不等关系与不等式教案

第一篇：不等关系与不等式教案

2009年潍坊市

高中数学教学能手评选教案

不 等 关

教学目标：

1、知识与技能目标：

与

不 等式

系

(1)、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。

（2）、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系，能比较两个代数式的大小。

2、过程与方法目标：

（1）教师提出问题，素材，并及时点拨，与学生进行交流，分析，抽象出数学模型。

（2）设计较典型的问题，通过学生自主探究，激发学习兴趣和积极性。

3、态度情感与价值观目标：

（1）通过具体情景，让学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。

（2）培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进而培养学生的实践能力。进一步体会数形结合的重要方法，增强对事物间普遍联系规律的认识，树立辩证唯物主义思想。教学重点：实数（代数式）大小比较的基本方法：作差法。教学难点：判断差的符号

难点突破方法：

1、结合实例强化

2、小组合作探究

教法：“自主学习、合作探究、精讲点拨、有效训练”四环节教学法 学法：尝试、探究、讨论、总结、运用

教 具 ：多媒体、实物投影仪

板书设计：黑板中央板书课题，左侧依次书写定义、实数（代数式）大小的比较法，其余位置留作演算使用，屏幕保留小结和作业。教学过程：

一、课前预习：（预习课本P38---P41页，约20分钟，思考以下问题）

1、如何表示不等关系？

2、如何用数轴表示两个数的大小？

3、怎样比较两个代数式的大小？

4、比较x2+2x与-x-3的大小

二、课内探究：

1、新课引入：

现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系，同学们能举出一些例子吗？

如：今天的天气预报说：明天早晨最低温度为7℃，明天白天的最高温度为13℃，7℃≤t≤13℃

三角形ABC的两边之和大于第三边，AB+AC>BC a是一个非负实数，a≥0

又如：P61 速度与话费问题。这些问题的表示即是我们今天要研究的问题（板书课题）

2、合作探究：（学生思考并回答以下问题）

问题一：不等式的定义

用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠．

问题二：2≥2，这样写正确吗？“≥“的含义是什么？ 这样写是对的，因为“＞”和“=”只要一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或a=b，同样a≤b即为a＜b或a=b。

练习：P63 2 问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应关系？右边的点表示的实数与左边的点表示的实数谁大？

A B a b 与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大

问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置关系？两实数有怎样的大小关系？ 点的关系： 点A在点B右侧

点A在点B左侧

点A和点B重合

数的关系：a＞b、a=b、a＜b 问题五：如何比较两数大小？（小组讨论）

强调：“如果P，则q”为正确命题，记作同时qpq，如果pq，p，则记为pq。

3、典例剖析： 例1． 比较x2-x和 x-2的大小 解：（x2-x）-（x-2）

= x2-2x+2 =(x-1)2+1 因为(x-1)2≥0，所以（x2-x）-（x-2）＞0所以x2-x＞x-2。

变式训练：

比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。（答案：＜）

解：

∴

例2．当p,q都为正数且p+q=1时，试比较代数式(px+qy)2与(px2+qy2)的大小

222解：（px+qy）-（px+qy）

=p(p-1)x+q(q-1)y+2pqxy 又p+q=1，所以p-1=-q,q-1=-p 222（px+qy）-（px+qy）

2=-pq(x-y)

因为p,q为正数，所以

2-pq(x-y)≤0

222pxqy(pxqy)≤所以当且仅当x=y时，等号成立

22训练： P63 3（答案 ＞）

做差比较法法的一般步骤：（教师引导，学生回答）（1）作差；

（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；

（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4）得出结论。

4、随堂测试(1)下列命题正确的是

A、若x≥10,则x＞10 B、若x2＞25,则x＞5 C、若x＞y，则x2＞y2 D、若x2＞y2，则∣x∣＞∣y∣(2)设m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则m,n的大小关系是

