数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）

第一篇：数学归纳法在中学数学教学中的应用

浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用

摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。

关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用

引言

数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。

一、数学归纳法的概念

在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？

数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题nn0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明当nk1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。

而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数公理的的第五条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n，N也一定包含后继数n，则N包含所有自然数。[2] 归纳公理用准确的逻辑术语表达了自然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。从1开始，一个一个地选取可以达到任意自然数。这样一下子把整个自然数的无穷集合引入到论证中去，从而清楚地阐明了，为什么数学归纳法只用证两步，命题就被证明了。

而这两种数学归纳法也数学归纳法有第一数学归纳法、第二数学归纳法等。是最常用的方法。

第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①

当nn0(nN)时，P(n)成立；

② 假设当nk(kn0,kN)时，P(n)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立，那么根据①、②知对一切正整数N，nn0时，P(n)都成立。第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整数n有关的命题，如果 ①

当nn0(nN)时，P(n)成立；

② 假设nk(kn0,kN)时，P(n)也成立，由此推证nk1时，P(n)也成立，那么根据①、②对一切正整数nn0时，P(n)都成立。

在数学学习中，我们除了要掌握一些基本的计算问题外，还必须要求证明论断的正确性的问题，也就是所谓的“证明题”，解决这些证明题就是要作一整串的推理，而这些推理方法一般只是在有限的问题才能使用，我们把范围扩大为无限时，还能用这些方法解决问题吗？ 在数学里，常常要求对全体的对象来下结论，并且希望能证明我们的判断是正确的，那么这个问题将怎样解决呢？很明显，数学归纳法是解决这个问题的一种方法并且数学归纳法是严格的证明方法，并不是提供猜想的方法，它可以通过“有限来解决无限”的问题，使我们所用的归纳法成为完全归纳法，从而证明了论断的正确性。

二、正确的应用数学归纳法

有的人会认为数学归纳法很简单，就是那么两步：① 当n1时，命题成立；② 假设nk时，命题也成立，由此推证nk1时，命题也成立，那么根据①、②这个命题就成立了。

看似真的很简单，但是真的将数学归纳法应用到实际数学问题当中就会存在很多问题。

例1 用数学归纳法证明：

123……n=n(n1),(nN)2证明：（1）当n1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，故等式成立。

k(k1)成立； 2(k1)(k2)当nk1时，12……k(k1)。

2(k1)[(k1)1](k1)(k2)而 22（2）假设nk时，这个等式成立。即12……k 所以nk1时，原等式同样成立。

由归纳原理可知：123……n=这个证明对吗？

不仔细看，上面的证明方法好像是正确的，上面的证明似乎也应用了数学归纳法的两个步骤，特别的第二步也有了从“k”到“k1”的论证，但是事实上在证明12……kk(12……k(k1k)(1)22)的时候根本没有应用

n(n1),(nN)成立。2k(k1)这个式子作为基础来导出上面的等式，所谓的“k”到2“k1”的论证只不过是要把证明的等式写出来加以“注解”而已，等于什么事也没有做。

然而正确的做法应当是这样的：

当n1时，原式左边=1，原式右边=1，原式左边=原式右边，等式成立。假设nk时，这个等式成立。即12……kk(k1)成立； 2 这时把等式的左右两边同时加上k1，得：

12……k(k1)k(k1)(k1)2k2k2k2k23k2(k1)(k2)(k1)[(k1)1]22222 也就是说当nk1时，上式成立。

由归纳原理可知：123……n=n(n1)成立。2例2[3] 是否存在常数a，b，c，使得等式

122232nn12nn112an2bnc

对于一切正整数n都成立？证明你的结论。

思路分析：从特殊入手，探索常数a，b，c的值，考虑到了有3个未知数，先取n1，n2，n3代入等式，得方程组，求出a，b，c的值，然后用数学归纳法证明对于一切正整数n都成立。解：把n1，n2，n3代入等式得方程组

