论变式教学的高效性

第一篇：论变式教学的高效性

论变式教学的高效性

摘要：“减负”的实施，让学生从大量的习题中解放出来，培养学生的创新能力和解决问题的能力，是教师进行课堂教学改革所要追寻的最终目标。而实现这一目标的途径是多方位、多角度、多因素的。笔者认为，注重变式教学是提高学生学习效率的一种强有力的教学措施。变式教学是对数学中的问题进行不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露数学的本质，揭示不同知识点间内在联系的一种教学方法。本文介绍了笔者在变式教学上的尝试，旨在与同仁一起交流分享。

关键词：变式教学；数学；高效

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）05-0102

题目：如图1，在正方形ABCD中，点M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点。N是∠DCP的平分线上一点.若∠AMN=90°，求证：AM=MN.题目一抛出，思考片刻，有学生举手。

学生1：看到∠AMN=90°这个条件，我想到构造“一线三等角”模型（如图2）。过点N作NF⊥BP，易得∠1=∠2。再根据∠B=∠NFM=90°，得△ABM∽△MFN。

∵∠NCF=45°

∴设CF=NF=x，MC=y，BM=z，由△ABM∽△MFN得：■=■，∴■=■，化简得：x=z。

∴■=■=■=1即AM=MN

学生2：要证明AM=MN，我想到构造全等三角形。在AB边上截取AE=MC，连结EM。易得△EBM为等腰直角三角形，则∠AEM=∠MCN=135°，∵∠1=∠2，∴△AEM≌△MCN.∴AM=MN。

师：两位同学的建模构造得非常漂亮！现在老师再给它找个双胞胎兄弟。已知正方形ABCD和正方形ECGF如图4放置（B、C、G三点共线），连结AF、DG交于点O，求证：∠AOD=45°。

生思考片刻，没动静。师启发：45°角可以构造等腰直角三角形，要出现等腰三角形，我们同样可以去构造全等三角形。

温馨提示，可以参照图3的解法。

生3：老师，我做出来了。如图5，在BC边上截取BH=CG，连结AH、FH，FH交DG于点M。则BC=AB=HG，BH=GF，∠B=∠FCG=90°，∴△ABH≌△HGF。∴AH=HF，∠1=∠2。∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，得△AFH为等腰直角三角形。∴∠AFH=45°。又∵AD∥HG，AD=BC=HG，∴四?形AHGD为平行四边形.∴HF⊥DG，∴∠AOD=∠FOM=45°。

话音刚落，其他学生忍不住为其鼓掌.多么敏捷的思维，多么严谨的语言。趁胜追击，笔者将题进一步变式：现在老师让调皮的小弟弟（小正方形ECGF）牵着哥哥的手（点C）旋转到某个位置（如图6），请问这时∠AOD还等于45°吗？

学生纷纷点头，嘴里嘀咕着：凭多年的解题经验∠AOD应该还是45°。

师：那我们能不能用类似的方法去解决这种情况呢？

有学生马上否定：肯定不是构造全等三角形了，因为此时点B、C、G不在同一条直线上，找不到刚才的那对全等三角形了。

师：哦，那我们要另寻方法了。构造不了等腰直角三角形，那我们想想，在正方形中，哪里可以找到45°的身影呢？

众生齐答：连结正方形的对角线，对角线平分直角。

师继续引导：所有的正方形都是相似图形，那我们能不能从相似三角形着手试试呢？

学生有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的喜悦感，开始埋头尝试起来。

生4：老师，我真的解出来了。如图7，连结AC、CF，设AF与DC的交点为点H.∵正方形ABCD和正方形ECGF。∴■=■=■。又∵∠ACF=45°+∠DCE+45°=90°+∠DCE，∠DCG=90°+∠DCE，∴∠ACF=∠DCG。∴△ACF∽△DCG。∴∠1=∠2。又∵∠AHC=∠DHO。∴∠AOD=∠ACD=45°。

师：非常棒！以上的三个题，我们体验了根据题意出发，完美构造全等三角形和构造相似三角形，同时也体验了从图形特殊的位置（三点共线）到旋转至任意位置的解题策略。

现在老师暂且给类似图6的两个双胞胎（相似图形）的一个顶点重合在一起的两个图形称为“手牵手”型。刚才的两个双胞胎是正方形，老师在想，当双胞胎的形状发生改变时，不知还会不会有类似的结论。

