奥数最大和最小的问题教案

第一篇：奥数最大和最小的问题教案

最大和最小的问题

最短的时间内完成作业，有更多时间发展自己的业余爱好

怎样乘车路程最短，话费时间最少

怎么样做可以使原材料最省

大桥建设在什么位置，才能方便附近尽可能多数居民

......例1.幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。那么最多能分给几个小朋友？

100=10+20+30+40 100=10+11+12+13+14+15+25

分析：得掉小棒的小朋友尽量多

每个人分的根数不同

↓

丨

每个人得到的小棒尽量少

丨

丨

丨

每个人分得的根数分别是1，2，3，4，......算一算：1+2+3+4+5+...+？=100

试算：1+2+3+4+5+...+13=91

＜100

1+2+3+4+5+...+13+14=105

＞100

解：每人分得的小棒分别是1根，2跟，3根，4跟，......1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91（根）1 1 1 1 1 1 1 1

100-91=9（根）

100根分给13人，分别是1根，2根，...13根，余9根

这9根只能分给得小棒多的1人，2人...，最多9人

答：最多能分给13个小朋友。

例2.把自然数1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？

11213

71819

789 9

99887×错误

78989

分析：（1）去掉24个数字之后，得到一个几位数？

（2）要使得到的多位数最大，在高位上尽量留较大的数字，9，8，7，......解：（1）这一列数共有多少个数字？

｝

一位数：1-9，有9个数字

｝共有29个数字

二位数：10-19，有2×10=20个数字

｝

（2）划去24个数字后，得到一个几位数？

29-24=5（位）

（3）划去24个数字，合理的在高位数上尽量留较大数字

******819 819

划掉24个数字→97819

观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律？

10=1+9

1×9=9

10=2+8

2×8=16

10=3+7

3×7=21

10=4+6

4×6=24

10=5+5

5×5=25

规律1：两个数的和一定时，这两个数越接近，它们的乘积越大：当两个数相等时，它们的乘积最大。

例3.周长为36米2的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？这时的最大面积是多少？

分析：

面积最大

周长36米

长×宽（最大）

长+宽=18

规律1：长=宽时

解：菜园的长+宽是：

36*2=18（米）

据规律1，当长=宽时，长×宽的积最大

长-宽=18*2=9（米）

最大面积是：9×9=18（平方米）

答：菜园围成边长为9米的正方形，面积最大，最大的面积是81平方米。

观察下面两组算式的结果怎样变化，由此得出什么规律？

16=1×16

1+16=17

16=2×8

2+8=10

16=4×4

4+4= 8

规律2：两个数的积一定时，这两个数越接近，它们的和越小：当两个数相等时，它们的和最小。

例4.用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜园。这个长方形菜园的长、宽哥等于多少时，最省材料？

分析：最省材料→周长最小→长=宽（最小）

↑

面积25平方米→长×宽=25

规律2：长=宽时

解：因为长茶宽=25（平方米）

据规律2，当长=宽时，长+宽的和最小

25=5×5，所以：长=宽=5（米）时，周长最小

答：长方形菜园的长、宽都等于5米时周长最小，最省材料。

练习：把14拆成两个数字的和。再求出这两个数字的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大积是多少？