abc24a34a2bc44，解得b11。9a3bc70c10猜想：等式122232nn1数n都成立。

下面用数学归纳法证明：

2nn1123n211n10对于一切正整证明：（1）当n1时，原式左边=4，原式右边=4，原式左边=原式右边，所以等式成立；

（2）假设nkk1,k+时，等式成立。即

122232kk12kk1123k211k10；

则当nk1时，122232kk1k1k222

kk112kk1123k211k10k1k2223k5k2k1k2 k1k2k123k512k2

2k1k2312k111k110

这就是说，当nk1k1,k+时，命题也成立。由归纳原理可知：122232nn1切正整数n都成立。

以上二例虽然都是应用数学归纳法来解决的，但是我们要明确一点，我们不能盲目的用，更不能乱用数学归纳法，我们一定要正确的应用数学归纳法，并且在应用数学归纳法的第二个步骤时特别注意“k”到“k1”的推导过程，有些同学在证这个过程的时候不能很好入手，或是不能解决这一关键步骤，这就要求我们必须学会灵活应用这一关键的地方。

2nn1123n211n10对于一

三、灵活的应用数学归纳法

例3用数学归纳法证明

111111 1234(2n1)2nn1n2nn11证明：（1）当n1时，原式左边=，原式右边=，原式左边=原式右边，所以

22等式成立；

（2）假设nk时，等式成立，即

111111.1234(2k1)2kk1k22k那么nk1时

11111234(2k1)2k(2k1)(2k2)1111 k1k22k(2k1)(2k2)5 111111 k2k32k2k12k2k111111 k2k32k2k12k21111 (k1)1(k1)2(k1)k(k1)(k1)1111 1234(2k1)2k(2k1)(2k2)111(k1)1k(1)2k(1k(也成立。所以

1k)1k)(1)由归纳原理可知：

111111成立。1234(2n1)2nn1n2nn这里应该注意第二步nk1时与nk时，等式两边些什么变化，都增加了哪些项或是减少了哪些项，这样问题就能解决了。

接下来我们再来看一个应用数学归纳法证明整除的问题。例4用数学归纳法证明：(3n1)7n1能被9整除。(nN+)证明：当n1时，(31)7127能被9整除；

假设nk时，(3k1)7k1能被9整除，那么当nk1时

[3(k1)1]7k11[21(k1)7]7k1[(3k1)(18k27)]7k1 [(3k1)7k1]9(2k3)7k

[(3k1)7k1]和9(2k3)7k都能被9整除，[(3k1)7k1]9(2k3)7k能被9整除。

即[3(k1)1]7k11能被9整除，从而当nk1时，命题任然成立。由归纳原理可知：当nN+时，(3n1)7n1能被9整除。

这一题在应用数学归纳法时主要是当nk1时，要怎么拆分才能说明[3(k1)1]7k11能被9整除，不仅考察数学归纳法的应用而且考差了多项式 分解的一些基本能力，只要会分解了，那么应用数学归纳法就没有问题了。

11113。n1n22n2411713证明：（1）当n2时，即命题成立，2122122411113（2）假设nk时，成立； k1k22k24例5若n为大于1的正整数，求证： 则当nk1时，11111(k1)1(k1)22k2k12(k1)1111111()k1k2k32k2k12k2k11311242k12k2131242(2k1)(k1)13 24

即nk1时，不等式成立，由归纳原理可知：对任意的正整数n(n1)，11113成立。n1n22n24这里主要就是在nk1时候，现想办法尽量凑出假设nk成立的不等式，这样就把要推导的等式转化到了已经成立的不等式上面了，但这是针对这一个数学证明题，出了除了要求你的数学归纳法知识足够外，还要会应用证明不等式时常用的放缩法，这样才是一个完整的证明过程。

而在我们高中数学当中，很多情况下都会应用数学归纳法来解决一些数列的证明问题，这类题目通常用常规的数列计算方法不能解决时，我们就可以应用数学归纳法了。

下面我们先来看一个简单的等差数列求和公式的证明：

1例6求证等差数列前n项的和的公式为：Snna1n(n1)d。（a1为首项，d2为公差）

证明：（1）当n1时，S1a1，公式成立，（2）假设nk时，公式成立，即Skka1k(k1)d，那么nk1时，211Sk1Skak1ka1k(k1)da1(k1)1d(k1)a1(k1)(k1)1d22即当nk1时，公式也成立。

由归纳原理可知：对于nN+时，等差数列的前n项的和的公式为：Snna11。n(n1)d2针对这一问题，可以说数学归纳法应用的娴熟可以很容易的帮助我们解决，所以应用数学归纳法解决来解决数列问题时应值得深思，特别是在高考数学当中，此类题通常会被当做大题来考核学生，还有可能将此类题设为压轴题，如以下例题：

