小学数学课程论期末重点(一)

第一篇：小学数学课程论期末重点(一)

一、名词解释：

数学:是研究数量关系和空间结构的一门科学，数学是认识自然和改造自然的工具，数学是打开科学的大门的钥匙，数学的发展与应用的普及是社会进步的基础，是信息化社会的典型特征之一。

数学思想方法: 是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学四大思想为：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合。数学语言: 数学语言如同数学的对象一样来源于人类实践，它源于人类的语言，随着数学抽象性和严谨性发展，逐步演变成独立的语言符号系统。主要有文字语言、符号语言、图像语言组成。

数学模型: 是那些利用数学语言来模拟现实的模型。广义地说，一切数学都是数学模型。实数系是时间的模型，微积分是物体运动的模型，概率论是偶然与必然现象的模型，欧氏几何是现实空间的模型，非欧几何是宇宙空间的无限的模型。

随机思想方法: 又称概率统计方法，就是指人们以概率统计为工具，通过有效的收集、整理受随机因素影响的数据，从中寻找确定本质的数量规律，并对这些随机影响以数量的刻画和分析，从而对所观察的现象和问题做出推断、预测，直至为未来的决策与行动提供依据和建议的一种方法。

公理化方法: 是于古希腊欧几里得的《原本》，他从五个公社和五条公理出发，运用演绎方法将当时所知道的几何学知识全部推导出来，并使之条理化、系统化，形成了一个合乎逻辑的体系。

启发式: 让某人能够自主的探索和学习，依靠不断尝试和汲取失败经验教训的方法来解决问题。

二、填空

1学生身心发展的基本观点要求学科教育要面向（全体）学生，要关注每个孩子的（全面）发展，要促使学生(自主)发展。

2数学课程标准中指出数学课程的总体目标为（知识技能）、（数学思考）、（问题解决）、（情感态度）四个方面。

3数学的学习过程是（师生互动交往）的过程。

4数学教学中要面向（全体）学生，让人人学（有用）的数学、人人学（有价值）的数学、不同的人在数学上得到（不同的发展）。5学生是学习的（主体），教师是学习的（组织者）、（引导者）、（合作者）。6数学的技能的学习犹如（在游泳中学会游泳）。

7数学学习的 评价主要分为诊断性评价和形成性评价。

8数学概念的学习主要有（概念形成）和（概念同化）两种方式

三、简答题

1、中、小学生数学学习有哪些特点？ ⑴小学生数学学习是一个逐步抽象的过程

⑵小学生数学学习是进行初步逻辑思维训练的过程

⑶小学生数学学习基本是一种符号化形式与生活实际相结合的学习⑷ 小学生数学学习中存在着思维发展的不平衡性

2、数学的教学原则有哪些？

⑴抽象性与具体性相结合的原则 ⑵严谨性与量力性相结合的原则 ⑶培养“双基”与策略创新相结合的原则 ⑷精讲多练与自主建构相结合的原则

3、建构主义学习理论的基本观点及其在数学教学中的影响？ 基本观点：⑴课本知识是一种关于各种现象的较为可靠的假设，而不是问题唯一正确的答案。学生对这些知识的学习是在理解的基础上对这些假设作出自己的检验和调整的过程。⑵在学生建构自己的知识的过程中，现有知识经验和信念起重要作用。⑶强调教学中多向社会性和相互作用对学生学习建构的重要作用，主张教师与学生、学生与学生之间进行丰富的、多向的交流，讨论或合作性解决问题，提倡合作学习和交互式教学。⑷学习可分为初级学习和高级学习的不同层次。⑸学生对现有知识的学习需要走向“思维中的具体”⑹重视活动性学习在学生学习中的重要作用

影响:⑴知识是一个建构的过程，必须突出学习者的主体作用

⑵必须重视外部环境的制约和影响 ⑶学习是发展、是改变观念

4、讲解法的注意事项有哪些？

⑴做好学生学习新知识之前的知识与心理准备。⑵教学容量必须适应学生原有知识基础与认知水平。⑶强调教学的过程性和参与性。⑷讲解要精练、有感染力、有吸引力。⑸及时收集教学反馈信息，以修正教学行为。⑹讲解中突出启发性；通过适时的设计并提出问题，引发学生积极从事思考、分析、讨论、概括等数学活动过程，达到提高学生素质、发展学生能力的目的，实现教、学的科学形态（启发式讲解法）。

