“平行四边形, 三角形和梯形的面积公式教学研究” 校本教研活汇总（合集五篇）

第一篇：“平行四边形, 三角形和梯形的面积公式教学研究” 校本教研活汇总

“平行四边形、三角形和梯形的面积公式教学研究” 校本教研活动方案(一 朱乐平

一、活动目标

1.经历阅读、思考、解答并与同伴交流关于平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式教学的相关资料与问题。

2.明确化归法的含义。能够分清平行四边形、三角形与梯形的面积这三个公式教学时,教学目标上的相同与不同点。

3.能了解平行四边形面积计算公式教学的不同引入方法,并对不同的引入方法的优点与不足进行分析。

4.能够明确如何引导学生探索平行四边形面积计算公式。

二、活动时间

教研活动可以分成两个时间段,第一段是交流本方案中的问题60分钟。然后是一个老师上课,上平行四边形面积计算公式这节课40分钟,评课再50分钟。共2个半小时,可以在同一个半天中,也可以分开。可以根据学校教研活动的时间和教研组老师的情况,选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。

三、活动前准备

先让全组数学教师解答下面的问题,并准备在小组或全数学组交流。(注:以下带有*号表示问题有一定的难度。

(一

⒈你认为“平行四边形的面积、三角形的面积和梯形的面积计

算公式”这三块教学内容,小学生应该先学哪一块内容?为什么?现行的小学数学教材中,学生学习这三块内容的顺序是怎样的? ⒉平行四边形、三角形和梯形这三个图形的面积公式推导时,都运用了化归的方法(也有人叫它是转化的方法。

(1请你写一写什么叫化归法?如果你不能直接写出化归法的含义,那么,请你试着先举出运用化归法解决数学问题的例子,然后再试着写一写什么叫做化归法。

(2请你阅读下面的文章,阅读完后,请在数与代数和图形与几何的领域中各举一个运用化归法解决问题的例子。

如果问,数学家与其他科学家在解决问题时,在思维方法上有什么特别的地方?可能的回答是:数学家的思维方式更善于运用化归法。有人曾对“化归法”作过生动的比拟。“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,现在的任务是要烧水,你应当怎样去做?”。正确的回答是:“在水壶中放进水,点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。”接着又提出第二个问题:“假设其他的条件都不变,只是水壶中已有了足够的水,这时你应该怎样去做?”。对此,人们往往回答说:“点燃煤气,再把壶放到煤气灶上。”但这并不是最好的回答,因为“只有物理学家才这样做,而数学家则会倒去壶中的水,并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了。”

这个比喻固然有点夸张,但却道出了化归的根本特征。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示:

又如,当我们已经知道三角形内角和是180°后,(凸多边形的内角和的问题可以按照下面的方法来解决。

图1 如上图1所示,因为,四边形可以分割成两个三角形,所以,它的内角和是2×180°=(4-2×180°;因为,五边形可以分割成三个三角

形,所以,它的内角和是3×180°=(5-2×180°;因为,六边形可以分割成四个三角形,所以,它的内角和是4×180°=(6-2×180°;因为7边形可以分割成5个三角形,所以,它的内角和是5×180°=(7-2×180°;

……

一般地,因为n边形可以分割成(n-2个三角形,所以,它的内角和是(n-2×180°。从上面的分析可以知道,解决多边形内角和问题的关键是把多边形分割成(若干个三角形,这实质上已经把原来的求多边形内角和的问题化归成求三角形内角和的问题。而三角形内角和的问题已经解决,从而多边形内角和的问题也可以解决。

可以用下图直观的表示:

⒊如果用三节新课分别教学平行四边形、三角形和梯形面积的计算公式,那么这三节课的教学目标有哪些相同的地方?有哪些不同的地方? ⒋大家知道,如果先学习习近平行四边形的面积计算公式,那么可以用两个完全相同的三角形或梯形拼成一个平行四边形的方法,推导出三角形或梯形的面积计算公式,因此,这两个面积计算公式的教学可以有不同的课时设计。以下是两个不同的教学顺序: 教学顺序一:(1三角形面积计算公式新课(一课时;(2三角形面积计算公式练习课(一课时;(3梯形面积计算公式新课(一课时;(4梯形面积计算公式练习课(一课时;(5三角形与梯形面积计算的综合练习课(一课时。按照这样的教学顺序进行教学,一共安排5课时。

