数学文化课程论文（推荐阅读）

第一篇：数学文化课程论文

浅谈数学机械化

一、数学机械化的概念 何为数学机械化？所谓数学问题的机械化,就是要求在运算或证明过程中，每前进一步之后，都有一个确定的、必须选择的下一步，这样沿着一条有规律的、刻板的道路，一直达到结论。即将数学的主要内容，方程求解与定理证明，转变为计算机可以接受的形式并利用计算机强大的计算功能解决数学与高新技术中的理论问题。即所谓的机械化就是刻板化和规格化，也就是对一类定理(可以是成千上万)提供一种统一的算法，使得该类定理中的每个定理，都可依此方法给出证明。从而实现从“一理一证”到“一类一证”的飞跃。在数学中，要通过推理和证明来建立定理，证明的每一个步骤都是通过逻辑推理，推出另一些命题。从它们出发进行推理的命题称为前提，由此推出的命题称为结论。而机器证明，就是要把这项推理和证明的工作交由计算机去完成。它是现代数学中一种新兴的边缘性学科，是现代人工智能发展的一个重要方向。

二、数学机械化的理论基础

数学机械化研究，是在初等几何定理的机器证明研究方面取得突破的。公理化体系的几何定理证明非常不机械化。以中学课程中的几何为例，－个定理的证明，往往要经过冥思苦想，奇巧构思，无章可循地填加辅助线，迂回曲拆地给出证明。如何利用计算机进行自动惟理，特别是进行几何定理的自动证明，是学术界长期研究的课题。所谓定理的机械化证明，就是对一类定理（这类定理可能成千上万）提供一种统一的方法，使得该类定理中每个定理，都可依此方法给出证明。在证明过程中，每前进一步，都有章可循地确定下一步该做什么和如何做。从“一理一证”到“－类一证”，是数学的认识和实践的飞跃。吴先生创立了初等几何（泛指不具有微分运算的几何，如欧氏几何、非欧几何、仿射几何、投影几何、代数几何等等）定理证明的机械化方法，国际上称“吴方法”，首次实现了高效的几何定理的机器证明。“吴方法”也可用于几何定理的自动发现和未知关系的自动推导。吴文俊先生的开创性成果，打破了国际自动推理界在几何定理自动证明研究中长期徘徊不前的局面，也使我国在这一领域处于领先地位。吴先生的杰出贡献，使他获得1998年度国际自动推理界的最高奖“Herbrand奖”。

例如机械化证明几何定理：首先引进坐标，使待证定理的假设与终结都转换成多项式方程。这在通常的情形都是如此的。然后依照某种确定的方式对代表假设的多项式方程进行处理，使在有限步骤后到达代表结论的那一个多项式方程，或与之相反。这就给出了一个机械地进行的证明或否定一个几何定理的过程。这一方法还具有普适的性质。即不论所考虑的定理出自何种初等几何，不论是欧氏的，还是非欧的，只要像通常出现的那样，假设与终结都可用多项式方程来表示，就可应用这同一的方法与过程

三、数学机械化的发展历程

历史上一些大师级的数学家，曾在几何定理的机器证明这条道路上艰辛地探索过。笛卡儿为了用代数的方法来处理千变万化的几何问题，发明了坐标方法，创立了解析几何，这是科学上的一件大事，从而为用计算机解决几何问题打下了基础。

莱布尼滋，微积分的创始人之一，曾有过“推理机器”的设想。他还提出了现代计算机上所用二进制记数法，这项工作促进了数理逻辑的早期工作。

大数学家希尔伯特在他的《几何基础》中，曾给出了一类几何问题的机械化解题方法。9 4 5年，波兰数理逻辑学家塔尔斯基(A．A．Tarski)证明了一个值得称道的定理——塔尔斯基定理：一切初等几何和初等代数的命题，都可以机器证明。(前提和结论都可以用有限个整系数多项式的等式或不等式来表达的命题，叫做初等几何和初等代数命题。)1 9 7 5年，考林斯(Collins)提出了“柱面代数分解方法”，比塔尔斯基的方法提高了许多，但在计算机上仍然只能解决个别稍难点的几何问题。

20世纪70年代以来，吴文俊研究机器证明问题。他提出的机械化方法，国际上称之为“吴方法”，被认为是机器证明的里程碑式的贡献。2001年，吴文俊获首届中国国家最高科技奖，而机器证明是获奖的主要原因。

1984年，吴文俊院士的学术专著《集合定理机器证明的基本原理(初等几何部分)》由科学出版社出版。这本专著遵循机械化思想引进数系和公理，依照机械化观点系统地分析了各类几何体系，诸如Pascal几何、垂直几何、度量几何，以及欧氏几何，证明确立了各类几何的机械化定理，系统地阐明了几何定理机器证明代数方法的基本原理。

