小学数学课程与教学论2

第一篇：小学数学课程与教学论2

1、分析研究教材的重点、难点和关键

分析教材的重点、难点和关键，是为了科学的组织教学内容、设计教学过程，做到突出重点、抓住关键，突破难点、带动全面，有效的提高课堂教学质量。

1、教材的重点

在某一部分教材中，关系全局，直接影响其他知识学习的那些知识，叫做这部分教材的重点。

第二篇：小学数学课程与教学论

《小学数学课程与教学论》读书笔记

娄山关将军希望小学

曾秉华

这是一本相当好的专业书，它是浙江教育出版社所出“课程学科教学论丛书”之一，总主编钟启泉，主编孔企平，皆是教育或是数学教育界中的人物。随录如下

第一章是小学数学课程的改革与发展.它的第三节论及“近年来国际小学数学课程改革的特点”，所归纳的数学觉得完备而合乎我现有的认识，内容如下，一是强调数学的现实性；二是重视以学生为主体的活动；三是与信息技术的结合；四是重视教育过程的个性化与差别化；五是关注与其他学科的综合。P9日本的新数学学习纲要强调“学生在学习中的愉快感、充实感应该是与数学内容有本质联系的。这次数学课程改革应该让喜欢数学的学生多起来。”我也相信，光有快乐没有数学的课堂不是数学课堂.P10谈到教育目标的差别化与教育设计弹性时，阐述极少，可见“不同的人在数学上得到不同的发展”实现之难，当然，这也是个热点、待开发点。

第二章是小学数学新课程的理念与目标.照录一段提纲挈领的话，P13“本次义务教育阶段的数学课程改革，强调从以获取知识为数学教育首要目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。促进学生终身可持续性发展，是学校数学教育的基本出发点。”P27在新教材中，每个知识点编排按照“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的结构。第三章 小学数学学科的几个基本问题.P31，好句子：“学生太早地、过度地被教师们安排在象征符号堆里，满脸数字印痕却不知数学在生活中有什么用。”P33，在解决街头数学问题中，儿童用的是自己的口头语言甚至是直觉的方式，而学校所教授的是书面和符号方法。这两种符号系统之间的差异是街头数学和学校数学之间的本质差异，也是学生学习数学的困难所在。P34、P15都论及小学数学所应当具有的特点是，“第一，小学数学具有现实性质，数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。第二，学生应该用积极主动的方式学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步建构数学结论，学生学习数学是一个‘再创造’的过程。第三，要通过数学教育，促进学生的一般发展。P44，“数学的学习要超越概念、步骤、运用。它包括数学素养，把数学看做一种强有力的审视情境的方式。素养不仅指态度，而且指具有思考的倾向和积极的行动方式。学生的数学素养体现在他们是否能够自信地接近目标，乐于探索，具有意志力和兴趣，以及能否有反映他们自己思维的倾向性等几方面。”－－美国数学教师国家委员会.

第三篇：小学数学课程与教学论

§1.4具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性.2.掌握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.Ⅲ.讲授内容

一

有界函数

定义

1设f为定义在D上的函数．若存在数M(L)，使得对每一个xD有

f(x)M(f(x)L)，则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上的一个上(下)界．

根据定义，f在D上有上(下)界，意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数集．又若M(L)为f在D上的上(下)界，则任何大于(小于)M(L)的数也是f在D上的上(下)界．

定义2 设f为定义在D上的函数．若存在正数M，使得对每一个xD有

f(x)M，(1)则称f为D上的有界函数．

根据定义，f在D上有界，意味着值域f(D)是一个有界集．又按定义不难验证： f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的几何意义是：若f为D上的有界函数，则f的图象完全落在直线yM与yM之间．

例如，正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对每一个xr都有sinx1和cosx1.关于函数f在数集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.的否定说法来叙述．例如，设f为定义在D上的函数，若对任何M(无论M多大)，都存在xD，使得f(x0)M，则称f为D上的无上界函数．

§1.4具有某些特性的函数

例1 证明f(x)1x为(0,1]上的无上界函数.1M1证 对任何正数M，取(0,1]上一点x0

f(x0)1x0，则有

M1M.故按上述定义，f为(0,1]上的无上界函数．

前面已经指出，f在其定义域D上有上界，是指值域f(D)为有上界的数集．于是由确界原理，数集f(D)有上确界．通常，我们把f(D)的上确界记为supf(x)，并称之为f在xDD上的上确界．类似地，若f在其定义域D上有下界，则f在D上的下确界记为inff(x)．

