《小学数学课程与教学论》读书笔记

第一篇：《小学数学课程与教学论》读书笔记

内容简介:新课程的实施为教师的教学创新提供了广阔的舞台。无论文本课程、实施课程、习得课程都需要教师去体认、去再造、去落实。课程改革的成败归根结底取决于教师。从这个意义上说，教师即课程。反思什么，如何反思，是这套丛书关注的焦点。在课程改革的大背景下，学科的课程与教学遇到许多问题。课程改革为我们开辟了大显身手的创新天地，学科教学从来没有像今天那样思想活跃，举措新颖、策略多样。但是，我们必须看到：新课程不是幻想中的空中楼阁，而是需要理论与实践作为支撑；新课程的建设不是一蹴而就的突击，而是一个不断内化积淀的长期过程；新课程的实践不是纸上谈兵的部署，它需要一批批的志愿兵与生力军去冲锋陷阵。让我们为新课程的崛起鸣锣开道，重塑教师新形象，重筑课程新文化，进一步焕发课程改革的勃勃生机！

作者简介:孔企平曾经担任多年小学数学教师,具有丰富的实践经验。目前教育部人文学科重点研究基地课程与教学研究所专职研究员；副教授;硕士研究生导师；国家义务教育阶段数学课程标准研制组核心成员:国家数学课程标准实验教材数学（1 6年级）主编，曾担任多个国家级中小数学骨干教师培训班的主讲教授。研究兴趣包括数学课程教材,数学教学理论,课堂教学理论与案例分析，数学教学评价等。曾在华东师范大学学习，先后获理学学士学位（基础数学专业）和教育学硕士学位（小学数学教材教法专业方向）；后在香港中文大学教育学院学习，并获哲学博士学位（数学教育专业方向）。本书目录:第一章小学数学课程的改革与发展 第一节建国以来我国小学数学课程的发展 第二节就一轮的小学数学课程改革

第三节近年来国际小学数学课程改革的特点 第二章小学数学新课程的理念与目标 第一节新课程的理念

第二节新课程的目标体系 第三节新教材的特点分析

第三章小学数学学科的几个基本问题 第一节小学数学学科的性质 第二节小学数学教学目标

第三节培养小学生的数学素养 第四章小学生数学学习过程研究 第一节小学生数学学习的主要理论 第二节什么是小学数学学习第三节小学数学学业习过程 第四节小学数学学习的分类

第五节转变小学生的数学学习方式 第五章小学数学教学过程研究 第一节小学数学教学过程概述

第二节小学数学教学过程中的学生参与 第三节小学数学教学过程中的教师决策 第六章数与代数的教学研究（上）第一节教学内容的加强与削弱

第二节第一学段数与代数的主要内容与教学要求 第三节第二学段数与代数的主要内容与教学要求 第七章数与代数的教学研究（下）第一节促进小学生数概念的发展 第二节加减法的教学 第三节乘除法的教学

第八章空间与图形的教学研究

第一节第一学段空间与图形的主要内容与教学要求 第二节第二学段空间与图形的主要内容与教学要求 第三节空间与图形加强与削弱的内容 第四节小学生空间观念的发展

第五节空间与图形教学的基本策略 第九章统计与概率的教学研究

第一节统计与概率领域的教学改革

第二节第一学段统计与概率的主要内容与教学要求 第三节第二学段统计与概率的主要内容与教学要求 第十章解决问题与实践活动的教学研究 第一节解决问题与小学数学课程改革 第二节应用问题的教学改革

第三节实践与综合应用的教学研究 著名教育家陶行知先生说：“教是为了不教。”新课程理念强调转化学生以往被动接受学习、死记硬背的学习状况，倡导“主动参与，乐于探究，交流与合作”的学习方式。在我的教学工作中有时就会产生疑惑，这部分知识究竟应该怎么进行教学呢？是作为讲述性知识还是作为探究学习知识呢？而读了这本书教给学生数学学习方法这部分内容后，相信以后我不会再有此类疑惑了。从心理学的角度来看，数学学习的基本方法主要有“模仿学习”“操作学习”“创造性学习”。它们是不同水平层次的学习方法，它们之间存在着密切联系，在数学学习过程中它们往往被同时使用。

模仿学习就是按照一定的模式去进行学习，它直接依赖于教师的示范。在数学学习过程中，数学符号的读写、学具的使用、运算步骤的掌握、解体过程的表达、数学方法的运用、学习习惯的养成等都含有模仿的成分。模仿是数学学习最基本的方法。模仿可以是有意的，也可以是无意的。模仿有两个层次：简单模仿和复杂模仿。教师要让学生逐步学会使用复杂模仿，因为简单模仿是一种机械模仿，而复杂模仿需要较强的逻辑思维能力，并伴有“尝试——错误”的过程，是一种有意义的学习方法，并且往往不是一次就能学会的。

数学操作学习指可以对数学学习的意义和效果产生强化作用的学习行为，一般是在知识的保持阶段所采用的学习方法。操作学习的主要形式就是练习。

数学创造性学习是学习探索新知识、解决新问题的方法，也是利用已有的知识、技能、方法和解决新问题的过程。在这个过程中教师要教给学生一些常用的数学学习方法，如分析和综合、猜测、绘图、比较、假设、对立、类比、归纳、计算等等。

古人云：授人以鱼，不如授人以渔。以夸美纽斯和赫尔巴特为代表的“重教轻学说，虽能指导学生有计划、有步骤地掌握系统的科学知识和科学的思维方法，但把教师的教置于教学的中心地位，以成人的逻辑组织教学内容，学生被动学习，创造性难以发挥。所以在今天的课堂教学中，教出这种千篇一律的学生是失败的教学。要改变学生消极被动地接受知识的状态，就应该教给学生学习的方法，改变教师单向传递知识的教学行为，通过师生之间的对话和交流，引导学生积极开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等活动，促进学生的发展。但不是说教师就作为旁观者或者活动的管理者而已，教师依然发挥着主导作用，这是课堂教学的性质决定的。教师的引导有时是隐性的、潜在的，但在关键时刻，该点拨的要点拨，该设问的要设问，该板书的要及时板书。在师生积极互动的课堂上，学生有更多的机会积极思考、自主探索、合作交流，从而学习有价值的数学，感受愉悦体验成功。