分析：把14拆成两个数的和

两个数的乘积最大

↓

两个数的和是14

↓

↑

规律1：两个数相等时

解：14=7+7

最大积：7×7=49

答：14拆成两个7的和时，这两个数字的乘积最大，是49。

例5.把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大的乘积是多少？

14=7+7

14=4+5+5

分析：（1）拆分出的自然数个数应尽可能多

（2）拆分出来的每个数尽量小

（3）拆分出的自然数中没有1

（4）拆分出来的数字中3多2少，且数2最多两个

14=2+2+2+2+2+2+2

3+3

3+3

2×2×2×2×2×2×2=128

3×3×3×3×3×3×3=144

3×3×3×3×2=162

解：14=3+3+3+3+2

最大积是3×3×3×3×2=162

答：把14拆成4个3和1个2的和时，这几个数的乘积最大，是162。

规律3：把一个自然数拆成若干个自然数的和.如果要使这些数的乘积最大，那么拆出的数中3的个数尽量多，2的个数不多于两个。

例6.比较12489×12356与12359×12486的大小

↑ +3 ↑

观察：12489×12356 ○12359×12486

↓

↓

解：12489+12356=12359+12486 和一定

12489-12356=133

12486-12359=127

差较小

所以12489×12356 ＜ 1235912486

随堂练习

例1.幼儿园老师把100根小棒分给小朋友做数学游戏，每个小朋友分的小棒根数不同。那么最多能分给几个小朋友？

例2.把自然数1，2，3，......，19依次排列，1234567891011......1819，划去24个数字后得到一个多位数，这个数最大是多少？

例3.周长为36米2的竹篱笆围成一个长方形菜园，要使菜园的面积最大，它的长和宽应该是多少？这时的最大面积是多少？

例4.用竹篱笆围一个面积为25平方米的长方形菜园。这个长方形菜园的长、宽哥等于多少时，最省材料？

例5.把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积。如何拆可以使乘积最大？最大的乘积是多少？

例6.比较12489×12356与12359×12486的大小

课后作业

1.从0，1，2，4，6，8，9这七个数字中，选出五个数字组成一个被5整除并且尽可能大的五位数，这个五位数是多少？

2.小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中最少看3次。那么小明看完这本书需要多少天？

3.把自然数1，2，3，......，39，40 依次排列：

1234567891011......3940.划去65个数，得到的多位数最大是多少？

4.a，b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？

5.a，b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？

6.用40厘米的铁丝围成一个长方形（不计接头长度）中，最大的一个面积是多少平方米？

7.教室一个窗户的面积是225平方米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料？

8.把17分成几个自然数的和，再求出这些数的积，要使得积尽可能地大，最大的积是多少？

9.把1，2，3，4，5，9，填入下面方框里，要使两个三位数的积最大，怎样填？

（）（）（）×（）（）（）

10.比较下面两个积的大小。

A=987654321×123456789

B=687654321×423456789

第二篇：小学奥数最大与最小教师版

第七讲：最大与最小

模块

一、数论中的极端思想

【例 1】 1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？

【解析】 8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。同理可确定十位和个位数.【巩固】 两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 【解析】 将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：

15=1+14，1×14=14； 15=2+13，2×13=26； 15=3+12，3×12=36； 15=4+11，4×11=44； 15=5+10，5×10=50； 15=6+9，6×9=54； 15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】 两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 【解析】 48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

两个因数之和最小的是6+8=14。

结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。

【例 2】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？

【解析】 要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0．

【例 3】 有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？ 【解析】 一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小.由于各数位上的和固定为2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9，而2003÷9=222„„5，所以满足条件的最小自然数为：599...9

222个9

【例 4】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12„„9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？

【解析】 要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：

所求最大数是9999978596061„99100。

同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：所求最小数是***„99100。

【例 5】 把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 【解析】 假设分成的自然数中有1，a是分成的另一个自然数，因为1×a＜1+a，也就是说，将1+a作为分成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是说，只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2×2，所以可以将4分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中只有2和3两种。因为2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个2的乘积，所以分成的自然数中最多有两个2，其余都是3。由此得到，将17分为五个3与一个2时乘积最大，为3×3×3×3×3×2=486。结论：整数分拆的原则：不拆1，少拆2，多拆3。

【巩固】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【解析】 14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.【例 6】 某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元„„100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？

【解析】 为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2张，这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。

【例 7】 在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？ 【解析】 225776

【巩固】 在六位数865473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？ 【解析】 8654473.【例 8】 设自然数n有下列性质：从1、2„„n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？

【解析】 当n=98时，将1、2„„98按每组中两数的差为7的规则分组：{1，8}、{

2、9}、„„{7，14}、{15，22}„„{90，97}、{91、98}。一共有49组，所以当任取50个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于7。当n=99时，取上面每组中的前一个数，即1、2„„

7、15„„

21、29„„

35、43„„

49、57„„63、71„„77、85„„91和99一共是50个数，而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。

【例 9】 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？

【解析】 把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是

18÷2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5-4-3-2 ＋1＝37。

模块

二、智巧趣题中的极端思想

【例 10】 99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?

