课题学习利用拼图验证勾股定理)（推荐五篇）

第一篇：课题学习利用拼图验证勾股定理)

拼图与勾股定理教学设计

教学目标：

1．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值；

2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。

3．通过利用微机进行丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣；通过探究总结活动，让学生获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；在合作学习活动中发展学生的合作交流的意识和能力。

4、熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。

教学重点

1．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。

2．通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

教学难点

1．利用“直角三角形”，“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。

2．利用数形结合的思想方法验证勾股定理。

教学用具

电脑及使用flash软件制作的课件

教学过程

一、创设情境——勾股史话环节

师：前面我们已经学习了勾股定理，勾股定理的内容是什么呢？（提问学生）

师：你都知道关于勾股定理的哪些历史故事？你想了解更多的勾股定理的知识吗？请同学们跟我一起点击屏幕上的“开始”按钮，进入勾股史话环节，去了解古今中外人们对勾股定理的研究和设想，感受一下勾股定理的文化内涵。（让学生自主学习）

师：同学们看完之后有什么感想呢？

（提出问题让学生自主思考再提问学生）

师：让我们动起手来利用拼图验证勾股定理吧！

二、尝试拼图，验证定理

（一）“动手拼一拼”环节

师：观察勾股定理a2+b2=c2中的a2，b2和c2你想到了什么？

（引导学生说出是正方形，为后面的拼图要拼成正方形打下伏笔。）师：我们只要拼成边长分别是多少的正方形即可？

（生会回答出： a,b,c）

师：进入“动手拼一拼”环节，大家利用拼版中提供的全等的直角三角形根据操作说明进行拼图验证勾股定理，现在将鼠标放在三角形上可将三角形任意拖动，拼版右边设置了六个旋转按钮，能使选中的三角形按顺时针或逆时针旋转450或50或10，单击“恢复”按钮可使所有三角形返回原来的位置。同学们先自主完成，若有困难可以点击屏幕上的“小博士”请教。点击“返回”按钮继续根据提示进行拼图即可。俗话说：“敢拼就会赢”，相信只要你敢于动手拼，一定会成为拼图能手！

（让生自己动手去拼图，然后小组交流）

师：有请2组展示他们的拼图图案。哪组还有补充？

师：看来我们同学都是名副其实的拼图高手。

师：那你能继续发挥聪明才智，用你的拼图验证勾股定理吗？每小组选择一种完成，并派代表展示你们小组的验证过程。

（让学生展示他们的验证过程）

第一种：（b－a）2 + 4×ab=c2，a2 ＋ b2 =c

2师：大家知道吗？这就是弦图，它最早是由三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时给出的。弦图还是2002年在北京召开的国际数学大会的会标图案，它标志着中国古代的数学成就，它更像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。这充分显示了中国人对数学的热爱和探索精神。今天，我在你们身上也看到了这种精神。

第二种：（a+b）=c + 4×ab，a ＋ b =c 第三种：（a+b）=ab + c+ab，a ＋ b =c

师：你们知道吗？这种方法也是美国总统加菲尔德的验证方法，这种方法也

被称为总统证法。同学们的聪明劲一点不亚于美国总统。

（二）“五巧板验证”环节

师： 大家都知道七巧板吧，那你知道数学中有五巧板吗？我们能利用五巧板验证勾股定理吗？请同学们跟我一起进入“五巧板验证”环节。点击“步骤”按钮，观察五巧板的制作流程，从而熟悉五巧板的构成。我们尝试一下能否用一副五巧板进行拼图验证勾股定理。请同学们动手拼一拼。

师：通过拼图同学们有何发现？先自主思考然后小组交流一下。

师：这位同学总结的非常好，以直角三角形三边画三个正方形，只要把以斜边为边的正方形制成五巧板，把这五块拼在另两个正方形中就可以验证勾股定理。

师：会用一副五巧板验证勾股定理，那你会用两幅五巧板拼图验证勾股定理吗？同学们先自主完成，有困难的同学可以向小博士请教。我们比一比谁是拼图高手？（让学生展示作品）

师：看来同学们都是心灵手巧的人。

师：通过刚才的展示你能总结一下利用五巧板拼图的要点吗？小组总结。利用五巧板拼成三角形或任意四边形能验证勾股定理吗？ ***2212222

（让学生进一步理解拼图验证勾股定理必须拼成正方形）

三、了解学习其他验证方法

（一）“青朱出入图”环节

师：大家想不想再进一步了解古今中外还有哪些验证方法？

师：进入“青朱出入图”环节。学习一下三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注时，用“出入相补法”证明勾股定理的方法。证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现，整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为“无字证明”。