xD

例2 设f，g为D上的有界函数.证明：

(i)inff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)} ；

xDxDxD

(ii)sup{f(x)g(x)}supf(x)supg(x)．

xDxDxD

证

(i)对任何xD有

inff(x)f(x),infg(x)g(x)inff(x)infg(x)f(x)g(x)．

xDxDxDxd上式表明，数inff(x)infg(x)是函数fg在D上的一个下界，从而

xDxDinff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}．

xDxDxD(ii)可类似地证明(略)．

注

例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立．例如，设

f(x)x,g(x)x,x[1,1]，则有inff(x)infg(x)1,supf(x)supg(x)1,而

|x|1|x|1|x|1|x|1inf{f(x)g(x)}sup{f(x)g(x)}0.|x|1|x|1

二

单调函数

定义3 设f为定义在D上的函数．若对任何x1,x2D,当x1x2时，总 有

（i）f(x1)f(x2),则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格增函数；

§1.4具有某些特性的函数

(ii)f(x1)f(x2)，则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格减函数；

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．

例3 函数yx3在R上是严格增的．因为对任何，x1,x2R,当x1x2时总有

x2x1(x2x1)[(x2x12)234x1]0，即x1x2.233

例4 函数y[x]在R上是增的．因为对任何x1x2R，当x1x2时,显然有[x1] [x2]．但R上不是严格增的，若取x10,x212，则有[x1]=[x2]0，即定义中所要求的严格不等式不成立．此函数的图象如图1—3所示．

严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反 函数．

定理1．2

设yf(x),xD为严格增(减)函数，则f必有反函数f定义域f(D)上也是严格增(减)函数．

证

设f在D上严格增．对任一yf(D)，有

xD使f(x)y．下面证明这样的x只能有一个．事实上，对于D内任一x1x，由f在D上的严格增性，当x1x2时f(x1)y，当x1x时有f(x1)y，总之f(x1)y．这就说明，对每一个yf(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一个xD，使得f(x)y，从而函数f存在反函数xfyf(D)．

1(y)，现证f1也是严格增的．任取y1,y2f(D)，y1y2·设x1f1(y1),x2f1(y2)，则y1f(x1),y2f(x2)．由y1y2及f的严格增性，显然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函数f21是严格增的．

例5 函数yx在[—，0)上是严格减的，有反函数(按习惯记法)yx，x(0,);yx在（0，+)上是严格增的，有反函数y2x,x[0，+)。但yx在2§1.4具有某些特性的函数

整个定义域R上不是单调的，也不存在反函数．

上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数

yax(a0,a1)的定义域拓广到整个实数集R．下面证明指数函数在R上的严格单调性．

例6 证明：，y=ax当a>1时在R上严格增；当0

证

设a>1．给定x1,x2R,x1x2.由有理数集的稠密性，可取到有理数r1,r2，使x1r1r2x2，故有

ax1x sup{ar|r为有理数}arar2sup{ar|r为有理数}ax2，1rx1rx2这就证明了a当0a1时在R上严格递增．

类似地可证.ax当0

注

由例6及定理1．2还可得出结论：对数函数ylog严格递增，当0

三

奇函数和偶函数

定义4

设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数．若对每一个xD，有

f(x)f(x)(f(x)f(x))，ax当a>1时在(0，)上则称f为D上的奇(偶)函数．

从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴对称．

例如，正弦函数ysinx和正切函数ytanx工是奇函数，余弦函数ycosx是偶函数，符号函数ysgnx是奇函数(见图1—1)．而函数f(x) sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取x04，则f(x0)2，f(x0)0，显然既不成立f(x0)f(x0)，也不成立f(x0)f(x0)．

四

周期函数

设f为定义在数集D上的函数．若存在>0，使得对一切xD有f(x)f(x)，则称f为周期函数，称为f的一个周期．显然，若为f的周期，则n(n为正整数)也是f的周期．若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期．

§1.4具有某些特性的函数

例如，sinx的周期为2，tanx的周期为．

函数 f(x)x[x],xR的周期为1(见图1—4)． 常量函数f(x)c 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.定义在R上的狄利克雷函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.(Dirichl)et

第四篇：数学课程与教学论作业2

第二次作业：

1、阐述现代数学课程目标改革的特点。答：共同的特点：

（１）数学课程目标更加关注人的发展，关注学生数学素养的提高。（２）数学课程目标面向全体的学生，从精英转向大众。

（３）数学课程目标关注学生的个别差异。而不是统一的模式。（４）数学课程目标更加注意联系现实生活与社会。

具体目标有：注重问题解决，注重数学应用，注重数学交流，注重数学思想方法，注重培养学生的态度情感与自信心等。（1）社会发展因素的影响

学校教育要为社会发展需要服务，数学课程目标的制定要考虑社会发展对学生未来数学素养的需求，这是学校教育的功能决定的。（2）儿童发展因素的影响

数学课程目标的制定应更多地考虑学生的需要和促进学生的发展，这一因素受到越来越多人的重视。

（3）数学科学发展的影响

现代数学的发展，对数学科学和数学学科的认识也在不断变化。以上三个方面是影响数学课程目标的主要因素，任何制定数学课程目标的人都要考虑这三个因素。但在设计课程目标时，不同的人会有自己对数学课程目标的价值取向，这些价值会导致产生不同特点和不同倾向的数学课程目标体系。

2、如何进行数学概念的教学？举例说明，答：1.在引入新概念时，把相关的旧概念联系起来，确立信任学生的观念，大胆放手让学生把某种情境用数学方法加以表征;在形成概念时，留给学生充足的思维空间，多角度、全方位地提出有价值的问题，让学生思考;指导学生自主地建构新概念。在辨识概念时，鼓励学生质疑。从学生的角度看，学贵有疑是学习进步的标志，也是创新的开始。