【解析】 1+2+3+„+13=91＜99，1+2+3+„+14=105＞99，说明若13位各分得1，2，3，„，13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，„，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，lO，11，12，13，14个．所以最多有13位小朋友．(注：13人的分法不唯一)

【例 11】（第四届希望杯1试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运到的货物比这批货物的33多一些，比少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运

54次，最多共要运

次。

【解析】 这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法：

33331，则每一次最少运÷5=，所以最多运1÷=8≈9次； 552525333332假定5次运的恰好等于，则每一次最多运÷5=，所以最少运1÷=6≈7次.4420203假定5次运的恰好等于

【例 12】 某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？

【解析】 三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的．可求出三天都迟到的学生最多有(15+12+9-22)÷2=7(人)．

【巩固】 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有得193分、185分和177分，并且至少有6人得同一分数，参加测试的至少多少人？

【解析】 得分数共有198-169+1-3=27(种)，当只有6个人得分相同时，参加测试的人最少，共有27+6-1=32(人)．

【例 13】 149位议员中选举一位议长，每人可投一票．候选人是A，B，C三人．开票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票．如果票数最多者当选，那么A至少再有多少票才能一定当选?

【解析】 45+20+35=100，还有149-100=49(票)．45-35=10，如果49票中有10票都给C，49-10=39，那么A至少还要有20票才能当选．

【例 14】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车．第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半．车到学校时，车上最少有多少学生?

【解析】 因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个．所以，最少有31个学生．

【例 15】 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

【解析】（法1）：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：

由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。（法2）：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此：车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数=站号×（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，11×4，12×3，13×2，14×1.由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位.此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。

【例 16】 某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3．那么这班学生中年龄最大的能是多少岁?如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人?

【解析】 因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁)，所以年龄最大的能是12+3=15(岁)．如果有人年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁)，所以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁．

【例 17】 若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？

【解析】 家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。

【例 18】 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少？

【解析】 先每堆拿出一个，这样第一堆就是第二堆的3倍：“如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍”，第三堆最少剩一个，那么第一堆的每一份就是：（34-2）÷2=16，即三堆分别有：16×3+1=49，16+1=17和16个，总数：49+17+16=82个；如果第三堆剩2个，那么第一堆的每一份为：（34-4）÷2=15，各堆分别为：15×3+1=46，15+1=16和14个，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一堆的每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82.【例 19】 如图，小明要从A走到B，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数．请问小明最快需几分钟?

【解析】 从A到B要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过C点和不

过C点两类．①不过C点有两条路：第一条是15+7+9+18=49(分钟)；第二条是14+6+17+12=49(分钟)；两条路所用时间相同．②经过C点的路线分为两段，A→C、C→B．同上面一样：A→C：①14+13=27(分钟)；②15+11=26(分钟)．C→B：①10+12=22(分钟)；②5+18=23(分钟)．在分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应该列举比较．所以从A→C→B最少用48分钟，比前面不过C的少用1分钟．

【例 20】 阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多．我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？

【解析】 至少有4排．如果10排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；如果最多有4排人数一样，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)．148<150<152，所以，至少有4排．

练习1.如果一个自然数N的各个位上的数字和是1996，那么这个自然数最小是几？ 【解析】 1996÷9=221„„7，N= 799...9.221个9课后练习

练习2.有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？

【解析】 把4个数全加起来就是每个数都加了3遍，所以，这四个数的和等于（45+46+49+52）÷3=64。用总数减去最大的三数之和，就是这四个数中的最小数，即64-52=12。

3．小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人．若用电话联系，每通知1个人需1分钟，而见面可一次通知60个人，但需10分钟，问：完成传达任务最少需多少分钟?(每人均有电话)【解析】 应该充分发挥每个人的作用，即凡是知道通知的人都可以通知尚不知道的人．因此，可以先花10分钟安排一次见面通知，然后凡被通知的人再不断打电话，到第14分钟时共可通知：(1+60)×2×2×2×2—1=975(人)，因此最少用14分钟．