在新课程环境下，小学数学教学应以数学知识为载体，注重调动学生原有的学习经验，通过数学活动促进学生积极主动地进行观察与思考、实践与操作、猜测与验证、推理与判断，在数学活动中形成良好的数学认知结构，发展数学思维能力，培养探索精神与创新意识，并在和谐民主的学习气氛中，获得情感态度与价值观方面的发展。

第一章 小学数学课程的改革与发展

第一章第三节论及“近年来国际小学数学课程改革的特点”，所归纳数点觉得完备而合乎我现有的认识，内化如下，一是强调数学的现实性；二是重视以学生为主体的活动；三是与信息技术的结合；四是重视教育过程的个性化与差别化；五是关注与其他学科的综合。

P9日本的新数学学习纲要强调“学生在学习中的愉快感、充实感应该是与数学内容有本质联系的。这次数学课程改革应该让喜欢数学的学生多起来。”我也相信，光有快乐没有数学的课堂不是数学课堂。

P10谈到教育目标的差别化与教育设计弹性时，阐述极少，语焉不详，可见“不同的人在数学上得到不同的发展”实现之难，当然，这也是个热点、待开发点。第二章 小学数学新课程的理念与目标

照录一段提纲挈领的话，P13“本次义务教育阶段的数学课程改革，强调从以获取知识为数学教育首要目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。促进学生终身可持续性发展，是学校数学教育的基本出发点。”

P27在新教材中，每个知识点编排按照“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的结构。

第三章 小学数学学科的几个基本问题

P31，好句子：“学生太早地、过度地被教师们安在象征符号堆里，满脸数字印痕却不知数学地生活中有什么用。”同时，很有意义的一个例据是，在幼儿教学中，教师是非常注重实际操作的。

P33，在解决街头数学问题中，儿童用的是自己的口头语言甚至是直觉的方式，而学校所教授的是书面和符号方法。这两种符号系统之间的差异是街头数学和学校数学之间的本质差异，也是学生学习数学的困难所在。

P34、P15都论及小学数学所应当具有的特点是，“第一，小学数学具有现实性质，数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。第二，学生应该用积极主动的方式学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步建构数学结论，学生学习数学是一个‘再创造’的过程。第三，要通过数学教育，促进学生的一般发展。” P35，为什么在中学只要1年就可以完成的学习内容，要在小学通过5～6年去完成呢？答案很明确，在小学学习数学，不光是为了掌握那些数学知识，而（更重要的）是为了锻炼学生的思维与情感品质，是为了“德育”，是为了学会做人。这个论述对有的人认为可以取消小学一年级的数学课的论调是个很有力的反击。P38，苏联学者克鲁切斯基认为数学能力主要划分为①使数学材料形式化（抽象）的能力。②概括数学材料的能力。③运用数学和其他符号进行运算的能力。④连续而有节奏的逻辑推理能力。⑤简化推理过程的能力。⑥逆转心理过程的能力。⑦思维的灵活性。⑧数学记忆。⑨形成空间概念的能力。

P38，数学素养，狭义指数学的读写能力（numeracy），广义指更广泛的数学学习积累（mathematical disposition）。

P40，数学素养内涵之一的逻辑思维能力，例如皮亚杰逻辑－数量原则表上的守恒原则和传递原则。

P41，数学素养内涵之二的约定法则（文化创造），例如汉语系统中所天然具有的十进制计数方法为儿童的数学学习造成的方便。

P43，数学素养内涵之三是情境应用，儿童用数学眼光来看世界，并有意思且适当地运用数理思维。

P44，“数学学习的收获应该包括：①专业领域知识；②发现法；③元认知知识与技能；④信念、动机等情感影响因素。”

P44，“数学的学习要超越概念、步骤、运用。它包括数学素养，把数学看做一种强有力的审视情境的方式。素养不仅指态度，而且指具有思考的倾向和积极的行动方式。学生的数学素养体现在他们是否能够自信地接近目标，乐于探索，具有意志力和兴趣，以及能否有反映他们自己思维的倾向性等几方面。”－－美国数学教师国家委员会

第二篇：2012《小学数学课程与教学论》读书笔记

四年级数学下册教研读书笔记

嘉洋博爱小学

杨如凤

内容简介:新课程的实施为教师的教学创新提供了广阔的舞台。无论文本课程、实施课程、习得课程都需要教师去体认、去再造、去落实。课程改革的成败归根结底取决于教师。从这个意义上说，教师即课程。反思什么，如何反思，是这套丛书关注的焦点。在课程改革的大背景下，学科的课程与教学遇到许多问题。课程改革为我们开辟了大显身手的创新天地，学科教学从来没有像今天那样思想活跃，举措新颖、策略多样。但是，我们必须看到：新课程不是幻想中的空中楼阁，而是需要理论与实践作为支撑；新课程的建设不是一蹴而就的突击，而是一个不断内化积淀的长期过程；新课程的实践不是纸上谈兵的部署，它需要一批批的志愿兵与生力军去冲锋陷阵。让我们为新课程的崛起鸣锣开道，重塑教师新形象，重筑课程新文化，进一步焕发课程改革的勃勃生机！

模仿学习就是按照一定的模式去进行学习，它直接依赖于教师的示范。在数学学习过程中，数学符号的读写、学具的使用、运算步骤的掌握、解体过程的表达、数学方法的运用、学习习惯的养成等都含有模仿的成分。模仿是数学学习最基本的方法。模仿可以是有意的，也可以是无意的。模仿有两个层次：简单模仿和复杂模仿。教师要让学生逐步学会使用复杂模仿，因为简单模仿是一种机械模仿，而复杂模仿需要较强的逻辑思维能力，并伴有“尝试——错误”的过程，是一种有意义的学习方法，并且往往不是一次就能学会的。

数学操作学习指可以对数学学习的意义和效果产生强化作用的学习行为，一般是在知识的保持阶段所采用的学习方法。操作学习的主要形式就是练习。

数学创造性学习是学习探索新知识、解决新问题的方法，也是利用已有的知识、技能、方法和解决新问题的过程。在这个过程中教师要教给学生一些常用的数学学习方法，如分析和综合、猜测、绘图、比较、假设、对立、类比、归纳、计算等等。

