数学分析在中学数学中的应用（共五篇）

第一篇：数学分析在中学数学中的应用

数学分析在中学数学中的应用

曾几何时，对于每一个步入大学的新生来说，都有过这样的疑问，真的不大明白数分的实际应用，而且说要两个学期学完两本书？它真的有这么重要吗？面对诸多的质疑，下面我就从数学分析与中学数学的联系入手，通过对一些具体的实例分析，论述了极限、积分学、微分学在解决中学数学中有关于不等式与恒等式的证明、函数极值、方程根的讨论、函数的性态、几何问题等方面问题中应用.数学分析是数学中最重要的一门基础课，是几乎所有后继课程的基础，在培养具有良好素养的数学及其应用方面起着特别重要的作用。我们都知道，数学是所有学科的基础，可以说自然学科中的所有的重大发现和成就都离不开数学的贡献，而数学分析是数学中的基础！正因为如此，我们更应该深刻地认识到基础的重要性。

例如：一元微分学在中学数学解题中的应用，可用于不等式与恒等式的证明、求函数的极值、切线与单调区间问题、方程根的讨论以及函数的变化性态及作图中，其中在函数做图中，函数的图像可以其直观性有着别的工具所不可替代的作用，特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候，其作用尤为明显，这就要求我们能正确地作出函数的图像.中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像.这种图像一般是粗糙的，不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态.利用导数作为工具，可以有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图像.又如：积分法原理和方法在中学数学解题中的应用，积分学在中学数学中的应用，最明显体现在几何问题的应用中.在初等几何中，一些公式没有证明（如圆的面积公式），一些公式虽然给出了证明，但比较麻烦，如果应用积分的思想和方法，他们可以迎刃而解.再如：不定积分的应用，可由原函数转化为直接积分法和基本积分法，其中直接积分法可直接用相关积分法知识求解，如：第一换元法及分部积分等等；在定积分的应用中，定积分由相关条件、定理转化应用到牛顿-莱布尼茨公式从而求解定积分，如求解平面图形的面积、由平行截面面积求体积、平面曲线的弧长、旋转曲面的面积等等解法都与数学分析息息相关。

所以，作为一名数学专业的学生来说，对于积分学，定理虽易记诵，但对于理解的要求甚高，所以许多同学在学习数学分析的过程存在着这样的问题：上课能听懂，课后解题却不知所措。这一问题的产生主要是由于一方面对基本概念、基本定理理解得不够深入，对定理的条件、结论理解得不够贴切，对各部分知识之间的联系区别不甚清楚所导致的。所以我们更应该加强对实际应用知识的学习，更多关注学科的变化，培养对问题的思考，领略到积分的魅力。

著名数学家、教育家乔治·波利亚也曾说过：“解题可以是人的最富有特征性的活动······假如你想要从解题中得到最大的收获，你就应该在所做的题目中去找出它的特征，那些特征在你以后求解其他问题时，能起到指导的作用。”时光茬冉，学业即将完成之时，心中感受良多，我相信只有我们努力学好专业知识，才能在以后的课堂教学上实时实地的应用发挥出来，才能更好地给课堂和祖国的花朵增添活力、增添精彩。

第二篇：构造思想在数学分析中的应用

构造思想在数学分析中的应用

【摘要】 构造思想是一种重要的数学思想，具有较强的灵活性与创造性.通过构造数列对数学分析中的二个重要定理进行了证明，不仅加深了知识点的理解，而且对提高学生解决问题的能力有重要意义.【关键词】 数学思想方法；构造数列；辅助元素

【课题名称】 独立学院数学分析的教学方法探究与改革 【课题编号】 JG2014014

一、引 言

数学分析蕴含着丰富的数学思想方法，如类比、变换、化归转化、构造、递推归纳、数形结合等，构造思想是层次较高的一种，灵活运用可以培养学生的创新意识，提高解决问题的能力.二、构造思想的涵义

在解决问题时，根据问题的条件和结论或问题的性质和特点，构造出一个与研究对象紧密相关的辅助元素，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使原问题得以解决；或者构造出一个符合条件但是不满足结论的反例来否定结论.三、构造思想的应用

该思想在数学分析中的应用广泛，如通过构造函数证明微分中值定理、通过构造图像证明不等式、通过构造不等式证明重要极限、通过构造反例证明发散等，在此主要介绍构造数列的应用.1.在数列与其子列的关系中的应用

