初中二次函数的解题小技巧

第一篇：初中二次函数的解题小技巧

初中二次函数的解题小

技巧

【关键词】： 二次函数 题型 解题思路

函效在中学教学中占有重要地位,它与生产、商品经济、等又有广泛联系。学生普遍认为函数难学，特别是二次函数，但是二次函数在中考一直占据着压轴题的“席位”，很多考生在这方面都会失分严重，教学过程中，作为教师必须深刻洞悉函数的内涵，把难点突破，让学生从一开始就接受到严谨的概念和思想。下面我通过具体课例分析函数教学中常考的题型和大家分享： 一.求二次函数解析式。

(1)当出现任意三个点坐标的时候，直接代入一般形式y=ax+bx+c构成方程组，可确定a,b,c的值

例析： 已知抛物线y=ax+bx+c经过（-1，10），（1,4），（2,7）三点，求这条抛物线的解析式。

解：设所求二次函数为y=ax+bx+c，由己知图象经过（1，10），（1,4），（2,7）三点，得关于a,b,c的三元一次方程

a-b+c=10 a＝2 a+b-c=4 解这个方程组得 b＝-3 2a+2b+c=7 c＝5

22所求解析式为y=2x-3x+5(2)当出现顶点坐标(h，k)和另一个点坐标时，就用代入顶点式：y＝a(x-h)+k可确定a,h,k的值.例 二次函数图象的顶点为A（1,-4）且过点,B（3,0）, 求该二次函数的解析式.例析：设所求二次函数为y＝a(x-h)+k ∵顶点为A（1,-4）, 则h＝1，k＝-4 ∴y＝a(x-1)-4 又∵抛物线过点B（3,0）, 则0＝a(3-1)2-4, 即a＝1 ∴所求二次函数为y＝(x-1)-4(3)当出现二次函数图象与X轴两个交点坐标(X1，0)(X2，0)和另一个点坐标的时候，用交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)式。可确定a的值.例 已知二次函数图象与X轴的交点坐标为（3,0）和（-1,0），且过点，（1，-8，）求该二次函数的解析式。例析：设所求二次函数为y=a(x-x1)(x-x2), ∵图象与X轴的交点坐标为（3,0）和（―1,0），∴y=a(x-3)(x+1), 又∵抛物线过点（1，-8，）∴-8=a(1-3)(1+1), 则a＝2 该二次函数的解析式为y=2(x-3)(x+1), 即y=2x-4x-6 二.二次函数图像的性质

222

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x =-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。

3.抛物线与a,b,c的值的关系： a值决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。a,b值共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右； 当b=0时对称轴是y轴。c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）(c>0交y轴正半轴，c<0交负半轴,c=0交于原点)4.抛物线与x轴交点个数

Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点,(X1，0).(X2，0)；则对称轴为X=x1+x2 /2 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。(X，0)； Δ= b-4ac<0时，抛物线与x轴有没有交点 222

例己知二次函数y=x-kx+k-5，求证：无论k取任何实数, 此二次函数的图象与x轴有二个交点。证明：∵（-k）-4（k-5）=k-4k+20 =（k-2）+16 无论k取任何实数,（k-2）≥0 ∴（k-2）+16＞0 所以无论k取任何实数, 此二次函数的图象与x轴有二个交点。

5.二次函数图像的平移 左加右减，上加下减原则

例 抛物线y＝2(x-3)+4向左平移1个单位, 向下平移2个单位后的解析为y＝2(x-2)+2 6.二次函数中的最值问题（1）在一般形式y=ax+bx+c 中

若a>0, 当 x=-b/2a。时 , y有最小值4ac-b /4a 若a<0时，当 x=-b/2a。时,y有最大值4ac-b /4a（2）在配方形式y＝a(x-h)+k中 若a>0, 当 x=h时 , y有最小值k 若a<0时，当 x=h时,y有最大值k 例 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查；每降1

