小五数学第15讲：牛吃草(教师版)

第一篇：小五数学第15讲：牛吃草(教师版)

第十五讲

牛吃草问题

牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解题思路培养：解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。

掌握四个基本：公式解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

假设定一头牛一天吃草量为“1”

1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

1.牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

答案：12周

解析：27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生长数 162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周

2.有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

答案：11桶

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分钟涌量)60-15×0、5=52、5（原有水量）

52、5+/(5×0.5)/5=11桶

3.有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

答案：49人

解析：17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生长量 510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人

4.有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

答案：4人

解析：6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉数 24+4×4=40原有数

这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天

5.一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

答案：12台

解析：5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入库数 100-20×2=60原有库存数60+2×6=7272/6=12台

6.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？

答案：120 解析：20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分钟减少数 80+4×10=120原有数70+5×10=120

A

1.牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15 头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？ 答案：5天

解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份„„原草量+20天的生长量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份„„原草量+10天的生长量

100÷（25-5）=5天

2.牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？

解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的生长量：（180-150）÷（20-10）=3份

9×20=180份„„原草量+20天的生长量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份 15×10=150份„„原草量+10天的生长量 120÷（18-3）=8天

3.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块 草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份„„原草量-5天的减少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份 15×6=90份„„原草量-6天的减少量（150-10×10）÷10=5头

4.由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 草每天的减少量：（240-225）÷（9-8）=15份

30×8=240份„„原草量-8天的减少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份 25×9=225份„„原草量-9天的减少量 360÷（21+15）=10天

5.自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每

分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

解析：男孩：20×5 =100（级）自动扶梯的级数-5分钟减少的级数 女孩;15×6=90（级）自动扶梯的级数-6分钟减少的级数 每分钟减少的级数=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(级)自动扶梯的级数=20×5+5×10=150（级）

B 6.两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？

解析：3×100=300自动扶梯级数+100秒新增的级数 2×300=600自动扶梯级数+300秒新增的级数

每秒新增的级数：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）自动扶梯级数=3×100-100×1.5=150（级）

7.有一片牧场，操每天都在匀速生长（每天的增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？ 解析：假设1头1天吃1个单位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天长的草可供24/2=12头牛吃 最多只能放12头牛

8.有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天，或6供头牛吃30天。如果4头牛吃了30天后，又增加2头牛一起吃，这片草地还可以再吃几天？ 解析：假设1头1天吃1个单位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天长的草:20/(40-30)=2 原有草：200-2*40=120 4*30=120，30*2=60 60/4=15天

9.假设地球上新增长资源的增长速度是一定的，照此推算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年，为了人类不断繁衍，那么地球最多可以养活多少亿人？ 解析：假设1亿人头1天吃1个单位 110*90=9900；90*210=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75 10.两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。问井深是多少？

解析：20×5=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑数 100+5×10=15015×6+10×6=150

C

11.李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。如果50人担水，20小时可把池水担完。如果70人担水，10小时可把池水担完。现有130人担水，几小时可把池水担完？

解析：50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小时增加1000-30×20=400原有

400/(130-30)=4小时 12.一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周或23头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃几周？

解析：这片草地上的草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变量——即原来的草的数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到是匀速生长，因而这片草地每天新长出的草的数量也是不变的。

假设1头牛一周吃的草的数量为1份，那么27头牛6周需要吃27×6=162（份），此时新草与原有的草均被吃完；23头牛9周需吃23×9=207（份），此时新草与原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的数量与6周新长出的草的数量的总和；207份是原有的草的数量与9周新长出的草的数量的总和，因此每周新长出的草的份数为：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的数量为：162-15×6=72（份）。这片草地每周新长草15份相当于可安排15头牛专吃新长出来的草，于是这片草地可供21 头牛吃72÷（21-15）＝12（周）

13.一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？

解析：12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生长数 192-16×6==96原有数96+6×6=132132/6=2222×4=88头

14.有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12个人淘水，3小时可以淘完。如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。现在要想2小时淘完，需要多少人？