教学顺序二:

(1三角形与梯形面积计算公式新课(一课时;(2三角形与梯形面积的练习课(三课时;(其中第一课时重点练习三角形面积计算公式的应用,但也有梯形面积公式的应用练习;第二课时重点练习梯形面积计算公式的应用,但也有三角形面积计算公式的应用练习。第三课时是三角形与梯形面积计算公式的综合应用练习。共安排了4课时。

请你回答下面的问题:(1上面的两种不同的教学顺序你更喜欢哪一种?喜欢的主要理由是什么。(2从学生作业错误率的高低来看,凭你的经验,觉得按照顺序一这样教学,一开始的错误率会高还是低?大约到第几节课时,学生的错误率最高?按照顺序二教学,错误率的高低又是怎样变化的?(3有人认为:“不能简单地说上面的哪一种教学顺序更好。而应该根据对不同的学生实际,不同难度的数学教学内容来确定不同的顺序。”你同意这个观点吗?以下的一些情况,你认为分别运用哪一种教学顺序更合适?请在括号内分别写出顺序一或二。并简要说明理由。

①班级学生的数学基础相对比较弱;(②班级学生的数学基础相对比较好;(③数学教学的内容比较抽象,学生学习的难度比较大;(④学生学习的数学内容难度比较小;((4如果对两个基础差不多的班级学生,分别用上面的两种顺序进行教学,那么这两个班的学生,在三角形与梯形的面积计算公式的理解与掌握水平上会有差异吗?如果没有差异,主要原因是什么?如果有,主要差异是哪些?(5*如果要运用上面的两种不同的教学顺序设计做一个对比教学实验,那么,这个实验的主要过程是哪些?请你写一写。

(二

⒌按照现行教材的编写顺序,在学习习近平行四边形面积计算公式之前,学生有哪些知识和经验与学习这一知识密切相关? ⒍*在学生没有学习习近平行四边形面积公式之前,如果给他们一个平行四边形的纸片,让他们求出这个平行四边形的面积,他们可能会运用什么样的方法?(如果读者感兴趣,可以把了解学生学习习近平行四边形的面积计算公式的起点,作为一个专题来研究,写成专题研究文章,即通过调查,包括访谈,了解到学生的学习起点和解决问题的不同思路。

⒎一个老师在上平行四边形面积计算公式这节课时,设计了开门见山的导入方式,上课一开始教师就在黑板上写出:平行四边形的面积。并问:看到这个课题,你想提出什么数学问题。(学生提问。教师根据学生的提问梳理筛选出学习目标:(1什么是平行四边形的面积?(2怎样计算平行四边形的面积?(3计算平行四边形的面积有什么用处? 你喜欢这样的开头方式吗?你觉得这样的设计有什么优点?有什么不足? ⒏大家知道,在学习习近平行四边形的面积计算公式之前,学生已经学过了长方形的面积计算公式,但在长方形的面积计算公式推导中,学生并没有学到“图形的面积大小与高有关”这一知识点,也没有相应的基本活动经验。在平行四边形的面积计算公式推导中,学生将第一次接触“图形的面积与高有关”这一知识。掌握这一知识对于推导三角形和梯形的面积计算公式,显然有着十分重要的意义。想一想,你有什么办法可以让学生明确平行四边形的面积大小与高有关?下面的做法是否可以使学生明确到这一点? 先用硬纸板做一个平行四边形的框架,然后拉动变形,使得变化出的平行四边形有不同的高。拉动时,先定格在一个位置,让学生观察这时平行四边形的底、高和面

积等因素,再拉动定格在另一位置,让学生观察、想象、思考:两个不同位置时平行四边形的什么变了?什么没有变? 再做一个课件,在网格中先出示一个平行四边形,然后慢慢的不断变化,把变化前后的几个平行四边形都呈现出来(如下图2,让学生观察、想象、思考:什么在变?什么没有变?平行四边形的面积大小是怎么变化的?底与高是怎样在变化?面积的大小与什么有关?