练习3.当A+B+C＝10时(A、B、C是非零自然数)。A×B×C的最大值是＿＿＿＿，最小值是＿＿＿＿。【解析】 当为3+3+4时有A×B×C的最大值，即为3×3×4＝36；

当为1+1+8时有A×B×C的最小值，即为1×1×8＝8。

2练习4.要砌一个面积为72米的长方形猪圈，长方形的边长以米为单位都是自然数，这个猪圈的围墙最少长多少米？

【解析】 将72分解成两个自然数的乘积，这两个自然数的差最小的是9-8=1。，猪圈围墙长9米、宽8米时，围墙总长最少，为（8+9）×2=34（米）.练习5.公园里有一排彩旗，按3面黄旗、2面红旗、4面粉旗的顺序排列，小红看到这排旗的尽头是一面粉旗．已知这排旗不超过200面，这排旗子最多有多少面?

【解析】 旗子排列是9面一循环，关键在于最后几面旗子，如果最后四面都能是粉旗那就好了．200÷9=22„2，所以最多可以出现200-2=198面旗子，共22个循环．

练习6.有四袋糖块，其中任意三袋的总和都超过60块，那么这四袋糖块的总和至少有多少块？

【解析】 最多的一袋糖数不小于另三袋糖的平均数，故不小于61÷3=20，即它不小于21．从而四袋糖总和不小于21十61=82(块)．比如四袋糖数量分别为21，21，20，20即可．

13月测备选

测试

1、比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515.【解析】 对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据上题结论，可得a＞b

测试

2、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12„„9899100从中划去170个数字，剩下的数字形成一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？ 【解析】 在前100个自然数中，共有20个9，再保留后面的“10”，即得到最大数：99999„99100（20个9）；最小数的第一位是“1”，再保留10～90中的9个“0”，再在91～100中留下12个尽量小的数，即得最小数：***6789100.测试

3、（第一届希望杯1试）一艘轮船往返于A、B码头之间，它在静水中船速不变，当河水流速增加时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间_______(填“多”或“少”)【解析】 极限判断，当水速为10，船速是20时，我们可以往来A，B两地，当河水速度增加时，比如增加到20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了B地，所以时间变多了。

测试4冬季运动会共有58面金牌，至今A队已得lO面，B队已得11面，C队已得13面．如果A队要想金牌数居第一位，A队至少还要得多少面金牌? 【解析】 10+ll+13=34．还有58-34=24(面)可争夺．A队要再得4面，才超过C队．在余下的奖牌中不能少于一半，即再得4+(24-4)÷2=14(面)，才能确保金牌数居第一位．

测试

5、某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？ 【解析】 因为参加竞赛的有28+23+20=71(人)．让这71人尽可能多地重复，71÷2=35„1，所以至多有35人参加两科．

测试

6、一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？ 【解析】 假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。

测试

7、小明有一只最多能装10千克物品的大提兜．现有白菜5千克，猪肉2千克，鱼3．5千克，一瓶酱油连瓶重1.7千克，白糖l千克，蚕豆5.1千克．请你想想，把哪几样东西放进大提兜内，才能充分利用提兜，使它所提东西的重量最重? 【解析】 大提兜能装的重量限制在10千克之内．把哪几样东西的重量加在一起，使和不超过10千克，但最接近lO千克我们不妨列举．在列举前先分析数据：白菜和蚕豆不能同时放(共10.1千克)，但二者应取其一，否则才装2+3.5+1.7+1=8.2千克．列举如下： 白菜+猪肉+酱油+白糖=9.7(千克)； 白菜+鱼+白糖=9.5(千克)；