这时，教室里开始一阵“骚动”，学生们开始跃跃欲试了。

生5：老师，我想到了最简单但又很美的图形――等腰直角三角形（该生边说边上台画出了图8的图形），然后自信满满地说：此时的∠AOC=45°。明白的同学请举手。

在座的学生先是愣了一下，随后不约而同地举起了双手！多么聪明的孩子啊，把正方形的另一半“抛弃”以后就成了这种“手牵手”型的，我不禁感叹学生的聪颖与睿智！

受到了这位同学的启发，其他学生也不甘落后，开始大胆猜测、验证。

生6：老师，我觉得还可以是两个等边三角形“手牵手”型.如图9，∵两个等边三角形相似，同理可得△ACE∽△BCD，∴∠1=∠2。又∵∠BHC=∠AHO。∴∠AOB=∠ACB=60°。

掌声响起了，那是源自学生内心深处的喜悦啊！

生7：老师，老师，我还有发现.我觉得只要两个顶角相等的等腰三角形“手牵手”，同理可得∠AOB=∠ACB，也就是∠AOB的度数等于等腰三角形的顶角度数。

生8：老师，我还总结出了这样一个结论：“手牵手”型的三角形全等或相似都是SAS型的，其中两边是两个相似图形的大边和小边，夹角是它们的相等的内角加上公共角。

这时，教室里顿时沸腾起来，所有的学生向生7和生8投去了“羡慕、嫉妒、恨”的目光。此刻学生的思维已经达到了质的飞跃，从正方形的“手牵手”型着手，让学生自己去观察、发现、创造、概括，让学生经历了方法模型的过程，掌握了抓住基本图形的变化，体会变中不变的性质，笔者认为这肯定是传统课堂所严重缺失的部分。

“手牵手”型的变式历程，让笔者更加坚信变式教学的高效性，尤其是在教师引导下的学生自主地对题目进行改编并进行解答，能最大程度地激发学生的好奇心和求知欲，在变式训练中提高学生识别和运用基本模型的能力，使学生的解题能力得到更高层次的提升，对学生思维发展提供知识再创造的过程，也使类比、转化、特殊与一般数学思想在变题、解题过程中自然、完美地进行渗透，真正达到举一反

三、触类旁通的效果。

相信在变式的路上，抓住数学的本质，形散而神不散，一定会迎来繁花相送的美丽景象！

（作者单位：浙江省宁波市鄞州区姜山镇中心初级中学 315100）

第二篇：变式教学



怎样进行变式教学

变式教学是指在教学过程中通过变更概念非本质的特征、改变问题的条件或结论、转换问题的形式或内容，有意识、有目的地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究 “变”的规律的一种教学方式。数学变式教学是通过一个问题的变式来达到解决一类问题的目的，对引导学生主动学习，掌握数学“双基”，领会数学思想，发展应用意识和创新意识，提高数学素养，形成积极的情感态度，养成良好的学习习惯，提高数学学习的能力都具有很好的积极作用。

一、类比变式，帮助学生理解数学知识的含义

初中数学具有一定的抽象性，许多数学概念概括性比较强，学生理解非常困难；有些知识包含了隐性内容，有仅仅依靠老师的情景创设和知识讲解学生可能无法全面理解数学的内涵的，所以需要运用更加丰富的教学手段帮助学生理解数学知识。

例如在学习“分式的意义”时，一个分式的值为零是包含两层含义：(1)分式的分子为零(2)分母不为零。因此，如果仅有“当x为何值时分式 的值为零”，此类简单模仿性的问题，学生对“分子为零且分母不为零”这个条件还是很不清晰的，考虑“分母不为零” 意识还不会很强。但如果以下的变形训练，教学效果会大不相同：

变形1：当x______时，分式 的值为零？

变形2：当x______时，分式 的值为零？

变形3：当x______时，分式 的值为零？ 通过以上的变形，可以对概念的理解逐渐加深，对概念中本质的东西有个非常清晰的认识，因此，数学变式教学有助于养成学生深入反思数学问题的习惯，善于抓住数学问题的本质和规律，探索相关数学问题间的内涵联系以及外延关系。