图2 ⒐有一个老师在备平行四边形面积教学这节课时,做了以下的预设:今天我们来研究平行四边形的面积(板书课题。这里有两个图形(如图3,一个是长方形,一个是平行四边形,请大家先测量出必要的数据,再通过计算求出它们的面积。

图3 预设:第一个图形是长方形,学生会先量出(或数出它的长是6厘米,宽是4厘米,从而计算出面积是6×4=24(平方厘米。

第二个图形是平行四边形,学生可能会运用以下的一些方法求出它的“面积”:

方法一:先量出横的(水平的底是6厘米,斜的(倾斜的底是5厘米,从而计算出面积是6×5=30(平方厘米。这实质上是学生的猜想,这部分学生认为平行四边形面积等于相邻两边的乘积。

方法二:先测量出平行四边形相邻两条边的长度(也是两条底边的长度,分别是6厘米和5厘米,再计算出面积是(6+5×2=22(平方厘米。这是学生的又一个猜想。

方法三:先画出这个平行四边形底边上的高,再量出高是4厘米,底是6厘米,面积是6×4=24(平方厘米。这也是学生的一个猜想。

在学生有这些猜想后,接着就是运用各种方法来验证猜想是否正确。……。在上面的预设中,你觉得:(1学生有可能象方法一这样求平行四边形的面积吗?(2认为平行四边形面积等于相邻两边乘积的学生数占全班的百分比大约是多少?(3学生为什么会认为:平行四边形的面积等于相邻两边的乘积呢?也就是他们产生这一结论的主要原因是什么?(4可以设计怎样的教学过程,逐步引导学生自己认识到:“平行四边形面积等于相邻两边的乘积”这一结论是错误的?适当地改进上面第9题的演示过程,可以让学生明确这一点吗? ⒑在平行四边形面积计算公式教学时,要运用化归的方法,把平行四边形转化成为已经知道面积计算公式的长方形。这是学生第一次接触到剪、拼转化的方法。想一想,你可以通过怎样的引导过程,能够使更多的学生自己想到用这种剪、拼的方法? 下面是两个不同的引导过程,你更喜欢哪一个设计?为什么?(1整体入手的方法:教师向学生说明,下面将出示一些图形,要求他们求出这些图形的面积。如果图形中有方格,那么一个小方格代表1平方厘米。

(1(2(3

(4(5(6 图4

①出示上图4(1,让学生说一说它的面积是多少。可以用什么方法知道这个长方形的面积。交流后得到可以用数方格(数方格法和测量出长与宽的长度再计算出面积(公式法这两种方法。板书:数方格法:要把图形放在网格中。公式法:要测量出相关线段的长度,然后运用这些长度进行计算,从而得出这个图形的面积。

②出示图4(2,让学生说出面积是多少。并进一步明确可以用数方格法和公式法得出面积。引出剪、拼转化的思想,讨论交流:剪、拼转化前后两个图形的什么变了(形状变了,什么没有变(面积的大小没有变。如果要用公式法计算这个图形的面积,需要测量出哪几条线段的长度(或者说哪几条线段的长度需要知道。

③出示图4(3,与上述过程②类似。并进一步讨论出可以在不同的地方剪开,再拼。强调用剪、拼的方法转化成已经知道面积计算公式的图形时,要注意剪、拼前后两个图形的比较与分析。

④出示图4(4,让学生分别用数方格法和用剪、拼的方法得出这个平行四边形的面积。比较剪、拼前后的两个图形,得出如果要用公式法计算平行四边形面积,那么就要测量出平行四边形的底与高,公式

是：平行四边形面积=底×高。⑤ 出示图 4(5，让学生想一想，要求出这个平行四边形的面积 需要测量哪几条线段的长度。这个图形的面积是多少。⑥ 出示图 4(6，与上述过程⑤类似。要求学生自己画出高，测 量后再求出面积。⑦ 让学生自己在方格纸上任意画一个平行四边形，先用公式法 求出面积，再用数方格的方法进行验证。(2 局部入手的方法(数方格的方法：学生在学习长方形面积计 算公式时，是先用面积单位去度量，然后发现规律得到公式的。因此，用数方格的方法