古人云：授人以鱼，不如授人以渔。以夸美纽斯和赫尔巴特为代表的“重教轻学说，虽能指导学生有计划、有步骤地掌握系统的科学知识和科学的思维方法，但把教师的教置于教学的中心地位，以成人的逻辑组织教学内容，学生被动学习，创造性难以发挥。所以在今天的课堂教学中，教出这种千篇一律的学生是失败的教学。要改变学生消极被动地接受知识的状态，就应该教给学生学习的方法，改变教师单向传递知识的教学行为，通过师生之间的对话和交流，引导学生积极开展观察、操作、比较、概括、猜想、推理、交流等活动，促进学生的发展。但不是说教师就作为旁观者或者活动的管理者而已，教师依然发挥着主导作用，这是课堂教学的性质决定的。教师的引导有时是隐性的、潜在的，但在关键时刻，该点拨的要点拨，该设问的要设问，该板书的要及时板书。在师生积极互动的课堂上，学生有更多的机会积极思考、自主探索、合作交流，从而学习有价值的数学，感受愉悦体验成功。

在新课程环境下，小学数学教学应以数学知识为载体，注重调动学生原有的学习经验，通过数学活动促进学生积极主动地进行观察与思考、实践与操作、猜测与验证、推理与判断，在数学活动中形成良好的数学认知结构，发展数学思维能力，培养探索精神与创新意识，并在和谐民主的学习气氛中，获得情感态度与价值观方面的发展。

第三篇：数学课程与教学论读书笔记

读《课程与教学论》有感

王文明中学 邓小花

在课程改革的大背景下，学科的课程与教学遇到许多问题，这就为教师的教学创新提供了广阔的舞台。有什么样的教学观念就会有什么样的教学行为。“教学创新”的基点在于教会学生如何学习。教师应扮演引导者、启发者、咨询者的角色。“教学创新”意味着“教学观念”的改变。归根结底意味着教师在“传道、授业、解惑”三个方面得到转变。“要给学生一碗水，自己要有一桶水”，这一点我们每一位教师能理解，但要做到这一点我们必须做到三个更新；知识更新、观念更新、能力更新。通过阅读此书让自己的认识得到了提高，在重新审视了自己的教育理念与实践后，更坚定了自己要不断地学习与实践。

何谓“教学设计”，对此概念的涵义远末达成共识。本文暂认为是指教师在学科教学过程中，依据教学的一般原理和教学内容、目标、要求，结合自身的经验、特点，从学生知识、能力状况的实际出发，对各种教学要素进行统筹整合，制订教学方案的技术性活动。当我阅读到此书第二章第二节布鲁纳的教学设计模式——发现学习深有感触。美国心理学家布鲁纳认为：发现，并不限于寻求人类尚未知晓的事物，而应指人们用自己的头脑亲自获得知识的一切方法。从教学的角度看，如果教师只作引导，让学生自己主动地去学习，去概括出原理或法则，他们就会因自己发现所感到愉快和成就欲的满足而使学习具有强大的动力，所得知识也会深刻而不易遗忘，并能广泛应用于实际，有助于智力的发展。正如《标准》所强调：学生的探索经历和得出新发现的体验成为数学学习的重要途径。

实践中，在“发现学习模式”的操作中，我们应注重让生活问题走进数学课堂，使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，体验到数学的魅力。同时注重实践活动，培养学生发现数学问题的能力。增强数学意识，就必须在数学教学过程中加强实践活动。数学教师要给足学生活动时间和空间，使学生有更多的机会接触生活和实践中的数学问题，认识现实中的问题和数学问题之间的联系与区别。例如：在教学《垂直》这一课时，让学生找出日常生活中的互相垂直的两条边，用身体的姿势或手势表示互相垂直，用两支笔表示互相垂直。让学生将学到的知识用于解决生活中的实际问题，既培养了学生的应用意识，又调动了学生在生活中运用数学的积极性。同时也培养学生留心周围事物，有意识的用数学的观点去认识周围事物的习惯，并自觉把所学习的知识与现实中的事物建立联系。以上是我阅读此书的点滴体会，而此书的博大精深不是几个月可以理解消化的，只有通过不断地学习与实践，切实学以致用，才能提高教育教学能力。

《现代课程与教学论学程》读书笔记

阮美好 @ 2010-1-4 22:43:00

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《第三章 课程与教学本质》读书体会

一、专题阅读简况

本章通过实例《诗歌可以这样教学》引入，探讨在课程改革不断推向深入的当今教育，我们的课程与教学观念、形式等变化的问题，从“课程与教学的影响因素“”课程层次“”课程与教学的定义“”课程与教学观的演变”等方面分四节阐述，循序渐进地帮助我们清理课程与教学的本质问题。本书编者的研究立足点高，研究视野广，研究落脚点明确，研究意识超前，涵盖面广，言简意赅，不枝不蔓，深入浅出，充分体现了本书“学程”的特点，率先垂范地体现了

课程与教学本质。

作为一线教师，在阅读本书的时候，我自然是使用理论与实践相结合的方法，在编者的引导下，结合自己的理论认识、实践体验，对教材内容加以理解，犹如重新经历了自己的理论与实践的探索过程，有不少地方产生思想的共鸣。

二、阅读收获

第一节“课程与教学的影响因素”从影响因素的种类到主要影响因素，把影响因素逐一梳理，继而逐渐明确，这是影响“课程与教学本质”的的基础与前提。编者既尊重传统研究的成果，但有不局限于传统成果，把研究的视界放于不断变化的改革进程，把科学创新的力量容纳进来，如把“自然环境”纳入“课程与教学影响因素的种类”，把“生态”纳入“课程与教学的主