222

元，每星期可多卖岀20，在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

例析：（1）.y＝（60-40-X）（300+20X）即.y＝-20X+100x+6000 ∵降价要确保盈利，则40<60-x≤60（或40<60-x<60）∴解得0≤x<20（或0

特别地，二次函数y=ax+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），22

即ax+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

四.变式训练：即二次函数的综合题, 是中考的压轴题.中考的压轴题一般都综合性强、难度大，是在较复杂的知识背景中考查学生运用数学思想方法合解决数问题的能力，破解中考的压轴题，审题时首先要有信心和耐心地逐字逐句地读，并做出相应的记号、并联想相关知识，着重研究它们之间的关系，解题实践表明：题目中的条件往往暗示解题手段，结论往往预告解题方向。从已知中努力追忆曾出现过类似的题目，提取出与本问题有关的知识，各知识点之间联系和数学思想方法，抓住题意，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

例 ．如图，在直角坐标：X OY 中，二次函数图象的顶点坐标为C(4，-)，且在 轴上截得的线段AB的长为6． 2(1)求二次函数的解析式；

(2)在 轴上求作一点P(不写作法)使PA+PC最小，并求P点坐标；

(3)在 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在，求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考文献：

1．《初中数学总复习50课》/中考备考研究中心组编、―南宁：接力出版社，2012.2.义务教育课程标准实验教科书、.数学（九年级）（下）.人民教育出版社，2012 3.曾辉玉, 中考数学压轴题的解题技巧、数学教学研、2012（2）

第二篇：初中函数解题思路

1、根据处方配药法

所说的根据处方配药，就是把一个解析式利用恒等变型的办法，把那里面的某些项配成一个或几个多项式正平头数次幂的和方式。经过根据处方配药解决算术问题的办法叫根据处方配药法。那里面，用的最多的是配成绝对平形式。根据处方配药法是算术中一种关紧的恒等变型的办法，它的应用非常十分广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证实等式和不等于式、求函数的极值和解析式等方面都常常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的方式。因式分解是恒等变型的基础，它作为算术的一个有力量工具、一种算术办法在代数、几何、三角学等的解题中起着意要的效用。因式分解的办法有很多，除中学教科书上绍介的提出取得公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还就象利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是算术中一个十分关紧并且应用非常广泛的解题办法。我们一般把未知数或变数称为元，所说的换元法，就是在一个比较复杂的算术式子中，用新的变元去接替原式的一个局部或改造原来的式子，使它简化，使问题便于解决。

4、辨别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c归属R，a≠0）根的辨别，△=b2-4ac，不止用来分辨断定根的性质，并且作为一种解题办法，在代数式变型，解方程(组)，解不等于式，研讨函数乃至于几何、三角学运算中都有十分广泛的应用。

韦达定理除开已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一点相关二次曲线的问题等，都有十分广泛的应用。

5、待定系数法

在解算术问题时，若先判断所求的最后结果具备某种确认的方式，那里面包括某些待定的系数，然后依据题设条件列出关于待定系数的等式，最终解出这些个待定系数的值或找到这些个待定系数间的某种关系，因此解释回答算术问题，这种解题办法称为待定系数法。它是中学算术中等用的办法之一。

第三篇：初中数学复习二次函数

1、已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．

2、如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°,抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M从作MH⊥BC于点H，作轴MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.(1)

求抛物线的解析式;

(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;

(3)

是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;

若不存在，说明理由

4、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是等腰三角形？若存在请直接写出点M坐标，若不存在请说明理由．

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；．

6、如图，已知抛物线经过点A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，点E的坐标分别为（0，1），对称轴交BE于点F．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图，一次函数y=－1/2X+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐

9、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10、如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．

11、如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第四篇：二次函数

2．二次函数定义__________________________________________________二次函数（1）导学案

一.教学目标：

（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。

（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯

重点难点：

能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学过程：

二、教学过程

（一）提出问题

某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]

2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]

3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?