求出一个图形的面积学生有一定的活动经验。让学生用 数方格的方法求平行四边形的面积，当遇到不是正好一格的时候，就要 想办法拼成一整格，要找到两个(或几个不到一整格的图形，使这些图 形可以拼成一整格，即拼成一个小正方形。这样就会有部分学生想到把 不到一格的剪下来，与另一个不到一格的图形拼在一起。在面积不变的 情况下，把不是整格的图形转化为整格。这可能是最容易想到用剪、拼 方法的地方，也可能是剪、拼方法产生的最直接原因。学生在小范围的 部分剪、拼中(从理论上说，每次剪下的一块都是可以是不足一整格的，逐步发现较大范围的整体剪、拼，即可以剪下一个三角形(或梯形，再 通过两个三角形(或梯形拼在一起，可以得到一个长方形，从而把平行 四边形转化成了已经知道面积计算公式的长方形了。这就是剪拼转化思 想的产生的整个过程。具体的操作过程如下： ① 出示图 5，先说明每一个小方格表示 1平方厘米，再让学

生数一数(用数格的方法这两个面积各是多少平方厘米。图5 学生数后思考：哪一个图形的面积容易数出？为什么？这个平行 四边形的面积是多少？你是怎样数的？ 交流后得出：长方形的面积容易数出，因为它都是整格的。长方 形的面积计算已经有了公式，只要计算长×宽就可以得到面积。平行四 边形的面积不容易数出，因为有不到一整格的情况。但可以先数整格的，再把不到一整格的拼起来再数：先数整个的小方格，一行有四个，有三 行，共 12 个。另外左右两边各有三个半格，每行左右的两个半格可以 拼成一个整格，这样可以拼出三个整格(如图 6(2，所以这个平行四边 形的面积是 12+3=15平方厘米。(1(2 图6 比较图 6（1、(2两个图形，想一想，什么变了？什么没有变？在上 面的过程中，老师要强调每一行的左右两个半格都可以通过剪、拼的方 法得到一整格。② 先要求学生继续用数方格的方法求下面图 7 中左右两个平行

四边形的面积。由于在下面图 7 中的两个平行四边形中，不到一格的又 不是正好半格，这样的格子怎么计数，就需要学生动脑思考。由于有了 上面左右两个半格剪拼成一格的经验，部分学生会先发现左右两个不到 一整格可以剪拼成一整格。并进一步发现沿着高剪下三角形(或梯形拼 成长方形进行化归的过程。图7 引导学生比较转化前后两个图形的关系，并思考测量出平行四边形 中哪些线段的长

度就可以通过计算求出它的面积。最终得到平行四边形 的面积计算公式。(关于平行四边形、三角形、梯形的面积公式教学研究内容将在本 刊 2011 年第 12 期“平行四边形、三角形、梯形的面积公式教学研究” 校本教研活动方案(二”中继续阐述，敬请关注!(以上活动方案中问题的相应参考答案略(浙江省杭州市上城区教育学院 310006

第二篇：平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导

一、平行四边形面积公式的推导过程：

1、把平行四边形沿着它的一条高剪开，就拼成了一个长方形。

2、平行四边形的底等于长方形的长，平行四边形的高等于长方形的宽。

3、因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。

二、三角形面积公式的推导过程：

1、两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。

2、三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高。

3、三角形的面积等于平行四边形的一半，因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2.三、梯形面积公式的推导过程：

1、两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。

2、平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高。

3、梯形的面积等于平行四边形面积的一半，因为平行四边形的面积=底×高，所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷2.