后来，洪加威等人提出了通过数值实例的检验（即列举法）来证明几何定理的思

想方法，张景中、杨路提出了数值并行法和面积法，李洪波、王车明发展了不变量方法，极大地促进了数学机械化的发展。

四、数学机械化的应用

1.证明几何学问题

几何学包括定理证明、几何作图和几何不等式证明。在吴先生开刨性成果的影响和启迪下，在几何学的机械化方面，如定理机器证明、几何自动作图和几何不等式机器证明，我国学者都取得了很大成绩。

众所周知，直线和平面等几何概念可由一次代数方程描述，多项式方程则用于描

述曲线和曲面等。数学科学中，从线性到非线性的第一步跨跃，是由多项式实观的。因此，多项式方程组求解是非线性数学最基本的课题，这个问题的研究已经持续几百年。数学不同分支中许多的问题、自然科学不同领域中很多的问题、高新技术中大量的问题，都可转化为多项式方程组求解。在几何定理机器证明的过程中，必须理清多项式方程组的零点结构。这一需求，促使吴先生创立了多项式方程组求解的理论和方法，国际上称“特征列法”或“吴消元法”。吴先生还把这些方法拓展到微分情形，建立了微分几何定理机器证明和微分代数方程组求解的机械化理论和方法。自然，较之代数情形，微分代数的应用范围更为广阔，同时，问题的研究更为复杂和困难。

2.四色问题的证明

人工智能定理证明最有说服力的例子，是机器证明了困扰数学界长达100余年之久的难题——“四色定理”。据说，“四色问题”最早是1852年一位21岁的大学生提出的数学难题：任何地图都可以用最多四种颜色着色，就能区分任何两相邻的国家或区域。这个看似简单的问题，就象“哥德巴赫猜想”一样，不知难倒了多少著名数学家和献身数学的业余爱好者，属于世界上最著名的数学难题之一。

1976年6月，美国伊利诺斯大学的两位数学家沃尔夫冈·哈肯（W.Haken）和肯尼斯·阿佩尔（K.Apple）自豪地宣布，他们用电脑证明了这一定理。哈肯和阿佩尔攻克这一难题使用的方法仍然是前人提出的“穷举归纳法”，只是别人用的是手工计算，无论如何也不能“穷举”所有的可能性。哈肯和阿佩尔编制出一种很复杂的程序，让3台

IBM360大型电脑去自动高速寻找各种可能的情况，并逐一判断它们是否可以被“归纳”。十几天后，共耗费了1200个机时，做完了200亿个逻辑判断，电脑终于证明了“四色定理”。

3.数学定理的自动发现

数学机械化的发展方向不仅仅是定理自动证明，它还应该能使用户发现他以前并不知道的定理，即定理的自动发现或猜想的自动提出。

以HR系统为例，来阐述如何自动发现定理。

HR系统是一种主要做描述性归纳工作的机器学习系统，它能基于所给的背景知识提出经验性的猜想，并尝试使用第三方软件来证明该猜想的正确性。下面我们把该系统所能做的工作分为6大类：（ⅰ）使用由用户提供的背景信息（ⅱ）发明新的概念（ⅲ）提出经验性猜想（ⅳ）寻找反例（ⅴ）证明该定理（ⅵ）报告结果。

计算技术在纯数学领域一个最要的应用就是使用CAS进行数学家无法通过手工完成的计算工作，在计算过程中通过对由CAS内部产生数据的分析来探索新的函数和提出经验性猜想。在该探索和发现过程中，我们通过使用HR系统提出关于用户所给的Maple函数的猜想，使这个探索和发现过程完全机械化。在该过程中，HR先用用户所提供的Maple函数的信息来发明新的概念，进而提出与这些新概念相关的数学猜想，然后把这个猜想交给第三方定理证明机，通常是Otter theorem prover, 来证明该猜想的真伪。这种方法已经成功运用在20多个有限代数理论体系中，其中主要包括数论、图论、集合理论和ring理论，发现了很多重要的新定理。

五、数学机械化的发展前景

自20世纪70年代以来，计算机解几何问题的本领已飞跃提高。但是更难的问题的解决，要求发展更有力的新方法。发展非线性代数方程组的并行插值求解方法，综合不同方法的长处以建立有效的人机交互求解系统，都是极有希望的研究方向。对于几何不等式和几何作图的机器求解的研究，这不但有传统的兴趣，更有广泛的应用，是目前国际上一个很活跃的领域。这一方向方兴未艾，有大量的工作可做。在几何定理的机器证明的各种方法都有长足的发展，如何把不同的方法综合起来，组织成有效的几何问题计算机自动求解或人机交互求解系统，将成为更有意义的研究方向。

