用章前图引领章节起始课的教学

第一篇：用章前图引领章节起始课的教学

用章前图引领章节起始课的教学-----以《有序数对》的教学为例

李俊峰（江苏省南通市小海中学 226015）

义务教育课程标准实验教科书（人教版）的每一章都设计了一幅章前图及相应的的情境导航, 它一方面为我们提供了解释、思考现实世界的途径，另一方面简要介绍本章数学学习内容及本章在数学及各领域的重要地位与作用．教师若能重视对章前图的有效利用和功能挖掘，并以此引领课堂教学，必将有效激发学生学习兴趣，提高学习效率．本文结合《有序数对》的教学谈如何用用章前图引领章节起始课的教学．

一、深入挖掘教材，吃透章前引言

“数学中的转折点是笛卡尔的变数．有了变数,运动就进入了数学;有了变数，辩证法就进入了数学（恩格斯）”．笛卡尔通过建立平面直角坐标系，用坐标来描述平面上的点，把相互对立着的“数”与“形”统一起来，为用几何方法研究代数问题奠定了基础．《有序数对》是《平面直角坐标系》的第一节课，从知识层面看，它是学习直角坐标系的知识基础；从能力层面看，它是学生实现从一维空间到二维空间过渡的基础，是学生数形结合思想初步形成的基本保障．

《平面直角坐标系》一章的章前图选用的是建国50周年庆典活动中出现在天安门广场的一副背景图案，图案是由黄花衬托出的由红花组成的“祖国明天更美好”七个大字．组成这幅图案，需要广场上手持红花或黄花的学生按指挥员的口令，根据自己所在的行和列决定举起红花或黄花．这实际上就是用有序数对来确定一个点的位置的问题．通过章前图的解释和说明，可以生动自然地引出本章的教学内容．

二、紧扣章头引言，巧妙设置情境

情境1：利用多媒体循环播放国庆60周年庆典活动中出现在天安门广场上的一些图案．（由于版面有限，本文仅选取其中两张）

问题1：你知道以上壮观的背景图案是如何组成的吗？其中用到了哪些数学知识？

设计意图说明：笔者执教《有序数对》一课，正值国庆60周年之际，学生对国庆阅兵及天安门前的大型表演印象深刻．结合时事将章前图适当改编，对激发学生的学习兴趣和强烈的爱国主义热情有着很大的帮助作用．在学生观看图片的基础上提出问题，引发学生思考．通过学生的小组讨论，让学生对图案的构成方式有一定的了解，但在此处，笔者并不急于揭示答案，而是顺势提出如下情境．

情境2：游戏：请下列位置的同学，分别在所给的表格中（图1）贴上一个红色的圆． 第2列第2排，第2列第3排，第2列第4排，第2列第5排，第3列第2排，第3列第4排，第3列第6排，第4列第3排，第4列第4排，第4列第6排，第6列第3排，第6列第4排，第6列第5排，第7列第2排，第7列第6排，第8列第2排，第8列第4排，第8列第5排，第8列第6排，第2列第6排，第4列第2排，第6列第2排，第6列第6排，第8列第3排．

图1 图2

设计意图说明：学生通过贴图游戏，拼出了“60”的字样（如图2）．在国庆60周年之际，玩这样的游戏学生一定印象深刻．同时，也进一步与情境1相呼应，通过贴图，情境中提出的问题也就迎刃而解了．

三、巧妙设置问题，自然生成概念

通过以上两个情境，学生对位置的重要性有了较深刻的认识．在此基础上提出新的问题．

问题2：生活中我们如何确定位置？ 活动1：先由12名同学站成一排，此时确定一个同学的位置；然后12名同学排成4×3的方阵，确定一名同学的位置．（动画演示）

活动2：电影院的小插曲：7排9号的人坐到了9排7号的位置． 设计意图说明：通过对两个实际问题的分析，可以使学生更加明确在现实生活中有序数对的作用，渗透“数对”和“有序”的含义．在此基础上，顺势提出有序数对的概念就显得自然流畅了，这充分展示了概念生成的过程．同时，概念是建立在现实生活情境中，并不是枯燥的，无味的．这样的教学设计有利于学生联系实际来理解“有序”的含义．

活动3：利用情境2中游戏所得图案，用两个数来确定某个点的位置；告诉有序数对，找出相应的位置．

问题（1）：请把图3中蓝色圆点表示的位置用有序数对表示．

图3 图4

问题（2）：请在图4中找出（1，1），（3，2），（2，4）,（4，2）所表示的位置．

设计意图说明：问题1、2的思维过程相逆，通过老师给出位置让学生说出有序数对，给出有序数对指出相对应的位置，再次强调有序性．通过问题的解决达到数与形的结合，实现文字表述与符号语言的相互转换．同时也是章前图的进一步延伸．

四、精心设计习题，培养应用能力 例题：象棋中 “马跳八方” 的问题．

（1）请你找到马所能跳到的八个位置．（2）你能用有序数对表示出来吗？

习题：1． 如图，表示某地的道路分布情况，甲地表示2街与5巷的十字路口，乙地表示5街与2巷的十字路口．

图5 图6

（1）请用有序数对表示甲地、乙地的位置；

（2）请用线段描出路线：(2,5)→(3,5)→(4,5)→(5,5)→(5,4)→(5,3)→(5,2）；

（3）请再找出几条从甲地到乙地的路线，并用有序数对表示出来． 2． 设计题：请在老师所发的图片中（如图6）设计一个容易用有序数对描述的图形，并相互交流，然后把这些有序数对告诉给同学，看看他们能否画出你的图形． 设计意图说明：1． 让同学试着去举日常生活中利用有序数对确定位置的例子，根据学生所举的例子，讲解象棋中有序数对确定位置的例子．让学生切身体会到数学来自于生活，应用于生活；2．将书习题改编成习题1，设置三个不同层面的问题，满足不同层次学生的需要；3．习题2让学生自己去设计，在学生自己设计图案之前，教师可以先给学生展示一些美丽图案，结合图片，和学生共同探讨设计的方法（先找一些关键点，然后用线段连接，这样就可以得到美丽的图案）．在掌握到恰当的方法后进行设计，学生的效率就有了明显的提高．通过设计、交流，让学生体会到学好数学，用好数学的快感和成就感．同时又进一步与情境1、2相呼应，让学生深刻地领会到国庆背景图案的是怎样设计的． 本节课充分利用章前图，并适度改编、开发，在情景设置、学生活动、数学建构、数学运用等环节都紧扣章前图进行设计．在实际教学中，我们应充分关注章前图的人文性和应用性，发挥章前图的引领作用．