A、m＞n B、m＜n C、m=n D、与x、y取值有关(3)下列不等式中，恒成立的是 A.a2>0 B.lg(a2+1)>0 C.（4）设a＞0,b＞0,且a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2试比较x,y的大小

aa

0 D.2>0 |a|

5、小结：(1)不等式的定义

(2)不等关系在数轴上的几何表示(3)做差法确定两数或代数式的大小

三、课后练习

分层作业

1、必做：（1）书面作业：课本P63习题B 1、2、4（2）预习作业：预习课本P64-P65，搞清以下问题：

a.不等式有哪些性质？ b.如何证明？

2、选做：（1）、已知x>y，且y≠0，比较与1的大小

（2）设a=x2+1-2x,b=x2+16-8x,且3

课后反思：

xy

第二篇：高中数学必修五 不等关系与不等式 教案

第三章 不等式

必修5 3.1 不等关系与不等式

一、教学目标

1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系；

2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容；

3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.二、教学重点：

用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、教学难点：

使用不等式（组）正确表示出不等关系.四、教学过程：

（一）导入课题

现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系 我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.提问：

1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）引入知识点：

1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式.2.不等式ab的含义.不等式ab应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a>b，或者a=b”，等价于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一个正确，则ab正确.3.实数比较大小的依据与方法.（1）如果ab是正数，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是负数，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab<0a

1.用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数；

（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”； 解：（1）ab0；（2）h4.2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用

不等式表示上述关系（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.解：由题意知5010ab60,5010ab60,5011a260

ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7<0, ∴（a+3）（a-5）<（a+2）（a-4）.（三）提升训练

1.比较x23与3x的大小，其中xR.222233333解：x33xx3x3x3x3x

24422220，x233x.方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：

第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢笔每枝5元.设他所能买的笔记本和钢笔的数量分别为x，y，则x，2x5y20,y应满足关系式xN，yN.3.一个盒中红、白、黑三种球分别有x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球的，白球与黑球的个数之和至少

为55，使用不等式将题中的不等关系表示出来（x,y,zN*）.yxz,解：32

yz55.（四）课后巩固

p74练习题：1,2.p75习题3.1 A组：1,2.4

第三篇：不等关系及不等式学案

3.1.1 不等关系与不等式

姓名：班级：

一、学习目标：

1、了解不等关系和不等式；

2、掌握不等式的性质； 教学重点 不等式的基本性质

教学难点 不等式的基本性质的应用 教学过程：

二、预习检测：

1、实数大小比较的方法：



abab

ab作差比较法的一般步骤：

④

2、不等式的基本性质 性质1：（对称性）证明：

性质2：（传递性）证明：

性质3：（加法单调性）证明：

性质4：（乘法单调性）证明：

性质5：（相加法则）证明：

性质6：（相乘法则）证明：

性质7：证明：

性质8：证明：

三、例题精讲:

1比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.2．已知a＞b，ac＜bc，则有()

A．c＞0B．c＜0

C．c＝0

D．以上均有可能 3．下列命题正确的是()A．若a2

＞b2，则a＞b

B1a1

b，则a＜b

C．若ac＞bc，则a＞bDab，则a＜b

四、课堂练习：

1．已知a>b，c>d，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是()

A．ad>bcB．ac>bd C．a－c>b－dD．a＋c>b＋d 2．已知a＜b，那么下列式子中，错误的是()A．4a＜4bB．－4a＜－4b C．a＋4＜b＋4D．a－4＜b－4

3.设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.五、课后练习：

1．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()

A．b－a＞0B．a3＋b3

＜0

C．b＋a＜0D．a2－b2

＞0 2．若b＜0，a＋b＞0，则a－b的值()A．大于零B．大于或等于零 C．小于零D．小于或等于零 3．若x＞y，m＞n，则下列不等式正确的是()A．x－m＞y－nB．xm＞ym

C.xy

ym

D．m－y＞n－x

4．若x、y、z互不相等且x＋y＋z＝0，则下列说法不正确的为()

A．必有两数之和为正数 B．必有两数之和为负数 C．必有两数之积为正数 D．必有两数之积为负数

5．已知M＝x2＋y2

－4x＋2y，N＝－5，若x≠2或y≠－1，则()A．M>NB．M

6．若a＞b＞0，则11

ab

(n∈N，n≥2)．(填“＞”或“＜”)