在研究几何定理机器求解时，创造或发展了一些新的方法或代数工具，它们也可以用来解决其他领域的问题。如机构设计、曲面造型、计算机辅助设计、机器人控制、计算机视觉、自动控制、化学平衡、几何模型等领域都有着广泛的应用。但这些都是本领域人员自己的设想，与技术领域的实际需求有一定的距离。因此，有必要做更具体的分析，并开发界面友好、易学易用的软件。另一种应用是把几何定理机器证明的程序发展成软件，或者直接嵌入计算机应用软件中。在这些方面，数学机械化有很大的发展前景。

【参考文献】

[1] 吴文俊 《论数学机械化》 山东教育出版社1996年7月

[2] 易南轩，王芝平《多远视角下的数学文化》 科学出版社 2007年9月

[3] 林东岱《数学与数学机械化》 山东教育出版社 2001

第二篇：数学文化论文

数学文化

论文题目：数学文化与人类文明

学院：经济管理学院

专业：工商管理

学号：2134031755

姓名：丁岳凤

数学文化

引言

在当今社会,科学技术正以迅猛的势头强烈地影响、渗透并冲击着人类社会几乎所有的领域,数学与数学技术是其中最强劲的浪潮之一。在新技术革命和信息革命中,数学理论与技术起着十分重要的作用。纵观人类科学与文明发展的历史,我们可以发现:数学一直是人类文明发展的主要文化力量,同时人类文化的发展又极大地影响了数学的进步。按照现代数学研究，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化现象。数学文化研究开展以来，数学的抽象、确定、继承、简洁、统一的文化属性和渗透、传播、应用、预见的功能特征被挖掘出来，数学的艺术性也深深吸引了人们的眼球。本文就是着重研究数学文化与人类文明的联系，发掘数学的文化功能。关键词：

数学，数学文化，数学教育，人类文明 1.数学文化的内涵

数学作为一种文化现象，早已是人们的常识。历史地看，古希腊和文艺复兴时期的文化名人，往往本身就是数学家。最著名的如柏拉图和达·芬奇．近代，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等都是 20 世纪数学文明的缔造者。“广义的文化概念强调的是文化对人类创造活动的依赖性。数学对象终究不是物质世界中的真实存在,从这个意义上说,数学就是一种文化。狭义的文化概念强调的是文化对人的行为、观念、态度、精神等的影响。”①数学除了在科学技术方面的应用外,其在精神领域的功效,特别是在对人类理性精神方面的影响也是有目共睹的。作为一种人类的理性精神,作为理性精神最有力的倡导者和体现者,今天数学已在一定程度上渗透到以前由权威、习惯和风俗所统治的领域,成为人们思想和行动的先导之一。某些数学成果如无理数和非欧几何的发现所产生的精神方面的影响,并不亚于对数学本身产生的影响,它们对认识论、伦理观乃至人生观都产生了巨大的影响。因此,在这种意义上说,数学还是一种文化。

按照现代数学研究，广义地讲，数学文化可以表述为以数学科学为核心，以数学的思想、精神、方法、内容等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有特定功能的动态系统，其基本要素是数学及与数学有关的各种文化对象。2.数学文化与一般人类文化、科学文化

数学文化有与一般人类文化的共性,因为它既是人类文化的组成部分,也是人类文化发展的产物,都有对人类智力、美学和道德方面培养的功能。但数学文化有与一般人类文化相比又具有特殊性,即数学文化的个性:数学有自己独一无二的语言—数学语言,数学具有独特的价值判断标准一一数学认识论和真理观。这使得数学不仅与文学、艺术有很大差别,而且与科学(包括自然科学和社会科学)也有着巨大的不同。从社会学的角度看,数学还具有独特的发展模式。这些独特的个性,一 方面使数学自身构成了一种独立的文化体系,同时也使数学与一般人类文化有本质的区别。

数学文化与科学文化也有着本质的不同,从学科分类中数学与自然科学的关系可以说明这一点。历史上,数学曾经是哲学的一个分支,亚里士多德护Jistotle)将数学放在关于纯知识学问的理论哲学中,欧洲中世纪的学者也将数学作为哲学的分支放在神学类之下。古希腊早期的数学家都是哲学家,中国先秦对数学有贡献的数学家也均是哲学家(如管子、老子、庄子、墨子等)。直到文艺复兴时期,培根.F(Bacno)