一、教学设计 教学目标 ⒈知识技能

①理解有序数对的意义。

②能用有序数对表示实际生活中物体的位置。⒉数学思考

①通过学习懂得如何确定位置，发展初步的空间观念。

②通过学习用有序数对表示位置，发展符号感及抽象思维能力。⒊解决问题

①通过寻找用有序数对表示位置的实际背景，发展学生的应用意识。

②让学生感受到可以用数量表示图形位置，几何问题可以转化为代数问题，代数问题也可以转化为几何问题，形成数形结合的意识。⒋情感态度

①通过在游戏中学习有序数对，培养学生合作交流意识和探索精神。

②经历用有序数对表示位置的过程，体验数、符号是描述现实世界的重要手段。教学重点

①有序数对的意义。②用有序数对表示位置。教学难点

①对有序数对中的“有序”的理解。②用有序数对解决实际问题。教学过程

⒈创设问题情境（利用投影仪）

①展示课本P42页画面，并提出问题：在建国50周年的庆典活动中，天安门广场上出现壮观的背景图案，你知道它是怎么组成的吗？

②展示课本P44页画面，一名同学坐在“9排7号”的座位上，另一名同学拿着座号是“7排9号”的票在找座位。提出问题：这两个同学的座位在同一位置上吗？

③展示课本P45页画面，并提出问题：对于这个根据教室平面图写的通知，你明白它的意思吗？ ⒉组织学生活动

活动1：欣赏章前图，思考背景图案是怎么组成的？

活动2：在“找座位”活动中，思考“9排7号”与“7排9号”是在同一位置吗？

活动3：图中描点，标出被邀请参加数学讨论的五位同学的座位。思考排数和列数先后顺序对被邀请的五位同学有变化吗？

活动4：游戏“找朋友”，确定教室里座位的位置，思考小组数和横排数的先后顺序对位置有影响吗？

活动5：游戏“走亲戚”，用有序数对表示教室里，从学生甲处走到学生乙处的路线。思考这样的路线有几条？最短的是哪条？

活动6：应用举例，如：利用经纬度表示地球上地点的位置；找出一本书上某页一处印刷错误。思考生活中还有哪些可用有序数对表示位置的？

活动7：自由设计，设计一个容易用有序数对描述的图形，思考怎样运用所学知识和技能解决生活中的实际问题？ ⒊解决问题

①用有序数对描述图形，表示位置。②现实生活中用有序数对确定某处位置。

③运用数学语言，描述问题及运用数学思想方法解决实际问题。⒋练习及反馈

①课本P46页练习。

②补充练习（用小黑板准备好）。③自由设计。

④教师对学生的练习和设计予以评价。⒌小结与作业

①学生谈谈本节课有哪些收获。②教师归纳。③布置作业：

课本P46页T1题，补充习题。

二、课堂实录

师：同学们，我们来看第一幅画面：这是在建国50周年的庆典活动中，天安门广场上出现的背景图案，请你们认真看，一边欣赏，一边思考，这壮观的背景图案是怎么组成的？

师：请问：你们看到了什么？同学们可以互相议论一下。生A：有雄伟的天安门。

生B：广场上有很多人手里举着花，有红色的、有黄色的。生C：“明天更美好”五个红色大字，特别醒目。„„。

师：真不错，同学们观察得很仔细。

师：原来，广场上有许多同学，每个人都根据图案设计要求，按排号、列号站在一个确定的位置，随着指挥员的信号，他们举起不同颜色的花束。如第10排第25列举红花，第28排第30列举黄花。这样，整个方阵就组成了绚丽的背景图案。

类似用“第几排第几列”来确定位置，是我们在日常生活中经常用的方法。师：同学们，你们到影剧院看过电影吗？ 生：看过。

师：手中定会拿一样什么东西？请你回答。生D：电影票。

师：不错，必须要有一张电影票，也就是入场券，才能找到座位。这与我们将要学习的知识有关。

从今天开始，我们将学习新的知识“平面直角坐标系”。类似于用“第几排第几例”来确定一个人的位置，在数学中通常以建立平面直角坐标系，用具有特定含义的两个数来刻画点的位置。在这堂课里，我们重点学习“有序数对”。

下面，我们再来看第二幅画面：其中有一名同学坐在“9排7号”的座位上，另一名同学手拿着一张“7排9号”的入场券正在找座位。这两名同学的座位在同一位置上吗？请大家帮这名同学快点找到座位。

生E：不在同一位置上，另一名同学的位置在坐着这名同学的前两排的左边一个座位上。

师：很好！完全正确。假设只告诉你排数，如“第5排”能找到确定的座位吗？ 生：不能！

师：你认为需要几个数据才能确定一个位置？ 生：两个。

师：（出示：课前准备好的小黑板）这是根据教室平面图写的通知，你明白它的意思吗？如果我们约定“列数在前，排数在后”请你在这个图中用描点标出被邀请参加数学问题讨论的同学的座位。

师：可以合作完成，第一个完成的请上台来，在小黑板上用彩色粉笔标出。师：×××同学，你最快，请你上来。生：很快就用点描出了五位同学所在位置。师：完全正确。

师：上面的问题都是通过像“9排7号”“第1列第5排”这样含有两个数的词来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如入场券上，前边的表示“排数”，后边的表示“号数”，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）

师：在前面这个“通知”中，如果我们约定“排数在前，列数在后”，那么被邀请的五位同学会改变吗？

生：分组讨论、交流，达成共识：排数和列数先后顺序对位置有影响，被邀请的五位同学有改变。

（教师深入到小组，重点关注：①学生能否发现数学问题；②学生对于有序数对的认识；③学生在活动中发表个人见解的勇气；④学生能否找到解决问题的方法。）

师：同学们，下面我们来做一个游戏，好不好？ 生：好！

师：这个游戏就叫“找朋友”，游戏规则是这样：

教室里现有7排座位（横排）和8个小组（组数）首先，老师来“找朋友”，点到谁的名字，谁就立即站起来并快速说出表示自己座位的两个特定含义的数，即横排数在前，小组数在后。同学们各自准备一下。游戏马上开始。师：准备好了吗？ 生：好了！

师：×××同学 生甲：（3，1）

师：对了！大学掌声鼓励。下一个，×××同学 生乙：（5，7）

师：真棒！再下一个，×××同学 生丙：（3，4）

生：错了！错了！应该是（4，3）

师：这位同学是一时太急说反了，其实他是知道的，虽然都有3和4两个数，但这两个数的排列顺序不同，意义就不同，确定的位置也就不同，希望大家，以后做任何事都要稳着点，不要把会解决的问题没解决好。记住了吗？ 生：记住了。

师：我们的游戏继续。

生丁：老师，你点×××同学 生：就点她，就点她！生丙：（3，8）生：哈，哈！„„

师：哦！原来你们联想到“三·八”妇女节。我为同学们的联想这么丰富，反映这么敏捷而感到特别高兴。接下来请同学们来“找朋友”，并且约定小组数在前，横排数在后。好吗？ 生：好！

师：这次不说自己的座位号。例如：某个同学说（3，2）那么坐在（3，2）位置上的同学立即站起来并快速说出下 位你想要找的同学的座位号。生：一个接一个，很认真，很开心，并希望自己不出错。

（在游戏中，教师应重点关注：①学生对于“约定”的认识；②学生对有序数对的理解和应用；③学生能否主动与同学合作。）师：接下来，我们再做一个小游戏“走亲戚”。生：好，好！

师：还是约定组数在前，横排数在后。用有序数对表示，在教室里，从学生 甲处走到学生乙处的路线。谁来实地“走一走”，看谁先到“亲戚家”？ 生：老师，我来！我来！„„

师：好！请×××同学来走一走，其他同学根据你走的路线，用有序数对记录下来。

师：同学们，是否就这一条路线可走？ 生：（稍作思考）不是！有好多条路线。

师：不错。的确有好多条路线可走。那么哪些是最短的呢？

生：可以这样走„„，还可以那样走„„大家七嘴八舌议论纷纷，探索思考着，很快有了正确答案。

师：同学们真聪明，老师为你们的成功感到高兴，记住：只要勇于探索，就一定能成功。大家知道了，最短路线都不只一条。若甲处为A点，乙处为B点，则最短路线的长等于以A、B为两个对角线顶点的矩形周长的一半。生：哦！晓得了。

