高一小班三角函数与换元法

第一篇：高一小班三角函数与换元法

高一数学三角函数与平面向量期末复习试题

一、选择题（每小题4分，共40分）

1．设P（3，6），Q（5，2），R的纵坐标为9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）A．9 B．6 C．9 D．6

2PP2, 则P点坐标为（）2．己知P1(2,－1)、P2(0,5)且点P在P1P2的延长线上,PP1A．(－2,11)

B．（24,3)

C．(,3)

33D．(2,－7)3．下面给出四个命题：

① ② ③ ④ 对于实数m和向量a、b，恒有m(ab)mamb； 对于实数m、n和向量a，恒有(mn)amana； 若mamb(mR,m0)，则ab；

若mana(a0)，则mn.其中正确的命题个数是()

(A)(B)(C)(D)4 4．已知AB3(e1e2)，CBe1e2，CDe12e2，则下列关系一定成立的是（）(A)A，B，C三点共线

(B)A，B，D三点共线

(C)A，C，D三点共线

(D)B，C，D三点共线

3且是第三象限的角，则cos(2)的值是（）54443A．

B．

C．

D．

55555．已知sin()6．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，则△ABC一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形

D．正三角形

7．设、、∈R，且sinsinsin，coscoscos，则（）



C．或

D．

3336

3二、填空题(每小题4分，共16分)A．

B．8．已知a(2,1),b(k,3),若（∥ 则k的___________________.（2ab），a2b）9.函数ycos(x3)的增区间________________________。

sinα－2cosα10．若α满足＝2，则sinα·cosα的值等于______________________.sinα＋3cosα

三、解答题（第15题10分，第16,17题各11分，第18题12分,）

11．已知x2,（1）求函数ycosx的值域； 33（2）求函数y3sin2x4cosx4的最大值和最小值.12．已知sin(（1）求sin

13．已知f(x)2sin(x4)772，cos2，2510cos的值；（2）求tan()的值.3)cos(x)23cos2(x)3

222（1）化简f(x)的解析式；

（2）若0，求使函数f(x)为奇函数；

（3）在（2）成立的条件下，求满足f(x)1,x,的x的集合.214。已知关于x的方程4x-2（m+1）x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.15.已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小

17.（本小题满分10分）

设 a1,1,b4,3,c5,2（Ⅰ）若atb//c，求实数t的值；（Ⅱ）求c在a方向上的射影

18.（本小题满分12分）

已知向量asin,2与b1,cos互相垂直，其中0,（Ⅰ）求sin和cos的值；

（Ⅱ）若5cos35cos，0

19.（本小题满分12分）在ABC中，B.22，求cos的值．

3（Ⅰ）求sinAsinC的取值范围；

（Ⅱ）若A为锐角，求fA=sinAcosA2sinAcosA的最大值并求出此时角A的大小．.20.（本小题满分12分）

已知函数f(x)sinx3cosxcos(两条对称轴之间的距离为22x)(0)，且函数yf(x)的图象相邻.2（Ⅰ）求fx的对称中心；

（Ⅱ）当x0,时，求fx的单调增区间．

21.（本小题满分12分）

3x3xxx,sin),b(cos,sin),x[0,] 22222（Ⅰ）用含x的式子表示ab及ab； 已知向量a(cos（Ⅱ）求函数fxab4ab的值域；

（Ⅲ）设gxabtab，若关于x的方程gx20有两个不同的实数解，求实数t的取值范围．

换元法

Ⅰ、再现性题组：

1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x＋1)＝loga(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{an}中，a1＝－1，an1·an＝an1－an，则数列通项an＝___________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。22413x5.方程＝3的解是_______________。

13x6.不等式log2(2－1)·log2(2xx1－2)〈2的解集是_______________。

27.设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。

8.已知f(x)＝lgx(x>0)，则f(4)的值为_____。A.2lg2 B.1lg2 C.2lg2 D.2lg4 3339.函数y＝(x＋1)4＋2的单调增区间是______。