二、模仿变式，更快熟悉数学的基本方法

数学方法是数学学习的一个重要内容，而这些数学方法的掌握往往需要通过适当改变问题的背景或者提问方式，通过模仿训练来熟悉。所以，在教学中通过精心设计变式问题，或挖掘教材自身的资源可以更快地帮助学生熟悉数学的基本方法。

例如人教版课标教材八年级《数学》（上）中，为了使学生更好地掌握三角形全等的判定的“SSS”方法的运用，就很好地采用了变式教学的设计形式。

（1）如图(1)，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A和BC的中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD；（例题1）

（2）如图(2)，AB=AD,CB=CD,△ABC与△ADC全等吗？(习题13.2中的复习巩固)（3）如图(3)，C是AB的中点，AD=CE,CD=BE，求证△ACD≌△CBE；(习题13.2中的复习巩固)（4）如图(4)，B、E、C、F在一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证∠A＝∠D.(习题13.2中的综合运用)教材中为了让学生掌握“SSS”方法，首先安排了（1）中的简单训练，其中全等的两个三角形有公共边的三角形，相等关系较为直接，只要验证全等的条件是否齐全、是否对应即可以；而（2）则是例1的图形略为变形，旨在增强学生针对图形变化应注意全等条件的验证意识；（3）、（4）中的两个三角形虽然已经一对边之间有直接关系，但其中一对边的相等关系需要经过简单的推理而得到，难度有所加强，对学生是否掌握“SSS”方法的要求更高。这样的变式训练，让学生通过模仿逐步掌握数学的基本方法，对初中学生有着更普遍的意义。

三、阶梯变式，训练中总结数学规律

初中数学内容的形式化趋势比较明显，而学生的对形式化的数学知识理解普遍感到困难，对某些规律的形式化的归纳往往更是无从下手，所以，适当地从学生的实际出发，设计变式教学环节，让学生从变式问题中“变化量”的相互关系中，帮助学生总结数学规律。

例如人教版课标教材九年级《数学》（下）关于二次函数y=ax2的图像的对称轴、顶点、开口等变化规律与a的取值的的关系时就是采用变式教学的形式，让学生通过类比推理总结出这类函数的性质的规律的。

首先，用描点法分别画出两个简单的二次函数“y= x2”和“ y=2x2”的图像，引导学生通过观察它们与“y=x2”的图像的不同点、共同点，发现如下结论：

（1）三个函数对称轴都是y轴；（2）三个函数的顶点都是原点；（3）开口均向上。

其次，进行变式后再尝试验证。同样用描点法别画出两个简单的二次函数“y=-x2”、“y=-x2”、“ y=-2x2”的图像引导学生通过观察它们与图像的不同点、共同点的系数的可以引导学生验证上述结论，发现（1）、（2）依然成立，而（3）有了不同的变化，就是抛物线的开口方向实际上与函数中系数的正负有关，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下。

这样，因为需要对图形的几何性质等规律性知识进行总结或验证时，从简单的一类问题开始进行变式，借助变式教学的方法可以很好地提高学生的学习效率，数学中其它规律的发现与验证都可以使用变式教学。

四、拓展变式，有利于学生形成数学知识之间的联系

数学知识之间的联系往往不是十分明显，经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题的“改装”或引申，进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题进行拓展，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于学生知识的建构。

 例如下面问题可以进行充分运用会有更加意想不到的效果：

如图

（一）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的一点，DE^AC，DF^AB，垂足分别是E、F，AB=10cm，DE=5cm，DF=3 cm，求（1）SDABC。（2）AB上的高。

上题通过连接AD分割成两个以腰为底的三角形即可求解SDABC=40 cm2 ；借助于添加AB上的高CH，利用面积公式和第一题的结论，不难求的AB上的高为8cm。我在教学中并未把求得结论作为终极目标，而是继续问：3+5=8，在此题中是否是一个巧合？探究DE、DF、CH之间的内在联系，（引导学生猜想CH=DE+DF）。

引出变式题（1）如图

（二）在DABC中，?/SPAN>B=?/SPAN>C，点D是边BC上的任一点，DE^AC，DF^AB，CH^AB，垂足分别是E、F、H，求证：CH=DE+DF 在计算例题的基础上，学生已经具有了用面积的不同求法把各条垂线段联系起来的意识，此题的证明很容易解决。

