高等数学考研大总结之三函数的连续性（精选五篇）

第一篇：高等数学考研大总结之三函数的连续性

第三章函数的连续性

一，函数连续性的定义（极限定义）第一定义：设函数fx在某个Ua,内有定义，如果极限limfx

xa存在并且

limfx

xa=fa则称函数fx在a点连续或称a是fx的一个连续点。

解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义)第二定义： 设函数fx在某个Ua,内有定义，如果对于任意的正数>0,存在0,0使得当xUa,时有 fxfa<则称fx在a点连续,特别地,若记xxa，yfaxfa.则有limx

xa=0时, limy

xa=0。

解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x的改变量(x)非常小时函数fx相应的改变量也非常小,则fx就叫做连续函数。

⑵ 由于x的引入使得在某点连续扩展到区间连续。

⑶ 该定义体现了自变量x所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出.⑷ 表明了可导与连续的关系。

⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数fx在点a处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限limf(x)

xa㈡根据自变量的初值a和终

值ax求出函数的增量yfaxfa③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验limf(x)

xa与fa是否相等㈡求极限limy

x0是否为0。单侧连续（左（右）连续）：设fx在某个a,a（或a,a）上有定义，如果limfx

xa=fa（或limfxxa=fa）则称fx在点x=a右（左）连续。

左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。

解析:类比于单侧极限。

4.一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I上有定义,如果对于任意给定的正数总存在着正数使得对于区间I上的任意两点x1,x2当x1x2时就有f(x1)f(x2),那么称函数fx在区间I上是一致连续的.如果函数fx在a,b上第1页

连续那么它在该区间上一致连续。

解析: ⑴与柯西(Cauchy)准则的联系。

⑵如果函数在某区间上每一点都连续则称在该区间上连续.如果函数在非开区间内每一点连续,而在端点处单侧连续(即在左端点右连续,在右端点左连续)则称在整个区间上一致连续。二，函数的间断点及其分类:定义:使函数不连续的点x0叫做函数fx的间断点(或不连续点)。

解析: 间断情况的三种情形(函数fx在点x0的某去心邻域内有定义)⑴在x=x0没有定义。⑵虽然在x=x0有定义但limfx

xx0不存在。⑶虽在x=x0有定义且limfxxx0存在但

limfx

xx0≠fx0。间断点的分类(按照函数fx在间断点x0处的左右极限是否存在)⑴第一类间断点:当fx在间断点x0的左右极限都存在时, x0就叫做fx的第一类间断点。(其中第一类间断点包括可去间断点(对该点通过补充定义可以连续)和不可去间断点(或跳跃间断点))即:①第一类可去间断点:函数fx在点x0处无定义,但limfx

xx0存在或函数fx在点x0处

有定义为fx0但limfx

xx0≠fx0(特点:函数在点x0处间断但有极限)②不可去间断点

(或跳跃间断点): 函数fx在点x0处的两个单侧极限存在,但函数在该点无极限,即limfx

xx

0≠limfxxx

0③第一类间断点定理:设函数fx在开区间I上单调,如果存在间断点的话,则函数fx在开区间I上只有第一类间断点⑵第二类间断点:当函数fx在间断点x0处的左右极限至少有一个不存在时, x0就叫做fx的第二类间断点.(其中第二类间断点包括无穷大间断点和无穷振荡间断点)即:①无穷大间断点:如果在点x0处函数fx的极限为无穷大,则称点x0为第二类无穷大间断点②第二类无穷振荡间断点:如果当xx0时函数fx产生无穷振荡(函数值在某一范围之间变动无限多项)则点x0称为函数fx的第二类无穷振荡间断点。

三，连续函数的性质:四则运算性质:有限个连续函数的和差积商仍为连续函数。

第2页复合运算: 有限个连续函数的复合仍为连续函数。连续函数与函数极限的关系:若函数fx为连续函数,那么进行极限运算时可将极限符号移入函数符号之内,达到简化目的。局部性质(极限角度)(1).局部保号性:设函数f:IR在点x0I连续且fx0u,fx0u则存在0当xUx0,I时有fxu,fxu⑵局部有界性:设函数f:IR在点x0I连续,则存在0使fx在xUx0,I上有界。如果函数fx在点x0连续则fx在点x0也连续(利用极限定义证明)特别地,若fx及gx都是连续函数则,xmaxfx,gx及xminfx,gx也是连续的即:x1fxgxfxgx,x1fxgxfxgx。22闭区间上连续函数的性质: ⑴最值定理:在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得最大值和最小值(有界性)

解析:在闭区间上连续的函数在这个区间上取得最大(小)值是唯一的（值域的角度）,但取得最大(小)值的最大(小)值点则不一定是唯一的（定义域的角度）。

⑵介值定理:设函数fx在闭区间a,b上连续且在区间的端点取不同的函数值: fa =A及fb=B,那么对于A与B之间的任意一个数c在开区间a,b内至少有一点使得fc(a<