5、新课引入通常有哪几种方法？

⑴复习提问式，通过复习旧知引入课题的一种方式。⑵练习式，安排一组习题让学生练习，通过对习题的解答、结果的讨论、引伸、推广引入课题。⑶设疑式，提出问题让学生思考，使之产生了解结果的强烈愿望。⑷类比对比式，通过新、旧知之间的某种相似性或联系引入课题。⑸发现式，通过引导学生探究、发现数学知识和规律引入。

6、大众化的数学课程有什么特点？数学课程的编排应遵循哪些原则？

特点：⑴人人学习有用的数学。⑵人人掌握必须的数学。⑶不同的人有不同的发展 原则：⑴符合数学学科的基本特性：系统性；突出学科的知识结构

⑵符合学生的认知发展规律

可接受性:由浅入深，从直观到抽象 直观性：从生活实例、直观模型引入 趣味性：从让学生感兴趣的材料入手 阶段性：与学生的思维发展阶段相适应

7、简要说明讲解法的思想、步骤及运用的注意点 思想：学生所学习的内容是由教师通过系统的讲授呈现给他们的，学生在课堂上采用的一种接受式的学习方法，将教师讲授的知识内容经过加工整理贮存于头脑中。使用讲解法比较节省时间和精力，通过教师生动形象的讲解，合乎逻辑的推理，入情入理的分析，帮助学生系统的获得知识，形成观点，发展能力。步骤：准备-导入-讲解-结束

注意点：⑴要注意数学语言的精确性和逻辑性。⑵讲解时要注意体态语的运用。⑶讲解要注意从具体到抽象。⑷要注意启发式的讲解和有意义的结束，避免注入式讲解。

8、教师如何对学生的考分进行解释？

⑴测验分数或等级描述的是学生学会的行为或目前所具有的水平

⑵分数或等级提供的是对学生数学学习成效的一种估计，而不是确切的标志 ⑶单独的一次数学测验分数或等级不能作为对学生数学学习能力评判的可靠依据 ⑷数学测验分数或等级表明的是学生数学学习中的行为表现，而不是解释表现的原因

9、影响学生的数学迁移的因素有哪些？

⑴学习材料之间的共同因素。⑵对材料的理解程度。⑶知识经验的概括水平。⑷定势作用。⑸认知结构的清晰性和稳定性。

10、怎样帮助学生形成与增强数学学习的信心？

⑴恰当给予辅导与提示。⑵减缓心理压力。⑶满足成功的体验。⑷营造和谐的师生氛围，鼓励生生之间的合作与交流。

11、简述数学课堂教学类型及结构特征。

⑴新授课：讲练结合型课的基本结构：基本训练-导入新课-进行新课-尝试练习-阅读课本-独立练习；探究型课的基本结构：提出问题-引导探究-巩固内化。

⑵练习课：复习—练习—小结—布置作业。⑶复习课：归纳整理-重点复习-总结-布置作业。⑷讲评课：分析作业或考试的整体情况-分析产生错误的原因和改正的方法-总结经验教训 ⑸考查课：一般采用闭卷或口头提问。⑹实践活动课：以先进教学理论为指导选择或设计课堂教学结构-应全面体现课堂教学目标-变信息的单向交流为多向交流。

12、教学反思主要有哪些基本形式？如何进行教学反思？ ⑴促进教师的自我教育。⑵提高教师的教学理论素养。⑶促进教师由经验型教师向反思型教师的转变。如何进行：⑴反思札记。⑵案例法。⑶自传法。⑷档案鉴定。⑸行动研究。

13、如何理解小学空间与图形课程的教育价值？* 小学阶段设置空间与图形课程内容的重要目标在于，通过对空间与图形的学习，使学生在观察物体、认识方向、认识图形、图案设计、实验操作等各种活动中，逐步经历和体验从直观感知、具体操作到理性思考、数学表达的过程，培养和发展学生的空间观念和初步的逻辑推理意识，更好地理解人类赖以生存的空间，认识和把握现实世界。