第三篇：直角梯形面积公式

直角梯形面积公式

S=（上底+下底）×高÷2

梯形是上下两条边平行的四边形状，你按照一个对角线可以把它分成两个高相同的三角形，三角形面积公式是“底乘以高除以2”，所以梯形就是：“上底乘以高除以2”+“下底乘以高除以2”=“上底加下底乘以高除以2”

另一个公式：“中位线×高”

第四篇：平行四边形的面积教学研究

“平行四边形的面积”教学研究

——以数学活动经验的积累为视角

湖师附小教育集团 朱国平

内容摘要：平行四边形的面积一课，多数经典的教学案例都从“活动框架”的拉伸引发学生探究的欲望。然，这样的设计是否有缺陷？对于学生数学活动经验的积累是否能起到积极的作用？这都是值得商榷的问题。本文试图从数学活动经验积累这一视角来阐述我们的研究。关键词：平行四边形面积，数学活动经验，等积变形，转化思想

数学活动经验指是学生个体在经历数学活动的基础上获得的经验，是学生经历数学活动的过程与结果的有机统一体，既包括经历数学活动所获得的经验本身，也包括经历数学活动获得经验的过程。

2011版新课标将课程目标由“双基”变为“四基”。数学活动经验也被赋予了更加丰富的内涵，不再仅仅是数学知识的一部分；获得数学活动经验与理解数学知识、掌握数学技能、感悟数学思想方法并列，成为数学教育教学的一个更加直接的目标和追求，也使得数学活动经验成为数学课程与教学的核心概念之一。那么，对于一线教师而言，为学生提供怎样的活动素材，这种教学素材对于学生积累数学活动经验是否具有积极的意义？就是值得我们教师思考的问题。

一、经典教学案带来的思考——积累数学活动经验的缺失

“平行四边形的面积”人教版教材安排在五下《多边形的面积》单元。她作为起始课，即承载着本单元教学重点，即 “等积变形”这一转化思想，又承载着后续教学其他图形面积时这一思想应用的任务。因此，在本课的教学过程中，转化思想从隐性走向显性，并给学生一个明确的表征。对于本课的教学，无数的经典案例都试图阐述这一思想，主要有以下环节：  回顾长方形的面积计算方法。

 拉伸框架，引发思考：平行四边形的面积改怎么计算？（如右图） “底×邻边”与“底×高”两种方法的思维碰撞。 借用数格子等方法验证“底×高”的合理性。……

然而，这样的教学设计从数学知识的本质和学生已有数学经验的角度思考，我们认为是有问题的。主要有以下三方面：

1.拉动变形是否在误导学生？——容易混淆“周长”与“面积”的概念

老师在拉伸框架的环节，经常会问“面积变了吗？”学生基本都会说不变。这是为何？其一，因为学生观察的框架以“框”为主体，是强刺激成份，而不是所围成面的大小，他们认为周长是没有变化的，面积自然不变。其二，因为受透视的影响。学生早就知道，一个平面由于观察角度的变化，观察到的平面形状也会随着变化，比如正方体的“非正面”是画成平行四边形的。学生头脑中已有的数学经验对于这个实验操作所需要达成的效果都是负迁移影响的。

2.四边形的不稳定性是否紧贴教学主题？——学生没有相关经验的积累

框架的拉动从一方面印证了四边形的不稳定性。从数学本质思考，四边形的不稳定性指四条边不同组合围成的四边形可以出现不同的形状。然，活动框架是可以拉伸的，但平面是不可能拉伸的。试想，一张纸也是否可以拉伸？（它同样是四边形）框架形状的改变带来所围成面形状的变化，这一过程绕来绕去，把学生绕糊涂了。学生更没有相关的数学经验。

3.本环节的教学价值何在？——“等积变形”转化思想经验的缺失

那么，这样的设计意图何在？无非是引发学生的学习兴趣和提供探究的载体。但学生在猜测过程中带来的是失败的体验，没有积累解决相关问题的数学活动经验。作为核心思想的“等积变形”在这一环节没有体现，拉伸框架属于“周长不变、面积变化”，转化思想属于“形状变化，面积不变”，如此设计甚至混淆了两者，对于后续的教学无积极意义。

我们认为：本课教学应从学生已有的数学经验和认知结构出发，分析学生目前的认知状态，尊重学生的认知规律；应重新解读教材，厘清编写的意图，而不是依据教师的主观意识解读教材；应以“等积变形”这一核心思想为教学的主线；应在图形面积的教学中注重学生数学活动经验的积累。