解析：12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小时增加数 36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人

15.有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11台

1.一片草地，每天都匀速长出青草。如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天吃完。那么可供19头牛吃几天？

答案：12天

解析：6天时共有草：24×6＝144 10天时共有草：20×10＝200 草每天生长的速度为：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60 可供19头牛： 60÷（19－14）＝12（天）

2.牧场有一片青草，每天生成速度相同。现在这片牧场可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

解析：思路，把羊转化为牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相当于“20头牛吃12天”

现在是“10头牛与60只羊一起吃这一片草”相当于“10＋60÷4＝25头牛吃草” [16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y x=10

y=8 3.某牧场上长满牧草，每天匀速生长,这片牧草供17头牛吃30天,19头牛吃24天,现有一群牛吃了6天,主人卖掉了4头牛,余下的牛吃了两天后刚好把草吃完,问这群牛原有几头? 解析：设原有Y头，x还是“剪草的” [17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2 注意：剩下的2天已经卖掉了4头牛，要分开计算（y-x-4）*（6+2），这样列式就错了 x=9 y=40 4.某市水库水量的增长速度是一定的，可供全市12万人使用20年，在迁入3万人之后，只能供全市人民使用15年，市政府号召大家节约用水，希望将水库的使用寿命延长至30年，那么居民平均需要节约用水量的比例是多少?()A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4 答案：A

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30 x=3

y=9 15-9=6 即多出6万人，这6万人要用15万人的6/15=2/5 5.有一个水池，池底有一个出水口，用3台抽水机24小时可将水抽完，用9台抽水机12小时可将水抽完。如果仅靠出水口出水，那么多长时间将水漏完？

解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得X=-3(不要理会负数，按正3理解好了)带入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48

1.旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数

解析：设一个检票口一分钟一个人

1个检票口30分钟30个人

2个检票口10分钟20个人

(30-20)÷(30-10)=0.5个人

原有1×30-30×0.5=15人

或2×10-10×0.5=15人

2.有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？

解析：这是一道是比较复杂的牛吃草问题。

把每头牛每天吃的草看作1份。

因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份

所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份

因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份

所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份

所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份

所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份

第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。

两种解法：

解法一：

设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)解法二：

10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头

3.一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解析：这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为

1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为

14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）答：17人2小时可以淘完水。

4.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天。那么它可供21头牛吃几天？ 解析：将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设27头牛中有X头是“剪草工”，这X头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完”，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27－X)头牛是真正的“顾客”，它们负责把草场原来的草吃完。（请慢慢理解，这是关键）

设每天新增加草量恰可供X头牛吃一天,21牛可吃Y天（后面所有X均为此意）可供27头牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）头牛6天把草场吃完 可供23头牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）头牛9天把草场吃完 可供21头牛吃几天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）头牛Y天把草场吃完 因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面1、2、3（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】

解这个方程组，得 X＝15（头）

Y＝12（天）

5.有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

解析：现在是三块面积不同的草地．为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来．（这是面积不同时得解题关键）求【5，6，8】得最小公倍数为120

1、因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11*24＝264(头)牛吃10天．

2、因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12*20＝240(头)牛吃14天． 3、120÷8＝15，问题变为：120公顷草地可供19*15＝285(头)牛吃几天？ 这样一来，例2就转化为例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y（264－X）·10＝（240－X）·14

【1】（240－X）·14＝（285－X）·Y

【2】 解方程组：X=180（头）

Y=8（天）典型例题“牛吃草”已介绍完毕。

6.有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？

解析：前几天我们接触的是在同一块草地上，同一个水池中，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。即

[5，6，8]=120 这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，120÷5=24，变为120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天

第二块6公顷可供12头牛吃14天，120÷6=20，变为120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天。

120÷8=15。问题变成：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？ 因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：

一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天，那么可供285头牛齿及天？即 每天新长出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）

可供285头牛吃的时间：840÷（285—180）=8（天）答：第三块草地可供19头牛吃8天。

7.一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天那么可供18头牛吃几天？

答案：15天．

解析：设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15 8.由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧

场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 答案：8天

解析：设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。

第二篇：牛吃草教案

牛吃草教案

教学目的：让学生了解什么是“牛吃草”问题以及其特点；

掌握“牛吃草”问题涉及的关键的量以及求解方法；

熟练运用“牛吃草”的方法，解决“牛吃草”的一些变形问题。主要知识点：

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

关键问题：确定两个不变的量（1、原有总草量；

2、草的生长速度）。基本公式：

①生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

②总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量 ③吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

④牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。例题引导：

目的：引导学生自己归纳总结出来牛吃草的特点：

引例1：有一堆干草：10头牛吃15天，问如果是25头牛，可以吃几天？（6天）

计算很简单，主要引导同学们知道把牛每天吃草量设为单位“1”。

在计算下两种情况下，总草量是否一样？（完全一样为：150）引例2：一片青草地，牧草每天都在匀速生长，18头牛吃16天，但是，27头牛吃8天，让学生算算原有草量是多少？

（老师给出算法：也是设一头牛一天吃单位1的草量）

情况1:

18*16=288，情况2：

27*8=216（提问：为什么不一样）

引导学生分析出来，草每天还要均匀生产，时间长，草就长的多，影响了牛吃的总草量，并分析出来牛吃的总草量由什么组成（可以与引例1想比较说明这点）。

即：牛吃的总草量=原有总草量+草的生长总量

草的总生长量=草的生长速度*天数 让学生求：原有总草量和草的生长速度

方法：设1头牛一天吃的草为1份，那么18头牛16天吃的就是18*16=288份，是原有的草和16天新长出来的草；27头牛8天吃的就是27*8=216份，是原有的草和8天新长出来的草。由于原有的草量不变，所以相差的288－216=72份草，是16－8=8天所长出来的，即每天长72÷8=9份（草的生长速度）。也就是说，每天要有9头牛专吃新长出来的草，总草量才不变，所以牧场上原有的草有（18－9）×16=144份（原有总草量）。（以上解答，可以画线段图，可以刚好帮助学生理解分析）追加一问：现在，如果是21头牛可以吃几天？（学生自己解答）一定强调：生长出来的草可以供牛吃，不是全部的牛吃原因草量，所有草吃光为止！

讲解，先去掉9头牛吃新长出来的草，剩下的吃原有的草，可以吃144÷（21－9）=12天。总结：

这类总量不断变化的问题就是英国大数学家牛顿提出的“牛吃草”问题，也有人称之为“牛顿问题”。（所以不是马吃草）特点：①原草量②新草生长速度是不变的 解题思路说明：

（1）解牛吃草问题，一般是先求出每天新长出来的草量，它是通过对比两种不同吃法而得出的；

（2）求出每天新长出来的草量之后，可以让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛吃原有的草，可根据后一种吃法求出原有的草量；

（3）在所求的问题中，让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛吃原有的草，易求出吃的天数。可以给出公式：

①生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

②总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量 ③吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

④牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度（可以在出一问说明或者条件反过来说明）。

巩固：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

例2：一艘木船发生了漏水事故，水匀速的涌入。3人淘40分钟可以把水淘完，5人淘，20分钟可以把水淘完。现在由6人把水淘完，需要多长时间？ 【分析与解答】

分析：从表面上看，本题中没有牛吃草，但是因为总的水量不断改变，我们把“水”看作“草”，涌入的水就相当于新长出来的草，船内原来已漏进的水就相当于原有的草，人淘水就相当于牛吃草，所以本题的实质也是牛吃草的问题，解法与例1相似。

设1人1分钟淘的水量为1份，那么3人40分钟淘的水是3×40=120份，5人20分钟淘的水量是5×20=100份，这两次所淘的水量中都包括原来已经漏进的水量和从开始淘到淘完这段时间内又涌入的水量，所以相差的120－100=20份水是40－20=20分钟涌入的，所以每分钟涌入的水量为20÷20=1份。显然，1人专淘涌入的水，原有的水量不变。因此，原有的水量为（3－1）×40=80份。