数学文化

才把数学化归在自然科学的实用部分,认为数学是研究自然的工具。18世纪法国数学家达朗贝尔(J.Dalembe)rt明确地把数学放在自然科学之内,由此在理论上数学是自然科学的一个门类。但随着19世纪以后的日趋抽象化,数学在研究内容与研究方法上与自然科学有了越来越大的区别,学术界已不再将数学看作自然科学的一部分了。正如著名科学家钱学森所阐明的,数学已经与自然科学和社会科学相并列,成为一个独立的学科。这一新的划分标准适应了现代数学的发展要求,对于理解数学文化的本质有很大帮助。数学文化或许与科学文化有交叉重叠部分,但数学文化绝不简单是科学文化的一部分。数学作为联结自然科学与人文、社会科学的纽带,扮演着沟通文理、兼容并蓄、弥合裂痕的文化使者角色。3.数学的艺术特征（1）数学的艺术性

用美学的原则衡量数学，使得数学本身成为具有特定美学性质的艺术。

数的美妙性质令探寻的人折服；幻方、魔方神秘的美令人震颤；黄金分割使艺术家们创作出令人赞叹的作品；永无休止的莫比乌斯圈，四叶玫瑰线同样吸引着人们的目光，带给人们无尽的美的享受。数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本，所有这些都是美的标志，而进行数学创造的最主要的动力就是对美的追求。法国数学家阿达玛（J．Hndamard）说：数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。

阿根廷《21 世纪趋势》周刊网站报道，挪威卑尔根大学的数学家和心理学家首次证明，美是发现真理的源泉，无论是对美感还是对真理的判断，都取决于大脑思维处理的流畅性。卑尔根大学数学家罗尔夫·雷伯用数学实验证明了这一推断。在实验中专家发现，人们使用对称性来作为检验算术结果是否正确的指标。对称性被视为是美的代表。结合此前在数学认知和直觉判断领域的研究，科学家指出，人的直觉判断可能受某种与美感有关的机制指挥，至少在解决简单数学问题时是这样的。

（2）数学与音乐

在我们现行的教育体制中，数学与音乐似乎处在了两个极端的位置，数学让学生感到疲劳、辛苦，音乐让学生感到轻松、愉快，而这样的两门科目之间却有剥离不开的联系。

事实上，早在公元前 6 世纪，毕达哥拉斯就发现了数学与音乐间的比率关系。即一根拉紧的弦，取原长的 1/2 可弹出八度音调，取 2/3 可弹出五度音调，取 3/4可弹出四度音调，也就是说音调的和谐由弦长与标准弦长的比决定。通过试验，他创造了毕达哥拉斯八弦里拉理论，而后，他又发现弦的长度和振动数比例构成逆数形态，经过计算创造出了毕达哥拉斯音阶理论，也是现在西方音乐的雏形。

对于数学与音乐两者之间关系的研究，从数学的观点看，最高成就应当属于法国数学家傅立叶，他让我们了解了音乐声音的本质以及声音本质所具有的数学特征。傅立叶证明了所有的声音，无论是噪音还是仪器发出的声音，复杂的还是简单的声音，都可以用数学方式进行全面的描述。声音的本质包括音高、音调和音色，表现在数学函数图上则是波的振幅、频率和形状。这样一来，任何复杂的声音实际都能用音叉一样的简单声音经过适当的组合完全表现出来，也就是说从理论上讲，我们完全可以仅利用音叉就演奏出一曲由一个乐团才可以完成的交响乐。音乐声音的数学分析具有十分重大的意义，电话就是这种分析的产物之一，现在的数学文化

乐器制造商还将乐器的声音转化为波形图，然后比较这些图形与理想图形的匹配程度进而判断产品的优劣。（3）数学与美术

数量、形状和结构是数学研究的内容，也是美术绘画所要表现的对象，它们将数学与美术联系在一起，可以说，渗透了数学内容的美术作品更加具有感染力、亲和力，更能给人舒适、愉悦的感受。将三维空间的物象真实生动地表现在二维的画纸上是绘画的基本功——素描。通过对物象的形体结构、比例关系、明暗变化等因素的观察综合表现物象则需要透视理论。透视是制造绘画空间感、立体感的主要手段，将平面视觉提升为三维，很大程度上决定了作品“型”的准确性。15 世纪意大利画家阿尔贝蒂(L.B.Alberti)著书《绘画论》，专门叙述了绘画的数学基础，论述了透视的重要性，他认为数学是认识自然的钥匙，希望画家们能够通晓几何学。文艺复兴时期，经过众多画家、建筑师、工程师的共同努力，绘画透视学产生了，素描艺术也得到了空前的发展。黄金分割是数学术语，同时也是艺术家的挚爱，因为可以给人最舒适、最愉悦、最美丽的感受，像黄金一样珍贵，故称黄金分割，它就像一把金钥匙，灵动地活跃在艺术殿堂的每一处。绘画颜料的黄金配比能够使色泽更自然，绘画布局中黄金分割处的亮点能够突出画的鲜活，雕塑结构的黄金比例使作品更美丽，建筑物黄金分割处的装饰能够平添建筑的灵气„„如果说对称给人以视觉精确平衡的美感，那么黄金分割则给人心理张弛平衡的美感，更让人着迷、神往，所以