2.在学习数学定理、公式、方法时，离不开对命题的证明，应当改变传统的分为“展示定理、推证定理、应用定理”简单三步的模式，而结合实际情况，在证明命题前为学生创设认知冲突的疑惑情境。经过一段训练后，学生便能清楚什么是数学证明，什么不是。并且知道数学证明的价值及其局限性。

3.所谓“教学有法，但无定法”，教师要能随着教学内容的变化，教学对象的变化，教学设备的变化，灵活应用教学方法。数学教学的方法很多，对于新授课，我们往往采用讲授法来向学生传授新知识。而在立体几何中，我们还时常穿插演示法，来向学生展示几何模型，或者验证几何结论。如在教授立体几何之前，要求学生每人用铅丝做一个立方体的几何模型，观察其各条棱之间的相对位置关系，各条棱与正方体对角线之间、各个侧面的对角线之间所形成的角度。这样在讲授空间两条直线之间的位置关系时，就可以通过这些几何模型，直观地加以说明。

4.教师可利用现代化的多媒体教学手段.可能的话，教学可以自编电脑课件，借助电脑来生动形象地展示所教内容。如讲授正弦曲线、余弦曲线的图形、棱锥体积公式的推导过程都可以用电脑来演示。我想要做到上述几个方面，必须改变传统的单一的“传授--接受”的教学模式，要留给学生思维的空间，同时要鼓励学生提出不同的想法和问题，提倡课堂师生的交流和学生与学生间的交流，因为交流可令学生积极投入和充分参与课堂教学活动。通过交流，不断进行教学信息的交换、反馈、反思，可修正思维策略，概括和总结数学思想方法。在交流中，作为老师耐心倾听学生提出的问题，并从中捕捉有价值的问题，展开课堂讨论，并适时作出恰当的评价，使班集体成为一个学习的共同体，共同分享学习的成果。

从教育与发展心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”:将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。由于“数学能力就是以数学概括为基础的能力”，重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有重要的意义。一般而言，概念教学应经历以下7个基本环节:(1)背景引入;(2)通过典型、丰富的具体例证(必要时要让学生自己举例)，引导学生开展分析、比较、综合的活动;(3)概括共同本质特征得到概念的本质属性;(4)下定义(用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成);(5)概念的辨析，即以实例(正例、反例)为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考察;(6)用概念作判断的具体事例，这里要用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念作判断的具体步骤;(7)概念的“精致”，主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构。概念教学要尽量采用归纳式，给学生提供概括的机会。比如: “轴对称”概念的教学。根据《数学课程标准》的要求，主要任务是通过具体实例认识轴对称。由于没有“对应点”概念，还不能以“对应点连线段的垂直平分线”定义对称轴，学生只能凭观察、操作找出对称轴，因此本课的“数学味”较淡。如何才能将这样的内容上出“数学味”?关键是要注意在学生现有认知水平基础上提供概括机会，让学生经历从具体实例中归纳共同特征，并让学生从概念出发解释自己操作的合理性。主要过程如下: 第1步，列举生活中的对称实例，抽象出轴对称图形，说明通过“沿某条直线对折”可使直线两旁的部分相互重合，这里要注意例子的典型性、丰富性;第2步，以问题“你能举出与老师所举例子具有相同结构的生活实例吗”，引导学生举出具有轴对称形象的实例;第3步，概括所举例子的共同特征--存在一条直线l，沿l对折，两边的图形能够重合;第4步，下定义;第5步，辨析概念的关键词，即以正例、反例为载体，用变式推动概念的理解，如让学生举出常见的轴对称图形的例子并指出对称轴，讨论对称轴可能有多少条等;第6步，让学生制作一个轴对称图形，并要求学生说出每一步骤的目的和依据，特别要问学生“为什么要先折叠”，让学生知道折痕就是对称轴。这样，围绕轴对称概念的核心--对称轴，给学生更多的观察、操作、用概念说理等机会，使学生形成“轴对称图形”和“对称轴”的直观感受，为后续探索轴对称图形的性质提供基础。当然，这样的内容不必用太多的课时，实际上，学生完全有能力更快地进入轴对称图形性质的讨论。

3、如何进行数学思想方法的教学？举例说明。

答：1.提高渗透的自觉性 数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的，而数学思想方法却隐含在数学 知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常 常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先 要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时 纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数 学思想方法渗透的各种因素，对于每一章每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透，渗透哪 些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。

2.把握渗透的可行性

数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法 教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学 知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

3.注重渗透的反复性

数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以 后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过 分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小结解答这类应用题的关键，找到具体数量的对应分率，从 而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透 不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。

4、证明勾股定理，并对勾股定理进行推广。

D以a、b 为直角边（b>a），以c为斜

边作四个全等的直角三角形，则每个直角

1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三

角形拼成如图所示形状.A∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a , ∠HEF = 90º.cabGHFECB2ba∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.124abbac22∴.222∴ abc.余弦定理是勾股定理的推广，在ABC中，c=a+b-2abcosC，当C90时，cos90=0，故有c=a+b。长方体中，长、宽、高的平方和等于对角线的平方，用公式表示：d=a+bc2222222222