二、材料重组与教学实践——落实数学活动经验的积累

鉴于以上我们对教材和学生的认识，我们对教学素材进行了重组，试图从学生数学活动积累的层面改进教学设计。以下是我们的教学实践。

㈠优化活动过程，落实数学活动经验的积累

1.聚焦激活经验——利用“重叠”印证“等积变形”，打开推导的渠道

七巧板是学生学习生活中接触比较多的学具，七巧板在图形与几何教学中蕴含了很多教学资源。比如：认识图形，摆对称图形，图形的拼组等等。在本课的教学中利用七巧板中三个图形的拼组发现“形状不同、面积相等”，即“等积变形”，这也是本单元图形面积教学的核心理念。

1.1再认七巧板

⑴这三个图形的面积有什么关系？ ⑵怎么证明它们之间的面积关系？（重叠）1.2组合七巧板

⑴能用这三个图形拼出哪些我们学过的图形？

⑵指定一个图形，请你用这三块板拼一拼，依次要求拼：长方形、平行四边形、梯形和三角形。

黑板上贴出：

长方形

平行四边形

梯形

三角形

⑶只移动一块板，请你把三角形变成平行四边形，再移动一块板，变成长方形。⑷这四个图形有什么相同点和不同点？（面积相等、形状不同）

感性认识提升至理性认识，丰富直接数学活动经验。重温利用“重叠”印证面积相等，利用七巧板中三个图形的拼组引出“形状不同、面积相等”即“等积变形”。使学生对于“等积变形”的思想有深刻的体会，为后续的教学做足了铺垫。在这一环节中聚焦与激活了学生原有的知识经验，即图形的移动不会影响图形的面积，形状的改变不会改变图形的面积。通过对操作过程的总结使学生对此有理性的思考。

2.生成累积经验，利用“等积变形”猜想公式，初建公式的模型 2.1测量数据，计算面积

⑴画出图形的一周，拿去七巧板，设问：这些图形的面积究竟等于多少呢？你有办法吗？ 生测量正方形的边长再计算；计算长方形的面积。板书：16×8=128（平方厘米）⑵你们是怎么想到用这种两种方法的？

⑶如果要测量平行四边形的有关数据，怎么计算它的面积？ ⑷比较：“底×邻边”与“底×高”两种方法。2.2引发思考，猜想公式 ⑴同一个图形会有两个面积吗？ ⑵那你认为哪一种肯定是错误的？

生认为第一种方法是错误的，这四个图形“形状不同、面积相等”，平行四边形的面积应该等于128平方厘米。

板书：平行四边形的面积=底×高

⑶那平行四边形的面积真是这样计算吗？还有待研究，打个“？”。

从计算结果上直接排除“平行四边形的面积=斜边×高”的假设，研究方向变为“平行四边形的面积=底×高”的假设是否成立。相比数方格的论证，此环节更显简单，学生也容易接受，目标指向也更为明确。

3.总结提炼经验，借助“等积变形”验证公式，丰富公式的内涵 3.1割补法的两种论证

⑴师依次出示两个等底等高的平行四边形（底6cm、高4cm）⑵按照“底×高”的方法，它们的面积分别是多少？

⑶它们的面积都是24平方厘米，但形状不一样哦！怎么证明面积相等呢？拿出学具袋中的材料，试一试。

第一种方案：重合底边，再把相差的部分剪下来，移到另一边。第二种方案：两个图形都沿高剪开，都可以拼成长方形。

⑷这两种方法有什么相同点？

割补成形状一样的图形，利用了重叠印证等积变形，板书：转化 3.2割补法的择优论证

⑴出示很多形状的平行四边形（底6cm、高4cm）,如果要把它们全部重合在一起，哪种方法更方便?（生认为都变成投影上的平行四边形）

⑵请你剪一剪（生欲上讲台），你能在座位上完成吗？(不能的，我要照样子剪)⑶避免大家 “抢”这个平行四边形了（笑声），请你们在座位上完成，该怎么操作？ ⑷请你们试一试，四人小组内把长方形试着重叠起来。（一个小组展示在投影上）⑸全班的长方形都能重叠在上面吗？（能的）为什么呀？ 结论：因为转化后的长方形形状是唯一的。3.3割补图形的对比沟通