四、论述题

1、通过学习或研究数学的体会谈谈你对数学严谨性的认识 数学的严谨性是指数学中每个定理，定律都要经过严格的证明才能得以成立。数学的语言和思考过程都要求具有严谨性，合乎逻辑。数学的证明要从公理出发，经过严格的推导过程，得出合乎逻辑的结论。平面几何的论证与推理就是这种严谨性的突出代表。

2、阐述你对“问题解决”的内涵的理解，注重问题解决的数学课程有哪些特点？# 问题解决的内涵可以从三方面加以解释：其一，问题解决是数学教学的一个目的。重视问题解决的培养，发展学生的解决问题能力，最根本目的是通过解决问题的训练，让学生掌握在未来竞争激烈、发展迅速的信息社会中生活、生存的能力与本领。其二，问题解决是个数学活动过程。也就是说，通过问题解决，让学生亲自参与发现的过程、探索的过程、创新的过程。其三，问题解决是技能。他并非是单一的解题技能，而是一个综合技能。

⑴通过问题解决认识和理解数学 ⑵把数学和非数学的问题情景表述成数学问题⑶学会和应用各种策略解决问题 ⑷根据问题的原始情境来检验和解释答案。⑸概括解决问题的方法和策略

⑹在有意义的运用数学的过

3、布鲁纳教学思想及其对当代数学改革的启示。

布鲁纳的认知—发现学习理论:主张在引入新的概念和技能时，应该向学生提供具体的可操作的材料以便学生“发现”自己的组织（编码系统）。

布与同事在大量数学学习实验中总结出四条数学学习原理：

（1）建构原理，学生在学习一个数学概念、原理、法则时，要以最合适的方法结构其代表。（2）符号原理：如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么，就能够在认识上形成早期的结构。

（3）比较和变式原理：从概念的具体形式到抽象形式的过度，需要比较和变式。（4）关联原理：要把各种概念、原理联系起来，在统一的系统中学习。

4、如何理解精讲多练与自主建构相结合的原则

⑴确立学生学习的主题地位 ⑵教师要为学生自主建构而精讲 ⑶注重数学过程教学

5、奥苏伯尔教学论思想及其对当代数学改革的启示 主要观点是运用先行组织者的策略，通过有意义的接受学习方式讲解言语知识，其实质是应根据学生已有知识状况进行教学。在当代，教育家点名批判的教学形式中首当其冲的是言语讲授教学法，可是学校实践又表明，教师用语言讲解、学生以接收方式学习的这种形式仍为传授文化知识的主要手段，这就向人们提出值得深思的问题，言语将解法是否有合理性，正是在这种背景下奥苏伯尔着眼于对这种类型的不同分类准则，创造性的解决了这一难题。奥苏伯尔支持有意义的发现学习，抨击机械的接受学习的弊端。⑴机械学习和发现学习，所谓接受学习是指学习的主要内容多少是以定论的形式呈现给学习者的。⑵意义学习与机械学习。意义学习发生的两个条件，其一学习任务对学习者具有潜在的意义，其二，掌握了适合于他们智力发展的符号，那么，就能够在认识上形成早期的结构。⑶比较和变式原理：从概念的具体形式到抽象形式的过度，需要比较和变式。⑷关联原理：要把各种概念、原理联系起来，在统一的系统中学习。

6、影响学生数学学习的兴趣有哪些？如何培养学生的数学兴趣？

影响兴趣因素：1动机：成就动机、社会动机2体验 3好奇心与求知欲 1 充分利用儿童的生活平台，使教学内容更富有趣味2创设问题情境，在数学学习活动中激发学生学习兴趣3 调动学生思维，鼓励学生“多思善问”

7、如何贯彻抽象性与具体性相结合的原则

1数学的抽象性2数学抽象的相对性；数学抽象性以具体性为基础；数学的抽象性有一个循序渐进的深化过程；高度的抽象性与广泛的具体性 3小学生抽象思维的阶段性 4抽象性与具体性相结合的原则的贯彻要求（直观教学、数形结合、从抽象到具体）