在学生思维的积极性充分调动起来的此时，我又借机给出变式（2）如图

（三）在等边DABC中，P是形内任意一点，PD^AB于D，PE^BC于E，PF^AC于F，求证PD+PE+PF是一个定值。通过这组变式训练，面积法在几何计算和证明中的应用得到了很好的体现，同时这一组变式训练经历了一个特殊到一般的过程，有助于深化、巩固知识，学生猜想、归纳能力也有了进一步提高，更重要的是培养学生的问题意识和探究意识。

五、背景变式，强化学生数学思维的训练

在解题教学的思维训练中，通过改变问题背景进行变式训练是一种很有效的方法。通过从不同角度去改变题目，通过解题后的反思，归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法的采用，通过改变条件，可以让学生对满足不同条件的情况作出正确的分析，通过改变结论等培养学生推理、探索的思维能力，使学生的思维更加灵活性和严密性。

例如：已知等腰三角形的腰长是5，底长为6，求周长。我们可以将此例题进行一题多变。

变式1：已知等腰三角形一腰长为5，周长为16，求底边长。变式2：已等腰三角形一边长为5；另一边长为

6，求周长。

变式3：已知等腰三角形的一边长为2，另一边长为16，求周长。

变式4：已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。

变式5：已知等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是16。请先写出二者的函数关系式，再在平面直角坐标内画出二者的图象。

变式1是在原问题的基础上训练学生的逆向思维能力，变式2与前两题相比需要改变思维策略，进行分类讨论，而变式3中的“5”显然只能为底的长，否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性，变式4与前面相比，要求又提高了，特别是对条件0﹤y﹤2x的理解运用，是完成此问题的关键。通过问题的层层变式，学生对三边关系定理的认识又深了一步，有利于培养学生从特殊到一般，从具体到抽象地分析问题、解决问题；通过例题解法多变的教学则有利于帮助学生形成思维定势，而又打破思维定势，有利于培养思维的灵活性和严密性。

变式教学实际上是在教学中根据数学教学要求、授课对象、数学教材内容和教学环境形成的一种教学方法。变式教学是一种教学形式,要想它能取得较好的课堂教学效益，必须充分考虑上述教学因素；变式教学就是外因，学生的学习活动则是内因，变式教学能为学生提供更多的主动参与学习的时间、空间,促进学生学习的内化的机会。

第三篇：变式教学释义

变式教学释义

1引言

在新课程标准的指引下，数学教学方法也在不断改进、创新。数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该是让学生对知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练，使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段。所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化。即教师可不断更换命题中的非本质特征；变换问题中的条件或结论；转换问题的内容和形式；配置实际应用的各种环境，但应保留好对象中的本质因素，从而使学生掌握数学对象的本质属性。在学校做了几年的数学教师，下面我结合自己的教学对数学变式教学谈几点看法。

变式教学的原则

1.1 针对性原则 数学课通常有新授课、习题课和复习课，数学变式教学中遇到最多的是概念变式和习题变式。对于不同的授课，变式教学服务的对象也应不同。例如，新授课的习题或概念变式应服务于本节课的教学目的；习题课的习题变式应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法；复习课的习题变式不但要渗透数学思想和数学方法，还要进行纵向和横向的联系。

1.2 适用性原则 选择课本内容进行变式，不能“变”得过于简单，过于简单的变式题对学生来说是重复劳动，学生思维的质量得不到很好的提高；也不能“变”得过于难，难度太大容易挫伤学生的学习积极性，起不到很好的教学效果。因此在选择课本习题进行变式时要根据教学目标和学生的学习现状，在适当的范围内变式。

1.3 参与性原则 在变式教学中，教师不能总是自己变题，然后让学生练，要鼓励学生主动参与变题，然后再练习，这样能更好锻炼学生的思维能力。

变式教学的方法

下面举一些具体的例子，谈谈变式教学的方法。

2.1 变换条件或结论 变换条件或结论是将原题的条件或结论进行变动或加深，但所用的知识不离开原题的范围。

在学习函数的单调性时，老师可以讲解这样的例题：判断函数在指定区间内的单调性。y=x2，x∈(0，+∞)。变式1：y=x2，x∈（-∞，0）可让学生练习。变式2：y=x2，将后面的条件都去掉，问学生此时函数的单调性，学生要认真思考，会发现此时这个函数不具备单调性。又如在三角函数中，已知cosα=-，<α<π，求α的其他三角函数值。已知了α的范围，相对来说解题比较简单。如果作这样的变式：已知cosα=-，求α的其他三角函数值，改变后的题少了一个条件，角α的范围，这样就要分情况讨论了。这样的变式可以让学生接触到同一类型题的不同情况，有利于学生更全面的掌握所学知识。