世界闻名的艺术珍品大多可以看到黄金分割的影子。（4）数学与文学

数学与文学的同一性来源于人类两种基本思维方式——艺术思维与科学思维的同一性。文学是以感觉经验的形式传达人类理性思维的成果，而数学则是以理性思维的形式描述人类的感觉经验。文学与数学的统一归根结底是在符号上的统一，数学揭示的是隐秘的物质世界运动规律的符号体系，而文学则是揭示隐秘的精神世界的符号体系。五言、七言诗共有十六种格式，平仄变化十分复杂，但从数学的角度理解，却具有简单的运算规律，只需知道第一句的平仄格式就可推断后面所有的格式。

数学语言中的量与序的概念和文字的结合能产生无穷的文学魅力，深化时空意境，使得文学作品更加引人入胜。例如“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，借助数字表现出对高度的艺术夸张；“千山鸟飞绝，万径人踪灭”，用数字体现尖锐的对比和衬托；卓文君的数字家书“一别之后，两地相思，只说是三四月，又谁知五六年，七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环从中拆断，十里长亭望眼欲穿。百思想，千系念，万般无奈把郎怨„„”从一写到万，又从万写回一，情感递进，心思巧妙，悲愤之意跃然纸上；华罗庚的妙对“三强韩赵魏，九章勾股弦”隐喻嵌入，对仗工整，令人拍案叫绝。对文学作品的语言研究也应用了大量的数学原理，形成了数理语言学，包括统计语言学、代数语言学、计算语言学和模糊语言学等分支。运用统计学、概率

论、信息论统计某种语言词汇出现的频率和概率可以确定这种语言的基本词汇；根据几部作品的词汇、词频统计，经过计算可以大致推定作者的词汇总量；对于作者不详的文献可以根据词汇的使用频率经过计算绘制成图形以判断作品的风格、年代，找出文献的主人。语言学的发展对数学不断提出新的要求，借助数学手段精确客观的分析必将使语言学的研究呈现新面貌。4.数学的作用

数学文化

（1）数学唤醒人类理性精神 数学的本质是逻辑的，数学关注的是逻辑上的必然性而不是偶然性，当人们讨论数学问题的时候，探求的是具有普遍意义的必然结果。古希腊哲学家柏拉图在论及数学的这一属性时便说：这门科学的真正目的在于探究关于永恒事物的知识，而不是关于某种有时产生有时灭亡的具体事物的知识。美国当代著名数学哲学家斯图尔特·夏皮罗（Stewart Sharpiro）也说：“数学至少表面上与其他求知的努力不同，特别是与科学追求的其他方面不同。基本数学命题似乎没有科学命题的偶然性”。夏皮罗的这一说法实际上与柏拉图是一致的，在他们看来，数学不是一门有关任何具体事物的知识，而是超越一切具体存在物的永恒的知识。

（2）数学促进人类思想解放

在以往有关数学史和文化史的研究中，人们更多注意到的是数学与自然科学之间的关系，但却很少谈到数学史与思想史之间的联系。事实上，数学的发展与人类思想的发展有着密切的相关性，甚至可以说，在历史上，这种相关性远远超过了自然科学对思想史的影响。思想解放，顾名思义就是解除思维禁锢，发展思想观念的一种创新活动。无论是过去还是现在，思想解放对社会发展、经济繁荣、政治文明都有巨大的社会功能。数学家齐民友说：“历史已经证明，而且将继续证明，一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。数学作为一种文化，在过去和现在都大大地促进了人类思想的解放。与发展生产力、发展经济相比，人类思想的转变和解放是更漫长、更困难的过程，同时，生产力、经济等的发展又受到人类思想意识的制约。可以推翻一时的压迫、一时的政权，但思想意识上的迷信和偏见却不是容易解除的。人是理性的存在者，人类社会的历史所以能够不断地从野蛮走向文明，就是因为人类在长期的生产活动中，通过知识的积累，不断地提高自己的认识能力，从而形成理性的生活态度。理性地对待生活是人类所特有的品质。知识和理性是思想解放的前提，只有掌握知识、掌握真理才能摆脱思想的桎梏、精神的枷锁。此种意义下，数学在人类思想解放的历史中发挥了至高无上的作用。（3）数学改善人类生活