（二）“达芬奇验证“环节

师：领略了中国古人的验证方法，再让我们再来了解一下外国人的验证方法。我们都知道达﹒芬奇是一位著名的画家，但很少有人知道他对勾股定理也有研究，让我们一起进入“达芬奇验证“环节，了解一下他是如何验证勾股定理的。

四、总结提升

师： 学习和了解了这些验证勾股定理的方法，你能不能总结一下可分为几种类型？

（小组讨论并展示，师最后总结）

师：可分为两种类型：一是：以赵爽的“弦图”为代表用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，除了勾股定理，还有我们学过的平方差公式和完全平公式。二是：以刘徽的“青朱出入图”为代表的无字证明。以上的证明方法都从几何图形的面积变化入手，运用了数形结合的思想方法。

五、分享收获

师：时间过的真快，相信每位同学都满载而归，每组派个代表，将你们组获得的知识与大家一起分享吧！(让学生自己展示)

六、拓展延伸

师：最后请同学们欣赏一颗美丽而神奇的树。它是由古希腊数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的勾股定理树也称为“毕达哥拉斯树”。它使我们大家深刻的感受到了几何之美。在欣赏之余思考最外围所有小正方形的面积之和与哪个正方形的面积相等？

七、结束语

勾股定理的发现、验证过程蕴涵了丰富的文化价值，古今中外已经发现了有370多种证明方法，希望同学们课后能通过上网查阅相关资料，一起走进神秘的勾股世界，去了解更多的验证方法。

第二篇：课题.勾股定理

课题：

14.1

勾股定理（第1课时）

教材：华东师大版

教师：衡阳市第十六中学 曹冬梅

电话*** 一

教学目标： ㈠知识目标：

⑴掌握勾股定理所揭示的本质，理解直角三角形三边之间的数量关系。（2）能够利用勾股定理熟练求解直角三角形的未知第三边 ㈡能力目标：

⑴培养学生合作探索与自主学习的能力及动手操作能力 ⑵培养学生运用所学知识解决生活中实际问题的能力 ㈢情感目标：

⑴通过介绍数学人文知识激发学生的爱国情感和民族自豪感 ⑵体会自主学习及合作探索的乐趣，增进同学之间的信任度 二

教学重点难点： 重点：

体验勾股定理的发现过程和运用勾股定理解决简单问题.难点：

运用勾股定理解决简单问题.三

教学过程：

㈠

学生动手探索

导入新知

1.画直角边长为3cm,4 cm的一个直角三角形,并量出其斜边长． 2.画直角边长为5cm,12cm 的一个直角三角形,并量出其斜边长。可以发现

345 51213222222

得出结论：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。引入课题。

（二）介绍勾股定理的历史，激发同学们的爱国热情和民族自豪感 1

最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.2

赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法.详细证明。

给出了勾股定理的3

西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580～前500年)是古希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求证明方法.5

我国至今可查的有关勾股定理的最早记载比毕达哥拉斯要早发现500多年。

（三）勾股定理的证明 1

利用面积拼凑法来证明

并给出勾股定理的文字表述及对应图形的符号表述。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么 解决简单的问题： 试一试：

1)（1）若a,b,c是△ABC的三边,则

abc222即

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

abc22222（2）若a,b,c是直角△ABC的三边,则

abc222（3）若a,c分别是直角△DEF的一条直角边和斜边，则另一直角边b有

bca2

3)、填空：

（1）已知：在∆ABC中，∠C=90◦,AC=5,BC=12, 则AB=

,（2）、已知：在∆ABC中，∠A=90◦,AC=40,BC=41, 2 则AB=

，A

B C

B C 3 结论变形 ：

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.2abc222acb

（四）例题讲解

2bca2

2cab22

(进一步强调勾股定理是在直角三角形中).例：为了求出位眼于湖两岸的两点A，B之间的距离，一个观察者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形，通过测量，得AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？

（五）练习解题，巩固新知 如图,一个长8 米,宽6 米的草地,需在相对角的顶点间加一条小路,则小路的长为()

A．8米

B．9米

C．10米

D．14米 在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹来，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平3 距离为2米，问这里水深多少？

3.课后探索

已知△ABC的两边为3和4，请问你能求出它的第三边吗？若能请求出，若不能，请你给题目加上一个条件，并求出它的第三边．

补充条件是：若△ABC是直角三角形，那第三边是多少？周长又是多少呢?