蚕豆+猪肉+酱油+白糖=9.8(千克)； 蚕豆+鱼+白糖=9.6(千克)．

显然，把5.1千克蚕豆，1.7千克的酱油，2千克的猪肉和1千克重的白糖放人大提兜内最重．

第三篇：奥数植树问题教案（精选）

《植树问题》教案一

教学目标：

1．经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，掌握种树棵树与间隔数之间的关系。

2．会解决在不封闭线路上植树（指线路首尾不相连）问题，培养运用植树问题解决实际问题的能力。

教学重点：

理解种树棵树与间隔数之间的关系，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。教学难点：

应用植树问题灵活解决一些相关的实际问题。

一、例题1：一根木头锯成4段要付锯费1.2元，如果要锯成12段，要付锯费多少元？

二、例题分析：把一根木头平均锯成4段，需据4－1=3次，属于两端都没有点。从而可求出锯1次的费用1.2÷3=0.4元。现要锯成12段，也就是要锯12-1=11次，这样就可以求出费用。解：1.2×（4-1）×（12-1）=0.4×11 =4.4元

三、同类练习

1、这条公路全长1000米，每隔5米种一棵树（两端要种）。一共需要多少棵树苗？

解：1000÷5=200（棵）200 +1=201（棵）（两端要种：棵树=段数+1）

2、在一条长2000米的路的一侧种树，每隔10米种一棵（两端不种）。一共需要多少棵树苗？（两端不种：棵树=段数—1）

3、学校有一条长60米的走道，计划在道路旁栽树。每隔3米栽一棵。如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？（一段种树：棵树=段数）

4、运动会上，在笔直的跑道的一侧插彩旗，每隔10米插一面（两端要插）。这条跑道长100米，一共要插多少面彩旗？（学生独立完成。）5.一根木头长8米，每2米锯一段。一共要锯几次？（学生独立完成。）

6、在一条路的一侧种树，每隔6米种一棵，一共种了41棵树。从第1棵树到最后一棵树的距离是多少米？

四、变式练习：

1、在一条长600米的公路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽302棵，每相邻两棵之间的距离都相等，相邻两棵之间的距离是多少？

2、一条路每隔5米有一根电线杆，连两端的电线杆在内共20根，算一算公路有多长？

3、把30米长的一条绳子分成3段，后一段总比前一段多3米，秋各段长度。

4、小英和小明同住在一幢大楼里，小英家住在6层，每天回家要走80个台阶，小明回家要走32个台阶，小明家住在几层？

5、一座桥长116米，在桥的两侧栏杆上，分别安装了16块花纹

图案，图案的横长为2米，两头的图案离桥端都是12米，且每相邻两块图案间的间隔都相等，相邻两块图案之间应间隔多少米？ 《植树问题》教案二 教学目标：

1．经历将实际问题抽象出植树问题模型的过程，掌握种树棵树与间隔数之间的关系。

2．会解决在封闭线路上植树（指线路首尾相连）问题，培养运用植树问题解决实际问题的能力。

教学重点：

理解种树棵树与间隔数之间的关系，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。教学难点：

应用植树问题灵活解决一些相关的实际问题。

一、例题

2、有一个长方形的操场，长45米，宽30米，如果沿着它的周围每隔3米栽一棵树，一共要栽多少棵树？

二、例题分析：这是在一个封闭的长方形周长上植树。首先要求出长方形的周长（45+30）×2=150米，在平均用每段3米，求出种多少棵树。解：（45+30）×2÷3 =75×2÷3 50棵

三、同类习题：

1、一个圆形的跑道400米，如果每隔10米竖一块警示牌，共需要多少块警示牌？

2、一个湖泊的周长是1800米，沿湖泊周围每隔8米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一个桃树，湖泊周围栽了多少棵柳树和桃树？

3、一个圆形花圃周围长40米,沿周围每隔4米插一面红旗,每两面红旗的中间插一面黄旗,花圃周围各插了多少面红旗和黄旗?

4、一个圆形水池周围每隔2米栽一棵柳树，共栽了40棵，水池的周长是多少？

四、变式练习：

1、一个圆形喷水池，周长62.8米，在距池岸边均为3米的池内圆周上安装28根喷水管，每相邻两个喷水管的距离是多少米？

2、学校图书馆前摆了一个方阵花坛，这个花坛的最外层每边各摆放12盆花，最外层共摆了多少盆花？这个花坛一共要多少盆花？

3、张大伯在承包的正方形池塘四周种上树，池塘边长为60米，每隔5米种一课，四个角上各种一棵，张大伯买了50棵树苗够吗？

第四篇：小学奥数工程问题教案.

