这个密度计在乙中受的浮力较大

C.甲种液体的密度较大

D.密度计B处的刻度值大于A处的刻度值

三、课堂反馈

浮在水面上的木块，它没入水中部分的体积是50cm3，它在水面上的部分是25cm3,它受到的浮力多大？它的质量多大？密度多大？