数学深刻渗透到科学研究领域的方方面面早已成为不争的事实，从大的方面讲，数学发展促进科学技术的进步，进而大大促进了社会生活的进步。从小的方面讲，掌握数学知识、领会数学思想使我们具有解决问题的能力，很大程度上有助于改善生活方式、提高生活质量。用容易计算的数简化计算过程，根据需要确定向上或向下的估计方式是这个案例的中心思想，这就是估算。估算是对情况的一种整体把握，是对事物的直觉判断，进而对事物的发展前景和结果进行判断，洞察事物本质，具有很大的灵活性和变通性。计算税款、均摊消费、估计占地面积等都可以使用类似的方法简化计算。

结束语

数学文化研究站在人类文化与文明的高度反思数学的本质，使我们对数学有更高层次的理解。随着科学研究的发展与进步，数学已经空前广泛地渗入到数学以外的其他学科和我们的生活。数学的起源、发展、完善和应用的过程对于人类产生重大的影响，既包括对人类生产生活方式的改变，也包括对人的观念、思想和思维方式的潜移默化的作用，同时体现了人类在探索、认识真理过程中展现的精神和崇高境界。人类无论在物质生活上和精神生活上都大大得益于数学，所以，数学的教育价值不只在于科学，还在于人文。成功的数学教育应当同时体现出数学

数学文化 的应用价值、思维价值、精神价值。教育是国之根本，历来都是重要议题。应对复杂的经济局面，要提升中国在国际社会中的竞争力，让中国真正地发展腾飞，就必须全面提升人的素养。数学文化的研究引导我们重新思考数学的本质，重新认识数学教育，重新树立数学教育的目标和思考数学课程的建设。从全面提升人的素质角度出发，重视数学文化教育势在必行。

参考文献

[1] Kroeber A & Kluckhohn C.Culture: A critical Review of concepts and Definitions[M].New York:Random House,1954.[2]（美）塞缪尔·亨廷顿.文明的冲突与世界秩序的重建[M].北京：新华出版社，2005.[3] 范森林.中国政治思想的起源[M/OL].http://www.xiexiebang.com/zhongxin/.[10](美)莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002.[11]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社，2001.[12]张维忠.数学：丧失了确定性吗？[J]自然辩证法研究，1998，14(11).[13]郭光华，常春艳，王小燕.试论数学的文化特性[J].par 数学教育学报，2005，14(3)：25-27.[14]蒋岚.论数学美[J].温州职业技术学院学报，2003，3(2)：38-42.[15]杨毅.论体育数学与体育科学[J].衡阳师范学院学报，2002，23(3)：95-96.[16]数学地质四川省高校重点实验室，http://www.xiexiebang.com/list_view.php?sid=1

[17]林履端.《易经》与模糊数学[J].闽江学院学报，2002，22(2)：116-118.

第三篇：文化哲学课程论文

浅析卡西尔的艺术本质论

摘要：《人论》是德国哲学家恩斯特•卡西尔的著作。在《人论》中，卡西尔深刻地分析和批判了西方历史上流行的两种艺术本质观：摹仿说和表现论，由此出发，他沿着康德艺术自律论的方向，提出了自己关于艺术本质的几个规定。同时，从他的学生苏珊•朗格的著作中，我们也可以得到关于卡西尔的一些新的认识。Abstract: “An Essay on man” is the German philosopher Ernst Cassirer’s work.In this book, Cassirer analyzed and criticized the two views about the essence of art which were popular in the western history deeply: imitation and performance.Based on this, he observed Kant’s “self-discipline theory”, and put forward his own several provisions about the essence of art.At the same time, from his student Susan Langer's works, we can also get some new understanding about Cassirer.关键词：艺术本质；符号；形式

Key words: the essence of art;symbol;form 在20世纪西方美学的众多流派中德国哲学家恩斯特•卡西尔独树一帜地创立了他的符号——形式美学，开辟了一个从文化与符号的双重视角来研究美学与艺术的新方向，构成了20世纪西方美学的不可或缺的重要一极。卡西尔提出艺术是“感性的符号形式的创造”。他回顾了艺术从他律到自律的历史，认为艺术和美本来就是最清楚明白的人类现象之一，是人类经验的组成部分。然而，哲学思想史上关于美的现象却一直是混乱不清，不是把美从属于理论的知识，就是把美规定在道德的范围内，这种现象在西方直到康德才告一段落：“康德在他的《判断力批判》中第一次清晰而令人信服地证明了艺术的自主性。”①卡西尔关于艺术的本质论的探讨是沿着康德开辟的艺术自律的方向进行的，同样在与科学和道德的区别中界定艺术的本质。