5、什么是数学逻辑中的“同一原理”？

用同一法证明，并对证明过程作逻辑分析：

正方形ABCD，E在正方形内，∠ECD=∠EDC=15°，则△EAB是正三角形。

第五篇：数学课程与教学论

数学课程与教学论

教学目的: 通过本章的教学使学生掌握中学数学教育学的研究对象、内容及其学习该学科的意义，明确地指出它对中学数学教学的指导性作用.同时对我国数学教育发展概况和数学教育现代化运动有一定的了解.教学内容:

1、为什么要开设数学课程与教学论课;

2、如何学习数学课程与教学论。教学重、难点: 数学课程与教学论的研究对象、内容及其学习该学科的意义为本章的重点;它对中学数学教学的指导性作用为本章难点。

教学方法: 讲解法 教学过程: 数学课程与教学论是高等师范院校数学教育专业的一门必修课。它以党的教育方针为依据，以辩证唯物主义为指导，根据中学生个性心理特点的发展，把专业知识和教育学、心理学、科学方法论等学科知识与数学教学中的各种问题有机结合，系统研究数学课程在整个基础教育中的地位和作用，以及数学教学过程的基本规律及应用。

本章要解决的是五个问题:

1、为什么要开设数学课程与教学论课;

2、数学课程与教学论的研究对象;

3、数学课程与教学论的特点;

4、数学教学系统;

5、数学课程与教学论的研究方法。

§ 1.1 为什么要开设数学课程与教学论数学课程与教学论是高等师范院校数学教育专业的一门必修课

1.数学学科知识的学习不能代替教学理论的学习和教学方法的修养

当代的数学教师，不论是初中的、高中的还是大学的数学教师，都必须具备现代教育的思想和方法，它包括: 以人为本的现代教育理念、全面的教育质量观、多元的人才观、立体的教学观、课堂教学的多功能观、符合时代特征的学生观，以及现代教育技术和手段的掌握和运用。很难想象，一个不懂得教学理论和教学方法的教师，他会根据学生的认知水平进行“换位思考”，会充分发挥学生学习的主体作用使课堂教学生动活泼，会使数学教科书中各种静态的知识达到动态、发展的境地，从而使讲授的内容显得通俗易懂、简单明了。正因为如此，人们把数学教育专业的合格毕业生的知识结构描述为:具备一定深度的物理学科知识和教育学、心理学、教学法等知识，并使这些知识组合成一个有机的整体结构。

2.数学课程与教学论课程的学习，有助于解决数学教学低效率问题。

长期以来，在应试教育的影响下，我们教师中的不少人，把自己和他所教的学生训练成应考的机器。一切为了考试，可以不尊重学生的个性，不讲教学艺术。照本宣科满堂灌的、大搞题海战术的、不动手去做而只在黑板上画实验讲实验的„„这种既耗费师生精力和时间，也难以让师生都体验其中乐趣的教学，效率是相当低的。数学课程与教学论，其基本内容来源于数学教学的实践，其中许多观点、方法都是多年来活跃在教学第一线的数学教师们通过教学实践总结出来的。而不少的理论又汲取了教育学、心理学的研究成果，再把它们与数学教学的具体内容及过程结合起来，使之更具针对性和适用性。通过《数学课程与教学论》 的学习，我们可以找到造成数学教学低效率的各种原因，理出一些教学改革的思路来。

3.数学课程与教学论的学习，是倡导素质教育的需要

针对应试教育存在的各种弊端，从20世纪90年代开始，我国就提出素质教育的主张，特别是在《中国教育改革和发展纲要》中强调基础教育要由应试教育向素质教育转变，并指出，我们的学校教育应该是面向全体学生，全面提高学生的思想道德、文化科学、劳动技能和身体心理素质，促进学生生动活泼地发展。

数学课程与教学论把研究和遵循认知规律、教育规律，追求教育思想、教学内容和教学方法的科学性放在第一位，在内容的选取、问题的提出、理论的建立等方面，都力求突出上边的“两全一化”，因而是符合当今倡导的素质教育的精神的。

鉴于上述分析，我们说:数学课程与教学论是一门不可或缺的高等师范院校数学教育专业的必修课。

4、学习要求:(1)明确数学教学的目的和任务以及数学课程与教学论的基本精神，理解数学教学的基本理论，掌握数学教学过程的一般规律和方法。

(2)掌握分析和处理中学数学教材的基本方法，并具备一定选择教材内容、教学模式和教学方法的能力。(3)具备一定的创新意识和研究数学教学法(包括实验教学法)的能力，以适应未来数学教育、教学的需要

(4)具备辩证唯物主义的教育观和素质教育的新理念，具有良好的师德、高度的责任感和扎实的数学教师职业知识与技能，符合各地各类学校对数学教师的要求。

§ 1.2数学课程与教学论的研究对象

数学课程与教学论是研究中学教育系统中的数学教育现象、揭示数学教育规律的一门科学。

数学课程与教学论研究的对象是中学数学教学。因此，它必须研究中学数学教学中的教学过程、学生的学习过程及教材，当然还要涉及到其它直接相关的内容。

一、数学课程与教学论的内容和要求

历年来，在高等师范院校数学教育专业开设的课程及采用的教材一般称之“教材教法”或“教学法”，它们多以数学教学过程中教师的工作方式、方法为主要研究对象，往往是建立在教学经验总结的基础上，以“怎样教”的研究为核心，着重研究数学教学过程中的具体方法。