例7[3] 在数列an中，a12，an1ann122n(nN+)，其中0。求数列an的通项公式。

解：a12，a22222222，a322232222323a4232342233424

由此可猜想出该数列an的通项公式为：ann1n2n，(nN+)以下用数学归纳法证明。

证明：（1）当n1时，a12成立。

（2）假设nkk1,kN+时，等式成立,即akk1k2k 那么当nk1时，ak1akk122k

kkk1kk1222

k1k2kk122k

k1k1k112 8 这就是说，当nk1时，k1,kN+命题同样成立。

由归纳原理可知：数列an的通项公式为：ann1n2n，(nN+)。这个题如果用一般的的方法是很难入手的，很多同学就算用一般的方法解决这个问题也需要花费大量是时间和精力，并且很可能在计算当中一被绕进去就出不来了，在这些繁杂的计算当中还会很容易出现错误，所以应用数学归纳法是一条明智的选择。

除了以上在应用时需要应用的技巧外，还应该注意以下问题：

1、在应用数学归纳法之前，一定谨记是两个步骤，而且两个步骤缺一不可：第一步是证明该问题的递推基础，第二步是该问题的递推依据，没有第一步打基础就不可能有第二步。同样没有第二步只有第一步，这个数学归纳法就变成了不完全归纳法了。最后还要加上总结的话语，说明问题已经证明了。

2、在应用数学归纳法证明的时候，先按照步骤写下第一步，这是没有什么问题的，紧接着第二步就需要特别注意了，一定需要应用假设nk命题成立这一个条件，紧接着必须要把这一条件当作已知来充分利用，从而证明nk1时命题同样也成立。

四、结束语

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的方法，无论在证明等式、整除、不等式、数列等问题时，数学归纳法都是至关重要的。学习数学归纳法，不仅可以学到更多的数学知识，又可以受到推理证明的训练，使自己的理性思维在不知不觉中得到了提高，而且拓宽了自己的数学视野，对于一些常规的与数有关，用一般方法不好证明的题时，这时用数学归纳法往往会得到意想不到的结果。特别是针对高中数学中数列问题的时候，学好数学归纳法意义深远。因此，学习并掌握好数学归纳法，对于我们在中学数学解题中有重要作用。

致谢：衷心感谢高建兴老师在论文写作过程中的指导和帮助！

参考文献

[1]朱华伟 钱展望，数学解题策略，科学出版社，2009.08 [2]方华，数学解题规律与思路分析，山东教育出版社，1982.02 [3]数列与数学归纳法，高中数学300题，上海交通大学出版社，2010 [4]洪波，怎样应用数学归纳法，上海教育出版社，1982.02 [5]弗里特曼 杜列茨基 斯捷欣柯，怎样学会解数学题，湖北人民出版社，1982.02 [6]陈自强，数学解题思维方法引导，中南工业大学出版社，1995.06

Of mathematical induction in the Middle School Mathematics Teaching

Hong-Ze Duan Faculty of Science, Yuxi Normal University, Student No.2008011155

Supervisor: Jian-Xing Gao

Abstract: The mathematical induction is an important mathematical proof method, commonly used in the proof of the proposition with the natural numbers.This article is from the concept of mathematical induction, the correct application of mathematical induction, the flexibility in the application of mathematical induction mathematical induction in the Middle School Mathematics Teaching.Keywords: mathematical induction;correct, flexible application

第二篇：对称性在中学数学教学中的应用

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对称性在中学数学教学中的应用

作者：陈艳

来源：《中学时代》2013年第02期

数学中存在着丰富的美：简洁美、奇异美、对称美、统一美。因此，在中学数学的教学过程中，我们老师可以充分挖掘数学美的因素，并通过各种有效途径传授给学生，会对数学教学产生积极的影响。中学数学中的对称美就是最好的教材。

第三篇：数形结合在中学数学教学中的应用

安 阳 师 范 学 院

数形结合在中学数学教学中的应用

甘世军

(安阳师范学院数学与统计学院 河南 安阳 455002)