要影响因素”，让我佩服之至！

长期以来，作为一线教师，我一直孜孜以求地探索教育教学的本质规律，近一两年，“生态”一词逐渐进入我的探索视野，我发现，从以往的“关注教师本位”到“关注学生本位”到全面关注学习环境，是一个走向教育本质的探索过程。“生态”一词在上世纪六十年代提出，生态危机的产生引起了人们的普遍忧虑和不安。世界各国相继成立了有关环境保护的组织和召开了相应的国际会议。可持续发展已成为世界发展的潮流和趋势，为全球所关注，为越来越多的人所接受并逐渐成为世界各国的共识，上升为全人类共同的发展战略。在全球生态危机日益加剧和可持续发展理念日益成为全人类共识的背景下，生态教育应运而生。《21世纪议程》中强调“教育促进持续发展是非常关键的，它能提高人们对付环境与发展问题的能力”。最早探讨的是自然环境的问题，继而拓展到教育等各个社会领域。生态教育是指按照生态学的观点思考教育问题，旨在充分发挥教育在应对生态危机中的作用，为人类的生存与合理发展寻找道路。生态的思想源泉最早可以追溯到先秦时期道家所倡导的“天道自然”、“天人合一”，“生态教育”是一种生态化的教育理念，体现着“人境合一”、“互惠共生”的思想。“生态教育”重视“生态场”的构建，教育者与被教育者都是“生态场”的重要组成部分，在“生态教育”中，师生是作为一种特殊的教育环境而存在的。它所追求和突出的是达成人与人、人与自然的和谐共生的关系。生态教育通过使用各种教育形式和传播媒介，使受教育者清楚地获得关于人与环境的关系，人在自然界的位置，人对环境的作用，以及环境对人和社会的作用，以及如何保护和改善环境，如何防止环境污染和生态破坏等方面的知识，从而实现个体、社会与自然的协调发展。通过生态教育，使受教育者形成一种新的生态自然观、生态世界观、生态伦理观、生态价值观、可持续发展观和生态文明观，实现人类、社会、自然的和谐发展，构建和谐发展的学校教育氛围，从而推进和谐社会的构建。我开始从“生态”教育的角度考虑自身的教学，重新审视与部署学校的校本教研,从“生态”教育理念出发，构建学校生态德育文化网络，确立以专题课例研讨促进教师专业发展的行动研究，开创了学校教育的新局面，取得了显著的教育成果。

第二节“课程层次”，从课程决策层次到课程运行层次，体现了新课程实施的宗旨——集权与分权、统一与多样、标准与特色的平衡，自下而上、分级构建、自主实施。地方课程与学校课程体现了地方与学校一定程度的课程决策自主权，也体现了“生态”教育的理念。所教课程与所学课程体现了教与学双边互惠共生、和谐发展的关系，这也是“生态教育”的理念。

第三节“课程与教学的定义”，从课程的定义和教学的定义两个方面进行阐述，又分别从已有的定义到新阐释进行论述，体现了编者的研究思路，从宏观的角度进行梳理，进而提出新的定义，如果时间充裕，精选参考文献的相关内容，组织研读，我们的理解会更深刻。联系刚刚完成文献综述作业，我觉得，编者的研究与论述思路已经给了我们很好的示范！

对于“课程的新阐释”，回顾新课程改革的历程，我非常认同编者的观点：“课程实质就是实践形态的教育，课程研究就是实践形态的教育研究，课程改革就是实践形态的全面的教育改革”。对于“教学的已有定义”中的“突出„教‟的含义“”重视„学‟的含义“”强调„教‟与„学‟相统一的含义“”揭示„教学生学‟的含义”这四种不同的指称，我的感受是极其深刻的，可以说，近二十年的教学生涯，自己就经历过了这四个探索的阶段。上世纪九十年代，关注的是自己的教，如制定教学目标，研究教学方法与教学思路。本世纪初，郭思乐教授的“生本”教育释放了我的教育视野，使我得以从学生的角度关照教学，挖掘学生作为教育的重要资源。在研究的过程中，我发现，纯生本教育并不符合现有的教育制度与教育形势，学生的学业无法与教师的教分离，于是，我又举行探索教与学有机整合的道路，开展了构建师生交往性的教学模式，我又发现，师生的交往并不是在同一个层次上的，并不是完全平等的，也不可能完全平等，因为学生毕竟是学习者，他们需要老师的引导，在本书中，我终于发现了当年冥思苦想而不得其果的答案——“然而历史铸就的„教‟的„上所施‟和„学‟的„下所效‟含义和性质，是抹不去也遮蔽不了的，也是„交往‟无法包含和承载的”！多年思索终于有了答案，我无法形容自己的激动心情！的确如此。那么，教学过程毕竟有交往的充分，虽然不是全部，近几年，我苦苦寻找师生交往的科学合理的方式，逐渐发现，教师的责任在于调动一切可调动的资源，为学生的学习营造良好的环境，当然，学生也是重要的营造者。因此，我注力于教会学生学习，这与十多年前的学法指导不同，更加全面综合，帮助学生建立正确的思维系统和方法系统，引导学生弄清楚学习的实质，明明白白地学习。事实证明，我的探索是成功的，学生的学习效率和能力都大为提高，不少学生升上初中、高中，依然觉得这个学习方法有用。直到读教育硕士，我才弄明白自己不自觉地使用学习理论中建构主义原理，教会了学生各个层次的知

识。这也体现了“生态教育”的理念。

第四节“课程与教学观演变”，分别从“课程观的演变”和“当代教学观的演变趋向”进行论述，层次分明地阐述了演变的过程，体现了课程与教学观念从死板单一走向灵活多样、从狭隘的时空走向时空的开放，从不科学合理走向科学合理、从关注课程与教学到关注学生生命的成长等分明的特点。总而言之，在创新中前进，在前进中回归教育最本质。

数学课程与教学论读书笔记

[ 2011-8-23 20:29:55 | By: 11陈庆来 ] 课程的现代发展

1.从强调学科发展到强调学习者的经验：以学科为中心的课程关注的是学科体系，学科内容，这样的课程就把学生的直接经验排斥在外，关注学习者的经验与体验的宗旨是以学生的全面发展作为课程的核心，这样的课程并不排斥学科知识内容，而是在学生现实经验的基础上整合学科知识，使学科知识成为学生发展的资源，而不是控制的工具；

2，从强调目标，计划发展到强调学习过程的价值：强调目标，计划的课程忽略了教学过程中许多非预期因素，而当教师与学生的主体性得到充分的发挥时，教学过程必然生成许多事先无法预料的创造性的因素，正是这种非预料的创造性因素能够较大程度地保证学生在获得知识的同时获得身心的全面发展，因此，强调过程性的课程才能使教师，学生的主动性得到充分发挥，才能使学科教学中潜在的教育价值得到充分体现，3.从强调教材到强调教师，学生，教材，环境的整合;片面强调课程即学科，目标，计划，必然出现把教材等同于课程，教材控制课程的认识与现象，而强调学生的经验，体验，强调教学过程本身的教育价值，必然会把课程作为教师，学生，教材，环境的四个因素间交互作用的，动态的，具有生长力的课程生态系统 4.从只强调显性课程发展到强调显性课程与隐性课程并重:传统的课程观只看重根据教育行政部门颁布的教育计划，教学大纲，课程标准，学校里有计划，有组织实施的是显性课程，而忽视了学生在学习过程中能形成情感，态度，价值观等的隐性课程，而隐性课程对人的发展有着计划课程不可替代的作用，因此，在实施显性课程的过程中应该注意发挥隐性课程的积极作用，使两者成为学习课程的有机整体。5.从只强调学科课程到强调学习课程与校外课程的整合：随着信息社会的到来和教育技术的广泛应用，学生在成长的过程中获得的知识已不仅仅来自于学习，老师，如果把学生在校外社会环境或自然环境所获得的经验与体验称之为校外课程的话，那么，课程改革就不能仅看到学习这个狭小的领域，而应当赋予课程的开放性，以实现学习课程与校外课程的整合，互补。新课程特点剖析：1.增补了一些具有时代特此的学习内容，2.关注实践与综合运用，发展学生的综合能力 3.关注数学的文化价值，培养学生的人为素养。4.关注知识的联系，提高对数学整体的认识 5.关注知识的获得过程，形成对知识的完整感受。6.加强与学生生活的联系，发展学生的应用意识与能力 7。对基础知识，基本技能作了重新定位。