8、如何贯彻严谨性与量力性相结合的原则

数学的严谨性：⑴数学概念。⑵真命题。⑶公理化的体系。⑷数学语言的表述。⑸数学运算中学生的可接受性

严谨性与量力性相结合原则的贯彻要求： ⑴认真了解学生的学业基础水平与认知水平。⑵根据数学课程标准制定恰当、合理的课堂教学目标。⑶螺旋式地处理教材内容。⑷注重数学语言的教学。⑸周密思考、推理有据

9、评析《课程标准》所确定的课程目标 ⑴把促进每个学生的发展放在首位。⑵从单一的结果性目标转变为结果性、体验性目标相融合（如“经历”（感受）-参与、交流、观察等，“反应”（认同）-体会、欣赏等，“领悟”（内化）-养成、树立、能等）。反映了学习的“过程与方法”、“情感态度价值观的要求。⑶树立过程性目标让学生体验数学化的过程。反映了数学教育的本质特征。学生在积累中形成了数学意识和数学感。⑷使学生获得必须的数学知识、技能与思想方法。体现了“鱼与渔”的问题⑸注重培养学生探索与创新精神。创新是时代的特征，数学教育是创新教育的核心。

10、选择教学方法的依据是什么？如何进行教学方法的选择与优化？

选择教学方法的依据：⑴根据教学目标选择教学方法；⑵根据学生的特征选择教学方法；⑶根据不同的教学内容选择教学方法；⑷依据教师的特点选择教学方法。教学方法的选择：⑴要明确选择的标准，标准要具体化，切记抽象 ⑵要尽可能广泛地了解有关的教学方法，把握各种方法的精华