摘 要：数形结合是数学教学中的一种非常重要的思想方法，“数”与“形”按照一定条件相互转化.本文通过图形对于解决函数的最值、不等式、轨迹等问题来掌握数形结合方法,有助于增强学生的数学素养,提高学生分析问题解决问题的能力,对于培养学生的创新意识具有促进作用.关键词：数形结合;方法;数学教学;应用

引 言：数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映,是数学的基石.在数学教学过程中,处处渗透着数形结合的思想．从数和形两个侧面对问题进行分析,以培养学生思维的深刻性与批判性，构成了数学教学的主要任务.以数助形、以形助数、数形互助，构成了数形结合的基本途径． 1 与函数有关的问题

函数的图像及性质常常是解决问题的突破口,函数的图象是函数解析式的“形”的表象,它以图形的方式来刻划函数中变量之间的变化关系.通过函数的图象研究函数的性质,是中学阶段学习函数理论的重要方法，既有助于理解和记忆函数的性质,也有助于应用函数的性质分析问题和解决问题.例1 实系数方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)之间,另一根在(1,2)之间,求范围.分析 若直接利用求根公式或根与系数的关系,则步履维艰;若把数的关系转化为图

f(0)0,b0,像,则条件便转化到图像上.令f(x)= x2+ax+2b,可得f(1)0, 即1a2b0，2ab0.f(2)0,b2a1的第1页

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图1 图2 它是(a,b)所要满足的条件,用图像表示点(a,b)的区域为△ABC的内部,可理解的几何意义为过点(a,b)与(1,2)的直线的斜率,显然有

14b2a1=kAD<

b2a1

x1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解 若直观通过解方程来求其实根的个数,则比较麻烦．可在同一直角坐标系中画出

第2页

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函数y=以方程1x1x和y= x2-2x+1的图像,通过观察可知,这两个函数的图像有且只有一个交点,所=x2-2x+1只有一个实根,应选A.2 与不等式有关的问题

不等式所涉及到的复杂变换技巧和过于形式化的知识特点,使不等式的学习便得抽象和难于理解．如果方程或不等式两边的表达式有明显的几何意义,或通过某种方式可以与图形建立联系,可将方程或不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置或度量关系加以解决，使得原问题直观且易于理解，从而所讨论问题得到解决．

设f1(x)和f2(x)是[a,b]上的连续函数,以曲线y= f2(x)为下界,以曲线y= f2(x)为上界,以平行于y轴的直线x=a为左界,以平行于y轴的直线x=b为右界所围成的图形是一个点的集合.如果图形不包括界线在内,那么这个点集可以用下列不等式描述：a

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图5

我们把形如a0.解 点（x,y）满足不等式的充分必要条件是y-x+1和2x-y-3有同符号的值.因此设y-x+1>0的区域为M, y-x+1<0的区域为M';2x-y-3>0的区域为N, 2x-y-3<0的区域为N'．

则（y-x+1）(2x-y-3)>0(x,y)(MN)(M' N'),从原不等式的区域(下图)可知,所求解为: E=

(x,y)|-



1

(x,y)|2

图6

第4页

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例5 已知正数a、b、c、x、y、z,且满足条件a+x=b+y=c+z=k>0 求证：ay+bz+cx

如图,作边长为k的正三角形ABC,在其三边上分别取P、Q、R,使AP=a,CR=b,BQ=c．则 BP=x,AR=y,CQ=z,SAPR=SABC=1212aysin60，SPBQ=

12cxsin60，SCRQ=

12bzsin60，k2sin60．显然有：SAPR+ SPBQ +SCRQ

x2103x80+x2103x80=20.分析 要解这个方程,按一般解法,就是先化简,经过两次平方后脱去根号,再求解.但过程非常繁冗,容易出错,因此不是个好解法.观察一下这个方程的形式,就会联想到椭圆第一定义的数学表达式,配方后再令(x53)y225=y

2,即可得(x53)y22=20,且20>10 3.由椭圆第一定义可知,点(x,y)的轨迹为一个以(-53,0)、(53,0)为焦点、长轴为20的椭圆.这样的话,解原方程就等价于已知椭圆上点的纵坐标去求它的横坐标，因此问题得以简洁明快地解决.第5页

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解 原方程(x53)y2222(x53)y22=20 22(x53)y2y5(x53)y =20