教学发生的必要条件;1.引起学生学习的意向，2.明确学生所学的内容，3.采用易于学生觉知的方式。

《小学数学课程与教学论》读后感

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By syxxzjf 发表于 2011-5-16近期利用空余时间仔细阅读了刘娟娟的《小学数学课程与教学论》这本书，读完之后发现此书站在理论的高度，结合现行小学数学教材内容和前人优秀的教学方法和教学模式，及一些有效的教学设计，给我们一线教师以指引和启示。虽从教近二十年，但总觉得自己实践得多，总结得少，因为总结提升时总发现自己缺少的是理论支撑，现行教育改革和现在学生的特点，迫切要求我们认真学习数学论及相关学科教育教学理论，我争取从这本书的学习开始，多学习，多体会，促提高，求发展。

这本书基本内容的安排特点：首先根据不同阶段儿童成长与发展的需求，将教学对象分为低年级、中年级和高年级三个阶段，分别介绍了各阶段儿童学习的能力指标，分析了各阶段教材的特点和内容呈现方式以及如何确定使用的教学方法。其次，每一个教学阶段编写的内容均根据国家颁布的《课程标准》确定的。第三，每一个阶段的四章构成了一个完整的教学过程。包括：学习能力指标的了解；教材分析与教学内容的确定；前人优秀教学方法和模式的借鉴；教学过程的设计。这部分内容又包括教学目标的确定，教学任务分析、教学设计思路与方法，课堂教学实践与评价，优秀教学设计借鉴及自己来设计这几部分。层次清晰，分析透彻是这本书编排特点，读完之后我感触颇深，收获较多，下面就结合各年级学习能力指标、前人优秀教学模式和教学设计这三个方面的学习，谈谈本人的收

获。

一、各年级段学生的学习能力指标的学习体会

本论著着重根据新课标的相关目标规定以及各年龄段儿童数学学习特点，从“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”和“实践与综合应用”这四个方面确定了不同年龄儿童数学学习能力的具体指标，这几个学习领域的学习分别强调了学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力。

学习了本书中的学习能力指标的确定，让我这个长期教高年级的老师对低中年级的各个学习领域的学习能力有了更明确的了解，能正确把握每个知识的教学方向及深度与广度，了解到高年级所学的每一块，学生原有知识基础和能力基础，在教学时能更加有效的调控，有效地利用正迁移，组织学生自主学习，充分挖掘学生学习潜力。这样就能改掉以前在课堂上总认为学生什么都不懂，面面俱到地讲，从而剥夺了学生自主思考学习的机会，在今后课堂教学时就能做到精讲，留下充足的时间组织学生合作、探究、练习，将学生各方面

能力的培养落实到每一节课。

二、前人优秀教学方法和模式的学习收获

本论著中收集了多个先进有效的数学教学模式，给我们一线教师以指导，让我们在自己的教学实践中始终把学生当成学习的主人，使用更加先进合理的教学手段，这样才能不断提高自己的教学效率。本书中介绍的马芯兰的“迁移——发展”教学法、邱学华的尝试教学法以及“分层异步集体性”教学模式，这些课堂研究成果都是从学生的实际出发，以学定教，以学生的发展为价值取向，以培养学生创新精神和实践能力为核心的新型教学模式。这些模式均是在教师正确地引导下，学生在愉悦的情境中主动地探索认知结果，从而

培养学生各方面的数学能力。

在推行 “五严”规定之后，我们一线教师都感到现在的数学教学时间明显减少，学生中两极分化现象更加严重，那些学困生根本不能在有限的时间中完成与其他学生一样的学习任务，成绩明显落后，导致他们失去了学习信心，产生厌学或自暴自弃。作为长期任教毕业班的我来说，以前班上出现学困生后，都是利用课余时间帮他们逐题讲解，凭着自己的耐心，再利用很多师生的休息时间，终于将这些学生勉强拉入合格的队伍中，可现行的教育制度不允许占用学生艺体课与节假日时间，那么该怎么办呢？我正对这种现象感到担心但不知如何解决时，学习了“分层异步集体性”教学模式，它可谓是现行数学教学的“及时雨”。这种新型的教学模式正是为了激发所有学生的学习兴趣，培养他们的自信心，根据学生的心理需求和课标、教材所规定的内容有区别地进行教学，使每个学生在不同程度上都有提高，真正将因材施教落到了实处，体现了《课标》中“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的教育理念。它能解决以往课堂上的“陪读”现象，学困生由于得到老师直接辅导的时间多了，学习劲头足了，又由于完成任务都是基础性知识，成功的机率就高了，从而培养了他们积极学习的心态。而优等生学习的自主性会不断增强，学习需求更高，发展了他们“再创造”的能力。

三、优秀教学设计的赏析

在这本书中我再一次学习了特级教师张齐华的《认识分数》，本节课的教学设计，立足于“数学学习就是学习‘数学化‟” 这一基本理念而逐层展开，学生借助平均分实物，利用自己的已有生活经验、数学知识实现数的认识的一次飞跃，认识分数；接着借助于长方形、正方形和圆形纸片或图形，深刻理解了、，利用一步步设问，将分数意义引向深入；最后学生能根据头脑中的预想做出相应的几分之一，并借助图形独立比较分数的大小。最后应用提升这个环节让学生深刻体会到数学与生活的密切联系，如各国国旗、巧克力、黑板报中的几分之一，学生想象能力和抽象思维不断得到提升。尤其令我欣赏的是张齐华老师独到的练习设计和课件设计，如由整数“1”，引导学生估计下面两张纸条中的涂色部分各用几分之一表示，这个环节中老师引导学生估计结果，谈估计策略，再逐步延伸不仅渗透了几分之一与“1”的联系，还培养了学生估计能力和极限思想，将课本习题处理得如此丰满，真是值得我学习。课堂以一个广告，引导学生观察思考，广告中动态画面让你联想到几分之一，这个设计非常巧妙，充分挖掘了学生的思维想象的潜力，不仅巩固了本课的知识，也为学生接下来对分数中单位‘1‟的进一步理解打下了基