⑶对各种可供选择的教学方法，要进行各种比较，对各种方法进行优选，作出最后决定 教学方法的优化：

⑴要熟悉各种常用的教学方法，能有效地运用其中每种教学方法，掌握每种教学方法的优缺点与适用范围。

⑵在选择教学方法之前，先按教学目的和任务将教学内容具体化，找出重点、难点，并将教学内容划分为逻辑上完整的几个部分。⑶教学方法的优化应考虑教学过程效率的高低

第二篇：数学课程与教学论重点

2012---2013学第二学期（11数专）《初等数学教学论》复习提纲 导论

1、数学课程与教学论讨论的基本内容有哪些？

2、数学教育研究经历了哪三个阶段？ 第一章

中学数学课程改革

1、《标准》把义务教育阶段的数学内容分学段按哪四个领域展现？

2、《九章算术》的主要特点是什么？

3、《全日制义务教育数学课程标准》规定的数学课程总目标是什么？ 第二章

主要数学教育理论概述

1、弗赖登塔尔是世界著名的数学家和数学教育家，他对数学教育的基本观点有哪些？

2、简述弗赖登塔尔的数学教育基本观点对数学教育的启示。

3、波利亚在数学教育方面的研究主要集中在哪三个

领域？

第三章

数学学与教的心理学视角

1、数学探究学习有什么特点

2、数学学习过程包括哪三个阶段？

3、数学技能的含义是什么？

第四章

数学教学的基本理论

1、数学课程标准下的教学模式有哪几种？

2、张奠宙教授根据数学学科的特点，提出了哪三条

具体的数学教学原则？

3、什么叫讲授法？它有什么特点？ 第五章

数学能力及其培养

1、数学的一般能力包含哪几种？

2、简述数学能力的含义。

第六章

数学思想方法与数学史修养

1、数学史教育应遵循哪四个原则？

2、数学思想方法从接受的难易度上可分为哪三个层？

第七章

现代信息技术与数学教育

1、多媒体课件制作的主要步骤分哪几步？

2、简述计算机辅助教学的应用给课堂教学带来的无

限生机（三个方面P266）。第八章

数学教育评价

1、数学教学评价的要素有哪些？

2、数学学习过程评价的内容包括哪四个方面？

3、数学课的评价由哪三部分组成？ 第九章 数学教育实习

1、教育实习成绩评定的考核内容主要有哪几项？

2、简述数学教育实习的任务。第十章 数学教育研究与论文写作

1、数学教育研究的基本方法主要有哪些？

2、简述选择论题的策略。

3、简述数学思想方法教学的原则。第十一章 数学教学的实践训练

1、掌握说课的内容和要求，会写说课稿。

2、掌握教学设计的方法，会分析教材，会写教案。

（如：

一、新人教版九年级（上册）第22章第2节

降次-----解一元二次方程（配方法）。

二、人教

版教材八年级上册第14章《一次函数》第一节）

3、会创设问题情境。

第三篇：小学数学课程与教学论

《小学数学课程与教学论》读书笔记

娄山关将军希望小学

曾秉华

这是一本相当好的专业书，它是浙江教育出版社所出“课程学科教学论丛书”之一，总主编钟启泉，主编孔企平，皆是教育或是数学教育界中的人物。随录如下

第一章是小学数学课程的改革与发展.它的第三节论及“近年来国际小学数学课程改革的特点”，所归纳的数学觉得完备而合乎我现有的认识，内容如下，一是强调数学的现实性；二是重视以学生为主体的活动；三是与信息技术的结合；四是重视教育过程的个性化与差别化；五是关注与其他学科的综合。P9日本的新数学学习纲要强调“学生在学习中的愉快感、充实感应该是与数学内容有本质联系的。这次数学课程改革应该让喜欢数学的学生多起来。”我也相信，光有快乐没有数学的课堂不是数学课堂.P10谈到教育目标的差别化与教育设计弹性时，阐述极少，可见“不同的人在数学上得到不同的发展”实现之难，当然，这也是个热点、待开发点。

第二章是小学数学新课程的理念与目标.照录一段提纲挈领的话，P13“本次义务教育阶段的数学课程改革，强调从以获取知识为数学教育首要目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。促进学生终身可持续性发展，是学校数学教育的基本出发点。”P27在新教材中，每个知识点编排按照“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的结构。第三章 小学数学学科的几个基本问题.P31，好句子：“学生太早地、过度地被教师们安排在象征符号堆里，满脸数字印痕却不知数学在生活中有什么用。”P33，在解决街头数学问题中，儿童用的是自己的口头语言甚至是直觉的方式，而学校所教授的是书面和符号方法。这两种符号系统之间的差异是街头数学和学校数学之间的本质差异，也是学生学习数学的困难所在。P34、P15都论及小学数学所应当具有的特点是，“第一，小学数学具有现实性质，数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。第二，学生应该用积极主动的方式学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步建构数学结论，学生学习数学是一个‘再创造’的过程。第三，要通过数学教育，促进学生的一般发展。P44，“数学的学习要超越概念、步骤、运用。它包括数学素养，把数学看做一种强有力的审视情境的方式。素养不仅指态度，而且指具有思考的倾向和积极的行动方式。学生的数学素养体现在他们是否能够自信地接近目标，乐于探索，具有意志力和兴趣，以及能否有反映他们自己思维的倾向性等几方面。”－－美国数学教师国家委员会.

第四篇：小学数学课程与教学论

§1.4具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性.2.掌握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.Ⅲ.讲授内容

一

有界函数

定义

1设f为定义在D上的函数．若存在数M(L)，使得对每一个xD有

f(x)M(f(x)L)，则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上的一个上(下)界．

根据定义，f在D上有上(下)界，意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数集．又若M(L)为f在D上的上(下)界，则任何大于(小于)M(L)的数也是f在D上的上(下)界．

定义2 设f为定义在D上的函数．若存在正数M，使得对每一个xD有

f(x)M，(1)则称f为D上的有界函数．

根据定义，f在D上有界，意味着值域f(D)是一个有界集．又按定义不难验证： f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的几何意义是：若f为D上的有界函数，则f的图象完全落在直线yM与yM之间．

例如，正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对每一个xr都有sinx1和cosx1.关于函数f在数集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.的否定说法来叙述．例如，设f为定义在D上的函数，若对任何M(无论M多大)，都存在xD，使得f(x0)M，则称f为D上的无上界函数．