2x2y221yx1001.2510025y25故原方程的解为x=45.3 与抛物线有关的问题

抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹.这一定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.利用图像常能找到解决与抛物线有关问题便捷的解题途径.在数学课堂教学中,掌握圆锥曲线的图像是很重要的内容,它直观反映了曲线的特点灵活应用图像解题是一种很重要的方法,它不但可以使问题得到简化,还能提高学习效率．

例7 已知抛物线C:y2=2x-1即定点A(2,0),试问:是否存在过A点的直线L,使得能在抛物线上找到不同的两点关于直线L对称?若存在,请求出直线L的斜率的范围；不存在,请说明理由.解 设直线L的方程为y=k(x-2).当k=0时,显然成立.当k≠0时,设抛物线上关于直线L对称的两点为:P(x1,y2)、Q(x1,y2),PQ的中点为R(x0,y0).由y12=2x1-1,y2=2x2-1,两式相减,得y0=-k.又因直线L过点R,所以y0=k(x0-2),得x0=1.2如图,过R作x轴的平行线交抛物线于N,则yN=-k,得xN=k2k212,结合图像易知xN< x0,即12<1,得-1

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图8 4 与轨迹有关的问题

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”,将“曲线”转化为“方程”,通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材,也是解析几何的主要课题．该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程,而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透.轨迹问题是高考中的一个热点和重点,在历年高考中出现的频率较高,巧妙的运用数形结合思想有事半功倍的效果.例8 已知圆x2+y2=4和点C(4,0),A,B为圆周上的两个动点,且满足∠ACB=90,求弦AB的中点P的轨迹方程.分析 巧用平面几何知识,避免运算.利解析几何的知识与方法,一般设P(x,y)，2A(x1,y1),B(x2y2).x12+y12=4, x2+y=4,x1+x2=2x,y1+y2=2y,y1y2=-(x1-1)(x2-1).22通过这五个式x1,x2,y1,y2，得x,y的方程,众多未知数的消元过程是大部分学生手足无措,但是若能想到初中几何中的直线与圆的关系,此问题的简便解法就在情理之中了.解 连AO,PO,CO.因为P为弦AB的中点,故OP⊥AB.因为AO=2,设P点的坐标为(x,y),又因为在Rt△ACB中, |PC|=

12|AB|，（|AB||PC|）2=|PA|2=|AO|2-|PO|2 ,又C(1,0), 所以轨迹方程为:2x2+2y2-2x-3=0.第7页

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图9 5 与最值问题有关的问题

中学数学中求函数的最值问题是研究函数性质的一个极其重要的方面,所涉及的知识面宽,方法灵活,应用广泛．在高考和数学竞赛中占有相当重要的地位.而数形结合思想是求解数学问题的一种常用思想,它不仅对于沟通代数、几何与三角形的内在联系具有指导意义,并把数式的准确刻化与几何图形的直观描述有机地结合起来,而且更重要的是对开发学生的创造性思维,完善学生的思维品质有着特殊的重要作用.如果只是从”数”到”数”的解题,不仅运算非常繁难,也激发不了学生的积极思维,如果用数形结合的思想进行开拓,会轻松解决此类问题.例9 当s和t取遍所有实数时,求(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|2)的最小值.解 由P(s+5,s),消去S得点P的轨迹为:y=x-5,由Q(3|cost|,2|sint|)．消去t得Q的轨迹为：

x29+y24=1（0

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例10 已知复数Z和w同时满足（1）Z+w+3=0,(2)|Z|,2,|w|成等差数,试问cos(angZ-angw)有没有最大值,如果有,求出这个最大值.解 本题若用代数法或三角法,解题过程比较繁琐．由z+w+3=0可知,在复平面内与z、w、3对应的向量构成首尾相连的三角形或共线的三条线段这样即使三个向量共线,与复数z和w对应的向量的方向也不能相同,当然只能相反.在AOB中,由余弦定理得： cos(180-a)=3|z||w|222|z||w| =1-

72|z||w|1-

72(|z||w|2)2=

81当且仅当|z|=|w|=2时,等号成立.6 结束语

综上所述,所举各例若零散放置,只能感受到各自独立的解题方法，但进行合理的归纳分析，就能从中总结出很重要的解题方法．用数形结合的思想求解各种数学问题，既能激发对数学的学习兴趣,又能培养和发展数学的创造性思维.参考文献