师：用有序数对表示一个位置的应用举例很多，例如：用页码、行数指出一书某处的印刷错误；还有用经纬度表示地球上的地点；等等，你能再例举出一些吗？ 生F：“布置作业”。生G：“班牌号”。生H：“门牌号”。生I：“车票”。生J：“飞机票”。„„。

师：真不错。同学们能列举出这么多用有序数对表示一个位置的例子，这说明同学们理解和掌握了有序数对的意义及其运用。也可以看出，同学们在生活中很善于观察。就是要这样，在现实生活中，不断发现数学问题，并用数学思想方法解决一个又一个问题。

师：请同学们来解决下面的这个问题。

师：（出 示 准 备 好的小黑板）如图，若 所在位置为（1，4），所在位置为（3，7），那么 所在的位置怎样表示。生： 所在位置是（4，1）

师：表示 和 位置的两个数据有什么特点？ 生：都有1和4，但这两个数的排列顺序不同，确定的位置就不同。师：可见，数学很有用也很有意思吧。生：真有意思。师：下面请同学们自由设计一个容易用有序数对描述的图形，然后把这些有序数对告诉同学，看看他人能否画出你的图形。

生：学生独自完成设计后组内交流，并选一些设计图形在实物投影仪上展示。（在本次活动中教师应重点关注：①学生对有序数对的运用能力；②学生的创新意识和动手实践能力；③学生在作品中所体现的情感态度和价值观。）师：对作品予以评价。

师：最后，谈谈本节课你有哪些收获？

生K：我明白了有序数对在生活中有着广泛的应用，所以，我们要学好数学，就能解决更多的实际问题。

生L：在游戏中，使枯燥乏味的数字，变得有趣起来，激发了我们学数学的兴趣和灵感。„„。

师：同学们谈得好极了，收获真不小。在我们的现实生活中，蕴含着大量的数学问题，有许多的数字问题，图形问题，数与形之间的问题还在等着我们，我们可要主动去寻找问题，并用所学的数学知识去解决一个一个的问题。有信心吗？ 生：有！我们一定能行！

师：好样的！现在请大家记好今天的作业： 课本：P46页，T1题

补充习题：（可以合作完成）

⒈对于当地一个旅游点的几个景点，用适当的有序数对表示并描述他们的位置关系。

⒉查找相关资料，用经纬度表示你所在地的位置。

三、课后反思

“平面直角坐标系”这一章对七年级学生来说是全新的知识。这一部分知识很重要，“平面直角坐标系”是图形与数量之间的桥梁。有了它，我们即可以把几何问题转化为代数问题，也可以把代数问题转化为几何问题，它是解决数学问题的一个重要工具，利用它可以使很多数学问题变得直观而简明。如何使学生能顺利地掌握和运用好这部分知识，这第一堂课很关键，必须要调动好学生的热情和兴趣，主动参与到学习中去。因此，我在准备这节教案时，费了一番脑筋，改变传统的“我说你听，我讲你做，我写你抄”的呆板教法，而是采取在游戏中进行教学，结果，这堂课，师生感觉都很好。使学生通过新颖有趣的游戏活动调动学生学习的积极性，让学生对新知识有浓厚的兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，为后面的学习开了一个好头。

这堂课老师教得轻松，学生学得愉快，每个学生都参与到活动中去，投入到学习中来，使学习的过程充满快乐和成功的体验，促使学生自主学习，勤于思考和勇于探究，形成良好的学习品质。

由于这堂课游戏多、活动大，热热闹闹中，胆大、性格开朗的学生特别活跃，也容易引起老师的注意，而对那些胆小性格较内向的学生就注意不够。个别理解能力和接受能力慢一些的学生，给予他们的帮助还不到位，这些学生课后作业完成不够好。建议：七年级数学新教材有很多几何图形、背景图案等，如果有配套的录相，可供学生观看就好。如这一堂课的章前图：建国50周年庆典活动中，天安门广场上出现的背景图案，能有这个活动的录相放给学生看，比在课本上看效果会更好。在“多姿多彩的图形”一章中，有许多图形，应该有配套的几何模型，用来直观教学，有利于提高教学效果。

第二篇：用章前图引领章节起始课的教学

用章前图引领章节起始课的教学

摘要：章前图为本章提供了有趣的问题情境，提出了富有挑战性的问题，指出了本章要学习的主要内容.笔者结合《有序数对》的教学，探讨了教学过程中如何利用好章前图，充分发挥其作用的问题.关键词：章前图；章头引言；有序数对；引领教学

义务教育课程标准实验教科书（人教版）的每一章都设计了一幅章前图及相应的情境导航，它一方面为我们提供了解释、思考现实世界的途径，另一方面简要介绍了本章数学学习内容及本章在数学及各领域的重要地位与作用． 教师若能重视对章前图的有效利用和功能挖掘，并以此引领课堂教学，必将有效激发学生学习兴趣，提高学习效率． 本文结合《有序数对》的教学，谈谈如何利用章前图引领章节起始课的教学．

■深入挖掘教材，吃透章前引言

“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学（恩格斯）”． 笛卡儿通过建立平面直角坐标系，用坐标来描述平面上的点，把相互对立着的“数”与“形”统一起来，为用几何方法研究代数问题奠定了基础． 《有序数对》是《平面直角坐标系》的第一节课，从知识层面看，它是学习直角坐标系的知识基础；从能力层面看，它是学生实现从一维空间到二维空间过渡的基础，是学生数形结合思想初步形成的基本保障．

《平面直角坐标系》一章的章前图选用的是建国50周年庆典活动中出现在天安门广场的一副背景图案，图案是由黄花衬托出的由红花组成的“祖国明天更美好”七个大字． 组成这幅图案，需要广场上手持红花或黄花的学生按指挥员的口令，根据自己所在的行和列决定举起红花或黄花．这实际上就是用有序数对来确定一个点的位置的问题．通过章前图的解释和说明，可以生动自然地引出本章的教学内容．

■紧扣章头引言，巧妙设置情境

情境1利用多媒体循环播放国庆60周年庆典活动中出现在天安门广场上的一些图案（由于版面有限，本文仅选取其中两张）．

■

■

问题1：你知道以上壮观的背景图案是如何组成的吗？其中用到了哪些数学知识？

设计意图说明：笔者执教《有序数对》一课，正值国庆60周年之际，学生对国庆阅兵及天安门前的大型表演印象深刻． 结合时事将章前图适当改编，对激发学生的学习兴趣和强烈的爱国主义热情有着很大的帮助作用． 在学生观看图片的基础上提出问题，引发学生思考． 通过学生的小组讨论，让学生对图案的构成方式有一定的了解.在此处，笔者并不急于揭示答案，而是顺势提出如下情境．

设计意图说明：学生通过贴图游戏，拼出了“60”的字样（如图2）． 在国庆60周年之际，玩这样的游戏学生一定印象深刻． 同时，也进一步与情境1相呼应，通过贴图，情境中提出的问题也就迎刃而解了．

■巧妙设置问题，自然生成概念

通过以上两个情境，学生对位置的重要性有了较深刻的认识．在此基础上提出新的问题．

问题2：生活中我们如何确定位置？

活动1：先由12名学生站成一排，此时确定一个同学的位置；然后12名学生排成4×3的方阵，确定一名学生的位置．（动画演示）

■

■

活动2：电影院的小插曲：7排9号的人坐到了9排7号的位置．

设计意图说明：通过对两个实际问题的分析，可以使学生更加明确在现实生活中有序数对的作用，渗透“数对”和“有序”的含义． 在此基础上，顺势提出有序数对的概念就显得自然流畅了，这充分展示了概念生成的过程． 同时，概念建立在现实生活情境中，并不是枯燥的、无味的． 这样的教学设计有利于学生联系实际来理解“有序”的含义．