A.[-2,+∞)B.[-1,+∞)D.(-∞,+∞)C.(-10.函数y＝2x＋x1的值域是________________。3∞,-1]

第二篇：配方法与换元法

中考数学复习专题：配方法与换元法

一、配方法与换元法的特点：

把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．

配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

二、配方法与换元法的方法：

配方法与换元法主要依据完全平方公式，由公式a2±2ab+b2=(a±b)2可知，如果一个多项式能够表达成“两个数的平方和，加上或减去这两个数的积的2倍，则这个多项式就可以写成这两个数的和或差的平方。”由完全平方式的性质可知，任何一个实数的平方都是非负数，即(a-b)≥0，当a=b时，(a-b)=0。利用这条性质，并可以解决很多与之有联系的数学问题。

配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．而配方法一般有两种形式，一是根据第一项和第二项的系数特点，确定第三项系数或常数项。如二次三项式4 x2+6x+k是完全平方式，试确定k值。这一类的问题只有一解。而更多的是由第一项和第三项的系数特点，确定第二项的系数。如二次三项式4x2+kxy+25 y2是完全平方式，试确定k值。这一类问题一定要考虑正、负值两种情况，结果应为两解才为正确，这一点为不少考生所忽视，一定要考虑周到方可取得好成绩。

三、例题精讲：

热身： 填空题：

1．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为。

222．方程x+y+4x－2y+5=0的解是。

3．已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系为。

4．用配方法把二次函数y=2x+3x+1写成y=a(x+m)+k的形式。

5．设方程x2+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）2=。

6．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为。

7．若x、y为实数，且x22222y33(2x3),则y

1x1的值等于。

【例1】 分解因式：（1）a2b2-a2+4ab-b2+1 ；（2）（x2+2x＋4）（x2+2x+6）-8

【例2】已知a，b∈R，则不等式①a+3>2a，②a+b≥2(a－b－1)，③a+b>ab中一定成立的有_______． 2222

2【例3】已知：a、b为实数，且a2+4b2－2a+4b+2=0，求4a2－b的值。

【例4】求证：不论m、n为任何实数，关于x的一元二次方程mx2＋(m＋2n)x+2n=0总有两个实数根。

【例5】（技巧题）甲、乙两人同时从A到B，甲前一半路程用速度a，后一半路程用速度b；乙前一半时间用速度a，后一半时间用速度b，问哪个先到？

【例6】⑴已知M为△ABC的边AB上的点，且AM+BM+CM=2AM+2BM+2CM－3，则

AC2+BC2=。⑵已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为。

x2x

6x2x



1【例7】、解方程：

【例8】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程

x(2k3)xk

3k20的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长．

【例9】已知二次函数y =(k－1)x 2－2kx +k +2，（1）当k为何值时，图象的顶点在坐标轴上？（2）当k为何值时，图象与x轴的两交点间的距离为2 ？

【例10】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多少元时，才能使每天所获利润最大?并且求出最大利润是多少?

四、闯关夺冠：

1．已知x+y+4x－2y+5=0，则3x-2y 的值是。

2．已知M=x－8x+22，N=－x+6x－3，则M、N的大小关系为。

x

1x

3x

2x的值为__________．

3、已知．则

4、把代数式a2+16加上一个单项式，使它能成为一个完全平方式，则所有符合条件的单项式是__________．

5．用配方法把二次函数y=2x2+3x+1写成y=a(x+m)2+k的形式。6．设方程x+2x－1=0的两实根为x1，x2，则（x1－x2）=。

7．将二次三项式x2+2x－2进行配方，其结果为最小值为

8、（08上海中考）用换元法解分式方程2x-1/x-x/2x-1=2时，如果设2x-1/x=y，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个方程为_____________。