7．11．已知－π2α＜β≤πα＋β

22的取值范围为__________．

8．已知c＞a＞b＞0，求证：

a

c－a＞

b

c－a

.9．若2＜x＜6,1＜y＜3，则x＋y的取值范围是________.10．若实数a＞b，则a2－ab________ba－b2

.(填“＞”或“＜”)11．已知2＜m＜4,3＜n＜5，求下列各式的取值范围：

(1)m＋2n；(2)m－n；(3)mn；m

n

.六、课后小结与反思：

七、预习提纲：基本不等式

第四篇：不等关系与不等式

课题：不等关系与不等式

学习目标：

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景．

3．了解证明不等式的基本方法——比较法.重点、难点：

1、三角公式，三角函数的图象与性质，正余弦定理，并能灵活运用；

2、平面向量的有关知识并能灵活运用。

知识梳理：

1．两个实数比较大小的方法

a

a－b>0⇔ab

⇔ab(1)作差法

a－b＝0⇔aba，b∈R；

(2)作商法a－b<0⇔ab

a

b1⇔a＝ba∈R，b>0.ab

<1⇔a

2．不等式的性质 单向性：

(1)传递性：a>b，b>c⇒.(2)同向相加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(3)乘法单调性：

a>b，c>0⇒；a>b，c<0⇒； a>b>0，c>d>0⇒；a>b>0(n∈N*)⇒an>bn； a>b>0(n∈N*，n≥2)⇒a>b.双向性：a>b⇔bb1a1

b

(2)a>b⇒an>bn(n∈N，且n>1)对吗？

典型例题：

例1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．

(1)若a>b，则ac>bc；(2)若a>b，则ac2>bc2；(3)若aab>b2；(4)若a

ab

例2(1)设x

y2)(xy)与(x2

y2)(xy)的大小；

(2)已知a，b，c∈{正实数}，且a2b2c2，当n∈N，n>2时，比较cn

与an

bn的大小．

例3 设f(x)＝ax2bx ,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值

范围

例4 若a0,b0,ab2，则下列不等式对一切满足条件的a,b

恒成立的是（写出所有正确命题的编号）

(1)ab1;(2)ab2;(3)a2b22;(4)a3b33

(5)11

ab

2达标训练：

1．已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的()

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()

A．－m

a>b⇒ac>bc

⇒ac>bda>b

c>d⇒bc>bd

dc()

A．0B．1C．2D．3

反思小结

：

第五篇：不等式与不等关系二教学教案

不等关系与不等式

（二）教学重、难点

重点：理解不等式的性质及其证明.难点：利用不等式的基本性质证明不等式。

教学过程

（一）复习提问

1、比较两实数大小的理论依据是什么？

2、“作差法”比较两实数的大小的一般步骤.3、初中我们学过的不等式的基本性质是什么?

基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.基本性质3不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.其数学含义：

(1)若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；

ab＞； cc

ab(3)若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜..cc(2)若a＞b，c＞0，则ac＞bc，（二）新授

常用的不等式的基本性质

（1）ab,ba（对称性）（2）ab,bcac（传递性）

（3）ab,acbc（可加性）

（4）ab,c0acbc；ab,c0acbc（可乘性）

（5）ab0,cd0acbd（同向不等式的可乘性）

n（6）ab0,nN,n1a

例1：已知ab0,c0,求证：bn,（可乘方性、可开方性）cc ab

例2：如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及x的取值范围.y

∵30＜x＜42，1６＜y＜24∴－4８＜－2y＜－32，∴30＋1６＜x＋y＜42＋24即4６＜x＋y＜６６；

∴30－4８＜x－2y＜42－32即－1８＜x－2y＜10；

30x42,24y16

5x21即.4y8

例3．已知

2

2，求

2,

2的取值范围。

（三）小结：不等式的性质及其证明，利用不等式的基本性质证明不等式。