第一篇:八年级数学下册4.2提公因式法谈谈“提公因式”的学习素材北师大版教案
谈谈“提公因式”的学习
提公因式法是因式分解的最基本的,也是十分重要的一种方法,如果不能准确的提公因式,因式分解的其它方法就不能顺利地实施.那么如何正确提取公因式分解因式呢?
一、明确提取公因式的原则
要提取公因式,就得确定公因式.确定公因式的原则是:①各项系数都是整数应提取各项系数的最大公约数;②字母提取各项的相同的字母;③各字母的指数取次数最低的.然后再提取公因式将多项式分解因式.如,因式56abc、14abc、21abc的公因式就是7abc.二、掌握提取公因式的方法
要正确提取公因式,可遵循下列方法:①当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时,提取公因式后该项应用1补上,不能漏掉;②如果多项式按一定顺序列出后,首项为负时,一般要连同 “-”号提出,使括号内的第一项的系数为正的,但在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号;③有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简,发现公因式还要及时提取;④如果公因式含有多项式因式时,应注意符号的变换,如(a+b)=(b-a),(a-b)=-(b-a);⑤因式分解的结果应将单项式写在前面,多项式写在后面,相同的因式写成乘方的形式.三、知道提取公因式的理论依据
提公因式是由多项式乘法引出的,如m(a+b+c)=ma+mb+mc,反过来得到ma+mb+mc=2
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22m(a+b+c),这就是提公因式的理论依据是逆用分配律.即如果一个多项式的各项含有公因式,就可以逆用分配律把这个公因式提出来,作为多项式的一个因式.四、值得注意的几个问题
提取公因式看似容易,但还必须注意以下几个问题:
1,公因式要提“全”、提“净”,使系数不再含公因数、字母不再含公因式.如,6ab-9abc=3ab(2b-3ac).2,如果遇到多项式的第一项是负数时,一般先提出“-”号,使括号里的第一项系数为正数.在提出“-”号后,括号里多项式的各项都要变号.如,-12xy+6xy-18xy=-6xy(2x-1+3y).3,在多项式中,若某一项是公因式时,提公因式后应在括号内多项式的相应位置上写上“1”,千万不要漏掉“1”.如,4a-8ab+2a=2a(2a-4b+1).4,当多项式的系数是分数时,应把各项中分数系数的最小公分母作为公因式系数的分
221 母,使余下的因式中各项系数都化成整数.如,12232121ab-ab+ab=ab(2ab-9a+6b).642125,当公因式是一个多项式时,要把这个多项式看成一个“整体”提出来,提公因式后,剩下的另一个因式必须进行整理,不能带中括号;若再有公因式,应继续提出来.如,6x(x-y)2+3(y-x)3=6x(x-y)2
-3(x-y)3
=3(x-y)2
[2 x-(x-y)]=3(x-y)2
(x+y).下列几道题目供同学们自己练习: 分解因式:1,6x3y2
+12x2y3
-6x2y2
.2,-9m2n +27mn2-18mn.3,5a 2(x-y)+10a(y-x).4,(x+y)(2x-y)+3y(x+y).5,x(x-y)(a-b)-y(y-x)(b-a).6,121214ab+3ab-9ab.2 参考答案: 1,6x2y2(x+y-1).2,-9mn(m-3n+2).3,5a(x-y)(a-2).4,2(x+y)2.5,(x-y)2(a-b).6,124ab+13ab2-19ab=136ab(9a+12b+4)` 3
第二篇:4.2提公因式学案:北师大版八年级下册数学
提公因式法
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【点拨导学】
学习目标:理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系,了解公因式的概念,掌握提公因式的方法,培养学生的观察、分析、判断及自学能力。
学习重难点:掌握公因式的概念,正确找出公因式,会使用提公因式法进行因式分解。
学习方法:通过对单项式乘多项式的法则的逆向运用推导提公因式法
【任务探究】
任务一:
(1)把单项式乘多项式的法则
a(b+c+d)=ab+ac+ad,反过来,就得到:
这个式子的右边是
与(b+c+d)的乘积
这里
是多项式ab+ac+ad各项都含有的因式。
(2)试试看在a2b+ab2中各项都含有的因式是
你是如何找的?与其他同学交流一下。
在6a3b2-3a2b3中各项都含有的因式是。
我们把在多项式中各项都含有的因式称为这个多项式各项的公因式。
与同学讨论交流公因式的找法。并思考:是不是所有的公因式都是单项式,还有其他形式的吗?在确定公因式时还有哪些注意点?与同学交流
任务二:
试找出多项式9abc-6a2b2的各项的公因式并将多项式写成积的形式
像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式的因式分解
把下列各式因式分解
(1)a2b+ab2
(2)3x2-6x3
如果多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法
任务三::把下列各式因式分解
(1)6a3b-9a2b2c
(2)2m3+8m2-12m
(3)3a(x+y)-2b(x+y)
(4)
10a(x-y)2-
5b(y-x);
【课堂巩固】
1、若a为实数,则多项式a2(a2-1)-a2+1的值()
A、不是负数
B、恒为正数
C、恒为负数
D、不等于02、把下列各式分解因式:
(1)
x2+xy
(2)-4b2+2ab
(2)