§1.4具有某些特性的函数

例1 证明f(x)1x为(0,1]上的无上界函数.1M1证 对任何正数M，取(0,1]上一点x0

f(x0)1x0，则有

M1M.故按上述定义，f为(0,1]上的无上界函数．

前面已经指出，f在其定义域D上有上界，是指值域f(D)为有上界的数集．于是由确界原理，数集f(D)有上确界．通常，我们把f(D)的上确界记为supf(x)，并称之为f在xDD上的上确界．类似地，若f在其定义域D上有下界，则f在D上的下确界记为inff(x)．

xD

例2 设f，g为D上的有界函数.证明：

(i)inff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)} ；

xDxDxD

(ii)sup{f(x)g(x)}supf(x)supg(x)．

xDxDxD

证

(i)对任何xD有

inff(x)f(x),infg(x)g(x)inff(x)infg(x)f(x)g(x)．

xDxDxDxd上式表明，数inff(x)infg(x)是函数fg在D上的一个下界，从而

xDxDinff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}．

xDxDxD(ii)可类似地证明(略)．

注

例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立．例如，设

f(x)x,g(x)x,x[1,1]，则有inff(x)infg(x)1,supf(x)supg(x)1,而

|x|1|x|1|x|1|x|1inf{f(x)g(x)}sup{f(x)g(x)}0.|x|1|x|1

二

单调函数

定义3 设f为定义在D上的函数．若对任何x1,x2D,当x1x2时，总 有

（i）f(x1)f(x2),则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格增函数；

§1.4具有某些特性的函数

(ii)f(x1)f(x2)，则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格减函数；

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．

例3 函数yx3在R上是严格增的．因为对任何，x1,x2R,当x1x2时总有

x2x1(x2x1)[(x2x12)234x1]0，即x1x2.233

例4 函数y[x]在R上是增的．因为对任何x1x2R，当x1x2时,显然有[x1] [x2]．但R上不是严格增的，若取x10,x212，则有[x1]=[x2]0，即定义中所要求的严格不等式不成立．此函数的图象如图1—3所示．

严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反 函数．

定理1．2

设yf(x),xD为严格增(减)函数，则f必有反函数f定义域f(D)上也是严格增(减)函数．

证

设f在D上严格增．对任一yf(D)，有

xD使f(x)y．下面证明这样的x只能有一个．事实上，对于D内任一x1x，由f在D上的严格增性，当x1x2时f(x1)y，当x1x时有f(x1)y，总之f(x1)y．这就说明，对每一个yf(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一个xD，使得f(x)y，从而函数f存在反函数xfyf(D)．

1(y)，现证f1也是严格增的．任取y1,y2f(D)，y1y2·设x1f1(y1),x2f1(y2)，则y1f(x1),y2f(x2)．由y1y2及f的严格增性，显然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函数f21是严格增的．

例5 函数yx在[—，0)上是严格减的，有反函数(按习惯记法)yx，x(0,);yx在（0，+)上是严格增的，有反函数y2x,x[0，+)。但yx在2§1.4具有某些特性的函数

整个定义域R上不是单调的，也不存在反函数．

上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数

yax(a0,a1)的定义域拓广到整个实数集R．下面证明指数函数在R上的严格单调性．

例6 证明：，y=ax当a>1时在R上严格增；当0

证

设a>1．给定x1,x2R,x1x2.由有理数集的稠密性，可取到有理数r1,r2，使x1r1r2x2，故有

ax1x sup{ar|r为有理数}arar2sup{ar|r为有理数}ax2，1rx1rx2这就证明了a当0a1时在R上严格递增．

类似地可证.ax当0

注

由例6及定理1．2还可得出结论：对数函数ylog严格递增，当0

三

奇函数和偶函数

定义4

设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数．若对每一个xD，有

f(x)f(x)(f(x)f(x))，ax当a>1时在(0，)上则称f为D上的奇(偶)函数．

从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴对称．

例如，正弦函数ysinx和正切函数ytanx工是奇函数，余弦函数ycosx是偶函数，符号函数ysgnx是奇函数(见图1—1)．而函数f(x) sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取x04，则f(x0)2，f(x0)0，显然既不成立f(x0)f(x0)，也不成立f(x0)f(x0)．