活动3 利用情境2中游戏所得图案，用两个数来确定某个点的位置；告诉有序数对，找出相应的位置．

问题1：请把图3中蓝色圆点表示的位置用有序数对表示．

问题2：请在图4中找出（1，1），（3，2），（2，4），（4，2）所表示的位置．

设计意图说明：问题1，2的思维过程相逆，通过教师给出位置让学生说出有序数对，给出有序数对指出相对应的位置，再次强调有序性． 通过问题的解决达到数与形的结合，实现文字表述与符号语言的相互转换． 同时也是章前图的进一步延伸．

■精心设计习题，培养应用能力

例题：象棋中“马跳八方”的问题．

（1）请你找到马所能跳到的八个位置．（2）你能用有序数对表示出来吗？

■

习题：1． 如图5，表示某地的道路分布情况，甲地表示2街与5巷的十字路口，乙地表示5街与2巷的十字路口．

（1）请用有序数对表示甲地、乙两地的位置；

（2）请用线段描出路线：（2，5）→（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）→（5，2）；

（3）请再找出几条从甲地到乙地的路线，并用有序数对表示出来．

2． 设计题：请在老师所发的图片中（如图6）设计一个容易用有序数对描述的图形，并相互交流，然后把这些有序数对告诉给同学，看看他们能否画出你的图形．

■

图6

设计意图说明：1． 让学生试着去举日常生活中利用有序数对确定位置的例子，根据学生所举的例子，讲解象棋中有序数对确定位置的例子，让学生切身体会到数学来自于生活，应用于生活；

2． 将书本习题改编成习题1，设置三个不同层面的问题，满足不同层次学生的需要；

3．习题2让学生自己去设计，在学生自己设计图案之前，教师可以先给学生展示一些美丽图案，结合图片，和学生共同探讨设计的方法（先找一些关键点，然后用线段连接，这样就可以得到美丽的图案）． 在掌握到恰当的方法后进行设计，学生的效率就有了明显的提高． 通过设计、交流，让学生体会到学好数学、用好数学的快感和成就感．同时又进一步与情境1、2相呼应，让学生深刻地领会到国庆背景图案是怎样设计的．

本节课充分利用章前图，并适度改编、开发，在情景设置、学生活动、数学建构、数学运用等环节都紧扣章前图进行设计．在实际教学中，我们应充分关注章前图的人文性和应用性，发挥章前图的引领作用．

第三篇：上好章起始课体会

上好章起始课体会

章起始课通常介绍本章的一些基本概念,从内容上讲较简单,因而它的教学常常被大多数老师忽视,实际上它有承上启下的衔接作用, 一方面,让学生了解学习本章的意义,对将学习的内容进行整体和全局的把握,从而有助于学生形成知识系统;另一方面,能引发学生的兴趣,调动积极性.简单随机抽样是高中数学统计内容的章起始课,因此本文将以“简单随机抽样”的教学设计为例,浅谈如何上好章起始课.一、与时俱进,引章起始

一、充分把握好起始阶段的教学“良好的开端是成功的一半”,这是新教材编写者的指导思想。七年级学生翻开刚拿到的数学课本后,一般都感觉新奇、有趣,想学好数学的求知欲较为迫切。因此,教师要不惜花费功夫,让学生在学习的起始阶段留下深刻的印象并产生浓厚的兴趣。如在教学第一章时,可让学生参与部分实验。

在本章结束后,可以利用课外活动举办一次自由形式的讨论,在讨论的过程中,可以问学生数学难学吗?数学有用吗?数学是不是都这样有趣?基础弱的同学能不能学好?对各种问题展开讨论,以诱发学生的学习兴趣。正如新教材所要求的目标:七年级数学起始阶段的教学,侧重在消除学生害怕的心理、提高学习兴趣上做文章,以数学的趣味性、教学的艺术性给学生以感染,使其像磁铁上的铁屑离不开磁铁一样,向往着教师,向往着数学。

二、求新、求活以保持课堂教学的生动性、趣味性七年级数学比较贴进生活实际,具有很强的知识性、现实性和趣味性。

教师：对于生活在信息爆炸时代的我们来说，时刻都与数据打交道，为了不被这些数据蒙蔽双眼，学习统计知识就显得非常必要了.本章我们就将初步学习数理统计，通过本章的学习，我们将学会如何合理的收集数据，以及如何合理利用这些数据，包括整理，计算，分析等，进而做出合理的估计推断.设计意图：这部分设计有三个亮点：首先，从时下热点话题引入，激发学生兴趣，体现出数学源于生活；其次，巧妙借助数学名言说明学习统计知识的必要性和重要性；最后，由教师言简意赅的说明本章将要学习的内容与思想方法.二、创设情景，引入课题

教师：小明妈妈让小明去买一斤橘子，小明回来后妈妈问：“橘子怎么样？”小明说：“都很甜.”“你怎么知道？”“我都尝过了.”

教师： 从统计学角度看小明用了什么方法获取数据？

学生：普查.教师：如果你是水果批发商要买100斤橘子，还能用上述方法判断橘子的质量么？

学生：不能，抽查.问题1：下面就请同学们思考普查和抽样调查的利弊，并试着举出用普查和抽查的实例.设计意图：通过小故事，激发学生兴趣，回忆初中统计中普查和抽查的概念，通过问题情境的变化，进行对比，说明抽查存在的必要性.三、合作探究，形成概念

问题2：某协会为了解兰炼一中全校学生视力情况，利用大课间对本校进行视力调查，请小组讨论设计出一种合理的调查方法，并说明理由.师生活动：四人一组讨论，每小组派一名代表展示设计方案.设计意图：让学生从该问题中思考如何科学合理地进行抽样，使样本能反映总体特点，样本具有代表性和公平性，从而顺其自然地过渡得出简单随机抽样的定义.四、归纳应用，深化理解

问题3：从简单随机抽样的概念中概括该抽样方法的特点？

例1下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？

（1）从无限多个个体中抽取100个个体作样本；

（2）盒子中有80个零件，从中取5个零件进行质量检验，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子里；

（3）从20件玩具中一次性抽出3件进行质量检查.设计意图：教师引导学生总结归纳出（1）有限性（2）不回性（3）逐个性（4）等率性的特点，加深对定义的理解.例1通过反例深化学生对概念的理解.五、理论迁移，探究方法

理论迁移1：某协会调查本班51名学生的视力情况，它打算抽样调查其中8名同学.问题4：此例中总体、个体、样本、样本容量分别是什么？并请阐述完成这项调查的具体做法.设计意图：首先回忆初中统计中关于随机抽样的几个概念，通过问题情景，让学生说出抽签法雏形，教师启发从而归纳出抽签法一般步骤：编号、制签、搅匀、抽签、取样，并结合上一章的算法设计，将其用流程图（如图1）加以表征，加深对知识的理解.理论迁移2：某协会继续调查高一年级584名学生的视力情况，他打算抽样调查其中60名同学.问题5：可否用抽签法？

设计意图：让学生感受到当总体容量比较大时，编号、制签都比较麻烦，进而找简化制签的方法――随机数表法.图2

问题6：如何利用随机数表法抽样？

设计意图：由老师讲授，学生和老师一起实践，由老师启发学生如何正确编号、如何用随机数表取数，并由学生归纳一般步骤：编号、定位、取数、取样，将其用流程图（如图2）加以表征.六、总结扩展，提升思想