随着教育、教学改革的深入，人们越来越清醒地认识到:应当利用现代教育理论中许多新成果来丰富我们原有的内容，上升为比较系统而严谨的知识体系，以达到引领中学数学课程教学改革的目的。《数学课程与教学论》正是在这样的背景下，迈出探索性的一步。它以数学教学过程、学生的学习过程及教材为主要研究对象，既研究过程中教师的教，也研究过程中学生的学。以教育学、心理学、逻辑学、思维科学、科学方法论、数学教育等方面的有关理论、思想和方法为主体，现代数学教学的方法为核心，提高数学教学能力为目的，力求融理论、方法和技能为一体，相互联系又各有侧重。突出一般教学理论在数学教育中新的发展与应用，突出反映现代数学教学的研究成果。特别是结合国内外数学教育改革以及我国新一轮基础数学教育改革的现状综合研究数学教学活动的特殊规律、内容和方法，使课程既具有丰富的研究意义又具有较强的实际应用价值。

我们可以把数学课程与教学论研究的对象分解成下列几个方面去研究: 教学目的(为什么教?);教学对象(教谁?);教学内容(教什么?);学法(如何学?);教法(如何教?);学习效果(学得如何?).我们力求使学生通过本课程的学习，能从整体上不仅知其然，也知道一些其所以然，或者知道通过什么途径去探求其所以然。为了适应当前高等师范院校多数学生的学习特点，本书在强调优化教学过程的同时，仍把“怎样教”作为重点问题阐述，仍介绍数学教学的一些具体方法。

《数学课程与教学论》 所包含的内容和要求如下: 首先，我们通过对数学学科的素描，让读者从知识、方法、能力、价值观诸多方面理解《数学课程与教学论》中最基本的概念--数学学科。清楚“数学学科”的内涵，就能理解《数学课程与教学论》中许多最基础的东西，对进一步明确数学课程的地位、作用显然进行了很好的铺垫。

接着，我们通过对《九年义务教育数学课程标准》、《高中数学课程标准》进行剖析，进一步明确初中、高中数学教学的目标，使读者从中理解数学教育教学与德育、智育乃至素质教育的关系。

紧接着，凭借现代教育理论和系统论的知识进行“学习”概念的再认识，阐明学生的主体地位，并从心理学角度阐述中学生学习数学的认知规律。

对学习的客体--携带信息的材料--主要指教材，我们从初、高中现行数学教材中抽取部分内容，进行知识结构的剖析，使读者懂得教材分析的基本方法，并通过典型问题及教材的分析处理的训练，让读者初步掌握其中一些基本方法。

再往下，我们阐述数学教学原则、教学模式和教学方法，让读者在了解数学教学尤其是初中数学教学中的基本原则和基本方法是些什么，进一步对一些教学方法的优化组合规律进行一些有益的思考。

对本课程的主要研究对象--数学教学过程，则借助现代教育理论、系统科学、心理学的研究成果，从多角度阐述过程比结果更重要这一重要命题，并通过一些实例介绍能启发思维、发展认知能力的教学模式，让读者自己去体验优化教学过程的重要性。

对于在数学教学过程中扮演特殊且重要的角色的教师，我们通过教师的备课、教研活动、教学评价以及教学技能方面的阐述，让读者基本掌握课堂设计和教案编写的方法，并能根据不同的对象和场合，对方法进行调整和组合;能通过一些基本教学技能的训练，达到可以上讲台实习的基本要求。为了体现课程改革的新理念，本书的最后两章围绕: 数学教学资源的开发和利用以及数学教学评价这两个问题展开，希望能让读者对数学教学资源有一个全面的认识，并了解有关教学测量和评价的基本知识。

总之，通过上述内容的阐述，我们要让学习本课程的学生: 1.明确数学教学的目的和任务以及《数学课程标准》的基本精神，理解数学教学的基本理论，掌握数学教学过程的一般规律和方法。

2.掌握分析和处理中学数学教材的基本方法，并具备一定选择教材内容、教学模式和教学方法的能力。

3.具备一定的创新意识和研究数学教学法(包括实验教学法)的能力，以适应未来数学教育、教学的需要。

4.具备辩证唯物主义的教育观和素质教育的新理念，具有良好的师德、高度的责任感和扎实的物理教师职业知识与技能，符合各地各类学校对物理教师的要求。

§ 1.3 数学课程与教学论的特点

数学教育学的内容十分丰富，极为广泛。因而它也具有一些自身的特点:

一、综合性

它处于数学、教育学、逻辑学和心理学等学科的“交界”处.在数学教学过程和科学研究中，它针对自身研究的对象和需要解决的问题，综合运用相邻学科的有关原理和方法，总结出数学教学，数学学习的具体规律，从而归纳创造出数学课程与教学论的理论体系。所谓综合性不是这些学科的随意拼凑与组合，而是从数学与数学教学的特点出发运用这些学科的原理、结论、思想、观点和方法，来解决数学教育本身的问题。