小学奥数工程问题教案

一、本讲学习目标

联系生活实际，弄清楚工作量、时间、效率之间的关系，提高解决行程问题的能力。

二、重点难点考点分析

工程问题的实质就是工作量、工作时间和工作效率之间的关系问题。工程问题的解题思路和行程问题相似，需要找出三个基本量之间的关系，通过三个基本量之间的换算找出解题方法。工程问题当中，分数的出现与运算较为常见，因此，解决工程问题首先要学好分数的四则运算。

三、知识框架

解决工程问题首先弄清行程问题中这三个量的关系： 工作量=时间×效率(a=t×e)时间=工作量÷效率(t=a÷e)效率=工作量÷时间(e=a÷t)

四、概念解析

工作量：工程问题中的工作量是工程问题的总体量，在未知情况下，可假设工作量为1 ； 时间：工程问题中的时间是工程问题的因子量；

效率：和时间一样，效率也是工程问题的因子量，其地位和形式与时间类似。

五、例题讲解

甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天，如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的1/5。问：甲、乙两队独立完成该工程各需多少天？

打印一份稿件，甲单独打需要50分完成，乙单独打需30分完成。现在甲单独打若干份后，乙接着打完，共42分。问：甲打了稿件的几分之几？

有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池A和B注水，在相同的时间内甲、乙两管注水量之比是7:5。经过2时，A、B两池中已注入水之和恰好是一池水。此后，甲管的注水速度提高25%，乙管的注水速度降低30%。当甲管注满A池时，乙管还需多长时间注满B池？

一项工程,甲,乙两队合作30天完成.如果甲队单独做24天后,乙队再加入合作,两队合作12天后,甲队因事离去,由乙队继续做了15天才完成.这项工程如果由甲队单独完成,需要多少天

李师傅加工540个零件。他前一半时间每分生产8个，后一半时间每分生产12个，正好完成任务。当他完成任务的45%时，恰好是上午9点。张师傅开始工作的时间是几点几分几秒？

师徒三人合作承包一项工程，8天能够全部完成。已知师傅单独做所需的天数与两个徒弟合作所需的天数相同。师傅与徒弟甲所需的天数的4倍与徒弟乙单独完成这项工程所需的天数相同。问：徒弟乙单独完成这项工程需多少天？

一项工程,甲,队独做10天可以完成,乙队独做30天可以完成.现在两队合作期间甲队休息了2天,乙队休息了8天(两队不在同一天休息).从开始到完工共用了多少天

某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才13

能完成；如果由第二、四、五合干需要8天完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天。那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

六、课后练习

完成一项工作，需要甲干5天、乙干6天，或者甲干7天、乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？

一件工作，甲、乙合干需要6天完成，已知甲单独完成该工作的1/2所需的时间与乙单独完成该工作1/3的时间相等。问：甲单独完成该工作需要多长时间？

一项工程,如甲队独做,可6天完成.甲3天的工作量,乙要4天完成.两队合做了2天后,由乙队单独做,乙队还需做多少天才能完成

甲、乙、丙三人合修一围墙。甲、乙合修5天修好围墙的1/3，乙、丙合修2天修好围墙的余下1/4，剩下的围墙甲、丙又合修5天才完成。问：甲、乙、丙单独修好围墙分别需要几天？

有一批工人完成某项工程，如果能增加八人，则10天就能完成；如果能增加3人，就要20天完成。现在只能增加2个人，那么完成这项工程需要多少天？

八 励志或学科小故事——欧几里得

欧几里得出生于雅典，接受了希腊古典数学，30岁就成了有名的学者。欧几里得善于用简单的方法解决复杂的问题。他在人的身影与高正好相等的时刻，测量了金字塔影的长度，解决了当时无人能解的金字塔高度的大难题。他说：“此时塔影的长度就是金字塔的高度”。尽管欧几里得简化了他的几何学，国王还是不理解，希望找到一条学习的捷径。欧几里得说：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的达到”。这句话成为千古传诵的学习箴言。

第五篇：奥数和差问题教案

五年级奥数