教师：本节课我们主要学习了哪些内容？

教师：学习统计学的意义是什么？

教师：我们使用了哪些方法进行学习？

设计意图：使用渐进式提问学生的方式进行课堂小结，即学了什么（本节课所学的知识），为什么学（解决学习的目的），怎么学（掌握学习的方法，自主、合作、探究学习等）三个方面进行总结.杨聪杰 2018.05.08

第四篇：从章起始课教学谈“随机抽样”的教学设计

从章起始课教学谈“随机抽样”的教学设计

浙江省黄岩中学 金克勤

在第九次课题会上，来自浙江的吴寅静老师上了一节“随机抽样”研究课，引发了参与者的讨论与思考．教师在课堂教学过程中反映出的问题，究其原因，主要集中在对教学内容和内容的解析上，这恰恰是目前被许多教师忽视的．章建跃博士强调，上好一节数学课的前提是理解数学．中学教师对数学的理解，主要是对教学内容的正确理解和解析．教学内容的正确解析，是确立正确教学目标的前提；教学目标的正确解析，又是合理设计教学过程的前提．

基于对章起始课的反思和对随机抽样教学内容的重新认识，对这节课作了如下反思性的教学设计．

一、内容与内容解析

统计学是一门关于数据资料的收集、整理、分析和推理的科学．本节课的主要内容是统计学中数据收集的方法—简单随机抽样的基础知识，了解简单随机抽样的概念，简单随机抽样的基本要求，必要性和操作方法，这是统计学的基础和前提．鉴于本课是统计一章的起始课，如何上好起始课，特别是关于章引言的教学是一个值得关注的问题．章引言的教学实际上是帮助学生了解学习本章的意义，从宏观上了解本章的学习内容，了解学习本章的意义，特别是这一章教材所包含的内容和知识、核心概念与思想方法、学习目标和要求，知识前后联系和注意的问题等等；章引言教学的另一个重要任务是激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，“数学教学上的成就，很大程度上取决于学生对于数学课的兴趣是否能保持和发展．”统计中，数据收集的方法，普查应该是收集数据最全面、最完整、最准确的方法，但这种方法也存在问题，当总体相当大时，普查有时会显得不可能、不必要或不方便．本节课是学生在初中学习了统计基础知识的基础上进一步学习数理统计的知识与方法．学习的内容侧重于应用随机现象本身的规律性来研究统计方法，这是在初中直观感知统计知识的基础上，从随机现象的规律性来学习统计知识，也体现了统计知识螺旋上升的学习过程．在统计学中，重要的不是对所有的全部对象进行观察与研究，而是抽取其中的部分进行观察、获取数据，并通过这些数据来对所研究的全体进行推断．抽取样本的目的是为了对总体的分布规律进行各种分析推断，因而要求抽取的样本能很好地反映总体的特征，这就必须对抽取随机抽样的方法提出一定的要求．

本课题为“随机抽样”，主要学习简单随机抽样的理论与方法．从理论上讲，“简单”是指抽取的样本为“简单随机样本”，获取简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样．简单随机抽样要满足以下两个条件：（1）代表性，即要求样本的每个分量Xi与所考察的总体X具有相同的概率分布F(X)；（2）独立性，X1，X2，„，Xn为相互独立的随机变量，也就是说，每个观察结果不影响其它观察结果，也不受其它观察结果的影响．当然在有限总体中，样本的各个观察结果可以是不独立的．在本节课中，要将这些关于随机抽样的理论，用浅显的例子渗透在学生的学习过程中．因此，教学的内容应侧重于如何使抽取的数据能代表总体，即抽取的样本要能反映总体的本质特征．要抓住两个特征展开，要求抽取的样本有代表性，样本的容量要适当，太大没有必要，太小不能反映总体的特征．其次，要体现独立性，在简单随机抽取时，总体中每个个体被抽到的概率是相等的，说明这种抽样的方法是独立的．抽取的样本的分布与总体分布相似度越高，样本的代表就越大．这就为后续学习三种抽样方法的形成与评价提供基础．

二、目标与目标解析

1．通过实例，了解学习统计的意义，了解统计学的基本内容和方法，学好章引言． 2．通过实例，了解随机抽样的必要性．

3．理解随机抽样的概念．这里随机抽样的概念在初中阶段学生已经学习过，但在此处学习正是体现知识的螺旋上升，这里提出的总体、个体和样本的概念应该更加理性．

4．通过实例分析随机抽样应满足的基本条件．作为教师要明确学习随机抽样的主要目的是用样本估计总体，要使所抽取的样本能估计总体，抽取数据的方法要根据对数据的要求而定，方法应该是量身定做的．

5．初步体会随机抽样的方法．教学过程应该充分体现学生的主体作用，不囿于教材顺序的限定，结合学生已有的知识结构，充分展示学生的学习经验和能力．

三、教学问题诊断

本节课是学生在义教阶段学习了数据的收集、抽样、总体、个体、样本等统计概念以后，进一步学习统计知识的．这是义教阶段统计知识的发展，因此教学过程不应是一种简单的重复，也不应停留在对普查与抽样优劣的比较和方法的选择，而应该发展到对抽样进一步思考上，主要应集中的以下四个问题上：（1）为什么要进行随机抽样；（2）什么是随机抽样（数理统计上的随机抽样概念）；（3）简单随机抽样应满足什么样的条件；（4）如何进行简单随机抽样．教学的重点是使学生关注数据收集的方法应该由目的与要求所决定的，任何数据的收集都有一定的目的，数据的抽取是随机的．要更加理性地看待数据收集的方法，要从随机现象本身的规律性来看待数据收集的方法．特别是要突出简单随机样本的两个特征．要改变学生仅从形式上来理解简单随机抽样的问题．在教学中学生可能会产生随机抽样中简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的雏形，教师不必进一步明确界定概念，可待后续的学习中进一步完善．

四、教学支持条件分析

本节课教学支持条件首先是学生已经学习过随机抽样的概念，因此教学可以在此基础上展开．教材例题的选取都来自于学生的生活经验，便于学生理解．可以通过投影和计算机，扩展学生收集数据的方法．基于本节课内容的特点和高一年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择问题引导、事例讨论和归纳总结相结合的教学方法．与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围．在引导学生进行观察、分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率，激发学生的学习兴趣．

五、教学过程设计

（一）章起始课的教学

情景引入：（展示图片）

1.我国是世界上的第三个贫水国，人均淡水占有量排列世界第109位；

2.我国土地沙漠化问题非常严重，全国沙漠化土地总面积已超过17.4万km2，并以每年3400 km2的速度扩张．

俗话说：不说不知道，一说吓一跳，你知道这些数据是怎么来的吗？

教师讲解：我们生活在一个数字化时代，时刻都在与数据打交道，我们常常从媒体获得当地的气温、自然资源状况、农作物的产量、电视台的收视率等等．实际上这些数据是通过调查获得的．怎样调查呢？可能大家在初中已经了解了有关调查的知识．是对考察对象进行全面调查吗？尽管全面调查（即普查）有时也是必要的，但现实生活中这既不可能，也没必要．如要了解一批烟花的质量我们总不能一个地“施放”烟花．实践中，由于考察的总体中个数往往很多，而且许多考察带有破坏性，因此，我们通常只考察总体中的一个样本，通过样本来了解总体，这是统计的意义所在．进一步，从节约费用的角度考虑，在保证样本估计总体达到一定精度的前提下，样本中包含的个体数越少越好．于是，如何设计抽样方法，使抽取的样本能够真正代表总体，就成为我们要关注的一个关键，这也是评价一种抽样方法优劣的标准．那么，怎样从总体中抽取样本呢？如何从样本数据中提取基本信息，来推断总体的情况，以我们本章学习的内容．学习了本章以后同学们将会使用适当的抽样方法从总体中抽取样本，并能根据样本数据对总体作出合理的推断．