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[1]张雄、李得虎著,《数学方法论与解题研究》[ M].高等教育出版社,2004,112-114.[2]莫红梅.谈数形结合在中学数学中的应用[J].教育实践与研究 , 2003,75-77.[3]赵玲.数形结合思想及其应用[J].山西煤炭管理干部学院学报 , 2007,102-103.[4]施献慧.数形结合思想在数学解题中的应用[J].云南教育 , 2003年7月：68-70.[5]王银篷.浅谈数形结合的方法[J].中学数学 , 2006年12月第3版：25-27 [6]卢丙仁.数形结合的思想方法在函数教学中的应用[J].开封教育学院学报 , 2003，（20）：39-41.[7]刘焕芬.巧用数形结合思想解题[J].数学通报 , 2005年4月：66-69.[8] 袁桂珍.数形结合思想方法及其运用[J].广西教育 , 2004,(15):44-45.The combination of the number and shape at middle

school math teaching

Gan Shijun(School of Mathematics & Statistics, Anyang Normal University, Anyang, Henan455002）

Abstract: For combining the number and shape is an important way of thinking in teaching of mathematics, “number” and “shape” according to certain conditions can be transformed.This paper, by mutual transformation to solve the function of the graphics, inequality, track, etc.To master the method of combining the number and shape is helpful for students to improve mathematics connotation and improve the students' ability to analyze and solve problems and to cultivate students' innovation consciousness has stimulative effect.Keywords: Combining the number and shape;Methods;Mathematics teaching;application

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第四篇：浅谈电子白板在中学数学教学中的应用

浅谈电子白板在中学数学教学中的应用

1.新课标要求

《数学新课程标准》明确指出：数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算机、电子白板对数学教学内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题强有力的工具，致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的教学活动中去。教师利用计算机对图形、数字、动画、声音、背景等内容进行综合处理，使得学生易于理解和掌握所学内容，培养学生的探索能力、创新意识和解决问题的能力。

2.激发学生的学习兴趣

利用电子白板可以图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点为学生创设各种情境，激起学生各种感官的参与，调动学生强烈的学习欲望，激发学生的学习动机和兴趣。由于数学学科的一个特点是逻辑性强，抽象思维要求高，尤其是涉及到空间问题、动态过程问题、复杂计算问题等不易理解的内容时，它能使这些复杂的问题转化为直观、形象、生动的感性情景，这样大大降低了学生理解和教师教学的难度。在交互式电子白板下，教学信息的呈现方式是立体的、丰富的、生动有趣的，不仅有数式的变换，更重要的是一些“形”的变换。利用电子白板，展示几何模型，进行图像的平移、翻转、伸缩变换，把复杂的数学问题具体化、简单化，形象化。同时把数学中的对称美、和谐美和曲线美展示给学生，让学生领略到数学学习中的无限风光，激发学生探究学习的情趣。

例如，在4年级的直线、射线、线段一节课中，为了引出课题，笔者收集了斜拉索桥、铁轨和池谷的图片，在白板上展示一张彗星的彗尾图片，使得学生对现实生活中的线段、直线和射线产生了直观的认识。

3.锻炼学生的探究能力

学习数学的最终目的是数学知识的运用。不论是数学运用，还是数学创新，都离不开探究，没有了探究，任何学科（包括数学）都会失去灵魂。利用电子白板，很容易就可以做出任意三角形，学生自己拖动鼠标来改变三角形的形状，可以观察到不管三角形如何变化，三角形内角和一直是180°。由于教学过程是随意变化的，比用黑板画一个个图形要方便得多，又比多媒体课件设定的图形要灵活得多。

教师在备课时考虑的主要不是讲什么、怎样讲，而是如何创设符合教学内容要求的情境，如何指导学生做实验，如何组织学生进行合作学习和交流……这样，教师就可以由课堂的主宰者、知识的灌输者、教学的主导者，转变为教学活动的组织者、学习情境的创设者、学生实验过程的指导者和帮助者。教学中，可以通过运用交互式电子白板注重学生探究能力的锻炼，注重问题探究过程中的知识形成，注意课堂角色的人机转换，学生是主体，教师是辅助，这样就能够提高课堂效率，提高学生的整体数学素养，培养学生的探究能力。

