【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线

第一篇：【高考精品复习】选修4-1 几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线

第【高考会这样考】 2讲 圆周角定理与圆的切线

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D

是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大

小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与

圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝3，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圆

O的直径为4.tan ∠AOP答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

第二篇：选修4-1 几何证明选讲第2讲 圆周角定理与圆的切线

第【复习指导】 2讲 圆周角定理与圆的切线

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理

1．圆周角定理

(1)

(2)(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推论

①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点

A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆

O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则

圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若ABAP3tan 60°＝2，故圆O的直径为4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从

而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

第三篇：【创新方案】2013年高考数学一轮复习几何证明选讲 第2讲 圆周角定理与圆的切线教案 理 新人教版选修4-1

第2讲 圆周角定理与圆的切线

【2013年高考会这样考】

考查圆的切线定理和性质定理的应用．

【复习指导】

本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切

角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法

.基础梳理

1．圆周角定理

(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．

(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．

(3)圆周角定理的推论

①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．

2．圆的切线

(1)直线与圆的位置关系

(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

②切线的判定定理

过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．

(3)切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线长相等．

3．弦切角

(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．

(2)弦切角定理及推论

①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．

②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．

双基自测

1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，1则BP长为________．

解析 连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC＝

2AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC

上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝∠BOC＝50°.2答案 50°

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．

解析 连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等边三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1，所以圆O的面积为π×1＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．

解析 连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠

2A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则圆O的直径为________．

解析 连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

APtan ∠AOP2

2，故圆O的直径为4.tan 60°

考向一 圆周角的计算与证明

【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.[审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解．

解析 连接AD，BC.因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝＝sin∠DACsin∠ACDsin∠ABDCDADADABsin∠ABD12＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAPcos∠DAP＝sin∠ABD3

3又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝

答案

2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．

【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于22.3________．

解析 连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推论的应用

【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．

[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线

段之间的比例关系，从而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴

又AE∥BC，∴BEAB.ACBCEFBEABEF＝.AFACBCAF

又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴

∴EF＝

答案 CDEF5EF，∴，BCAF863015＝8415 4

(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明

三角形全等或相似，可求线段或角的大小．

(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．

【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故即BC2＝BE×CD

.BCCD，BEBC

高考中几何证明选讲问题(二)

从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．

【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．

第四篇：几何证明选讲第二讲：圆周角与弦切角

几何证明选讲

第二讲 圆周角与弦切角

一．考纲要求

掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解圆周角定理及其推论；理解弦切角定理及其推论；

二．知识梳理

1.圆周定理

圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

2.圆的切线的性质及判定定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

3.弦切角的性质

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

4.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5.三角形的五心

(1)内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。性质：到三边距离相等。

(2)外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。性质：到三个顶点距离相等。

(3)重心：三条中线的交点。性质：三条中线三等分点，到顶点距离为到对边中点距离2倍

(4)垂心：三条高所在直线的交点。

(5)旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。性质：到三边的距离相等。

三．诊断练习

1、下列命题中错误的是()

（A）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

（B）直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A

（C）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径

（D）圆的切线垂直于半径

2、图1中圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．

3、如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为．

4、如图3，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为

O · B A P O

图3 C 图

2-1-

四．范例导析

例1 AE是半圆的一条弦，C是弧AE的中点，弦AE交PC、CB于D、F。

A

CPAB于P求证：AD

例

2AP2CDAB是⊙O的直径，MN 切⊙O的直径与P，ADMN于D,求证：ADAB

N

例3如图所示，AB是圆O的直径，AC是弦，BAC的平分线AD交圆O于点D，DEAC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

（1）求证：DE是圆O的切线；

（2）若

ACAB25，求AFDF的值．

五.巩固练习

1.(2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB

得BC57，C是圆上一点使，BACAPB，则AB.2.(2011年高考湖南卷理科11)如图，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为.3.如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上的两点．如果E460，DCF320，则A的大小为_________．

4.（2009·辽宁卷）已知ABC中，ABACAC上的，D是ABC外接圆劣弧点（不与点A，C重合），延长BD至E（如图所示）．

（1）求证：AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC30，ABC中BC边上的高为23，求ABC外接圆的面积

第五篇：选修4-1几何证明选讲总复习

相似三角形的判定及其有关性质复习

一．知识梳理

1．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段

推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于，并且等于2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段．

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段结论1：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边

结论2：三角形的一个内角平分线分对边所成的两条线断于这个角的两边．

结论3：若一条直线截三角形的两边（或其延长线）所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边3． 相似三角形的判定定理：

（1）（SAS）（2）(SSS)（3）(AA)

相似三角形的性质定理：相似三角形的对应线段的比等于，面积比等于．

4． 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两条直角边在斜边上摄影的，两条直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的． 二．模拟练习

1．如图1，l1//l2//l3，AM=3，BM=5，CM=4.5，EF=16，则，．

2．如图2，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为cm．l1C

K l2F

l

3图1 图

2B

3．如图3，ΔABC中，∠1=∠B，则Δ∽Δ．此时若AD=3，BD=2，则AC=．

4．如图4，CD是RtΔABC的斜边上的高．

（1）若AD=9，CD=6，则BD=；

（2）若AB=25，BC=15，则BD=．D

B

图3 C

图4 5．如图5，ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=

12EA，AD，BE交于点F，则

AF:FD=．

6．一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面 积为cm2．

7．两个三角形相似，它们的周长分别是12和18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为．

8．如图6，已知∠1=∠2，请补充条件：（写一个即可），使得ΔABC∽ΔADE．

E

D

B

图5 D C A 图6

B 9．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________．

10．如图7，BD、CE

是VABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ:BC11、如图，等边△DEF内接于△ABC，且DE//BC，已知AHBC于点H，BC＝4，AH＝3，求△DEF的边长．