9．已知方程x2－kx+k=0的两根平方和为3，则k的值为。10．代数式a2+5b2-4ab+2b+100的最小值为——————————。

x

y33(2x3),则

y

1x1的值等于。

11．若x、y为实数，且12、13、如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式bc2a16a14与

bca4a5，那么a的取值范围范围是．

13、不论m、n为何值，代数式m2+n2-2m+4n+5的值总是（）

A 非负数B 正数C 负数D 0

2xx214、已知关于x的方程x2axa2a20的两个实数根满足1=2，则a的值

2为（）

A．－3B.－3，1C.3，－1D.1

15、已知一个四边形ABCD的边长分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是（）

A 任意四边形；B 梯形；C平行四边形；D 对角线互相垂直的四边形；

16、对于分式1/x2-2x+m，不论x 取何实数都有意义，则m的取值范围为（）

Am≥1，Bm≤1，Cm＞1，Dm＜

117、若a、b、c是三角形的三边长，则代数式a2 –2ab+b2 –c2的值（）

A 大于零B 等于零C 小于零D 不能确定

18、若2x－kx+9是一个完全平方式，求k的值.19、已知：菱形的两条对角线长之和为2，菱形的面积为2，求菱形的周长。

x



1x

x

1x

4020、解方程：（1）2x-6x+3=0(配方法)（2）

21、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。

22、已知a=2008x+2004，b=2008x+2006，c=2008x+2008，求代数式a2+b2+c2-ac-bc-ca的值。

23、试判断2005×2006×2007×2008+1是否是一个完全平方数。

222224、已知：△ABC的三这分别为a、b、c，且满足等式3(a+b+c)=(a+b+c)，试说明该三角形是等边三角形。

25、已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值.262(1)求m的取值范围；

(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式 ；

(3)设(2)中的抛物线与y轴于点C,在y轴上是否存在点P，使以P、0、B为顶点的三角形与△AOC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

27、观察下列各式的特点，并回答下列问题：

（1）用＞、=、＜填空： 32+42————2×3×4，（-1）2+82————2×（-1）×8，（-3）+（-5）—————2×（-3）×（-5），（-6）+（-6）——————2×（-6）×（-6）（2）若a、b为实数，则a2+b2、2ab的大小关系为a2+b2_______2ab，并证明其正确性。

28、已知二次函数图象经过A（-1，3）．对称轴为x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式？

29．关于x的一元二次方程x+(k+1)x－k－3=0(1)求证：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若该方程的一根为2，求另一根的值．

30、(06南通中考)已知A=a+2，B=a2－2a+5，C=a2+5a－19，其中a>0．

(1)求证：B－A>0，并指出A与B的大小关系；(2)指出A与C哪个大，并说明理由．

31、已知抛物线经过点A（2，4）和点B（－1，－8），且在x轴上截得的线段长为3，求抛物线的解析式。

第三篇：不等式证明四(换元法)

Xupeisen110高中数学

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。

过程：

一、提出课题：（换元法）

二、三角换元：

证一：证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设x

则2sin,2ycos2 11212(1cot2)(1tan2)22xysincos

3(2cot2tan2)32

2例三：若x2y21，求证：|x22xyy2|2

证：设xrsin,yrcos,(0r1)，1则|x22xyy2||r2cos22r2cossinr2sin2|

r2|cos2sin2|2r2cos22r22 4

例四：若x > 1，y > 1，求证：xy1(x1)(y1)

