函数定义域的知识点

第一篇：函数定义域的知识点

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.函数的值域的求法：观察法、配方法、换元法、利用多项式的除法、单调性法、判别式法、反函数法、数形结合法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.。

2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）

（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)

3.常用的函数表示法:解析法： 图象法： 列表法：

4.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

5.函数解析式的求法：

（1）待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

（2）换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

（3）方程思想，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);

（4）赋值法，若已知抽象函数关系式，则用赋值法。

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法.

第二篇：高中函数定义域知识点

高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，那么接下来给大家分享一些关于高中函数定义域知识，希望对大家有所帮助。

高中函数定义域知识

定义域

(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

高一数学必修一函数知识点

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;

5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立 a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立 a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)l og a N=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)a log a N= N(a>0,a≠1,N>0);

8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5)y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

13.恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

高一数学必修一函数知识

一：集合的含义与表示

1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是的，不可重复的。

(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}

(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合(2)无限集：含有无限个元素的集合(3)空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：a?A

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N-或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R6、集合间的基本关系

(1).“包含”关系(1)—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

高中函数定义域知识点

第三篇：复合函数的定义域

复合函数的定义域

复合函数的计算

用极限的夹逼准则求极限

无穷小量与无穷大量

两个重要极限

等价无穷小量 用洛必达法则或等价无穷小量求极限 用定义研究分段函数连续性

用定义研究分段函数连续性可导性 用连续函数零点定理证明函数等式 用导数的定义计算导数 幂指函数求极限及求导数 利用导数是平面曲线切线的斜率求切线方程 隐函数求微分 通过导数讨论函数单调区间 利用函数的单调性证明函数不等式 通过导数讨论函数的拐点 求函数的极值

原函数

用换元法计算不定积分 求三角函数的不定积分 用分部积分法求不定积分

第四篇：函数的定义域及概念

2．1映射、函数的概念及函数的定义域 【教学目标】了解映射的概念，掌握函数的概念、同一函数、函数解析式以及函数定义域的常见求法。【重、难点】映射、函数的概念、表示方法，函数定义域的常见求法。【 考 点 】映射、函数的概念、表示方法，函数定义域的常见求法。【知识回顾】： 1.映射：(1)映射的概念：设A、B 是两个非空的集合，如果按照某一个确定对应关系f，对于集合A中的_____________，在集合B中_______________与之对应，那么就称_________叫做从集合A到集合B的一个映射，记作f:AB。(2)象和原象，给定一个从集合A到B的映射，且aA,bB，如果元素a 和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的______,元素a叫做元素b的_______.2.函数:（1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个______的值，按照某个对应法则f,y都有______的值和它对应，那么y就是x的函数，记为y=f(ｘ)．（2）近代定义：函数是由一个_______到另一个__________的映射。（3）函数的三要素：函数是由________、_________以及_________三部分组成的特殊的映射。（4）函数的表示法_______、_______、__________（5）同一函数：如果两个函数的，并且。（6）常见求解析式的方法有：、、。（7）函数的定义域是指____________________________________________.（8）根据函数解析式求定义域的常用依据有 ①_________________________________，②_____________________________________，③_________________________________，④__________________________________。（9）已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足__________ ___;已知f[g(x)]的定义域是[a,b]，求f(x)的定义域,是指x[a,b]的条件下，求g(x)的值域。（10）实际问题或是几何问题给出的函数的定义域:________________________________。（11）分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．（12）求定义域的一般步骤：①________________________________________ ②_________________________________________ ③_________________________________________

第五篇：函数的解析式与定义域 教案

课题：函数的解析式及定义域

知识要点

1函数解析式:函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子叫解析式，解析式亦称“解析表达式”或“表达式”，简称“式”。

2函数的定义域：要使函数有意义的自变量x的取值的集合。3 求解析式的常用方法

（1）定义法（拼凑法）（2）换元法（3）待定系数法（4）函数方程法（5）参数法（6）实际问题 4求函数定义域（1）主要依据

①分式分母不为零

②偶次方根的被开放数不小于零 零的零次方没有意义 ③对数函数的真数必须大于零

④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 ⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算得到，那么它的定义域是由各基本函数的定义域的交集组成。（2）几类问题

①给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;②实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义;③已知f(x)的定义域求f[g(x)]的定义域或已知f[g(x)]的定义域求f(x)的定义域 典例解析

例1.已知函数f(x)=

1x的定义域为A，函数y=f[f(x)]的定义域为1-xB，则

（D）（A）A∪B=B（B）AB（C）A=B（D）A∩B=B 解法要点：A={x︱x≠1}，y=f[f(x)]=f(令-1+

1x2)=f(-1+)1-x1-x2≠且x≠1，故B={x︱x≠1}∩｛x︱x≠0｝.1-x11例2.（1）已知f(x)=x3 +3，求f(x);

xx2

（2）已知f(1)=lgx求f(x);

x（3）已知f(x)是一次函数，满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+1，求f(x)；

1x1111解：（1）∵f(x)=x3 +3=(x)3-3(x)，xxxx（4）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x).∴f(x)= x3-3x（2）令f(x)=lg2221=t（t>1）,则x=, ∴f(t)=lg,∴xt1t12(x>1)x1（3）设f(x)=ax+b(a≠0)，则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17, ∴a=2,b=7,∴f(x)=2x+7.（4）2f(x)+f()=3x ①，把①中的x换成，得2f()+f(x)= 331 ②，①×2-②得3f(x)=6x-∴f(x)=2x-.xxx

1x1x1x例3.设函数f(x)=㏒2x1+㏒2(x-1)+ ㏒2(p-x),求其定义域。x1x10x1x1解：由x10，解得 ①

xppx0当p≤1时，①不等式解集为；

当p＞1时，①不等式解集为｛x︱1＜x＜p｝，∴f(x)的定义域为(1,p)(p＞1).例4.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5,f(1)+f(4)=0.① 求y=f(x),x∈[1,4]的解析式；②求y=f(x)在[4,9]上的解析式.解：①当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)=a(x-2)2-5(a＞0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,∴a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).②∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=0, 又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，可设f(x)=kx(0≤x≤1),而f(1)= 2(x-2)2-5=-3∴k=-3,∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x, 从而当-1≤x≤0时，f(x)=-f(-x)=-3x,故-1≤x≤1时，f(x)=-3x.当4≤x≤6时，有-1≤x-5≤1，f(x)=f(x-5)=-3x+15.当6＜x≤9时，-1≤x-5≤4，∴f(x)=f(x-5)=2(x-7)2-5.∴f(x)=3x15, 4x6 6＜x92(x-7)-5，2