【设计意图】从章起始课的教学形态看，目前章起始课教学的比较现实的模式是充分利用人教版教材中的章引言材料，通过创设适当的问题情景，由教师通过浅显的讲解，让学生了解本章的学习内容和要求．这里有两个问题值得研究：一是问题情景的创设，可以是与现实背景相关的问题，可以是数学概念的形成过程中的问题，也可以是数学史或数学典故等；二是教师的讲解方式，由于是起始课，在学生还不了解学习内容的情况下，教师的讲解是必要和重要的，但关键是讲解的方式．

（二）创设情景，回顾概念

问题1：有一则小故事，小明的妈妈让小明到超市买一斤桔子，小明买回来后妈妈问：“桔子的质量怎样？”小明说：“都很甜”．“你怎么知道？”“我都已尝过了．”

从统计的观点看，这里发生了什么？

【设计意图】通过一则小故事，首先是激发学生的兴趣，主要目的是使学生回顾普查与抽样的概念，学生可能会感到小明为了获取桔子质量的最好的办法是采取抽样的方法．教师可以追问，如果小明买的是10斤桔子，那他又如何能够知道所买的桔子的质量呢？在现实生活中，为了获取数据我们常常采用普查和抽样的方法，当然采用什么样的获取数据的方法要由目的而定，其实，我们抽取数据的根本目的是为了研究总体的情况．

（三）形成随机抽样的概念

问题2：现在生活中我们为了决策，需要获取很多的数据信息，我们需要采取不同的获取数据的方法．今天我们就要对抽样这样收集数据的方法开展讨论和研究，请大家积极参与，主动发言．在下列问题中你会选择怎样的调查方法？为什么？

（1）要检验超市中牛奶中是否含有三聚腈胺？（2）每天在学生进校时检查体温是否超过37.5℃（3）要了解一锅汤的味道．（4）要检查一批烟花的质量．（5）要检查日光灯管的使用寿命．（6）要统计一座大桥上交通的流量．（7）要调查本校学生的平均身高． 【设计意图】从学生的生活实际经验中选取一些事例提出问题，回顾抽样的概念，在研究这些事例的某方面问题时，由于遇到不方便、不可能、不必要进行普查等因素，就必须采用抽样的方法．教师应给学生独立思考的空间并让学生充分发表自己的意见，只要合理都予以肯定．想一想为什么只要尝一勺汤就能知道一锅汤的味道？高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体．如果我们能够设法将总体“搅拌均匀”，那么，从中任意抽取一部分个体的样本，它们含有与总体基本相同的信息．

问题3：关于数据的收集方法，你对有关的知识了解了多少？请哪位同学说说？ 【设计意图】通过学生的回忆，巩固以下几个关于随机抽样的概念．我们必须普查：为了一定的目的而对考察对象进行全面调查称为普查．总体：所要考察对象的全体称为总体．从数理统计的角度，我们关心的是研究对象的某项数量指标，可以把研究对象的某项指标的值的全体看作总体．个体：组成总体的每一个考察对象称为个体．抽样：从总体中抽取部分个体称为抽样．样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中个体的数目叫做样本容量．

（四）加深对随机抽样的认识

问题3：为了了解本校学生的视力情况，设计了以下三种方法：（1）对一个班级进行调查；

（2）在高三年级选取3个班级进行调查；

（3）在全校的每个班级分别选取3个男同学和3个女同学进行调查． 请你评价和选择你认为合理的抽样方法，并说明理由．

【设计意图】通过实例让学生理解，样本的选取应具有广泛性，只有具备了广泛性才更加具有代表性，随机样本的代表性好于方便样本．

问题4：为了调查本班学生的视力，抽取3位同学进行调查，可以吗？为什么？ 【设计意图】通过实例让学生理解如果抽取的样本容量太小，就不具备代表性，而太大没有必要，因此抽取的样本必须的恰当的样本容量．

问题5：小明为了调查本年级同学的视力的情况，为了便于调查，他决定在自己认识的同学中开展抽样调查，你认为他的这种抽样调查合理吗？为什么？

【设计意图】通过实例帮助学生理解样本的选取要体现随机性和公平性，在简单随机抽样中，保证公平性的要求是保证每一个样本被选到的概率相等．如果不具备这样的条件，这种抽样就会不够合理，得出的数据就会不科学．因此，随机样本比方便样本的公平性要好．设计抽样方法时，最重要的是要将总体“搅拌均匀”，即使每个个体有同样的机会被抽中． 接着，教师指出教材中关于这个问题的一个著名的案例，“抽样中的泰坦尼克事件”．你认为预测结果出错的原因是什么？

问题6：为了调查中央电视台春节联欢晚会的收视率，电视台往往在节目播出以后马上进行，你知道这是为什么吗？

【设计意图】设计这个问题的目的是帮助学生理解，在随机抽样的过程中，数据收集的时效性有时也是很重要的．教师可以帮助学生总结在随机抽样中，应该注意抽样的广泛性、代表性、公平性、时效性和可操作性．

（五）随机抽样方法初探 问题7：有10000名高一年级学生参加期末统考，为了了解数学考试成绩，从中抽取1000份试卷．

（1）抽样在卷头拆封前进行；（2）每个考场有25名考生；

（3）参加考试的同一所学校的各个考场是连续编号．

你将如何进行抽样？你如何评价你所设计的抽样方法？为提高随机抽样的准确度，你认为应该怎么做．

【设计意图】这是一个开放性的课内学生实践问题，设计此问题的目的是在课堂内组织学生活动，要充分调动学生思维的主动性，估计学生在设计抽样方法的过程中，会抽出简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的方法，教师不必明确这此抽样的方法的名称，待后续的课程予以解决．在学生回答问题的过程中，教师也可以增加抽样的条件，如学校有农村中学和城镇中学如何保证样本的代表性等．

（六）检查小结反馈

今天同学们学习了简单随机抽样的知识，现在我们一起回顾本节课的内容：（1）为什么要进行抽样？

（2）在抽样的过程中为什么要强调“随机性”？（3）在随机抽样中要注意哪些问题？

（4）在刚才同学设计的随机抽样的方法中你能作一个简单的评价吗？（5）你能说说随机抽样的目的是什么吗？

显然，随机抽样是为了帮助人们了解事物的本质，进而帮助人们进行科学的决策．最后我们来看一则故事：美国的著名物理学家费米一次在芝加哥的演讲中，向听众提到了这样一个问题：“芝加哥需要多少位钢琴调音师？” 大家对费米的提问都感到很奇怪，因为大家觉得这个问题根本无从下手．但费米教授用统计学的观点回答了这个问题，你知道他是怎么做的吗？如果让你来回答这个问题，你需要做哪些统计工作？

【设计意图】本节课的小结是通过问题的展开，这有利于学生进一步加深对随机抽样的理解．同时，用一则故事置学生于具体的背景之下，适当运用随机抽样的方法．不管学生采用如种方法教师都给以鼓励．通过这个问题说明在具体运用随机抽样方法时，要注意方法的可操作性．可能会有同学提出直接统计芝加哥有多少个钢琴调音师，实际上由于无法知道谁是钢琴调音师，这是调查的方法实际是不可行的．可以向学生介绍费米是这样做的：“假设芝加哥的人口有300万，每个家庭4口人，全市的家庭有钢琴．那么芝加哥共有25万架钢琴．一般来说，每年需要调音的钢琴只有，那么，一年需要调音5万次．每个调音师每天能调好4架钢琴，一天工作250天，共能调好1000架钢琴，是所需调音量的费米教授推断，芝加哥共需要50位调音师．”