础。

本书主编彭小虎在《前言》中说：“教学方法是一个教师综合能力的反映，是一个教师专业能力的最集中的体现。”这本书中正提供了教学方法的设计必须满足的三个前提要求，只有认真研读了这本著作，理解了不同学龄阶段儿童的成长与发展需求，掌握了课标对学习内容的规定以及在教材中的呈现方式，即充分理解了编者意图；了解前人在此学习领域中创造性的教学方法和得失，我们才能事半功倍，才能有效地完成课堂教学任务，取

得较高的教学效率

《小学数学课程与教学论》读书笔记

作者：徐雄英 教师频道来源：摘抄 点击数：13 更新时间：2011-10-28

《小学数学课程与教学论》读书笔记

这是一本相当好的专业书，它是浙江教育出版社所出“课程学科教学论丛书”之一，总主编钟启泉，主编孔企平，皆是教育或是数学教育界中的人物。随录如下：

第一章是小学数学课程的改革与发展。它的第三节论及“近年来国际小学数学课程改革的特点”，所归纳的数学觉得完备而合乎我现有的认识，内容如下，一是强调数学的现实性；二是重视以学生为主体的活动；三是与信息技术的结合；四是重视教育过程的个性化与差别化；五是关注与其他学科的综合。P9日本的新数学学习纲要强调“学生在学习中的愉快感、充实感应该是与数学内容有本质联系的。这次数学课程改革应该让喜欢数学的学生多起来。”我也相信，光有快乐没有数学的课堂不是数学课堂。P10谈到教育目标的差别化与教育设计弹性时，阐述极少，可见“不同的人在数学上得到不同的发展”实现之难，当然，这也是个热点、待开发点。

第二章是小学数学新课程的理念与目标。照录一段提纲挈领的话，P13“本次义务教育阶段的数学课程改革，强调从以获取知识为数学教育首要目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。促进学生终身可持续性发展，是学校数学教育的基本出发点。”P27在新教材中，每个知识点编排按照“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的结构。

第三章是小学数学学科的几个基本问题P31，好句子：“学生太早地、过度地被教师们安排在象征符号堆里，满脸数字印痕却不知数学在生活中有什么用。”P33，在解决街头数学问题中，儿童用的是自己的口头语言甚至是直觉的方式，而学校所教授的是书面和符号方法。这两种符号系统之间的差异是街头数学和学校数学之间的本质差异，也是学生学习数学的困难所在。P34、P15都论及小学数学所应当具有的特点是，“第一，小学数学具有现实性质，数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。第二，学生应该用积极主动的方式学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步建构数学结论，学生学习数学是一个“再创造”的过程。第三，要通过数学教育，促进学生的一般发展。P44，“数学的学习要超越概念、步骤、运用。它包括数学素养，把数学看做一种强有力的审视情境的方式。素养不仅指态度，而且指具有思考的倾向和积极的行动方式。学生的数学素养体现在他们是否能够自信地接近目标，乐于探索，具有意志力和兴趣，以及能否有反映他们自己思维的倾向性等几方面。”－－美国数学教师国家委员会。这是一本相当好的专业书，它是浙江教育出版社所出“课程学科教学论丛书”之一，总主编钟启泉，主编孔企平，皆是教育或是数学教育界中的人物。随录如下：

第一章是小学数学课程的改革与发展。它的第三节论及“近年来国际小学数学课程改革的特点”，所归纳的数学觉得完备而合乎我现有的认识，内容如下，一是强调数学的现实性；二是重视以学生为主体的活动；三是与信息技术的结合；四是重视教育过程的个性化与差别化；五是关注与其他学科的综合。P9日本的新数学学习纲要强调“学生在学习中的愉快感、充实感应该是与数学内容有本质联系的。这次数学课程改革应该让喜欢数学的学生多起来。”我也相信，光有快乐没有数学的课堂不是数学课堂。P10谈到教育目标的差别化与教育设计弹性时，阐述极少，可见“不同的人在数学上得到不同的发展”实现之难，当然，这也是个热点、待开发点。

第二章是小学数学新课程的理念与目标。照录一段提纲挈领的话，P13“本次义务教育阶段的数学课程改革，强调从以获取知识为数学教育首要目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。促进学生终身可持续性发展，是学校数学教育的基本出发点。”P27在新教材中，每个知识点编排按照“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的结构。

第三章是小学数学学科的几个基本问题P31，好句子：“学生太早地、过度地被教师们安排在象征符号堆里，满脸数字印痕却不知数学在生活中有什么用。”P33，在解决街头数学问题中，儿童用的是自己的口头语言甚至是直觉的方式，而学校所教授的是书面和符号方法。这两种符号系统之间的差异是街头数学和学校数学之间的本质差异，也是学生学习数学的困难所在。P34、P15都论及小学数学所应当具有的特点是，“第一，小学数学具有现实性质，数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。第二，学生应该用积极主动的方式学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步建构数学结论，学生学习数学是一个“再创造”的过程。第三，要通过数学教育，促进学生的一般发展。P44，“数学的学习要超越概念、步骤、运用。它包括数学素养，把数学看做一种强有力的审视情境的方式。素养不仅指态度，而且指具有思考的倾向和积极的行动方式。学生的数学素养体现在他们是否能够自信地接近目标，乐于探索，具有意志力和兴趣，以及能否有反映他们自己思维的倾向性等几方面。”－－美国数学教师国家委员会。

《课堂与教学论》读后感

发布日期：2010/12/23 11:16:00 来源： 作者： 点击：209

古人云：人才之盛衰，其表在政，其里在学。道出了学习的真谛。认真拜读了《课程与教学论》，发现此书贴近一线教师的教学实践，充分反映了教育界最新的教育教学研究成果，为我们教师提供了系统的教育观念、教育管理的基础知识，教学设计的策略以及教学课程的科学性知识。