证：设xsec2,ysec2,(0,)2)2

小结 若x2y21，则可令x = sec, y = tan(02)。

)。2

若xR，则可令x = tan()。22若x≥1，则可令x = sec(0

三、代数换元：

例六：证明：若a > 0，则a2112a2 2aa

1证：设xa,aya2

21,(a0,x2,y2)2a2121则x2y2aa22 aa

xya11a2222（当a = 1时取“=”）

aa

四、小结：

五、作业：

1．若a22． 若|a3． 若|x|4． 若a1 5． 6． 已知3

第四篇：怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式

陆世永

我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不等式。

所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。

一、利用对称性换元,化繁为简

例1设a,b,cR,求证:abcbcacababc.分析:经过观察,我们发现,把a,b,c中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令xbca,ycab,zabc,则原不等式可化为:

xyyzzx8xyz.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令xbca,ycab,zabc,则

a

12yz,b12xz,c12xy.a,b,cR,当xyz0时,有

xyyzzx8xyz；

当xyz0时,有x,y,zR(否则x,y,z中必有两个不为正值,不妨设x0, y0,则c0,这与c0矛盾), 因此

yz0,zx2zx0, xy2xy0,yz

2xyyzzx8xyz,综上所述,恒有

xyyzzx8xyz,把x,y,z代入上式得:

abcbcacababc.例2设a,b,cR,求证:

a

bc

a

bc



abbcca



abc2a2

bcabbcca.

分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令

xabc,yabc,zabbcca,则原不等式可化为2yzz20.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。

证明:令xabc,ya2b2c2,zabbcca,则

x

y2z,yz

ab

bcca

0,原不等式可化为:

yyz





x

yz2,将x2y2z,代入上式得:

yyz



y2zyz,yzy2

yzy2zyz0,

2yzz0,又由已知条件可知,2yzz20成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简化不等式的结构，使得不等式容易证明。

二、借助几何图形换元

例3已知a,b,c是ABC三边的长，求证：

abbccaabbcca

.分析:(如图)作ABC的内切圆,设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,(其中x,y,zR

则原不等式可转化为:

y2zz

z2

xx

x2



yy2x2y2z.

利用重要不等式:ab2ab可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。

证明:设D,E,F为切点,令xBD,yCD,zAE,则原不等式可转化为:

y2

zz

z2

xx

x2

2x2y2z.1 yy

又因为x,y,zR,则有

y

z

z2y,z

x

x2z,x

y

y2x，所以(1)式成立,因此原不等式成立。

从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

三、借助三角函数的性质换元

例4已知:a1,b0,ab1,求证:0

1a

a

11b1.ab

分析:由于a1,b0,ab1,并且不等式中有a,b,因此我们联想三角函数的平方关系:sec2tan21.经过对比,发现a相当于sec2，b相当于

tan，因而可令：asec2,btan20









.2

证明:令asec2,btan20

1a

1a



, 则 2

ab

1 b

sec1tan

1

2sectansec

sin1，可见原不等式成立。

例5若x2y21,求证:x22xyy2

.分析:由x2y21,知点x,y在圆x2y21的内部或边界上,因此可以考虑变换:xrsin,yrcos 0r1,02.证明:设xrsin,yrcos 0r1,02, 则

x2xyy

rcos2sin2



2

2rcos2

42r



2.从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。

四、借助均值不等式换元

例6n个正数x1,x2,xn,它们的和是1,求证:

xn1xn1xn

x1

x1x2



x2

x2x3





xn

xnx1



.分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等

式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令x1

x2x3

xnx1

n

x1x2

m1,x2

m2,,xn

mn（其中mi0）.i1

证明:令x1

n

x1x2

m1,x2

x2x3

m2,,xn

xnx1

mn,则

m

i1

i

0.x1

x1x2



x2

x2x3



xn1xn1xn



xn

xnx1

1

xxm1n2n

xnx1



1

xxm2121

x1x2



1

xxm3222

x2x3





x1x2



x2x3

4mn



xnx1

m1m2mn

m1

x1x2



m2

x2x3



xnx1



2x1x2xn

，因而原不等式成立。

例6说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进行换元。

第五篇：数学换元法

换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

例：

1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x ＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a，则数列通项a ＝___________。

4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程 ＝3的解是_______________。

6.不等式log(2 －1)?log(2 －2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y ＝ ＋ ；

2小题：设x ＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log 4]； 3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；

4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：设log(2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2