（六）课堂小结，回顾新知 本节课你有什么收获？

（七）布置作业：

（1）课本５1页，第１、２题；

（2）查阅有关勾股定理的历史资料,关注验证勾股定理的方法.四

教学设计说明： 教材分析：

勾股定理是一个古老而又年轻的定理，其在数学学习中有着至关重要的作用。它是数形结合的代表，是用数学方法来解决几何问题的基础桥梁。在中学数学学习中，也为在后面三角函数的学习及一些图形的计算打下必要的基础。

学生分析：

学生已有了整式乘法，和实数的混合运算的基础。具有良好的协作学习习惯及自主学习能力。对勾股定理的学习有较浓厚的兴趣。

本节课的教学分四步：学生动手探索结论，介绍勾股定理的历史，由面积拼凑法验证结论，应用结论解决实际问题。

2007-12-8

1米 2米

第三篇：验证勾股定理的证明

验证勾股定理的证明—拼图的应用

几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫 “勾股定理”或“商高定理”，在国外叫“毕达哥拉斯定理”。相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜若狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也叫“百牛定理”。勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。但是，在现实中，有什么方法，可以证明勾股定理呢？看着三角形的边边角角让我想到七巧板，拼图。

于是我动手做了几个五巧板，如下图：

b 然后，利用这些五巧板我做了以下实验：

1）用两副五巧板，将其中的一副拼成一个以c为边长的正方形；将另一副拼成两个边长分别为a、b的正方形。

523 b 4 5a

S1、S2、S3、S4、S5组成；

S1、S3组成；

S2、S4、S5

2）用上面的两副五巧板，还可以拼出如下所示的图形：5 353

a

通过上面两个实验，利用现实生活得物体验证了勾股定理，使我对这个定理的理解和应用有了更深的体会。

第四篇：勾股定理的验证教学设计

课题学习：利用拼图验证勾股定理

初四 王江波

教学目标：

1．经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理的认识。

2．经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。

3．通过丰富有趣的拼图活动，经历观察、比较、拼图、计算、推理交流等过程，发展空间观念和有条理地思考和表达的能力，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验。

4．通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣拼的图活动增强对数学学习的兴趣。教学重点：

拼图验证勾股定理 教学难点：

利用“五巧板”拼出不同图形进行验证勾股定理。教学方法：

小组交流合作 学生动手操作 教师利用多媒体课件演示 课前准备：

学生：根据课本制作“五巧板”模型 教师：制作几何画板演示课件 教学过程：

一、导入新课：

勾股定理是数学史上一个非常写生要的定理，早在3600多年前，古巴比伦人就已经发现了勾股定理，我国约在3000多年前发现了勾股定理，而在西方，2000多年前的毕达格拉斯学派道德证明了勾股定理，所以在国际上一般把它称之为毕达格拉斯定理，传说毕达格拉斯学派在发现了勾股定理以后宰了100头牛庆祝，所以又称为“百牛定理”。

勾股定理是数学史上证明方法最多的一个定理，有一千多种证法，总体上可分为三大类：一是通过严密的理论推导证明，由于知识所限，我们这里不做研究；二是通过一些图形的面积计算进行验证，比如我们在前面接触过的一个证法，如图：

由学生根据图形回答： bac(ab)222122ab4c22a2abbab22abc2

c 三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明。2002年世界数学家大会在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，标志着中国古代数学成就。你能根据这幅弦图来说明勾股定理吗？

学生思考作答： cbacc2122ab4(ba)222222abab2abc2

ab上面的第一幅图也是毕达格拉斯用来说明勾股定理的图形，不过它是通过另一种简单的方式来验证的，如图：

bac

他通过图形的移动拼接，左图中的空白部分与右图中空白部分的面积是相同的，而左图中的空白部分面积是c2,右图中空白部分的面积是a2+b2，所以有a2+b2=c2，这种方法简单明了，这也就是勾股定理证明中的第三类：利用拼图验证。我们这一节课就通过自己的努力，来感受一下拼图验证勾股定理的奥妙。

二、新授：

1．教师介绍“五巧板”的制作方法及特点，学生拿出准备好的硬纸板制作的“五巧板”。步骤：做一个Rt△ABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DF⊥BI，CG=BC，HG⊥AC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。

沿这些线剪开，就得到了一幅五巧板.通过制作方法不难看出，这五块板组合成的面积就是c2，我们只要能通过这五块板组合成两个边长分别为a、b的正方形，就可以验证勾股定理。

2．学生活动：利用五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形。（给学生充分的时间进行拼图、思考、交流经验，对于有困难的学生教师要给予适当引导。）

25431 3．演示学生的拼图并加以点拨：

1、3可以拼在一起，2、4、5可以拼在一起。

4．用上面的两幅五巧板，还可共同拼出其它图形，在图形中既可看出5块板拼成的边长为c的正方形，还能看出边长为a、b的正方形，从而验证勾股定理。如图，教师演示一个，然后学生亲自实践，小组合作操作，加深对五巧板拼图验证勾股定理的理解，在学生有结果时加以展示。（这个问题要给予学生充足的时间和空间进行讨论和拼图，教师在这要引导适度，不要限制学生思维，同时鼓励学生在拼图过程中进行交流合作。）