[(10－8－x)；(100＋100x)]

4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]

5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]

将函数关系式y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10＝化为：

y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)

（二）、观察；概括

(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?

(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(4)这些问题有什么共同特点？

三、课堂练习

1.下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x＋1(2)y=4x2－1

(3)y=2x3－3x2(4)y=5x4－3x＋1

2．P25练习第1，2,3题。

四、小结

1．请叙述二次函数的定义．

2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。

五.堂堂清

下列函数中，哪些是二次函数?

(1)Y=2x+1（2）y=2x2+1（3）y=x(x-2)（4）y=(2x-1)(2x-2)（5）y=x2(x-1)-1

第五篇：二次函数

?二次函数?测试

一．选择题〔36分〕

1、以下各式中，y是的二次函数的是

（）

A．

B．

C．

D．

2．在同一坐标系中，作+2、-1、的图象，那么它们

（）

A．都是关于轴对称

B．顶点都在原点

C．都是抛物线开口向上

D．以上都不对

3．假设二次函数的图象经过原点，那么的值必为

（）

A．

0或2

B．

0

C．

D．

无法确定

4、点〔a，8〕在抛物线y=ax2上，那么a的值为〔

〕

A、±2

B、±2

C、2

D、－2

5．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是〔

〕

〔A〕y=3〔x+3〕2

〔B〕y=3〔x+2〕2+2

〔C〕y=3〔x-3〕2

〔D〕y=3〔x-3〕2+2

6．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标〔

〕

〔A〕〔0，8〕

〔B〕〔0，-8〕

〔C〕〔0，6〕

〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕

7、二次函数y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔

〕

A、4

B、5

C、6

D、7

8．原点是抛物线的最高点，那么的范围是

（）

A．

B．

C．

D．

9．抛物线那么图象与轴交点为

〔

〕

A．

二个交点

B．

一个交点

C．

无交点

D．

不能确定

10．不经过第三象限，那么的图象大致为

〔

〕

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

11．对于的图象以下表达正确的选项是

〔

〕

A

顶点作标为(－3，2)

B

对称轴为y=3

C

当时随增大而增大

D

当时随增大而减小

12、二次函数的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是：〔

〕

A

a>0

b<0

c>0

B

a<0

b<0

c>0

C

a<0

b>0

c<0

D

a<0

b>0

c>0

二．填空题：〔每题4分，共24分〕

13．请写出一个开口向上，且对称轴为直线x

=3的二次函数解析式。

14．写出一个开口向下，顶点坐标是〔—2，3〕的函数解析式；

15、把二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假设抛物线y=x2

+

4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，那么

△

PCD的面积是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,那么

y1,y2,y3从小到大用

“<〞排列是

.18．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是________________________.三．解答题(共60分)

19.〔6分〕假设抛物线经过点A〔，0〕和点B〔-2，〕，求点A、B的坐标。

20、(6分)二次函数的图像经过点〔0，－4〕，且当x

=

2，有最大值—2。求该二次函数的关系式：

21．〔6分〕抛物线的顶点在轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标。

25米x22、〔6分〕农民张大伯为了致富奔小康，大力开展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩形的鸡圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长25米的墙，设计了如图一个矩形的羊鸡圈。请你设计使矩形鸡圈的面积最大？并计算最大面积。

23、二次函数y=－〔x－4〕2

+4

〔本大题总分值8分〕

1、先确定其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，再画出草图。

2、观察图象确定：X取何值时，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。

24．〔8分〕某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，假设每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。

〔1〕现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

〔2〕假设该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。

25．〔8分〕某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流〔在各个方向上〕沿形状相同的抛物线路径落下〔如下图〕。假设OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。

〔1〕求这条抛物线的解析式；

〔2〕假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。

26．〔12分〕二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，〔1〕求A、B、C三点的坐标；

〔2〕如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

〔3〕是否存在这样的点P，使得PO=PA，假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由。