数列及其数列的子列有以下的性质定理：

数列{an}收敛当且仅当数列{an}的任何子列都收敛，且极限值相等.即

lim n→∞ an=a任意子列{ank}，有lim k→∞ ank=a

该定理在分析数列收敛性，特别是证明数列发散中有非常重要的作用，只要找到一个发散的子列或者是找到两个收敛的子列极限值不同即可说明，如数列-1 n，其偶数项组成的子列收敛于1，奇数项组成的子列收敛于-1，从而-1 n 发散.该定理的应用较多，但其充分性的证明在教材中大都没有给出具体证明，下面通过构造的思想对其充分性进行详细的证明，方便学生加深理解.例1 对于数列{an}，若{an}的任意子列{ank}都有lim k→∞ ank=a，则lim n←∞ an=a

分析 题目的条件情况太多我们不好入手，且已知若{an}收敛，则{an}的任何子列都收敛，且极限值相等，故选择反证法，假设{an}不收敛于a，只要可以构造出一个子列不收敛于a即可.2.在海涅定理中的应用

海涅定理是连接函数极限与数列极限的桥梁，有24种形式，但教材中一般只给x→x0这一种证明，其他的只给出结论或留给读者.下面通过构造的思想对x→∞的情况的充分性进行证明.四、小 结

通过以上的结果，可知构造思想比较灵活，但在解题过程中，只要弄清楚条件与结论的本质特点，找出其中的联系便可构造出实现目的的辅助元素.其次海涅定理的其余几种形式的证明可参考上述证明过程.【参考文献】

[1]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2004，7.[2]刘江蓉.用构造思想锻炼学生的创造性思维[J].高等函授学报（自然科学版），2010，6.[3]王兵.概率统计的思想方法[M].济南：山东教育出版社，2007，8.[4]刘玉琏，傅沛仁等.数学分析讲义（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2008.5.[5]华东师范大学数学系.数学分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

第三篇：浅谈电子白板在中学数学教学中的应用

浅谈电子白板在中学数学教学中的应用

1.新课标要求

《数学新课程标准》明确指出：数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算机、电子白板对数学教学内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题强有力的工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的教学活动中去。教师利用计算机对图形、数字、动画、声音、背景等内容进行综合处理，使得学生易于理解和掌握所学内容，培养学生的探索能力、创新意识和解决问题的能力。

2.激发学生的学习兴趣

利用电子白板可以图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点为学生创设各种情境，激起学生各种感官的参与，调动学生强烈的学习欲望，激发学生的学习动机和兴趣。由于数学学科的一个特点是逻辑性强，抽象思维要求高，尤其是涉及到空间问题、动态过程问题、复杂计算问题等不易理解的内容时，它能使这些复杂的问题转化为直观、形象、生动的感性情景，这样大大降低了学生理解和教师教学的难度。在交互式电子白板下，教学信息的呈现方式是立体的、丰富的、生动有趣的，不仅有数式的变换，更重要的是一些“形”的变换。利用电子白板，展示几何模型，进行图像的平移、翻转、伸缩变换，把复杂的数学问题具体化、简单化，形象化。同时把数学中的对称美、和谐美和曲线美展示给学生，让学生领略到数学学习中的无限风光，激发学生探究学习的情趣。

例如，在4年级的直线、射线、线段一节课中，为了引出课题，笔者收集了斜拉索桥、铁轨和池谷的图片，在白板上展示一张彗星的彗尾图片，使得学生对现实生活中的线段、直线和射线产生了直观的认识。

3.锻炼学生的探究能力

学习数学的最终目的是数学知识的运用。不论是数学运用，还是数学创新，都离不开探究，没有了探究，任何学科（包括数学）都会失去灵魂。利用电子白板，很容易就可以做出任意三角形，学生自己拖动鼠标来改变三角形的形状，可以观察到不管三角形如何变化，三角形内角和一直是180°。由于教学过程是随意变化的，比用黑板画一个个图形要方便得多，又比多媒体课件设定的图形要灵活得多。

教师在备课时考虑的主要不是讲什么、怎样讲，而是如何创设符合教学内容要求的情境，如何指导学生做实验，如何组织学生进行合作学习和交流……这样，教师就可以由课堂的主宰者、知识的灌输者、教学的主导者，转变为教学活动的组织者、学习情境的创设者、学生实验过程的指导者和帮助者。教学中，可以通过运用交互式电子白板注重学生探究能力的锻炼，注重问题探究过程中的知识形成，注意课堂角色的人机转换，学生是主体，教师是辅助，这样就能够提高课堂效率，提高学生的整体数学素养，培养学生的探究能力。