．由此然后请学生思考：费米是怎么知道芝加哥每个家庭4口人，全市些数据是精确数据吗？是采用什么方法获取得？ 的家庭有钢琴？这同样“每年需要调音的钢琴有，每个调音师每天能调好4架钢琴，一年工作250天”等数据也都是通过随机抽样获得的数据进行推断的．然后根据统计数据进行统计了推断．这说明随机抽样除了自身需要满足一定的要求外，所获得相关信息越多，推断的结论越准确．

六、目标检测设计

1.请你把抽样调查与普查做一个比较，并说一说抽样调查的好处和可能出现的问题． 2.中央电视台需要在调查“春节联欢晚会”的收视率：（1）每个看电视的人都要被问到吗？

（2）对一所中学学生的调查结果能否作为该节目的收视率？

（3）你认为对不同社区、年龄层次、文化背景的人所做调查的结果会一样吗？

3.鸟岛地处青海省青海湖的西北部，在长约500米，宽约150米的岛上栖息着班头雁、棕头鸥、赤麻鸭、鸬鹚等十多种候鸟，要估计岛上有多少只鸟，你会采取什么方法？

第五篇：基于章头起始课的教学实践与思考

基于章头起始课的教学实践与思考

【摘 要】

“章头语和章头图”是一章内容的起始，也是一章内容的浓缩.以《分式》章头教学为例，类比分数的概念、性质、运算法则等去研究分式，尤其是学习《分式》的方法，培养学生宏观思考问题的意识，引领学生学会思考和研究问题，充分发挥章头起始课的教学价值，努力提升学生的思维品格和解决问题的能力.【关键词】 章头语和章头图；分数；分式

纵观苏科版教材，每章的开头部分都单独设计了意义深远的“章头语和章头图”，它是一章的起始，也是知识的生长点和归结点.“章头语和章头图”通常以言简意赅的文字说明和丰富多彩的图表统领一章的知识要点与思想方法.所以，作为学习者，用好一章的“章头语和章头图”，可先知先觉地“欣赏”到一章的全部内容与学习思路，为将来的具体学习提前做好规划；作为教者，透过“章头语和章头图”，可以很好地把握一章的重点与难点、思想与方法，一览全章内容，做到心中有数.笔者以苏科版教材《分式》“章头语和章头图”为抓手，通过教学实践，引领学生思考用怎样的方法和策略去学习本章内容，学习本章的哪些内容，并及时做好教学反思，以期引起各位同仁更多的关注与思考.1 课堂简录

环节1 问题导入

老师（充满期待）：同学们好！猜猜老师今年多大年龄？

学生1：30岁.老师：看上去老师还很年轻！其实老师今年已经36岁了，能告诉我你的年龄吗？

学生1：我今年15岁.老师（追问）：6年之后，你的年龄是我的几分之几？

学生1（略作思考）：12.老师（继续追问）：x年之后你的年龄与老师的年龄之比可以表示为什么呢？

学生1：15+x36+x.老师：很好！这就是我们今天要探索的分式（板书课题）.教学说明 教师通过猜猜老师的年龄，拉近了与学生之间的距离，并通过对年龄问题的追问，将分数自然过渡到分式，拉开探索《分式》问题的序幕.环节2 问题探究

老师：同学们，问题是思考的动力！今天老师带领大家一起来思考这样几个问题.活1 分式体验研究

在如下图1的长方形中，已知长方形的面积为10cm2，宽为4cm，则长为 ；

学生2：长为104cm.老师（追问）：为什么呢？

学生2：因为长方形的面积等于长乘以宽，所以长等于面积除以宽.老师：很好！如图2，如果把长方形的宽改成acm，那则长为 ；

学生3：长为10acm.老师（追问）：如图3，如果再把长方形面积改成bcm2呢？

学生3：长为bacm.图1 图2 图3

教学说明 让学生经历从数到式，从特殊到一般的思维体验，体会从分数到分式的变化过程，为类比分数做好铺垫.活动2 概念类比研究

老师：说得很好！下面请大家分成4人一组的学习小组，并从桌肚中拿出一个信封，合作进行一个“组式子”的游戏.游戏规则如下：1.甲同学从信封中抽取一张卡片；2.乙同学再从信封中抽取一张卡片；3.丙同学将这两张卡片上的式子用除法运算组成新的式子；4.丁同学负责统计结果并代表小组进行归纳发言.学生代表纷纷走到黑板前贴出如下代数式：-57m+4n，-2ab3，3x-513m2-5，5x2-7y-7mn，a2+b25，-2-11m，m2+3n+1-2y2-3x，5m-4-5m，1713.老师：请大家找一找，哪些是自己学过的？

学生4：1713是分数.学生5：-2ab3、a2+b25是整式.老师：这三个式子是我们熟悉的.那么，剩下的这些式子有什么共同特征？请大家在小组内展开讨论，并代表小组发言.学生7：与分数一样，都有分数线.学生8：与分数不一样的是分母都含有未知数.老师：能否用一个一般的式子表示出来？比如说形如……

学生9：形如AB.老师（追问）：A、B是什么？具体一点.学生9：A、B为整式，B中含有未知数.老师：说得真好！这就是我们要研究的分式，分式实际上就是将两个整式做除法，但分母中必须含有未知数.（板书课题）

教学说明 通过合作探究，让学生把整式组合成各种不同的代数式，有分数，整式，也有分式，在学生找出认识的分数和整式后，留下的自然是分式，这样的设计能有效激发学生学习的内驱力和好奇心，为探究分式做好铺垫.活动3 性质类比研究

老师：分式是否具有与分数相类似的性质？请大家思考：我们怎么去学习分式？学什么？（稍停顿）：回忆一下学习分数时，我们学习了它的什么？

学生10：学习了什么是分数、分数的性质、分数的加减乘除运算和分数的应用等.老师：我们已经研究了分式的概念，类比分数的性质，我们来看看分式有哪些性质？请大家围绕下面的问题展开探究.1.填空（投影）：（1）104=20=2；（2）10a=20=10M；（3）10a=5=10÷N

（学生回答略）

老师：在上述类比学习过程中，类比学习应关注什么？你有何感悟？（讨论）

学生11：应该注意分子或分母一方有何变化，那么另一方应作同样的变化.学生12：是不是应该注意分子和分母不能同时乘以或除以0？

老师：说得很好！学习分数的时候就有这样的性质，分式同样如此.下面我们一起来用拼图的方法对上述性质做验证.图4

2.验证，如：（2）10a=202a，分子、分母同时扩大2倍，请你对照图4说明一下.学生13：10a表示宽为a，面积为10的长方形的长，将两个同样的长方形的长拼在一起后，202a即表示宽为2a，面积为20的大长方形的长.图5

学生14：同样地，对（2）10a=10MaM，分子、分母同时扩大M倍，如图5，将M个长方形的长依次拼在一起后，10MaM即表示宽为aM，面积为10M的大长方形的长.老师：（3）中的变化又如何解释呢？图6

学生15：10a=5a÷2，即如图6，将原长方形剪成长不变，宽为a2的两个相同小长方形，10a表示原长方形的长，5a÷2表示剪开后的小长方形的长，这两个长相等.老师：那么10a=10÷Na÷N又如何理解呢？