现在，要求6人几分钟把水淘完，先让1人专淘涌入的水，剩下的人淘原有的水，可以淘80÷（6－1）=16分钟。例3：某电影院在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。现在要使队伍10分钟消失，那么需要同时开几个检票口？ 【分析与解答】

分析：等待检票的观众人数在变化，“观众”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，所以本题实质上也是一道牛吃草的问题。总的草量相当于观众总人数，即开始检票前已经在排队的原有观众和检票开始后新来的观众。

设1个检票口1分钟检票的观众人数为1份，那么4个检票口30分钟通过的人数为4×30=120份，5个检票口20分钟通过的人数为5×20=100份，说明在30－20=10分钟内新来的观众人数为120－100=20份，所以每分钟新来观众为：（4×30－5×20）÷（30－20）=2份

显然，让2个检票口检新来的观众，等待的队伍人数不变，其余的检票口检原有的观众，原有观众为：（4－2）×30=60份。

现在，要在10分钟内检完票，使观众不再排队等候，应让2个检票口专检新来的观众，以使原有人数不变，原有人数从其他检票口10分钟通过，所以共需要的检票口为： 60÷10＋2=8个。例4：自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？

分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。

上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5= 100（级），女孩6分钟走了15×6=90（级），女孩比男孩少走了100－90=10（级），多用了6－5=1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（级）。

解：自动扶梯每分钟走

（20×5－15×6）÷（6—5）=10（级），自动扶梯共有（20+10）×5=150（级）。答：扶梯共有150级。

例

5、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草（20+10）×5=150（份）。

由 150÷10=15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。练习与巩固

1.一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供30头牛吃5周，问可供42头牛吃几周？

2.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样的抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？

3.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？

4.两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？

5.由于天气逐渐变冷，牧草上的草每天以均匀的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天，那么，可供11头牛吃几天？

第三篇：牛吃草教案

牛吃草问题

教学目的：让学生了解什么是“牛吃草”问题以及其特点；

掌握“牛吃草”问题涉及的关键的量以及求解方法；

教学难点：推导解决牛吃草问题的方法和过程 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

一、例题引导：

目的：引导学生自己归纳总结出来牛吃草的特点：

课前热身：“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”

引导学生知道把牛每天吃草量设为单位“1”。

如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”。算法还一样吗？

提问：为什么不一样？

引导学生分析出来，草每天还要均匀生产，时间长，草就长的多，影响了牛吃的总草量，并分析出来牛吃的总草量由什么组成。

揭示：这类总量不断变化的问题就是英国大数学家牛顿提出的“牛吃草”问题，也有人称之为“牛顿问题”。（播放课件）特点：原草量、新草生长速度是不变的

二、新授

讲解例1 一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在匀速生长）解题思路说明：

（1）牛吃草问题，一般是先求出每天新长出来的草量，它是通过对比两种不同吃法而得出的；

（2）求出每天新长出来的草量之后，可以让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛吃原有的草，可根据后一种吃法求出原有的草量；

（3）在所求的问题中，让一些牛专吃新长出来的草，剩下的牛吃原有的草，求出吃的天数。公式：

牛头数＝原有草量÷吃的时间＋草的生长速度

练习：一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？（生独立完成，展示讲解）

讲解例2：有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？

这道题和上一题相比，有什么异同？

让生算出新生草和原有草，引导学生得出吃的时间的算法。吃的时间＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

练习：一只船发现漏水时，已经进了一些水了，水是匀速进入船内，如果10人淘水的话，3小时可以淘完；如果是5人淘水的话，8小时可以完成。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

引导学生说一说这一题为什么可以看做牛吃草问题。我们把“水”看作“草”，涌入的水就相当于新长出来的草，船内原来已漏进的水就相当于原有的草，人淘水就相当于牛吃草，所以本题的实质也是牛吃草的问题。

三、总结与练习

总结牛吃草问题的特点，总结解题步骤。步骤：

①生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

②总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量 ③吃的时间＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