2.2 条件一般化 条件一般化是指将原题中特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性，这是设计变式题经常考虑的一种方法。

已知抛物线的方程是y2=4x，在曲线上求一点M（x，y），使它到原点的距离最短。变式1：已知抛物线的方程是y2=4x，在曲线上求一点M（x，y），使它到点A（a，0）的距离最短。变式2：已知抛物线的方程是y2=2px，在曲线上求一点M（x，y），使它到原点的距离最短。

这种变式将特殊的条件变得更一般，符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。

2.3 联系实际 联系实际是将数学问题与日常生活中常见的问题联系起来，这要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识，教师在教学过程中，要创设情景，引起或指引学生进行联想，让学生知道数学与生活是紧密联系，不可分割的，很多数学问题在生活中都能找到模型。通过联系实际的变式教学来提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。

已知抛物线的焦点是F（0，8），准线方程是y=8，求抛物线的标准方程。这是完完全全的数学问题，可将这类题变式为：桥洞是抛物线拱形，当水面宽4米时，桥洞高2米，当水面下降1米后，水面的宽是多少？

这样与实际结合的变式练习，能提高学生学习数学的兴趣，从而更好的达到教学目的。

变式教学在数学教学中的作用

3.1 运用变式教学能促进学生学习的主动性。课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习。增强学生在课堂中的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势。变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情

3.2 运用变式教学能培养学生的创新精神。创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程。“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同。创新学习的关键是培养学生的“问题’意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新。在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力。

3.3 运用变式教学能培养学生思维的深刻性。变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容。

变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣。总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础。

第四篇：变式教学读后感（推荐）

变式教学研究读后感

对于一个毫无毫无教学经历并且对变式教学一无所知的我来说,想要读懂看懂这篇文章无疑是难如登天。在这里，我就大胆的写下我阅读时的联想和感想。

文章的开始比较了中国、日本和美国的数学教学和数学学业成就，有些西方学者认为中国数学教学是“被动灌输”和“机械训练”的，也有少数西方学者认为中国数学教学是精心设计的而并非是机械的单纯讲授式的。我从小学到大学都接受着传统的中国数学教学，我认为它就是一门艺术，一门科学艺术，老师对课堂教学的精心设计，使得知识更加容易被理解掌握。

对于变式，我之前的认识仅仅就是中学数学题目里的变式

一、变式二等。如，二次函数定义式的变式：

2f(x)axbxc，其中a,b,c为常数且a0。二次函数定义式：

2f(x)a(xm)n,其中a，m,n为常数且a0，(m,n)为其图像的顶变式一：点。

变式二：个根。

变式一和变式二的灵活运用为我们的解题带来的极大的便利，相信这种经验大家都是亲身感受过的。

到底什么是变式呢？百度百科如是说:变式一是指通过变更对象的非本质特征以突出对象的本质特征而形成的表现形式。二是指通过变更对象的本质特征以突出对象的非本质特征，从而显示概念的内涵发生了变化。它的特点就是变更人们观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。

在学习过程中,老师反复强调要举一反三,只有通过举一反三，我们才能触类旁通。而且通过老师精心挑选的的变式题,使我们免于“题海战术”的折磨，从而减轻了我们的负担，同时让我们深化了对知识点的理解。另外,无论中考高考还是其他的一些考试都要根据考试大纲出题,而这些考试题目也就是我们课本例题和练习题的变式,因此变式教学也是一种高f(x)a(xx1)(xx2)，其中a0，x1、x22是方程axbxc0的两效的应试教学模式。

然而，说到中国教育的不足，文中也提到中国学生在解决应用性和开放性等问题上不尽人意，这也是我国教育不能忽视的问题。因此培养学生的探究能力和实际问题的解决能力是我国教育努力的方向。老师要抛给学生一些问题但不直接给予答案，让学生根据问题自己动手实践、分析探究，自行提取信息，互相交流讨论并最终解决问题。在这一环节中还应注重学生与学生，学生与教师之间的相互协作关系，培养学生的人际交往能力以及合作的意识和能力。现在的社会是团结合作共同发展的社会，学习上也要发展分享和合作的团队精神。