一、对两种艺术本质论的批判

卡西尔在提出自己的艺术本质观前，首先考察了历史上的两种艺术观：摹仿说和表现论。摹仿说是自亚里士多德以来雄霸西方两千多年的传统艺术本质论，这种观点认为：艺术是对自然的摹仿，摹仿的程度越高，艺术的价值越大。也就 ①（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第234页。是说，艺术的价值由外在的自然来决定，外在的自然成了衡量艺术的标准。卡西尔不同意这种观点，理由有二：第一，传统的摹仿说是个不彻底的理论。如果摹仿是艺术的本质，艺术以摹仿的逼真性来决定优劣，那么，这个决定艺术的标准是不严谨的，任何艺术家的摹仿也不可能是纯粹的摹仿，“所有的摹仿说都不得

①不在某种程度上为艺术家的创造性留有余地”。也就是说摹仿说在事实上并不彻底，它避免不了创作主体的能动性的创造。卡西尔说：“如果摹仿是艺术的真正目的，艺术家的自发性和创造力就是一种干扰性的因素而不是一种建设性的因②素。”这就是说艺术不可能是纯粹的摹仿，把艺术的本质定位摹仿乃是古典艺术观的最大缺陷。第二，摹仿说使艺术失去了艺术的自主性和独立性，这正是康德以前的艺术现实，摹仿说强调艺术和摹仿对象的逼真性，以真实性作为艺术的标准，艺术就永远充当摹仿对象的婢女和附属，因为作为摹仿的艺术永远也得不到摹仿的对象的真实性，就像画家画的苹果远没有真正的苹果那样真实，这样艺术始终处于依附的地位。同时，艺术和科学纠缠在一起，以科学的真实来替代艺术真实，混淆了科学真实和艺术真实的区别，导致艺术失去自己的艺术特性。总之，摹仿说使艺术在科学和道德的领域内徘徊，忽视了艺术家的创造性。卡西尔认为，为了得到艺术的最高的美，艺术家不仅要复写自然，更重要的是要偏离自然，但偏离的程度和比例则是艺术理论的主要任务之一。

在否定摹仿说的同时，卡西尔对艺术的情感表现说也进行了尖锐的批判。在西方，持情感表现说的主要代表人物有：英国浪漫主义诗歌流派的诗人及理论家华兹华斯、意大利“表现主义”美学家克罗齐以及他的英国学生科林伍德等。浪漫主义诗人华兹华斯提出艺术是“强烈情感的自发流溢”的论断，认为艺术就是这种主体情感的自然流露。卡西尔认为，“表现说”对传统的摹仿说的反驳具有决定性的意义，但是它又走向另一个极端，这种艺术观也是片面的。他说：“如果我们不加保留地接受了这个华兹华斯派的定义„„艺术就仍然是复写；只不过不是作为对物理对象的事物之复写，而成了对我们的内部生活对我们的情感和情③绪的复写。”这就是说，浪漫主义的表现说虽然对反对传统的摹仿说有重大的意义，但是，强调艺术是“强烈情感的自发流溢”这个观点在本质上仍然是一种摹 ①②（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第237页。

同上。③（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第241页。仿，只是摹仿的对象不是自然的物理对象，而是艺术家内心的情感，这样，艺术还是没有走上自己独立的道路，评判艺术的标准还是真实性原则，即是否真实地表达艺术家的真实情感，这样艺术的真实还是和艺术家的生活真实混为一谈，从而也是取消了艺术的独立性。卡西尔认为艺术虽然离不开情感的表现，但单纯的情感表现还不能称为艺术。为此，他又批判了克罗齐的表现主义诗学观，克罗齐提出“艺术即表现”“表现即直觉”等理论，克罗齐认为，直觉就是心灵赋形于杂乱无章的物质世界的活动，并称之为心灵事实，它自在自为，不受理智、知觉等的限制，唯有表现能够说明。即直觉就是表现，两者不可分割，是合二而一的东西。他说：“直觉必须以某一种形式的表现出现”，“直觉和表现是无法可分的，此出现则彼同时出现，因为它们并非二物而是一体”①，艺术即直觉即表现，克罗齐的形式只是内在的，直觉的表现活动也是内在的，艺术家的创作从印象开始，从印象而达成一种内在的表现，然后将内在于心的表现外化为艺术形式。卡西尔认为克罗齐和他的学生提倡艺术的“表现说”也有着致命的缺点。首先，他把艺术直接看作是表现，是艺术家内心的直觉功能，艺术和直觉之间没有任何中介，而忽视了艺术家对艺术形式的创造。卡西尔批评说：“克罗齐只对表现的事实感兴趣，而不管表现的方式„„唯一要紧的事就是艺术家的直觉，而不是这种直觉在一种特殊物质中的具体化”。②这就是说克罗齐的“表现说”只重视表现，而不管表现的方式，这样就抹杀了艺术家的创造性。在卡西尔看来，克罗齐等人的错误就在于他们忽略了作为艺术创造和观照艺术品的构造过程。其次，如果从情感表现说的理论界定艺术，艺术仍然是他律的，以主体的情感作为评价和衡量艺术的标准，导致艺术的泛化，人人都是艺术家，任何表现都是艺术，从而陷入使艺术成了没有自己独立性的工具论的深渊。