4.培养学生的创新意识

在数学教学中，学生创新能力的含义是很广泛的，它包括学生自己提出问题，探索新规律，得出新结论，直至提出新理论的能力。培养学生的创造性是创新教学的归宿。但从一定意义上讲，创造性的思维能力又是最重要的数学能力。在教学中，教师要注意学生思维能力的培养，引导学生在思考中善于发现问题，提出问题，自我解决问题，培养他们的创造精神。数学是研究现实世界的空间形式和生活中各种数量关系的科学。教学的最终目的是使学生能运用本课内容创造性地解决实际问题。交互式电子白板的运用，能充分挖掘教材，引发联想，启发思维，化繁为简，化难为易，启迪学生进行全方位、立体的思维，展开想象的翅膀。《图形的旋转》这一课，教师利用电子白板对图像的旋转功能，先指名学生把三角形绕定点进行顺时针和逆时针旋转，通过两幅不同方向旋转图的对比，学生充分感受到了逆时针旋转和顺时针旋转中的异同。而后面的许多图形的旋转都可以由学生自己上台操作完成，让学生在实际操作旋转图形的过程中，充分感受到旋转的魅力。电子白板中既提供了“操作空间”，又在后面插入了三角形顺时针和逆时针旋转的动画演示，通过观察和操作的结合，促使学生的操作与思考从无序走向有序。借助电子白板完成的这个的活动，既吸引了学生的注意力，又很好地突破了教学的重难点。由于图形是连续变化的，有利于学生对问题的深刻理解和熟练掌握。相反，用传统的教学方法来研究，就要分别画出许多图形，然后分析、判断，不仅耗时多，难度大，而且又不易掌握。而应用多媒体课件教学，只能使学生按照教师预设思路来学习，不利于培养学生的创新能力。

5.提高学生解决问题的能力

解决问题是一个发现、探索的过程，也是学生亲身感受问题、寻找解题策略，实现再创造以及体验数学价值的过程。通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。在数学教学中，丰富的交互式电子白板教学方式，有利于学生创造性解决问题能力的培养和提高。在教学中，教师要有意识地将所要学习的知识与学生已有的生活经验联系起来，创设虚拟化场景，使抽象的数学知识直观化、形象化，让学生体验到数学知识就在身边，生活中充满数学。引导学生在体验中理解事物的本质、掌握数学规律。例如，在教学圆柱体的侧面积计算时，用交互式电子白板课件出示3种不同的圆柱体，让学生猜想：“圆柱体的侧面展开后会是什么样的图形？”学生展开了热烈的讨论，有的说是长方形、有的说是正方形、有的说是平行四边形。这时笔者并不急于表态，首先表扬了他们爱动脑筋，敢说、敢争辩的精神，然后提出“到底是什么图形呢？”再通过课件演示3种圆柱体的展开图，学生发现有的是长方形，有的是正方形。再让学生观察圆柱侧面展开图长方形的长与宽与圆柱体的底和高有什么关系？学生发现圆柱体底面周长等于长方形的长，高等于长方形的宽，然后让学生根据长方形的面积公式推导出圆柱体侧面积的计算公式。这样让学生自己观察，独立思考，提高了学生解决问题的能力。

6.总结

电子白板在现代社会不仅成为教学的重要内容，也成为教学的重要工具，交互式电子白板正在改变着传统的教学模式。电子白板作为新型的现代教育技术手段走进了课堂，它同时具备了黑板和多媒体课件的优点，构成了真正的现代化教学体系。这种新的教育模式促使教师的观念和行为发生了深刻的变化，从根本上改变了传统的师生关系和交往方式。教师更多地以管理者和引导者身份出现在教学中，而不再是说教者。学生也从被动的知识接收者转变为主动的探索者和个性化的独立学习者，在教师的指导和帮助下学习和研究各种知识和技能时，学习能力、探索能力、创新意识、解决问题的能力都能得到快速提高。

第四篇：浅谈微积分在中学数学教学中的应用

浅谈微积分在中学数学教学中的应用 初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。

作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

第五篇：对称性在中学数学教学中的应用

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对称性在中学数学教学中的应用

作者：陈艳

来源：《中学时代》2013年第02期

数学中存在着丰富的美：简洁美、奇异美、对称美、统一美。因此，在中学数学的教学过程中，我们老师可以充分挖掘数学美的因素，并通过各种有效途径传授给学生，会对数学教学产生积极的影响。中学数学中的对称美就是最好的教材。