研究数学课程与教学论必须要有一定的数学修养，而且数学的造诣越高，越能把握数学内部的精髓? 正是在这个意义上来说，研究数学课程与教学论一刻也不能离开数学，但值得指出的是，数学课程与教学论不是数学的自然结果，它有其自身的规律性。

数学学习是一个特殊的认识过程，它当然要受制于一般的认识规律.但是数学学习的对象有其自身的特点(如抽象性、概括性较高，基本上是演绎的体系，知识的前因后果联系比较紧密等)，这样，数学学习又有其特殊性.数学教育的综合性就是这种一般性与特殊性的高度统一。

数学课程与教学论主要是研究中小学数学教育的规律，其中有课程、教材设置、编写的规律，教学的规律，学生学习的规律，以及这些规律之间的关系，以期更有效地提高中小学数学教学质量。

二、实践性: 数学课程与教学论是一门实践性很强的理论学科，它的实践性表现在以下三个方面: 数学课程与教学论是人们把教学过程、学习过程作为认识过程来深刻分析的成果.这种认识过程旨在寻求中学生学习数学知识，发展数学思维的规律以及数学教学过程的特点和规律.数学课程与教学论的理论知识，是由中学数学教学实践的需要而产生发展得来的.这种理论的意义在于指导教学实践，运用数学教学的基本原理总结出在教学实践中具体可行的教学方式、方法和手段，并受教学实践的检验。

三、发展性

数学课程与教学论是一门发展中的理论学科.由于社会的不断发展，社会对基础教育不断提出新的要求，数学教学的目的、内容及教学方法也需不断改进。

当前，由于中学数学内容正面临一个根本性的变革，九年义务教育已作为公民教育逐步得以实施，传统教育观、教育理论也正处于彻底更新的时期。因此，符合我国国情，具有中国特色的数学教育学理论体系正处于初步创立阶段。无疑这也是数学教育工作者的重要研究课题。

第一、数学课程与教学论要以广泛的实践经验为其背景。它是数学教育研究的源泉，离开了实践，数学教育就成为无源之水、无本之木。例如，在概念的教学中，教师总结出许多方法，如引入新概念的具体--归纳法及抽象--演绎法;揭示概念本质特征的对比、类比及正反例证的方法;在概念体系中教学概念以求掌握知识结构与内在联系的方法等等.这些都是我们研究概念的教学与学习的丰富的背景.离开这些背景，只是从理论到理论的论述，是不能解决教学实际问题的。

第二，数学课程与教学论所研究的问题来自于实践。许多悬而未决的问题需要数学教学论去研究。如对传统的中、小学数学内容如何评价?对数学教材的现代化如何理解?义务教育的数学课程应具有什么样的特点? 数学课程中要不要反映人人都要达到的水平? 如何反映? 如何组织数学课程，是按结构化的方式还是按学习心理规律的过程? 随时代的发展，哪些学科应逐步引进中、小学数学课程中? 新时期的数学课程应该是什么样子的等等，都是当前亟待解决的问题，也是数学课程与教学论应该研究的问题。

第三，数学课程与教学论能指导实践，并能通过实践检验理论。由于数学课程与教学论是在较高层次上研究数学教育，所以它对教学实践有着直接的指导作用。

四、科学性 数学课程与教学论的科学性一般体现在，要符合数学教育发展的一般规律，符合事物发展的趋势，符合其它学科的一般规律，符合实际。数学教育的一般规律是客观存在的，问题在于是否已被人们所认识，认识的深度如何? 就以教学说，教学的一般规律用文字记载下来就是教学原理，根据教学原理对教学提出的要求，就是教学原则.由于人们认识的深度、角度不同，对于同一个问题可能会有不同的看法(例如有许多种教学原则体系),这是非常自然的事.数学课程与教学论不像数学那样，对于同一个问题，虽然方法不同，但正确的结论是唯一的。而数学课程与教学论却不一样，对于问一个问题，可能有许多种处理的方法,而这些方法都可能得到不同的、较为理想的结果。这是数学课程与教学论科学性的一个特点，客观规律是无穷无尽的，因而人们的认识也是无穷尽的，人们的认识总是要受着当时的科学技术发展、文化背景以及个人的某种条件的限制，因而总有一定的局限性.但随着时代的发展，对某一问题的认识也是会发展的。

五、教育性

数学教育学始终要员串一条红线，那就是要强烈地体现党和国家对人才规格的要求。

就现阶段来说，就是要培养学生德、智、体、美全面发展.具体地说，就是要在知识、技能、能力、态度、个性而德诸方面部要有所要求.特别能力、态度、个性品德不是知识教育的自然结果，而是有意识培养的结果。这就要求我们在学习论中研究动机的激发，兴趣的培养，意志力、想象力、创造能力的锻炼与培养的理论与实践问题.要求在课程设计时，仔细地研究它们的要求，如何安排、体现在教学内容的进程中.在教学论中就要研究采用何种最有效的方式、方法达到要求。