3ax-12bx+3x
(4)6ab3-2a2b2+4a3b3、利用简便方法计算:36×19.99+78×19.99-14×19.994、先化简,再求值:3(x-1)2y-(1-x)3z,其中,5、已知:,xy=3,求2x4y3-x3y4的值。
【反思小结】__________________________
第三篇:提公因式法教案
§1.2.2 提公因式法
(二)●教学目标
(一)教学知识点
进一步让学生掌握用提公因式法进行因式分解的方法.(二)能力训练要求
进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.(三)情感与价值观要求
通过观察能合理地进行因式分解的推导,并能清晰地阐述自己的观点.●教学重点
能观察出公因式是多项式的情况,并能合理地进行因式分解.●教学难点
准确找出公因式,并能正确进行因式分解.●教学方法 类比学习法 ●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]上节课我们学习了用提公因式法因式分解,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.Ⅱ.新课讲解
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号,使等式成立:(1)2-a=__________(a-2);(2)y-x=__________(x-y);(3)b+a=__________(a+b);(4)(b-a)2=__________(a-b)2;(5)-m-n=__________-(m+n);(6)-s2+t2=__________(s2-t2).一、例题讲解
[例1]下列多项中各项的公因式是什么? a(x-3)+2b(x-3)a(x-3)+2b(3-x)
(ac)(ab)2(ac)(ba)2
6(m-n)3-12(n-m)2.12xy2(xy)18x2y(xy)
分析:虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出(x-y)与(y-x)是互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,则可以出现公因式,如y-x=-(x-y).(m-n)3与(n-m)2也是如此.[例2]把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析:这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作为公因式提出来.解:a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)[师]从分解因式的结果来看,是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢? [生]不是,是两个多项式的乘积.[例3]把下列各式分解因式:(1)a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2(3)(ac)(ab)2(ac)(ba)2(4)12xy2(xy)18x2y(xy)
Ⅲ.课堂练习
把下列各式分解因式: 解:(1)x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y);(2)3a(x-y)-(x-y)=(x-y)(3a-1);(3)6(p+q)2-12(q+p)=6(p+q)2-12(p+q)=6(p+q)(p+q-2);(4)a(m-2)+b(2-m)=a(m-2)-b(m-2)=(m-2)(a-b);(5)2(y-x)2+3(x-y)=2[-(x-y)]2+3(x-y)=2(x-y)2+3(x-y)=(x-y)(2x-2y+3);(6)mn(m-n)-m(n-m)2 =mn(m-n)-m(m-n)2 =m(m-n)[n-(m-n)] =m(m-n)(2n-m).Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.Ⅴ.课后作业习题1.2 活动与探究 把(a+b-c)(a-b+c)+(b-a+c)·(b-a-c)分解因式.解:原式=(a+b-c)(a-b+c)-(b-a+c)(a-b+c)=(a-b+c)[(a+b-c)-(b-a+c)] =(a-b+c)(a+b-c-b+a-c)=(a-b+c)(2a-2c)=2(a-b+c)(a-c)教学后记:
第四篇:提公因式法教案
15.4
15.4.1因式分解提公因式法
教学目标:
1、了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形。
2、会确定多项式中各项的公因式,会用提取公因式法分解
多项式的因式。
3、会利用因式分解进行简便计算。
4、通过与质因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想;通过对公因式是多项式时的因式分解的学习,培养换元的意识。
教学重难点
教学重点:因式分解的概念及提取公因式法。
教学难点:多项式中公因式的确定和当公因式是多项式时的因式分解。
教学准备:多媒体课件。
教学设计:
(一)新课引入:
1、问题:把15和18分解质因数。
2、回忆:运用所学知识填空
(3)2ab(a2
反之:(1)x2(2)x2-1=
(3)2a³b+2ab²
观察以下式子的特点:
(1)15=3×5
(2)18=2×3²
(3)X²+X=X(X+1)
(4)X²-1=(X+1)(X-1)
(5)2a³b+2ab²+2ab=2ab(a²+b+1)
由分解质因数类比到分解因式。
(二)新知学习:
1、分解因式的概念,与整式乘法的关系。
巩固概念:判断下列各式从左到右哪些是因式分解?