2c54abcba413a5、在学生完成上面拼图过程后，教师进一步介绍几种拼图验证勾股定理的方法：

（1）青朱出入图：我们中国古人利用拼图验证勾股定理的方法，这只是其中一种，还有多种分割拼接的方式，课后同学们可以自己试试看。BIAHCA

（2）达芬奇的证明方法：

（3）西方出现的一种拼图证法：

三、课堂总结

从这节课中你有哪些收获？

（教师应给予学生充分的时间鼓励学生畅所欲言，只要是学生的感受和想法，教师要多鼓励、多肯定。最后，教师要对学生所说的进行全面的总结。）

在学生总结的基础上给学生课件展示勾股树，激发学生的兴趣。

四、检测：下面是美国总统伽菲尔德对勾股定理的一个证法的图形，你能利用这个图形来说明勾股定理吗？

ba ccba

第五篇：利用勾股定理解折叠问题.

利用勾股定理解折叠问题 一．知识储备：

（1）一般地，只要给出了直角三角形中任意两边长，则可求出第三边。（应用时要注意那个角为直角。）

例如：已知直角三角形ABC, 若AB=13,AC=12,则以BC 为边长的正方形面积为＿

＿。（分类讨论的思想）

（2）特别注意：勾股定理与直角三角形面积，等腰直角三角形的结合题目。

（1）S △ABC=21 ×AB ×BC=21

×AC ×h（h 为AC 边上的高）利用这个等式建立方程。（2）等腰三角形的“三线合一”，等腰直角三角形只要知道一条边长就可以求出其它边长。

例如．在ABC ∆ 中，ACB ∠=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 于点D, 求CD 的长。（3）构造直角三角形

一般三角形的线段计算问题，可以通过作垂线构造出直角三角形，利用勾股定理。例如：已知：△DEF 中，DE=17㎝,DF=10㎝，EF=21㎝，求EF 的长。

二．折叠问题

折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.折叠前后，重合线段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做题时一定要抓住这一点, 以免有无从下手。

D 例如：如图, 把长方形纸片ABCD 折叠, 使顶点A 与顶点C 重合在一起,EF 为折痕。若AB=3,BC=9.点D 对应点是G(1 求BE(2 求△AEF 面积(3 求EF 长(4 连接DG, 求△DFG 面积 三．强化练习

1.有一直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将 ABC 折叠，使 点B 与点A 重合，者恒为DE，求CD 的长。

E B 知识链接： 勾股定理---------千古第一定理

勾股定理是初等几何中的一个基本定理，是人类最伟大的十个发现之一。在西方希腊毕达哥拉斯对本定理有所研究，故被称之为“毕达哥拉斯定理”。我国的《周髀算经》中就有对勾股定理的记载，为了纪念古人的伟大成就，就这个定理定名为“勾股定理”。（1）勾股定理是数与形的第一定理。

（2）勾股定理导致无理数的发现(第一次数学危机。

（3）勾股定理中的公式是第一个不定方程，每组勾股数都为它的解。勾股定理的变式： a 2 = c2－b 2 , b 2= c2－a 2, a=22b c-, C =22b a +, b =22a c-（直角三角形的三边长分别为a,b,c）1.已知直角的两条边长分别为5和12，求第三边长。

2.已知 ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，求BC 的长。（分类讨

E D C

B A 特殊平行四边形中的动点问题

例1：如图：边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是异于A、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足AE+CF=a，证明：不论E、F 怎样移动，三角形BEF 总是等边三角形．

例2：如图，正方形ABCD 中，边长为2，点P 是射线DC 上的动点，DM ⊥AP 于（1）当点P 与C、D 重合时，DM+BN的值分别为＿＿＿（2）当点P 不与C、D 重合时，试猜想DM2+BN2 的值，并对你的猜想加以证明

A

例

3、如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 边的中点，点P、Q 为BC 边上两个动点，且PQ=2，当BP= ＿＿＿＿时，四边形APQE 的周长最小．

C B A D C Q P A 矩形中折叠问题

折叠问题与轴对称和图形全等是密不可分的.折叠前后，重合线段相等，重合角相等。利用勾股定理列方程是常用方法。做题时一定要抓住这一点, 以免有无从下手。

例如：如图, 把长方形纸片ABCD 折叠, 使顶点A 与顶点C 重合在一起,EF 为折痕。若AB=3,BC=9.点D 对应点是G（1）求BE（2）求△AEF 面积（3）求EF 长（4）连接DG, 求△DFG 面积

（5）连接CF，四边形AFCE 是什么四边形？

E D C B A