细细品味此书，印象最为深刻的是“教学过程的本质”一节。书中说到，教学过程的本质问题是教学论中的重大理论问题，表现为三大方面。

一、教学过程是教师与学生以课堂为主渠道的交往过程

教师与学生是交互主体的关系。首先教师与学生都是教学过程的主体。教师闻道在先，因而应担负起教学过程的组织者，引导者，咨询者，促进者的职责，教师是主体；而学生在人格上与教师绝对平等，在教学过程中学生应自主的，民主的进行课堂学习，应注重学生创造性的表现自我的权利，学生也是主体。其次，教师与学生应在彼此尊重的前提下展开持续的交往。纵观教育史，关于教学过程的本质存在两种极端的观点。一种是“教师中心论”，认为教学是教师中心、课堂中心、教材中心，教师是绝对的权威，学生是课堂中的静听者、服从者；另一种是“学生中心论”，认为学生是教学过程的主宰，学什么、怎样学、为什么学完全是学生自己的事，教师的本份是绝对服从儿童的需要，一切围着儿童转。当然我们知道这两种观点都是片面的，不可取的。在我们的教学过程中，当教师与学生交互主体地参与教学过程时，教师应在尊重学生主体性的前提下有效的引导、组织、参与，以便学生更好的接受知识。

二、教学过程时教学认识过程与人类一般认识过程的统一

这个统一是教学过程本质的又一根本问题。教学认识过程自然必须符合人类一般认识规律，即直观——思维——实践。在我们平时的教学过程中，我们往往会陷入两种困境。一种是用成人的认识替代学生的认识。在教学过程中急于把所知的东西灌输给学生，甚至替代学生说出来、做出来。读了此书后，我懂得了教学的目的是使学生的认识尽快地过渡到成人的认识做准备。另一种做法是使学生认识的发展流于自发状态，放纵学生认识的发展。这种做法在当前的课改情况下也有发生，以为教学以学生为本，就任由学生，课堂只发散而不集中。学生似一盘散沙，其实教学过程是有其特殊性的。这就要求教师不仅要具备所教授学科的知识，即“学科知识”，还要具备如何教授特定学科的知识，即“学科教学知识”。这两方面相互影响，相互作用，内在的整合于教师的认知开结构中，形成教师的思维方式和专业素养。

三、教学过程是教养和教育的统一

教学过程不仅是一个教养的过程，而且还是一个教育的过程。所谓教养，是指体现于各门学科中的学科知识；所谓教育，这里指道德教育。

教学永远具有教育性。首先，教学过程中所传授的哥们学科知识，总会是学生在获得一定的知识、技能的同时，形成相应的对自然、社会、人生的立场、观点和态度，从而对学生的价值观、品德管的形成和发展产生影响。其次，在教学过程中，学生旨在掌握特定学科知识的学习活动本身也具有巨大的潜在的教育性。对于这一点，我深有体会。在平时的教学中，如果学生只是被动的接受或机械的模仿教师所传授的东西，则往往养成盲从的态度和性格；如果在教学过程中注意唤起学生积极的探究精神，引导学生逐步自主的解决问题，就有可能养成学生独立的、创造性的、友善的实现目标的态度和性格。再次，教学过程中形成的特定的班级社会气氛和人际关系的性质也会影响学生的品德和性格。

因此，所谓教学永远具有教育性，是指教学过程不是一个价值中立的过程，学生在此过程中不仅掌握知识、发展能力、而且会形成和改变道德和价值观念。

综上所述，教学过程是我们每位教师每天所经历的过程。通过品读此书，给我们一线教师的实践教学中注入了理论的指导，为我们平时的教学指明了方向，更确定了目标。

第四篇：小学数学课程与教学论

《小学数学课程与教学论》读书笔记

娄山关将军希望小学

曾秉华

这是一本相当好的专业书，它是浙江教育出版社所出“课程学科教学论丛书”之一，总主编钟启泉，主编孔企平，皆是教育或是数学教育界中的人物。随录如下

第一章是小学数学课程的改革与发展.它的第三节论及“近年来国际小学数学课程改革的特点”，所归纳的数学觉得完备而合乎我现有的认识，内容如下，一是强调数学的现实性；二是重视以学生为主体的活动；三是与信息技术的结合；四是重视教育过程的个性化与差别化；五是关注与其他学科的综合。P9日本的新数学学习纲要强调“学生在学习中的愉快感、充实感应该是与数学内容有本质联系的。这次数学课程改革应该让喜欢数学的学生多起来。”我也相信，光有快乐没有数学的课堂不是数学课堂.P10谈到教育目标的差别化与教育设计弹性时，阐述极少，可见“不同的人在数学上得到不同的发展”实现之难，当然，这也是个热点、待开发点。

第二章是小学数学新课程的理念与目标.照录一段提纲挈领的话，P13“本次义务教育阶段的数学课程改革，强调从以获取知识为数学教育首要目标转变为首先关注人的情感、态度、价值观和一般能力的培养，同时使学生获得作为一个公民适应现代生活所必需的基本数学知识和技能。促进学生终身可持续性发展，是学校数学教育的基本出发点。”P27在新教材中，每个知识点编排按照“问题情境－建立模型－解释、应用与拓展”的结构。第三章 小学数学学科的几个基本问题.P31，好句子：“学生太早地、过度地被教师们安排在象征符号堆里，满脸数字印痕却不知数学在生活中有什么用。”P33，在解决街头数学问题中，儿童用的是自己的口头语言甚至是直觉的方式，而学校所教授的是书面和符号方法。这两种符号系统之间的差异是街头数学和学校数学之间的本质差异，也是学生学习数学的困难所在。P34、P15都论及小学数学所应当具有的特点是，“第一，小学数学具有现实性质，数学来自于现实生活，再运用到现实生活中去。第二，学生应该用积极主动的方式学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步建构数学结论，学生学习数学是一个‘再创造’的过程。第三，要通过数学教育，促进学生的一般发展。P44，“数学的学习要超越概念、步骤、运用。它包括数学素养，把数学看做一种强有力的审视情境的方式。素养不仅指态度，而且指具有思考的倾向和积极的行动方式。学生的数学素养体现在他们是否能够自信地接近目标，乐于探索，具有意志力和兴趣，以及能否有反映他们自己思维的倾向性等几方面。”－－美国数学教师国家委员会.