(1)m(a+b)=ma+mb
(2)2a+4=2(a+2)
(3)4a2-6ab2+2a=2a(2a-3b2+1)
(4)a2-2a+1=a(a-2)+1
(5)yyy10(10)100xxx22、确定公因式。
问题:ma+mb+mc 这个多项式有什么特征? 引入公因式
概念。
例1:找出6x³y5-3x²y4的公因式
归纳找公因式的办法。
课堂练习一:找出下列各多项式中的公因式填在后面括号内。
(1)3mx-6nx2()
(2)x4y3+x3y4()
(3)12x2yz-9x2y2()
(4)5a2-15a3+25a()
3、用提公因式法分解因式。
m(a+b+c)=ma+mb+mc 可得ma+mb+mc=m(a+b+c),观察构成乘积的两个因式分别是怎样形成的?
m是这个多项式的公因式,而另一个因式是原多项式除以公因式所得的商式。像这种分解因式的方法叫做提公因式法。
想一想:提公因式法的理论依据是什么?
4、知识运用:
例2:把8a3b2+12ab3c分解因式
解:(略).例3:把-24x³-12x²+28x分解因式。
解:(略)
判断下列各式分解因式是否正确?如果不对,请加以改正。
(1)2a2+4a+2=2(a2+2a)
(2)3x2y3-6xy2z=3xy(xy2-2yz)
课堂练习二:把下列各式分解因式。
(1)x2+x6(2)12xyz-9x2y2
(3)-6x2-18xy+3x(4)2an+2-4an+1-6an-
1例4:把3a(b+c)-3(b+c)分解因式
判断正误:我班一位同学在昨天预习了提公因式法分解因式后做了两道练习题,请你帮他检查一下他的解题过程是否正确。如不正确,应怎样改正。
(1)2x(x+y)2-(x+y)3
解:原式=(x+y)2[2x-(x+y)]
=(x+y)2(2x-x-y)
(2)(y+2)(y+1)-3(y+2)
解:原式=(y+2)(y+1-3)
=(y+2)(y-2)
=y2-4
课堂练习三:将下列各式分解因式。
(1)p(a2+b2)-q(a2+b2)
(2)2a²(y-z)2-4a(z-y)2
例5:先分解因式,再求值。
4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.解(略)
5、拓展与提高:
(1)、20112+2011能被2012整除吗?
(2)、已知2x-y=8,xy=2,求多项式2x4y3-x3y4的值。
(3)、利用因式分解进行计算:23.1×24-46.2×7
(4)、将2a(a+b-c)-3b(a+b-c)+5c(c-a-b)分解因式。
9796229998
(5)、计算:
课堂小结:
⑴什么叫因式分解?
⑵确定公因式的方法:
⑶提公因式法分解因式的步骤: ⑷提公因式法分解因式的步骤: 课后作业:课本P170习题15.4 : 题
课后反思:
第1题;第4题的(1);第6
第五篇:提公因式法教案
提供因法因式分解
教学流程:
一、导入及板书课题:
复习巩固整式的乘法。板书课题:提公因式法因式分解
二、学习目标:
1.了解因式分解的概念;
2.理解公因式的概念,会用提公因式法对多项式进行因式分解。
三、教学过程:
(一)自学指导:
1、自己认真看课本第42页到第43页的内容;
2、时间(5分钟)
3、自学方法:结合课本例题和云图中问题,独立思考,标出看不懂的地方,可以和同桌小声交流试一试的图形意思
4.你能用吗提公因式法对多项式进行因式分解吗?
(二)自学检测(8分钟)
1、找四名学生书写两数和与两数差的公式
2、挑各组学生进行板演。
3、兵教兵(2分钟)
要求:各小组组长要切实负起责任,组长要落实好组员的学习情况,组长也讲不清的可以问教师。
4、教师点拨(2分钟)
①、公因式的系数是各项系数的最大公因数;
②、字母是各项中相同的字母,指数取各字母指数最低的;
③、要善于发现较隐蔽的公因式,如(X-Y)与(Y-X)是一对相反数,但它们可以变为相同的因式。
课堂作业:活页试题
课后作业: 课本45页练习题第2题