4.培养学生的创新意识

在数学教学中，学生创新能力的含义是很广泛的，它包括学生自己提出问题，探索新规律，得出新结论，直至提出新理论的能力。培养学生的创造性是创新教学的归宿。但从一定意义上讲，创造性的思维能力又是最重要的数学能力。在教学中，教师要注意学生思维能力的培养，引导学生在思考中善于发现问题，提出问题，自我解决问题，培养他们的创造精神。数学是研究现实世界的空间形式和生活中各种数量关系的科学。教学的最终目的是使学生能运用本课内容创造性地解决实际问题。交互式电子白板的运用，能充分挖掘教材，引发联想，启发思维，化繁为简，化难为易，启迪学生进行全方位、立体的思维，展开想象的翅膀。《图形的旋转》这一课，教师利用电子白板对图像的旋转功能，先指名学生把三角形绕定点进行顺时针和逆时针旋转，通过两幅不同方向旋转图的对比，学生充分感受到了逆时针旋转和顺时针旋转中的异同。而后面的许多图形的旋转都可以由学生自己上台操作完成，让学生在实际操作旋转图形的过程中，充分感受到旋转的魅力。电子白板中既提供了“操作空间”，又在后面插入了三角形顺时针和逆时针旋转的动画演示，通过观察和操作的结合，促使学生的操作与思考从无序走向有序。借助电子白板完成的这个的活动，既吸引了学生的注意力，又很好地突破了教学的重难点。由于图形是连续变化的，有利于学生对问题的深刻理解和熟练掌握。相反，用传统的教学方法来研究，就要分别画出许多图形，然后分析、判断，不仅耗时多，难度大，而且又不易掌握。而应用多媒体课件教学，只能使学生按照教师预设思路来学习，不利于培养学生的创新能力。

5.提高学生解决问题的能力

解决问题是一个发现、探索的过程，也是学生亲身感受问题、寻找解题策略，实现再创造以及体验数学价值的过程。通过质疑、解疑，让学生具备创新思维、创新个性、创新能力。在数学教学中，丰富的交互式电子白板教学方式，有利于学生创造性解决问题能力的培养和提高。在教学中，教师要有意识地将所要学习的知识与学生已有的生活经验联系起来，创设虚拟化场景，使抽象的数学知识直观化、形象化，让学生体验到数学知识就在身边，生活中充满数学。引导学生在体验中理解事物的本质、掌握数学规律。例如，在教学圆柱体的侧面积计算时，用交互式电子白板课件出示3种不同的圆柱体，让学生猜想：“圆柱体的侧面展开后会是什么样的图形？”学生展开了热烈的讨论，有的说是长方形、有的说是正方形、有的说是平行四边形。这时笔者并不急于表态，首先表扬了他们爱动脑筋，敢说、敢争辩的精神，然后提出“到底是什么图形呢？”再通过课件演示3种圆柱体的展开图，学生发现有的是长方形，有的是正方形。再让学生观察圆柱侧面展开图长方形的长与宽与圆柱体的底和高有什么关系？学生发现圆柱体底面周长等于长方形的长，高等于长方形的宽，然后让学生根据长方形的面积公式推导出圆柱体侧面积的计算公式。这样让学生自己观察，独立思考，提高了学生解决问题的能力。

6.总结

电子白板在现代社会不仅成为教学的重要内容，也成为教学的重要工具，交互式电子白板正在改变着传统的教学模式。电子白板作为新型的现代教育技术手段走进了课堂，它同时具备了黑板和多媒体课件的优点，构成了真正的现代化教学体系。这种新的教育模式促使教师的观念和行为发生了深刻的变化，从根本上改变了传统的师生关系和交往方式。教师更多地以管理者和引导者身份出现在教学中，而不再是说教者。学生也从被动的知识接收者转变为主动的探索者和个性化的独立学习者，在教师的指导和帮助下学习和研究各种知识和技能时，学习能力、探索能力、创新意识、解决问题的能力都能得到快速提高。

第五篇：浅谈微积分在中学数学教学中的应用

浅谈微积分在中学数学教学中的应用 初等数学是高等数学的基础，二者有着本质的联系。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。

作为中学数学教师，除了应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学的方法则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学。