四

周期函数

设f为定义在数集D上的函数．若存在>0，使得对一切xD有f(x)f(x)，则称f为周期函数，称为f的一个周期．显然，若为f的周期，则n(n为正整数)也是f的周期．若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期．

§1.4具有某些特性的函数

例如，sinx的周期为2，tanx的周期为．

函数 f(x)x[x],xR的周期为1(见图1—4)． 常量函数f(x)c 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.定义在R上的狄利克雷函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.(Dirichl)et

第五篇：小学数学课程教学论复习资料

数学的研究对象

现实世界的空间形式与数量关系 数学的基本特征及其对小学数学教学的要求 抽象性

将抽象的、枯燥的数学，演绎成学生感兴趣的、可以接受的，又不失数学本质和数学价值的形式，并展示给学生。严谨性

要求对于任何数学结论，必须严格按照正确的推理规则，根据数学中已经证明和确认的正确的结论（公理、定理、定律、法则、公式等），经过逻辑推理得到。

学习数学，不仅学习数学结论，也要让学生知道数学结论是如何得来、怎么证明的。

学习数学科学的方法，包括其中丰富蕰涵的严格推理方法以及其他的思维方法。

通过反馈练习，强化对公理、规则、公式等的认识 应用广泛性

数学教育应该注意培养学生应用数学的意识和能力 通过数学提高思维能力 3.三种“数学观” 生活数学观

缩短学生生活与数学的距离

将教学内容和学生已有的生活经验相结合 儿童数学观

（1）非完全形式化、从日常经验开始的；（2）通过并不严密的归纳概括。现实数学观

教师通过有效的教学组织，引导儿童将自己的经验不断地“数学化”。数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始，沿着数学发现的活动轨迹，从生活中的问题到数学问题，从具体问题到抽象概念，从特殊关系到一般规则，逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识。得到抽象化的数学知识之后，再把他们应用到新的现实问题上去。“操作之中学数学” “数形结合学数学” “借助几何直观教数学” 4.小学生数学思维的培养

设置悬念：一波未平一波又起的思维波澜

培养思维的创造性：欣赏与众不同、鼓励大胆猜想和验证、鼓励学生质疑问难

培养思维的批判性：引导学生进行辩论 培养思维的敏捷性：“快速反应”4/7 vs 9/19 补充

一、沟通知识间的内在联系，培养思维的深刻性。

二、开拓解题思路，培养思维的灵活性。

三、强化技能训练，培养思维的敏捷性。

四、提倡求异思维，探究求新，培养思维的独创性。

5.义务教育阶段数学课程的总体目标（详细了解，不能停留在仅仅知道四维目标这个层次）

获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。

初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。

体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心。具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。

（一）知识与技能

经历将一些实际问题抽象为数与代数的问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。

二）数学思考

经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。

丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。

经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念。经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点

三）问题解决

初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。

形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题的策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。初步形成评价与反思的意识。

（四）情感与态度

能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。教学中如何体现“情感态度”的目标要求？ 兴趣是第一位的 加强体验教学 注意情感态度的渗透性与渐进性

用教师自身积极的情感态度和评价导向去引领学生

合情推理就是从已有的知识和经验出发，通过观察、比较、不完全归纳、猜想、联想、估算等手段在某种情境和过程中推出可能性结论的推理

如何激发学生的“数学思考”？ 努力创设问题情境 精心设计核心提问

为学生提供充分思考的时间和空间 如何帮助学生积累和发展数学活动经验？ 让帮助学生获得数学活动经验成为数学教学目标 实践性：设计和实施好的数学活动

个体性：引导学生参与学习、经历学习的过程

内隐性：引导学生反思与评价，提炼、外显数学活动经验 多样性：经验交流，相互补充、相互促进 发展性：创设机会，加强应用，促进经验提升

6.小学数学课程内容（不仅要能描绘出整个的知识结构体系，而且要能知道每一个知识点背后的意思，比如说何谓“带分数”）7.小学数学不同内容的教学策略 “数与代数”的教学要求 充分利用现实生活中的实际背景 重视直观感性材料的作用 关注知识形成过程 “空间与图形”的教学策略 呈现知识的实际背景 重视直观感性材料的作用 关注知识的形成过程 做中学 统计的教学策略 注重儿童生活的策略