④牛头数＝原有草量÷吃的时间＋草的生长速度。练习巩固2题，生独立完成。

第四篇：牛吃草问题教案

牛吃草问题

牛吃草问题量的关系：

例1：一片草地长满了匀速生长的牧草，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，问可供25头牛吃多少天？ 1：先求每天新生长的草量： 2：再求这片草地原有的草量： 3：最后求可供25头牛吃几天： 【学以致用】

1、一片牧草，每天生长的速度相同，这片牧草可供10头牛吃20天，或供15头牛吃10天，问可供30头牛吃多少天？

2、有一片牧场，已知牛27头，6天把草吃尽，牛23头，9天把草吃尽，如果有牛21头，几天能把草吃尽？

3、一片牧场长满草，每天匀速生长，这片牧场可供5头牛吃8天，或供14头牛吃2天，问可供10头牛吃几天？

4、有三块草地长满了草，每公顷草量都相同且每天匀速生长，第一块草地有10公顷，可供220只羊吃10天，第二块草地有12公顷，可供240只羊吃14天，第三块草地16公顷，可供380只羊吃多少天？

例2：博物馆开门前就有参观的观众排队等候，每分钟来参观的人数一样多，打开4道门让人们进馆参观，30分钟就不再有排队的现象，打开5道门时，20分钟就不再有排队的现象，如果同时打开7道门，需要几分钟不再有排队的现象？ 1：先求每分钟进来的观众量： 2：原来排队的观众量：

3：同时打开7道门，需要几分钟： 【学以致用】

1、一水池有一根进水管，有若干根抽水管，进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，若用21根抽水管抽水，8小时可将池中的水抽干，那么用16根抽水管多少小时可将水池中的水抽干？

2、某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分后就没有人排队，如果有两个检票口，那么检票后多少分就没有人排队？

3、画展9时开门，但早有人来排队等候入场，从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队，那么第一个观众到达的时间是几点？

例3：一个水塘原有水量一定，有流水每天均匀的流入池塘内，用5台抽水机20天可以抽干，用6台同样的抽水机15天可以抽干，若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

1：水塘每天流入的水量： 2：水塘原有水量：

3：需要多少台同样的抽水机： 【学以致用】

1、一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光，那么想用4天时间把这块草地的草吃光，需要多少只羊？

2、有一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船内已经进了一些水，如果用12个人淘水，3小时可以淘完，如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完，现在想2小时淘完，需要多少人？

3、饲料厂除原有的一批饲料外，每天都生产相同数量的饲料供应周围的养鸡场，现在用5辆汽车拉厂里的饲料10天可以拉完，如果再增加7辆汽车，3天可以拉完，现在要求在2天内拉完所有的饲料，需要多少辆汽车？

4、某海港货场不断有外洋轮船卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如果用9辆汽车，12小时可以清场，如果用8辆汽车，16小时可以清场，该场开始只用3辆汽车，10小时后增加了若干辆，再过4小时就已清场，那么后来增加的汽车是多少辆？

第五篇：3牛吃草问题

一、例题精讲

例1． 有一个牧场，牧场上的牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供15头牛吃20天，或可供20头牛吃10天。那么，这片牧场每天新生的草量可供几头牛吃一天？

例2． 牧场上长满了牧草，可供24头牛吃6周，或可供23头牛吃9周。如果牧草每周均匀地生长。问原有草量可供几头牛吃1周？

例3． 一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12天，如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天吃的草量，那么10头牛和60只羊一起吃，可以吃多少天？

例4． 一片牧场，草每天生长的速度相同，现在，这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果一头牛每天吃草量等于4只羊每天吃草量，那么，12头牛与88只羊一起可以吃多少天？

例5． 由于天气渐冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少，经计算，现有牧场上的草可供20头牛吃5天，也供16头牛吃6天，那么，11头牛可吃几天？

例6． 由于天气渐冷，牧场上的草每天以固定的速度减少。已知某牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供12头牛吃7天，那么可供6头牛吃几天？

例7． 假设旅客在检票进站前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。若同时开4个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，需20分钟，如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟队伍就消失？