第五篇：小学数学课程与教学论

§1.4具有某些特性的函数

§4具有某些特性的函数

Ⅰ.教学目的与要求

1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性.2.掌握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用.Ⅱ.教学重点与难点:

重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念.Ⅲ.讲授内容

一

有界函数

定义

1设f为定义在D上的函数．若存在数M(L)，使得对每一个xD有

f(x)M(f(x)L)，则称f为D上的有上(下)界函数，M(L)称为f在D上的一个上(下)界．

根据定义，f在D上有上(下)界，意味着值域f(D)是一个有上(下)界的数集．又若M(L)为f在D上的上(下)界，则任何大于(小于)M(L)的数也是f在D上的上(下)界．

定义2 设f为定义在D上的函数．若存在正数M，使得对每一个xD有

f(x)M，(1)则称f为D上的有界函数．

根据定义，f在D上有界，意味着值域f(D)是一个有界集．又按定义不难验证： f在D上有界的充要条件是f在D上既有上界又有下界．(1)式的几何意义是：若f为D上的有界函数，则f的图象完全落在直线yM与yM之间．

例如，正弦函数sinx和余弦函数cosx为R上的有界函数，因为对每一个xr都有sinx1和cosx1.关于函数f在数集D上无上界、无下界或无界的定义，可按上述相应定义.的否定说法来叙述．例如，设f为定义在D上的函数，若对任何M(无论M多大)，都存在xD，使得f(x0)M，则称f为D上的无上界函数．

§1.4具有某些特性的函数

例1 证明f(x)1x为(0,1]上的无上界函数.1M1证 对任何正数M，取(0,1]上一点x0

f(x0)1x0，则有

M1M.故按上述定义，f为(0,1]上的无上界函数．

前面已经指出，f在其定义域D上有上界，是指值域f(D)为有上界的数集．于是由确界原理，数集f(D)有上确界．通常，我们把f(D)的上确界记为supf(x)，并称之为f在xDD上的上确界．类似地，若f在其定义域D上有下界，则f在D上的下确界记为inff(x)．

xD

例2 设f，g为D上的有界函数.证明：

(i)inff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)} ；

xDxDxD

(ii)sup{f(x)g(x)}supf(x)supg(x)．

xDxDxD

证

(i)对任何xD有

inff(x)f(x),infg(x)g(x)inff(x)infg(x)f(x)g(x)．

xDxDxDxd上式表明，数inff(x)infg(x)是函数fg在D上的一个下界，从而

xDxDinff(x)infg(x)inf{f(x)g(x)}．

xDxDxD(ii)可类似地证明(略)．

注

例2中的两个不等式，其严格的不等号有可能成立．例如，设

f(x)x,g(x)x,x[1,1]，则有inff(x)infg(x)1,supf(x)supg(x)1,而

|x|1|x|1|x|1|x|1inf{f(x)g(x)}sup{f(x)g(x)}0.|x|1|x|1

二

单调函数

定义3 设f为定义在D上的函数．若对任何x1,x2D,当x1x2时，总 有

（i）f(x1)f(x2),则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格增函数；

§1.4具有某些特性的函数

(ii)f(x1)f(x2)，则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)f(x2)时，称f为D上的严格减函数；

增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．

例3 函数yx3在R上是严格增的．因为对任何，x1,x2R,当x1x2时总有

x2x1(x2x1)[(x2x12)234x1]0，即x1x2.233

例4 函数y[x]在R上是增的．因为对任何x1x2R，当x1x2时,显然有[x1] [x2]．但R上不是严格增的，若取x10,x212，则有[x1]=[x2]0，即定义中所要求的严格不等式不成立．此函数的图象如图1—3所示．

严格单调函数的图象与任一平行于x轴的直 线至多有一个交点，这一特性保证了它必定具有反 函数．

定理1．2

设yf(x),xD为严格增(减)函数，则f必有反函数f定义域f(D)上也是严格增(减)函数．

证

设f在D上严格增．对任一yf(D)，有

xD使f(x)y．下面证明这样的x只能有一个．事实上，对于D内任一x1x，由f在D上的严格增性，当x1x2时f(x1)y，当x1x时有f(x1)y，总之f(x1)y．这就说明，对每一个yf(D)，1，且f1在其都只存在唯一的一个xD，使得f(x)y，从而函数f存在反函数xfyf(D)．

1(y)，现证f1也是严格增的．任取y1,y2f(D)，y1y2·设x1f1(y1),x2f1(y2)，则y1f(x1),y2f(x2)．由y1y2及f的严格增性，显然有x1x2，即f1(y1)f1(y2)．所以反函数f21是严格增的．

例5 函数yx在[—，0)上是严格减的，有反函数(按习惯记法)yx，x(0,);yx在（0，+)上是严格增的，有反函数y2x,x[0，+)。但yx在2§1.4具有某些特性的函数

整个定义域R上不是单调的，也不存在反函数．

上节中我们给出了实指数幂的定义，从而将指数函数

yax(a0,a1)的定义域拓广到整个实数集R．下面证明指数函数在R上的严格单调性．

例6 证明：，y=ax当a>1时在R上严格增；当0

证

设a>1．给定x1,x2R,x1x2.由有理数集的稠密性，可取到有理数r1,r2，使x1r1r2x2，故有

ax1x sup{ar|r为有理数}arar2sup{ar|r为有理数}ax2，1rx1rx2这就证明了a当0a1时在R上严格递增．

类似地可证.ax当0

注

由例6及定理1．2还可得出结论：对数函数ylog严格递增，当0

三

奇函数和偶函数

定义4

设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数．若对每一个xD，有

f(x)f(x)(f(x)f(x))，ax当a>1时在(0，)上则称f为D上的奇(偶)函数．

从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象则关于y轴对称．

例如，正弦函数ysinx和正切函数ytanx工是奇函数，余弦函数ycosx是偶函数，符号函数ysgnx是奇函数(见图1—1)．而函数f(x) sinxcosx既不是奇函数，也不是偶函数，因若取x04，则f(x0)2，f(x0)0，显然既不成立f(x0)f(x0)，也不成立f(x0)f(x0)．

四

周期函数

设f为定义在数集D上的函数．若存在>0，使得对一切xD有f(x)f(x)，则称f为周期函数，称为f的一个周期．显然，若为f的周期，则n(n为正整数)也是f的周期．若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期．

§1.4具有某些特性的函数

例如，sinx的周期为2，tanx的周期为．

函数 f(x)x[x],xR的周期为1(见图1—4)． 常量函数f(x)c 是以任何正数为周期的周期函数，但不存在基本周期.定义在R上的狄利克雷函数是以任何正有理数数为周期的周期函数，但不存在基本周期.(Dirichl)et