解析: ⑴几何意义:连续曲线弧y=fx与水平直线y=c至少有一个交点。

⑵该定理表明:通过闭区间端点值的属性来研究开区间内函数值的性质。

⑶推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。⑶零点定理:设函数fx在闭区间a,b上连续且fa与fb异号(即fafb0)那么在开区间a,b内至少有一点使f0。

解析: ⑴介值定理与零点定理的统一性。

⑵与方程根的分布及近似解有关进而引进了一种求解高次代数方程或其他类型方程近似根的有效方法——二分法。可使其根可达到任意精度。其方法的过程：判断一根在a,b之间，则为加强其精度，则取其中点，再应用零点定理对中点与端点进行符号判断，依次进行下去，进而无限二分，无限应用零点定理直至比较精确为止。其误差小于

⑶应用该定理时需构造函数,其具有试验的意味。

⑷此定理与单调性的结合判断“只有性”问题。

第3页 1ba。2n

四，几类函数的连续性:复合函数的连续性:设函数yfgx是由函数yfu与函数ugx复合而成,Ux0Dfg若函数ugx在xx0连续且gx0u0而函数yfu在uu0连续则复合函数yfgx在xx0也连续。反函数的连续性:如果函数y=fx在区间上严格单调且连续,那么其反函数也在对应的区间上严格单调且连续。

解析:函数是区间上为单值,严格单调的函数。分段函数的连续性的判断:⑴判断各子区间上的连续性⑵判断衔接点处的连续性。4 初等函数的连续性:一切初等函数在其定义区间内都是连续的。．．．．

五,函数连续性的证明方法利用定义证明(通法)。利用其性质证明。

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第二篇：2018考研数学知识点：函数极限及连续性内容总结

为学生引路，为学员服务

2018考研数学知识点：函数极限及连续性内容总结

考研数学中的高等数学，为学生引路，为学员服务

大量的概念、性质以及无穷小量的阶的比较等等，特别是阶的比较，是常考的地方。

3.函数的连续性的定义，间断点的分类,以及连续函数的性质，特别是在闭区间上的连续函数的性质，也是常考的地方。

以上是本章的主要内容，既然是微积分学的基础啊，那么其重要性就不言而喻了，同时也每年都考。当然，由于本章的基本概念、基本理论和基本方法比较多，而这也是相关的考点。从以往的考试分析来说，得分率比较低，希望同学们一定概要重视三基的复习。通过试卷的分析，可以大致归纳一下常考的三种题型：求解极限;无穷小量的比较;间断点的分类判断。对于无穷小量的比较，实际上是求解blob.png型这一未定式的极限，而判断间断点的类型，也是求解极限。因此，这三种题型的中心就是求极限，实际上求极限是贯穿始终的。那么同学们的复习重点就在于求极限的常用方法：如倒代换，有理化，等价代换，洛必达法则，两个基本极限等等。

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第三篇：高等数学难点总结函数

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）

极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系

连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值 连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算

什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确 什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：

一、这些多项式的系数如何求？

二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的

第四篇：函数的极限和函数的连续性（本站推荐）

第一部分高等数学

第一节函数的极限和函数的连续性

考点梳理

一、函数及其性质

1、初等函数

幂函数：yxa(aR)

指数函数yax(a1且a1)

对数函数：ylogax(a0且a1)

三角函数：sin x , cos x , tan x , cot x

反三角函数：arcsin x , arcos x , arctan x , arccot x2、性质（定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、有界性）

【注】奇偶性、单调性相对考察的可能性打，但一般不会单独出题，常与其他知识点结合起来考察（比如与积分、导数结合）

二、函数极限

1． 数列极限

定义（略）

收敛性质：极限的唯一性、极限的有界性、极限的保号性。

·类比数列极限，函数极限有唯一性、局部有界性、局部保号性。

单侧极限（左极限、右极限）

【注】函数极限为每年的必考内容，常见于客观题中。一般为2~3题。

2． 两个重要极限

（1）limsinx1 x0x

x类似得到：x→0时，x～ln(x+1)～arcsin x～arctan x～tan x（2）lim(1x)e x0

类似得到：lim(1)elim(1)xx1xx

1xx1 e

·此处，需提及无穷大，无穷小的概念，希望读者进行自学。

三、函数的连续性

1． 概念：函数f(x)在x0处的连续（f(x)在x0点左连续、f(x)在x0点右连续）函数f(x)在开区间（a,b）上的连续

函数f(x)在闭区间[a,b]上的连续

2． 函数的间断点分类

● 跳跃式间断点：函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等。

● 函数在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值（或函数值在该

点无定义）

● 振荡间断点：f(x)在点x0的左右极限至少有一个不存在。

3． 连续函数的和、积、商，初等函数的连续性

● 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。

● 有限个再某点连续的函数的积是一个在该点连续的函数。

● 两个在某点连续的函数的商事一个在该点连续的函数（分母在该点不为零）● 一切基本初等函数在定义域（或定义区间）上是连续的。

4． 闭区间上的连续函数的性质

●（最大、最小定理）在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

●（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

●（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)·f(b)<0），那么在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点。