例8． 某火车站的检票口在开始检票前已有945名旅客排队等待检票。此时，每分钟还有固定的若干人前来进口处准备进站。如果开放4个检票口，15分钟可放完旅客；如果开放8个检票口，7分钟可以放完旅客。照此放人的速度，现要想在5分钟内放完所有旅客，需要开放几个检票口？

例9． 甲、乙、丙三个仓库各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带轮输送机和12个工人，5小时可将甲仓库里的面粉搬完；乙仓库用一台皮带轮输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带轮输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？（每个工人每小时工效相同，每台皮带轮输送机每小时工效相同，另外皮带轮输送机与工人一起往外搬运面粉）。

例10． 仓库里有一批存货，以后不断有车运货进仓，且每天运进的货一样多，用同样的货车运货出仓。如果每天用4辆车，则9天恰好运完；如果每天用5辆货车，则6天恰好运完。仓库里原有的货若用一辆货车运，则需要多少天运完？

例11． 有一片牧草，草每天匀速地生长，这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周。那么可供多少头牛吃两周？

例12． 一个牧场，草每天匀速地生长，每头牛每天吃草量相同，17头牛30天可将草吃完，19头牛只需24天就可将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的再吃2天就可将草吃完，问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？

例13． 一片牧草可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起又增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛？（草每天匀速增长，每头牛每天吃草量相等）

例14． 一片牧草，草每天生长速度相同，如果让马和牛去吃草，45天将草吃完；如果让马和羊去吃，60天将草吃完；如果让牛和羊去吃，90天将草吃完。已知牛、羊每天吃草量之和等于马每天吃草量，现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可将这片牧草吃尽？

例15． 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完。问原有羊多少只？

例16． 11头牛10天可以吃完5公亩牧场上的全部牧草，12头牛14天可以吃完6公亩牧场上的全部牧草，问19头牛几天可以吃完8公亩牧场上全部牧草？（每公亩牧场上每天生长草量相等）。

例17． 某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟15人前来排队检票，一个检票口每分钟能让30个人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始6分钟就没有人排队，如果两个检票口，那么检票开始后几分钟就没有人排队？

例18． 画展9点钟开门，但早就有人排队入场，从第1个观众来时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，则9分钟后，就不再有人排队；如果开5个入场口，则5分钟后，就不再有人排队。那么第1个观众达到时间是几点几分呢？

例19． 某火车站的检票口，在检票前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票。一个检票口每分钟能让25人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？

例20． 某足球赛检票前几分钟就有观众开始排队，每分钟来的观众人数一样多，从开始检票到等候入场的队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口则需30分钟。如果要使队伍25分钟消失，那么需要同时开几个入场口？

例21． 由于打字员的辞职，一个公司剩下一批需要打字的材料，而且每天还要新增加固定数量需要打字的材料，假设材料以页计数，每个打字员的打字速度是相同的，固定的（单位可以是页∕天），若公司聘用5名打字员，24天就恰好打完所有材料；若公司聘用9名打字员，12天就恰好打完所有材料，现在公司聘用了若干打字员，工作8天之后由于业务减少，每天新增的需要打字的材料少了一半，结果这些打字员用40天才恰好完成打字工作。问公司聘用了多少打字员？

例22． 一个水池装有一根进水管和若干根同样的出水管（进水管和出水管不同），先打开进水管等水池有了一些水后，再打开出水管，如果打开一个出水管，12分钟后水池空；如果同时打开2个出水管，4分钟后水池空。那么，出水管比进水管晚开几分钟？（每根进水管和出水管每分钟进水量相同）

例23． 商场自动扶梯匀速由上往下移动，两个顽皮的孩子在移动的扶梯上走动，男孩每秒钟向上走2级；女孩2秒钟向上走3级，结果男孩用100秒到达楼上，女孩用200秒到达楼上。问该楼层扶梯共有多少级？

例24． 哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，共走了100级，相同时间内，妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶，共走了50级，若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍，那么当自动扶梯静止时，自动扶梯能看到的有多少级？