阅读了这篇文章之后，对于我自己，我有以下收获：对变式有了进一步的表面认识。变式有概念性变式（使学生获得对概念的多角度理解）和过程性变式，其中概念变式又分为标准变式和非标准变式，我想对于一个数学师范生来说，这些变式本质和作用的清楚理解以及合理运用理应是我们必备的技能。但对于目前的我们来说，去理解这样的一篇文章都有很大的难度，可见我们专业知识的匮乏。而且，随着教学模式的进一步发展和改革，未来，我们需要学习和掌握的理论也会不断增加，并且要懂得将理论用于实践中去。教育是一门科学艺术，想要教书育人，我们必须要有真材实料并坚持持之以恒地学习。

第五篇：2变式教学论文

变式教学优化思维品质

———高一一节二次函数求最值的变式教学课有感

摘要：本文通过引用一节二次函数求最值的变式教学课，着重论述了变式教学对培养学生思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面来阐述变式教学的优越性，优化课堂效率。

关键词：变式教学，培养，思维

变式教学是指教师将数学中各种知识点有效地组合起来，从最简单的命题入手，不断变换问题的条件或者结论或者情景，层层推进，逐渐揭示出问题的本质特征的一种教学方式。在不断的变化中去寻找数学的规律性，使学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，使所有知识点融会贯通，从而透过现象，看到本质，这就是人们常讲的“万变不离其宗”。通过变式对数学问题多角度、多方位、多层次的讨论和思考，能帮助学生打通知识关节，找到解题方法，拓宽解题思路，对于优化课堂效率，提高解题能力，培养思维的连贯性，严密性，深刻性，广阔性，变通性，双向性，灵活性，发散性和创造性等方面都是大有益处的。

引例（1）求f(x)x22x1在R上的最小值

（2）求f(x)x22x1在[2,3]上的最小值（3）求f(x)x22x1在[0,3]上的最小值

本堂课由一个二次函数，在三个不同的区间上求最小值的问题引入，揭露出二次函数求最值的本质，于何处取得最值？关键是图像对称轴与区间的关系的讨论。区间不同，结果也不同，体现出在解决函数问题时，定义域的重要性，即所研究问题的范围。问题串式编题，既有相同之处，又有细微区别，区别之处揭露本质。

一、改变条件加入讨论构造变式，培养思维的严密性和深刻性

变式教学不是为了变式而变式，而是要根据教学与学习的需要，遵循学生的认知规律，在重要处和关键处进行变式，让学生充分领会问题的本质，实现教学目标。

变式一

求f(x)x2x1在[0,a]上的值域

(1)当0

(3)当a>2时,min=0,max=f(a), 值域为[0,a2-2a+1]

变式二

求f(x)x22x1在[a,a+2]上的值域

，当a1时，f(x)[f(a2),f(a)]当1a0时，f(x)[0,f(a)]当0

二、调换参数位置构造变式，培养思维的广阔性和变通性

数学教学中由一个基本问题出发，运用类比，联想等思维方式，可以构造出很多数学问题情境。在类比的变式中，引导学生在变中看到不变的本质，找到解决问题的主思路。

变式三

求f(x)x2kx1在[-1,1]上的最小值m(k)

当k<-1时，m(k)=f(-1)=2+2k当-1k1时，m(k)=f(k)=-k21当k>1时，m(k)=f(1)=2-2k2+2k,k<-1综上：m(k)=-k21,-1k12-2k,k>1

变式四

求f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值M(k)当k=0时，M(k)=f(-1)=3当k>0时，M(k)=f(-1)=k+3