F H12、如图8，在ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长

14、（2009年海南、宁夏高考）如图，已知ABC的两条角平分线AD

线于点E，交边BC于点N． 求证：AD∶AB=AE∶AC． 和CE相交于H，B600，F在AC上，且AEAF．

（I）

证明：B,D,H,E四点共圆：（II）

证明：CE平分DEF。

．

B

N M C图813、如图9，E，F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且EBAF AB



AD



3．求证：∠AEF=∠FBD．

D

M

B

C

图9

直线与圆的位置关系复习

一．知识梳理

1．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于圆心角定理：圆心角的度数等于

推论1；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是90的圆周角所对的弦是弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的2． 圆内接四边形的性质与判定定理：

圆的内接四边形的对角；圆内接四边形的外角等于它的内角的如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点3．切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过；经过切点且垂直于切线的直线必经过

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的4．相交弦定理：圆内两条相交弦，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是的比例中项．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长；圆心和这点的连线平分的夹角． 二．模拟练习

1、如图1，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有个

①PC

2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2

=OD·OP；④OA（CP－CD）=AP·CD．

2、AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP∶PB＝1∶4，CD＝8，则直径AB的长是O DP

图

13、如图2，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=3，PB=1，则⊙O的半径为．

4、如图3，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，则圆O的直径为．

A

O

P

B

图

25、下列命题中错误的是

（1）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行

（2）直线AB

与⊙O相切于点A，过O作

AB的垂线，垂足必是A

（3）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径（4）圆的切线垂直于半径

6、如图4，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC=60°，则∠ADB的度数为

7、如图5，PA与圆切于点A，割线PBC交圆于点B、C，若PA=6，PCA=，PAB=．

·O

D

B P

图4 C 图5

8、如图7，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交O于点D，若PE＝PA，ABC60，PD＝1，BD＝8，则线段BC=．

9．半径为5的⊙O内有一点A，OA=2，过点A的弦CD被A分成两部分，则AC·

10．如图8，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，则弦BD的长度是

O

P图7

11．(2009年广东高考)如上图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB30o，则圆O的面积等于__________________．

12、如图9，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且AC＝AB，BC交⊙O于点D．已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE的周长．

13、如图10，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；

（2）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．

14、如图11，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F． 求证：CE∥DF．

O··O

F

图

1115、（2009年辽宁高考）已知 ABC中，AB=AC,D是 ABC外接圆劣弧A

C上的点（不与点A,C重合），延长BD至E．

（1）求证：AD的延长线平分CDE；

（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为，求ABC外接圆的面积．

几何证明选讲复习题

（1）ΔABF∽ΔAEF（2）ΔABF∽ΔCEF（3）ΔCEF∽ΔDAE（4）ΔADE∽ΔAEF

8．如图8，在RtΔABC中，∠C=90°，D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，∠B=30，AE=7．则1． 如图1，已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AO=78cm，BO=42cm，CD=159cm，则CO=cm，DO=DE的长为．cm．

9．如图9，AB=BC=CD，∠E=40°，则∠

2．已知，如图2，AA′∥EE′，AB=BC=CD=DE，A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，10．如图10，已知⊙O的切线PC与直径BA的延长线相交于点P，C是切点，过A的切线交PC

EE′=36mm，则BB′=，CC′=，DD′=．

于D，如果CD∶PD=1∶2，DA=2，那么⊙O的半径OC=．

3．如图3，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．则BD=．

11．如图11，ΔABC内接于⊙O，AD切⊙O于A，∠BAD=60°，则∠．A

4．已知，如图4，在平行四边形ABCD

中，DB是对角线，E是AB 上一点，连结CE且延长和DA的延长线交于F，则图中相似三角形 的对数是．

BC5．如图5，在A

F

图

1图

2A′′C′′E′

B

图9

E 图

4B

中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,则BDcm．

C

图1

3F

C

图10

B 图11

D └B D

图3

D C

12．如图12，已知AD=AB，∠ADB=350，则∠BOC等于

图6

6．如图6，ED∥FG∥BC，且DE，FG把ΔABC的面积分为相等的三部分，若BC=15，则FG的长为．

7．如图7，已知矩形ABCD中，∠AEF=90°，则下列结论一定正确的是

13．如图13，ABCD是⊙O的内接四边形，AC平分∠BAD并与BD交于E点，CF切⊙O于C交AD延长线于F，图中四个三角形：①ΔACF；②ΔABC；③ΔABD；④ΔBEC，其中与ΔCDF一定相似的是．

14．⊙O中，弦AB平分弦CD于点E，若CD=16，AE∶BE=3∶1，则

15．AB是⊙O的直径，OA=2.5，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD=2，则AC=．

16．如图14，PAB是⊙O的割线，AB=4，AP=5，⊙O的半径为6，则

BC中，17．如图15，在AAD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证：AEABAFAC．

O

P

F B

图7

C

D 图8

B

图14

A

18．如图16，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：GH=12

（BC－AD）．

F

图16

C

19．已知：如图17，ABC中，ABAC，BAC90，D、E、F分别在AB、AC、BC上，AE

AC，BD

AB，且CF

BC．求证：（1）EFBC；（2）ADEEBC．

20．设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O24，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度．

21．如图18，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是 ⊙O的割线，与⊙O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．（1）证明A，P，O，M四点共圆；（2）求OAMAPM的大小．

22．如图19，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点 D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直 线CF交直线AB于点G，（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．