回顾研究的过程，师课件依次演示： ⑴从底开始，拉动底边形成平行四边形；

⑵两个等底等高的平行四边形转化成长方形并重叠； ⑶对比割补前后的图形。

思考：拼成的长方形和平行四边形有什么关系？（完成对推导过程的总结）

操作经验提升至思维经验，丰富学生的间接数学活动经验。等底等高的平行四边形有无数种形状，而转化为长方形后，形状就唯一了。在印证许多个 “等底等高不等斜边”的平行四边形面积相等的活动中，借助“如何证明这些形状不同的平行四边形面积相等”探讨割补法的应用。学生想到两种方法：一种是剪成完全一样的平行四边形，一种是剪拼成完全一样的长方形。进一步思考两种方法的操作难易程度，引出后者更具普遍性。在这一证明的过程中体验转化的数学思想，生成了新的经验，也在逐步积累转化的经验。

4.整合优化经验，“等积变形”整合公式，扩充公式的外延 4.1“三种图形”面积计算公式的整合

练习1.利用字母公式计算下面图形的面积。（单位：厘米）

演示第一题的格式，生独立练习后两题 反馈时讨论：

a.长方形的面积可以用S=ah解决吗？ b.正方形的面积能用这个公式解决吗？ c.为什么长方形可以把两条邻边相乘，而平行四边形不可以？

总结：长方形的长和宽是互相垂直的，相当于底和高，而平行四边形的两条邻边不是互

相垂直的。

逐个出示下图，这样的平行四边形有无数个，长方形只是其中最特殊的一种。

4.2底与底边上的高的对应关系

练习2.下面（）平行四边形的面积一定是80平方厘米。

讨论1：为什么选C？（底和高互相垂直）

讨论2：图形A的面积会比80大还是小？（引导比较高与斜边的长度）讨论3：图形B如果以10为底，高画在哪里？

师：像这样互相垂直的一组底和高，称为对应的底和高。

局部知识提升为系统知识。长方形和正方形是特殊的平行四边形，特殊在前两者的高在“外”，平行四边形的高在“内”；特殊在可以用平行四边形面积公式解决前两者的面积计算。归纳它们的相同点：长与宽互相垂直、底和高互相垂直，在计算平行四边形面积时，是利用一组相对应的底和高。并再次否定“底×斜边”的想法，进一步夯实了公式的内涵，丰富了公式的外延。

㈡调整活动次序，落实数学活动经验的积累

“数格子”方法印证平行四边形面积公式有其独特的教学价值。其一，数格子方法属于直观几何，操作活动最易积累数学活动经验；其

二、数格子的方法是延续长方形面积公式的推导方式，学生很容易接受；其

三、数格子的应用有现成的学具，教师可充分利用。我们对此方法做了适当的调整，将其放最后教学，也取得了满意的结果。

练习3.下面的方格是面积为1平方厘米，平行四边形的面积是（）平方厘米。学生主要有以下方法：

a.剪下三角形拼到另一边，转化成长方形。b.数底和高的长度，直接用公式计算。c.数格子的数量。

教师引导学生对三种方法的评析。

此环节数格子功能真是一举多得：一是重新论证的公式的准确性；二是在动手操作中丰富学生测量面积的直观体验，加深对面积的认识；三是通过“数格子”与“数线段”的比较，明晰长度与面积的区别；四是引导学生主动应用转化思想。

㈢挖掘材料价值，落实数学活动经验的积累

1.“活动框架”的教具革新尝试—— “单层” 变为“多层”

前文探讨过“活动框架”对于新知的建构是没有积极作用的。那么，这一经典的素材是否可以通过改进，重新焕发她的生命和活力呢。我们做了如下的改进：

设计说明：

a.“活动框架”一般的做法是做“单层”的，即由四根小棒的组合，我们将之改成“多层”的，在演示的时候可以直观感受拉伸造成的“面的大小”的变化过程，丰富学生的感知。

b.直观材料优于电脑演示。如果在电脑上演示拉伸的变化效果，让学生体验面积的变化，这样的操作仍然是不可行的。因为学生还是以为是透视造成的视觉误差，而非图形的形状的变化，前文已述，这里不再赘述。