事实上，数学课程与教学论的五个特点有其各自的作用。综合性是数学教育学理论研究的依托，实践性是数学课程与教学论的出发点与归宿，发展性是数学课程与教学论的规律。科学性是数学课程与教学论的基本要求，教育性是贯串数学课程与教学论始终的一条红线。

§ 1.4 数学教学系统剖析

如果我们把数学教学的构成视为一个系统，系统的要素至少应当有:在教学活动过程中的学生、教师、数学教学客体。

学生，在数学教学过程中，是学习的主体，是数学知识信息的接收者、数学教学目的的体现者，还是检验教师进行数学教育、教学的效果的实践表征。学生情况，如学生智能水平、年龄、性格、健康状况、兴趣、动机、情绪、家庭情况等，是主体这一要素的重要指标参量。我们要求学生明确学习数学课程的目的和意义，端正学习态度，对数学学习具有良好的心态，积极参与教学过程中的观察与思考，自觉进行学习反馈和控制活动，表现出学习数学知识的积极性和主动性，就不能不考虑上述的各指标参量。教师的一切主观努力，只有符合学生各种心理规律和实际状况，只有充分发挥学生的主观能动性，才能使学生的知识和能力获得最大限度的发展。

教师，在数学教学过程中，处于十分特殊的地位。作为数学知识信息的传播者，教师可视为学习的媒体;作为数学教育与教学活动的组织者，教师需要获得学生对学习数学知识的信息反馈，依反馈的信息来调整教学内容、教学方法，有时还存在教中有学、教学相长的问题，因此，教师又是知识信息的接收者。一句话:在数学的教与学的双向交流过程中，教师是不可或缺的。数学教学目的能否落实到学生身上，关键在于教师。

教师素质，如业务水平、教学能力、工作态度、兴趣、动机、性格、情绪等，它们直接关系到能否有效地开展数学教学过程。

数学教师，首先是一名教师，然后才是数学教学工作者。要为人师表，就应当忠诚于人民的教育事业，以热爱数学教育、教学工作，甘愿为这项工作做奉献的敬业精神去感染学生。要教书育人，就应当以对学生的尊重、热爱、期望为基础，形成对学生的严格要求和管理;用既看到世界和人类的未来，又不脱离我国国情、历史和具体现实的科学思想去教育学生;就应当努力克服数学教育与教学中遇到的各种困难，认真细致地对待学生中的各种问题，做到循循善诱，诲人不倦;以先进的观念、正确的思想方法、严谨求实的科学态度处理问题，坚持向书本、同行、学生学习，改进和完善本职工作。

另一方面，要完成数学教育与教学的任务，教师必须具备扎实的专业知识，它包括:数学知识、数学史和数学方法论知识;必须具备一定的教育科学知识，它包括教育学、心理学、教育统计与教育哲学等方面的知识;必须具备比较系统和熟练的并在数学学习中广泛应用的数学知识;必须具备必要的哲学、美学、逻辑学方面的知识。有了这些知识，教师才能够准确无误地发送数学知识信息，在系统中发挥主导调控作用。

数学教学客体，即携带数学教学信息的材料。如数学教科书、教学参考书、数学课外读物、数学课程标准、数学教具、实验装置、挂图、练习册等。就数学教科书而言，它依据数学课程标准编写和组织，把数学的知识、数学的思想、方法等按一定的逻辑关系构成一个知识体系和教学体系。它通过自身的结构，指出了中学数学教学的基本程度和要求;通过分布和渗透在其中的观点、方法、要求，启示和指导学生在知识的学习中获得能力发展和其它非智育的教育.对教材内容最起码的要求是: 教师可运用教学手段加以表述,学生能够接受、理解，而且还可以采用现代化教学手段对教师的表述进行转换。

分析了数学教学系统的三个要素，我们可以分析数学教学系统的运行: 这样，教学中的数学知识就由静态变成了动态，知识变成了信息，使三个要素的匹配关系成为可以即时调整的组合，成为动态的系统。这就是数学教学系统的运行情况。

按照前苏联教育家巴班斯基的教学过程最优化理论，即选择最优的教学方案，以实现教学的最佳效果。确定最优化方案的主导思想是: 系统整体效果最佳，整个系统的功能才最佳。

要使教学系统的功能最佳，必须是教师、学生、教材三者的组合最佳。这就涉及到: 1.教学效率的最优化，即花费最少的教学时间和精力，有效地获取最多的知识信息量。

2.各种教学方法的最佳结合，即根据不同的教学要求，以一种教学方法为主，而辅以其它教学方法，形成合理的课堂教学模式。

3.“主导”与“主体”的最佳结合，即教师的“启发设疑--鼓励质疑--引导解疑”与学生的“思考求疑--积极质疑--创造解疑”彼此配合，贯穿于教学过程的始终。

4.课堂教学与课外活动的最佳结合。

5.班级授课与因材施教的最佳结合，即教与学双方相互适应，使每个学生都处于自己的“最佳发展区”。

6.传授知识与发展智能的最佳结合，即让学生通过数学教学过程，能借助已有的知识去获取新知，并使学习成为一种思考活动。

7.德育、美育与数学教学的最佳结合，即寓德育、美育于数学教学过程，让学生的情感、态度、价值观都获得很好的培养。

可见，数学教学系统的运行，并非简单的知识信息传输和接收过程，需要我们从多学科的角度去剖析和认识它。

§ 1.5 数学课程与教学论的研究方法

作为高等师范院校数学教育专业中一门颇具特色的必修课，要把数学课程与教学论学好，需要了解它的研究方法，并努力在教学实践过程中，运用同样的科学方法去体验、感悟，以增长知识发展能力。