● 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点处取不同的函

数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)

内至少有一点ξ，使得f(b)=C(a<ξ

【注】函数的连续性，一般在客观题目中出现，分值不大，一般1~2题。

典型例题分析

【例1】（2010年真题）（工程类）计算极限limxsinx x0xsinx

A.1B.-1C.0D.2sinx1这一重要极限。如此，我们不难解x0x

sinxsinx11limxsinxx00。出该极限为0.即limlimx0xsinxx011limx0xx

xcx)e6,则常数c=_________。【例2】（2010年真题）（工程类）设lim(xxc

1x1【解析】解决此类题目，我们要灵活运用lim(1)。xxe【解析】：解决此类题目，我们要深刻掌握lim

2cxxcx2cx

2ccxclim()lim(1)limexxcxxxc2c1ce2ce6。则c=-3。

1xsin,x0【例3】（2009年真题）（工程类）设f(x)若f(x)在点x=0处连续，则αx0,x0的取值范围是

A．(-∞,+ ∞)B.[0,+ ∞]C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)

【解析】函数f(x)为一个分段函数，要使其在点x=0处连续，只需limxsinx010，不难x

发现x→0时，sin x 为有界的，我们只需满足limx0即可。易得，α>0。但α不能等于x0

0，否则limsinx010。x

提高训练

1、求下列函数的定义域

（1）y

（2）y1 2x2x

（3）y=lg(3x+1)

(4)y1 1x22、判断一下函数的奇偶性

axax

(1)y = tan x(2)ya(3)y 2x3、求下列函数的极限

1x34x2(1)lim(3x1)(2)lim3(3)limxsinx3x0x0xxx

sin3x15sin2x(4)lim(5)lim(6)lim(1)x0xx01cosxxx

1ex,x0

4、讨论f(x)0,x0在x=0点的连续性。

x05、证明方程x3x1至少有一个根介于1和2之间。

【答案】

1、（1）[-1,1](2)(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞)(3)(-1/3,+∞)

(4)[-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)

2、（1）奇（2）非奇非偶（3）偶

3、（1）8（2）4（3）0（4）2（5）3（6）

14、连续

5、证明：记f(x)x3x1，f(1)=-3<0,f(2)=25>0。由零点存在定理知，至少存在一个零点介于1和2之间。即方程x3x1在1和2之间至少有一个根。555

第五篇：高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

第1章 函数、极限与连续

函数的连续性与间断点

【教学目的】：

1.理解函数在一点连续的概念； 2.会求简单函数的间断点；

【教学重点】：

1.函数连续、间断的概念；

2.函数在一点处连续的判定方法； 3.函数间断点的分类；

【教学难点】：

1.函数在一点处连续的判定方法； 2.分段函数分段点处的连续性判断； 3.函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

1.4.1函数的连续性的概念

1、函数的增量

2、函数的连续性

定义1 设函数yf(x)在点x0及其附近有定义，且limy0，则称函数

x0f(x)在点x0连续，x0称为函数yf(x)的连续点．

连续的另一等价定义是：

定义2 设函数yfx在点x0及其附近有定义，如果函数fx当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值fx0，即limfxfx0，那么就称函数yfx在点x0连续.注意：由定义知函数f(x)在x0处连续要limfxfx0成立，则必须同时

xx0xx0满足以下三个条件

(1)函数f(x)在x0处有定义；

(2)极限limf(x)存在；

xx0(3)极限值等于函数值，即limf(x)f(x0)．

xx0定义3 如果函数yf(x)在x0处及其左邻域内有定义，且limf(x)=f(x0)，xx0则称函数yf(x)在x0处左连续．如果函数yf(x)在x0处及其右邻域内有定义，且limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在x0处右连续．

xx0yf(x)在x0处连续  yf(x)在x0处既左连续且右连续．

x1x0例5 讨论函数f(x)0x0 在点x0处的连续性.x1x0解 函数定义域为(,)，x0limf(x)=lim(x1)1，limf(x)lim(x1)1，x0x0x0由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以limf(x)不存在，函数f(x)在点

x0x0处不连续.定义4 若函数f(x)在开区间(a,b)内任何一点处都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．

3、函数的间断点

如果函数yf(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，并称x0为f(x)的间断点．

设x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．

在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：

通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。

【课后作业】：

无