2.“活动框架”的教学价值开发——“引导材料”变为“探究材料”

鉴于对“活动框架”的改进设计，其教学价值的开发也变得容易多了。我们将此材料应用于新授课后的练习课。新授课围绕“等积变形”这一主线，练习课围绕“什么因素导致平行四边形面积的变化”为主线。这样的处理，分散了教学难点，也规避了两者的干扰。主要活动环节如下：

a.长方形框架围成的面的面积是多少？（涂上颜色）

b.拉伸框架，现在围成的面的面积是多少？（用同大小白纸贴上）c.继续拉伸会有什么变化？

d.拉伸为什么会引起围成面的面积变化？

e.什么时候围成的面的面积最大？为什么？（斜边大于垂直边）

三、数学活动经验在教学中的作用

在教学时，我们不仅仅是传承基础知识、形成基本技能，而是要让每一个学生积累必要的数学活动经验，数学活动经验已作为课程的显性载体，成为数学教学的直接目标。

1.数学活动经验是教学的直接目标

数学活动的设计意在诱发学生经历、体验活动的过程，促进学生在独立思考、自主探究的过程中真正理解和掌握相应的知识、技能与基本思想，同时获得相应的数学活动经验。值得注意的是，经历是为了体验，而体验不是目的，是为了获得直接的经验，如果不能将体验抽象、提炼为经验，那么这种经历、体验就丧失了应有的价值。在本课教学中，课伊始引入七巧板为材料，学生经历了“重叠”印证面积的关系，经历了同样的图形摆成的不同形状；体验到基本图形间不同的组合方式可以变换图形的形状。在此基础上学生获得了“等积变形”的直接经验，这种体验是深刻的，理解是充分的，其获得的经验是牢固的。

2.数学活动经验是学生获得知识的催化剂

数学活动经验作为学生直接或间接经历活动过程而获得的经验，它是学生获得对知识理解的重要载体，起到催化剂的作用。等底等高的平行四边形形状千变万化，依据面积的大小，可通过剪拼可实现所有图形的“重叠”，在探究该转化成什么图形便于“重叠”的思考中，引发了对“高”的思考，引发了对转化前后图形关系的思考，催化了对新知的思考。

3.数学活动经验是过程性目标的重要内容

作为新课程的知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标之一，“过程和方法”一直未能得到很好的落实，其重要原因是与知识、技能相比，这个目标没有“抓手”，不便在教学中的把握和评价。事实上，过程与方法目标实际上体现了新课程对于学生学科素养、学科能力的要求，而这些要求完全可以通过积累活动经验来完成。本课，学生在经历七巧板的组拼——平行四边形的面积怎么计算——怎么让平行四边形重叠起来——长方形与平行四边形的关系等诸多环节体现对过程价值的追求，丰富学生的经验积累，学生经历这样的研究过程，对转化思想有更深刻的领悟。

4.数学活动经验是依靠感性材料积累

选择优质的数学活动素材能为学生积累和形成经验提供最重要的前提。它有助于学生在经历与体验问题解决的过程中，进一步丰富和发展自己已有的数学活动经验，并掌握和领会进行数学活动的思想、策略和方法，形成具有个性特点的新的数学活动经验。对于其做数学和开展数学活动，建构新知识的心理意义和形成合理的数学认知结构都有这至关重要的作用。

主要参考文献

1.张奠宙、孔凡哲等 《小学数学研究》

2.孔凡哲、张胜利

《基本活动经验的类别与作用》 3.《义务教育数学课程标准2011年版》

第五篇：高中数学三角形面积公式

高中数学三角形面积公式

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。三条直线所围成的图形叫平面三角形;三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。面积公式：

(1)S=ah/2

(2).已知三角形三边a,b,c，则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]

(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=1/2 * absinC

(4).设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

S=(a+b+c)r/2

(5).设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R

S=abc/4R

(6).根据三角函数求面积：

S= absinC/2a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R