正在展开研究并已取得一些成果的数学课程与教学论，应当说还有许多东西有待完善，因此,完整地表述它的研究方法还有困难。这里仅就一些有明显实效的方法作简单介绍。

1、科学实践方法 辩证唯物主义认为，一切事物都是发展变化的。要研究数学教学过程的发展变化，就必须从教学过程的内部去深入进行考察，从研究教学过程发生的各种现象与其它现象的联系入手，进行实地考察(包括实地的观察、实验或调查)，我们称之为科学实践方法。它包括:(1)科学观察

有目的、有计划地在不加外来因素干扰的情况下，观察数学教学过程中各种因素的变化以及它们之间的相互影响。例如，为总结某一地区或某所学校在数学教学上的先进经验，组织人员深入到该地去听课、录音、录像、摄影等等，并作出评课记录和参加教研组活动的记录，在搜集大量事实材料的基础上，分析归纳出其中的特点，提高到理论上去认识。还有为总结优秀教师的教学经验而采取的追踪观察，包括教师的备课、课堂教学中的监控、与学生的交流等等。再有为研究学生中的个体或群体学习数学中某个章节内容时，对整个过程的表现的现场观察，包括他们对数学情境的兴趣程度、疑虑程度，对学习讨论的参与响应程度等方面的观察„„均称之科学观察。

由于数学教学过程的因素多，综合作用性强，观察的时间短，难以获取明确的结论;观察的面窄，结论难具代表性;又由于育人过程的长期性，被教育者的能力和非智力因素要显现出教育者的意图也需要相当长的时间，因此，科学观察具有时间长、范围广的特点。也因此，数学教学观察的报告必须强调指出具体条件、特征现象和完整的数据。否则，可能会给下一步的逻辑推理带来较大的偏差。

对数学过程的研究，采用科学观察，还必须坚持观察的客观性原则，即一切从实际出发，采取实事求是的态度，努力避免观察中出现主观偏见和谬误。同时，要坚持观察的全面性原则，即从各个角度、各个方面去观察事物的全体，事物发展变化的全过程，努力避免下结论时有片面性。

(2)科学调查

科学调查是一种间接的观察方法。它通过各种方式，有目的、有计划地深入了解数学教学过程中的实际情况，弄清事实，借以发现问题。其目的是: 在分析研究了大量的调查材料的基础上确定取得的成绩，找出经验教训，从中概括出数学教学过程的规律问题来.科学调查可以不受时间、空间的限制，通过访问、座谈和问卷等方式向熟悉研究对象的当事人甚至第三者了解情况;也可以通过搜集书面材料的途径来了解情况.科学调查一般要经历准备、实施、整理、总结这四个步骤.调查前，明确调查目的、课题，确定调查范围、对象，草拟调查提纲、计划，这是准备;采取各种手段广泛搜集材料，实事求是地记录，包括文字和音像方面的记录材料，这是实施;将调查搜集到的原始材料进行归类、鉴别、核实、系统化和条理化,这是整理;根据调查材料进行理论分析后作出结论，并撰写调查报告，这是总结.(3)科学实验

科学实验是运用人工控制某些变量，建立实验条件，对数学教学过程进行研究的方法。比如，为研究数学教学中对某一知识单元采用什么样的教学模式效果最佳，就可采用实验的方法:在甲班采用“数学情景与提出问题”的实验模式,突出对数学现象的观察思考与提出问题，不涉及该现象是谁发现、谁概括总结出规律的;在乙班采用“背景→思想→阅读→实验→指导”的教学模式,重点介绍科学家数学探究的经历，把概念建立起来之后，通过阅读理解规律,最后，再以实验进行验证。对这两种教学模式进行对比，从中获取一些有益的结论来.2.科学思维方法

数学课程与教学论以数学知识、现代教育理论(包括教育学、心理学基础知识在内)为基础,以此建立起来的理论属于应用理论。其概念和规律一般不与既定科学的相关概念、规律相矛盾。其中，既有依数学本身的特征及数学教学的实际特点,直接建立的,比如“数学学科”、“数学模型”等;也有以此为基础，引申、拓展相关学科的概念、规律之后建立的,如“数学美”、“数学素质”建立概念和总结规律离不开科学思维.运用科学思维方法研究数学教学过程时，应注意到这样一个事实:数学理论、物理实验自身的性质不随教师、教材编写者、时间及地点的不同而改变;而教师在数学教学实践中积累起来的数学教育与教学的经验则可能因人而异。一时一地成功的实践经验，需要进一步检验其是否符合物理的客观规律。因此，在科学思维中要注意数学知识的客观属性以及数学教学的客观特征。这样，既有助于人们在实践中更有效地发挥主观能动性，也容易比较高效率地获得适用范围较广的教育教学实践经验.