例：元旦晚会买些什么水果好呢？ 强化数学活动的策略 例：一二年级的体重 将知识应用于现实情境的策略

例：某一时段经过校门口的机动车辆情况 活动的体验性策略：生活事件、数学活动 游戏的引导性策略：利用游戏来体验可能性 方案的尝试设计策略：将知识运用于现实情境 “实践与综合应用”教学设计应遵循的原则 综合性原则 现实性原则 趣味性原则

激起学生参与的欲望、调动学生活动的积极性 教学设计要增强趣味性：形式活泼、场所开放 给予物质或精神奖励 开放性原则

8.儿童数学思维的特点

从具体形象思维逐步向抽象思维过渡 儿童的数学思维呈现单维度特征 儿童的数学思维容易形成自然结构

学生为了完成某一学习任务，通过感知以及已有的知识和经验获得了完成这一任务所需要的信息，按照自身的经验将这些信息联系起来所自然形成的一种思维结构。

9.儿童数学思维存在的不足及应对措施 缺乏自觉性

培养学生做自我检查的能力和习惯

教师先不说出自己的观点，让学生独立地思考和判断 缺乏灵活性

遇到问题时存在一种思维惰性和习惯思维倾向 缺乏批判性

培养思维的批判性：引导学生进行辩论、欣赏与众不同、鼓励学生质疑问难

儿童数学思维存在的不足及应对措施（4）片面性

不能脱离具体的表象把握其实质，在分析和解决数学问题时，往往考虑得不够全面 敏捷性差异较大

培养思维的敏捷性：“快速反应”训练 10.儿童数学学习的特点

儿童数学学习的起点是他们的生活常识

并非作为科学数学的逻辑公理，而是在生活中形成的经验

充分运用感性材料，从学生生活常识和经验出发，去帮助学生理解学习内容

儿童数学学习是认知、行为和情感共同参与的过程 行为参与：最基本的课堂参与形态

认知参与：浅层次的策略、深层次的策略、依赖型策略 情感投入：刺激、定向和调节的作用

儿童数学学习是一个数学“再发现”与“再创造”的过程

并不是简单、被动地接受，而是将数学知识作为实践性活动任务，在教师指导下，用他们自己理解的方法去探索 儿童数学学习是一个教师启发引导的过程 11.数学教师需要具备的知识结构 数学知识 数学表达的知识 关于学生的知识

关于教学组织策略等方面的知识 教师的实践性知识

12.小学数学课堂教学的基本过程及其注意事项

一、导入 具体方式 直接呈示 复习导入 情境呈现 注意事项 顺畅（自然而然）

从已知引出未知（案例：等式）

诱发、激起学生的求知欲，使学生做好心理上的准备，使他们明确学习的课题、任务和要求

尽量突出数学情境，适当保留非数学情境，让情境真正为课堂教学服务 新授 精讲

问自己：我要教什么？学生要学生什么？我打算怎么教？学生准备怎么学？

把握重难点：找最不易被学生理解的地方，找最易出错的地方，找最易被教师忽视的地方 巩固练习具体方式 动脑、动口、动笔 正、反 个人、小组、集体 注意事项 及时 充分 从简单到复杂 具体方式 总结 按总结内容 侧重知识 侧重过程与方法 按总结主体 教师 学生 具体方式 按总结时间 当节课末尾 下节课开头 按总结方式 注重总结 拔高设疑

13.教学设计的含义与内容 教学设计 含义：为达成教学目标对教什么、怎样教以及达到什么结果所进行的策划。教学过程 教学内容及分析 学情分析 教学目标 教学重、难点 教具、学具

14.小学数学课堂教学评价的内容与标准（这也是我们作为数学教师乃至其他学科教师需要努力的方向）