1当k<0时，当<-1时，即-1

k1 当-1<0时，即k-1时，M(k)=f(k)=1-

kkk3k1综上M(k)1

1k1k变式三和变式四将参数从区间的位置转移到解析式处，变成轴变区间定的模型，训练思维的变通性。但是变题的本质仍然没有变，最关键的仍是何处取得最大值或者最小值，仍然是图像的对称轴与区间的关系。变式三和变式四比变式一和变式二在思维上实现了一点跳跃，一个是轴定区间动，一个是轴动区间定，要求学生思维上能灵活变通，善于抓住最本质不变的特征。但是从变式三到变式四，难度上又有稍稍递进，从分类讨论的角度，变式四要比变式三更复杂些，既要讨论二次项系数为零，为正，为负等各种情况，又要讨论各种情况下的对称轴与区间的关系，即在左边，在中间或者在右边，在运算的过程中，根据参数的范围，有时又可以省略掉一些讨论，对于训练学生思维的深刻性、严谨性和变通性大有益处。

二、已知最值反求参数构造变式，培养思维的双向性和灵活性 此变式属于逆向思维的变式，从已知参数求最值，到已知最值反过来求参数的变题训练，可以有效的训练思维的灵活性，防止僵化。但问题的关键仍然是函数在区间上的何处取得最大值，仍是讨论图像对称轴与区间的关系，让学生体会从变种掌握不变的本质。

变式五

已知f(x)kx2x1在[-1,1]上的最大值为，求k的值

252k3k151解法一：在变式四时已解得M(k)1，当M(k)时，得 k

221k1k解法二：经图像的分析，得到最大值取得无非是在区间端点处或者对称轴处

57若f(1),则k,检验得不满足22511若f(1),则k,检验得满足情况 综上得k222 157若f(),则k，检验得不满足k22变式五与变式四是俩逆向思维的变题，在解决变式五中又从一题多解的角度体现了方法的多样性与思维的灵活性。变式五在变式四的基础上进行编排，省去了准备工作阶段的很多重复运算，实现课堂效率的优化。方法一重分类讨论解决二次函数最值的问题，方法二具有一定的巧妙性，是一种特殊法思想，体会树形结合解决问题。分类讨论思想和数形结合思想都是高中阶段需要好好培养的两种思想方法，说明本堂课的内容是丰富饱满的。特殊法思想让学生体验常规之外的灵活多样，训练思维的灵活性。

四、转变函数形式构造变式，培养思维的发散性和创造性

著名数学教育家波利亚曾形象的说：“好问题同某种蘑菇有些相似，它们大多成堆的成长，找到一个后，你应该在周围找一找，很可能附近就有好几个。”掌握上述题型的求解之后，我们还应举一反三，经过适当变化之后，能看出问题考察的知识点本质是什么，将貌似不熟悉的题目化归到我们所熟悉的题型；反之对于我们所熟悉的题型，也能发散出去，编写创造出与其它知识点相联系的变题。

变式六：（1）求f(x)cosx22asinxa的最小值

令tsinx,转化为求函数yt22ata1在[1,1]上的最小值，与变式三同类型。

（2）设a0,若f(x)cosx22asinxb的最大值为0，最小值为-4,求a,b的值

令tsinx,转化为已知函数yt22atb1在[1,1]上的最小值为-4，最大值为1，求a,b的值，与变式五同类型.（3）求f(x)（asinx+cosx）+sinxcosx的最小值

t21令tsinxcosx,t[2,2],转化为求yat在[2,2]上的最小值

22变式六重视培养学生的应用能力和化归的思想，经过变形仍转化为二次函数在区间的何处取得最值的问题。第（3）小题在难度和思维的发散上均达到一个高峰，要求学生既能领会问题的本质，又有较大的创新和变通能力，综合性较强。变式六的类型其实与变式三和变式五同类型，只是结合了三角函数的知识，可以教师给出这些题让学生通过适当换元看出问题的本质，也可以让学生自己编出与上述题类似的变题。

试看我们平常的教学，师生往往陷于题海战术中不能自拔，这种沙里淘金的方式，效果很不理想。变式教学运用各种变式挖掘、延伸、改造，即能运用较少的时间，将所学的知识条理化，系统化，揭露出问题最本质的特征，又能培养学生的思维能力，提高解决问题的应变能力，是一种能大大提高课堂效率为广大学生所接受并喜爱的一种教学方式。减轻学业负担，形成高超数学能力，优化思维品质，变式教学功不可没。

参考文献：

[1]中学数学，湖北大学中学数学杂志社，2009，（7）[2]中学数学，湖北大学中学数学杂志社，2009，（12）[3]中学数学月刊，苏州大学出版社，2009，（11）