学生16：那就将长方形用图6中的方法剪成长不变，宽为aN的N等分……

教学说明 此处不但类比分数对分式的性质进行研究，同时，在研究得出结论的基础上，用图形的“拼割”对分式的性质进行验证，用图形的变化解释数（式）的变化，有效增强了思维的厚度和对分式性质的本质认识.活动4 运算类比研究

老师：有了分式的性质做后盾，那么分式能运算吗？

3.填空（投影）：（1）10a+10a= ；（2）pa+qa= ；（3）ab+cd=.学生17：类比分数的运算，可得……

老师：能用拼图的方式来验证一下吗？图7

学生18（上台）：将两个相同的长方形的宽拼在一起（如图7），10a+10a=20a即表示两个小长方形的长10a之和等于大长方形的长20a.老师：pa+qa=p+qa呢？图8

学生19：如图8，将图7中的小长方形面积改成pcm2、qcm2.老师：异分母的分式相加呢？

学生20：类比分数的异分母加法，先通分，再运算：ab+cd=adbd+bcbd=ad+bcbd.老师：还能用拼图的方法验证一下吗？图9

学生21：如图9，将图7中的小长方形面积改成adcm2、bccm2，将宽改为bdcm，ad+bcbd即表示拼成的大长方形的长.老师：如果改成减法运算呢？请大家分小组继续探究：

4.填空（投影）：（4）10a-6a= ；（5）pa-qa= ；（6）ab-cd= ；（7）ab×cd= ；（8）ab÷cd=.……

教学说明 在借鉴分数运算方法的基础上，对分式运算进行类比研究，并拼图进行验证，让学生学会运用类比的思想去解决问题，体会其中的数形结合思想，不知不觉中，学生学会了解决问题的方法，提升了处理问题的能力.活动5 分式方程的探究

老师：让我们回到年龄问题：今年你15岁，老师36岁，多少年后你的年龄与我的年龄之比为1∶2？

学生22：不知道，但好像可以用方程来求解.老师（追问）：设x年后你的年龄与我的年龄之比为1：2，方程怎么列呢？

学生22：15+x36+x=12.老师：这是一个怎样的方程呢？

学生23：可以叫它分式方程吗？

老师（追问）：为什么想到起这个名字？

学生23：因为等式的左边是一个分式.老师：有道理！你会解这两个方程吗？

学生：不会.老师（追问）：仔细观察，它与下面两个方程有何关系呢？

投影展示：①15+x=1236+x；②215+x=36+x.学生24（一拍脑袋）：这两个方程我们会解，我发现方程①就是由分式方程两边同时乘以36+x得到的；方程②也是去分母得到的，或者“交叉相乘”得到的.老师：真厉害！解分式方程的思路实质上就是通过去分母，将它转化为我们熟悉的整式方程求解.环节3 小结与思考

老师：本节课我们学到了哪些知识？给你感受最深的是什么？

学生25：类比分数的知识，我学会了分式的性质与运算，还知道解分式方程的思路.学生26：我感受到了一种学习方法：类比.学生27：我对《分式》有了一个全面的认识，我会运用今天学到的方法努力学好它.老：大家归纳得都很好！在学习过程中能体会到学习的方法，尤其是类比分数，研究分式，在我国古代，鲁班造锯是源于“茅草割手”，想到发明锯子（PPT出示图片），愿大家在学习过程中体会到更多的数学思想方法！2 教学反思

2.1 “章头语和章头图”教学应立足整体布局，优化学生的认知结构

“章头语和章头图”是对一章内容的统领与概括，是本章内容的核心，透过章头语和章头图，我们能看到什么？想到什么？学会什么？这都是我们对章头进行教学设计应该思考的问题.俗话说：“凡事预则立，不预则废.”如果我们能够透过“章头语和章头图”，通过对它的认识与分析，预先洞察出本章将要学习的内容与方法，对本章内容的学习做到心中有数，学习自然事半功倍！

实际教学过程中，很多老师对“章头语和章头图”采取避而不谈的态度，直接绕过它去学习本章内容，虽然对整个教学体系没有太大影响，但对学生而言，缺乏对一章内容从宏观上的把握与了解，现在已经学习到本章的什么地方？学习到什么程度？还有哪些内容将要学习？学生不能做到心中有数，这种情况下对本章知识学习的宏观理解是不利的.如果要让学生知道即将面对什么样的问题，用怎样的方法去学习，就需要将“章头语和章头图”教学具体化、常态化，这样既能起到一个预习、先知先觉的了解作用，预防接收知识的突然性，又能培养学生宏观思考问题、有效规划学习的良好习惯.因此，我们有必要将“章头语和章头图”教学当作每章起始教学课，粗线条展示知识体系，细线条渗透方法，为本章学习铺路搭桥，做好向导，以达到优化学生认知结构的目的.2.2 “章头语和章头图”教学应注重能力培养，引领研究问题的方法

学生学习能力的培养关键在于掌握学习方法，“章头语和章头图”教学则完全具备这样的“担当”，它通常以鲜明直观的一两句话或简明扼要的图形进行设计，且文字和图形背后的内容意义深远，为学生提供了解释、思考问题的途径，也为学生的学习指明了方向.这不仅为解决一章的数学问题提供了有效资源和相应的思维方式，同时也成为学生创新思维的源泉，能有效培养学生的观察力与分析推理能力.在本课例中，教者引导学生回忆分数的概念、性质、运算法则等，展开对分式概念、性质和运算法则的研究，有效提升了学生研究问题的能力.在教者的适度引领下，学生逐步学会发现问题、研究问题和解决问题，并为学生今后的问题研究提供了一种导向和“宏观”思维模式，学生学到的是研究问题的思路与策略，将会受益终生.因此，用好“章头语和章头图”往往能起到高屋建瓴、画龙点睛的良好效果.2.3 “章头语和章头图”教学应渗透思想方法，提升学生对数学问题的理解

“章头语和章头图”既是一章学习内容的概括，也是本章内容在思想方法上的浓缩与体验，其中渗透了很多思想方法，它能给学生的思维注入新的活力，为学生的思维发展指明方向，有效促进学生不断明晰学习思路，提升能力.美籍数学家波利亚曾经说过：“类比是一个伟大的引路人！”本节课以类比研究?樗悸罚?通过对比分数的定义、性质、运算等内容去研究分式，实现从数到式的自然跨越.正如课堂小结部分提到的：“鲁班造锯”源于“茅草割手”，人类正是凭借丰富的类比和想象，实现了很多不可思议的伟大发明.除了类比，教者还就如何理解分式的性质及运算，引导学生用剪拼长方形的方式进行验证，体会其中的数形结合思想，加深学生对分式性质和运算的理解，提高学生对分式的认识，深刻体现了几何直观思想.在对分式方程的解法进行探究时，引导学生对比变形前的分式方程与变形后的整式方程，体会其中的转化思想，通过教者的引导，巧妙地将陌生的问题转化为熟悉的问题，增强数学知识之间的关联度，促进学生对数学知识的认识与理解.因此，以“章头语和章头图”教学为载体，通过有形的知识深入理解“无形”的思想方法，能有效提升学生的思维品格和解决问题能力.作者简介 赵军，江苏省特级教师，全国基础教育课程改革先进个人.在教学实践中逐步形成了一套行之有效的“四动”教学理念，教学研究深入，教学艺术丰富，教学成果丰硕，研制的教具获国家专利，先后发表省级以上教育教学论文150余篇.