二、卡西尔关于艺术本质的几个规定

卡西尔认为“摹仿说”只注意到了艺术对现实的单纯摹仿再现的一面，却忽视了艺术家的自觉性和创造性；相反，“情感表现说”只注意到了艺术表现情感的一面，却忽视了艺术的再现和解释的功能。这二者均不能很好地揭示艺术的本质。由此，卡西尔提出了自己关于艺术本质的几个规定。

①②（意）克罗齐：《美学原理• 美学纲要》，朱光潜译，外国文学出版社，1983年，第16页。（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第241~242页。首先，卡西尔从歌德的“艺术早在其成为美之前，就已经是构型的了”①这一论断受到启发，认为艺术的构型性更为重要，“艺术确实是表现的，但如果没有构型，它就不可能表现，而这种构型是在某种感性媒介物中进行的。”②所谓构型，就是运用一定的感性媒介物来创造形式，把艺术要表现的情感与意象等加以具体化客观化，使之成为可传达的东西。因此，对一个伟大的艺术家来说，“色彩、线条、韵律和语词不只是他技术手段的一部分，它们是创造过程本身的必要③要素。”据此，卡西尔批评了克罗齐等人的直觉表现主义美学只强调艺术是情感的直接表现，却极度忽视艺术的物质传达的做法，在他们那里只有“胸中之竹”，却无“手中之竹”，这就完全忽略了作为创造和观照艺术品的一个先决条件的整个构造过程，即他们完全忽视了艺术的创造形式的构型过程。因此，艺术在摹仿性与表现性之上还有一个更重要的本质——构型性，这是卡西尔关于艺术本质的第一个规定。

其次，卡西尔认为，艺术同科学等符号形式一样，“它不只是对实在的摹仿，而是对实在的发现”。④当然，艺术的“发现”不同于科学的“发现”。具体说来，它们的区别如下：第一，科学是对实在的缩写，艺术则是对实在的夸张。科学的符号是以一种高度概括性的简洁凝炼的方式来反映实在世界的，而艺术家则以艺术的符号来“重构”这个世界，这种“重构”为艺术的想象虚构和变形留有充分的余地。第二，科学依赖于同一个抽象过程，而艺术是一个持续的具体化的过程。正是由于上述本质性的区别，就必然导致科学与艺术的发现或运作过程的截然不同。前者是一个不断抽象的过程，而后者总是一个具体化的过程，它始终不脱离活生生的具体事物的感性形态和个别特征。第三，科学的目的是追溯事物的性质和原因，而艺术是给我们以对事物形式的直观。第四，科学是各种事实和自然法则的发现者，而艺术家是自然形式的发现者，也就是说，科学发现的是“自然”之真，艺术则发现的是“自然”之美。这样，卡西尔就得出结论：艺术是对自然形式的发现。这是他对艺术本质的第二个规定。

第三，卡西尔从艺术的符号特征出发，把艺术的构型看成是对世界(实在)意义的解释。他指出，艺术“既不是对物理事实的摹仿，也不只是强烈感情的流溢。①②（德）歌德：“论德国建筑”，《歌德全集》第37卷，第148页。（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第241页。③ 同上，第242页。④ 同上，第244页。它是对实在的再解释，不过不是靠概念而是靠直观，不是以思想为媒介而是以感性形式为媒介。”①这样，艺术直观和感性形式就具有了“符号”的价值。它是象征性的，既是显示实在意义的媒介，又是对实在的一种能动的再解释。“符号”是卡西尔的文化哲学的一个核心概念，当然也是其艺术哲学的一个核心概念。艺术的符号就存在于艺术的直观形式中，它是感性的具体的，而不是概念的和推演的。卡西尔说：“艺术确实是符号体系，但是艺术的符号体系必须以内在的而不是超验的意义来理解。艺术的真正主题既不是谢林的形而上学的无限，也不是黑格尔的绝对。我们应当从感性经验本身的某些基本的结构要素中去寻找，在线条、布局，在建筑的、音乐的形式中去寻找。”②这是对艺术符号的经验主义解释。艺术是用感性经验形式的艺术符号对世界意义的解释，这是卡西尔对艺术本质的第三个规定。

第四，卡西尔还认为，艺术是我们内在生命的真正显现。在卡西尔看来，在日常经验中，我们往往只有实践和理论的兴趣，只关心事物的原因和效用。但一旦进入艺术的领域，我们就必须忘掉这一切，因为“在存在、自然、事物的经验属性背后，我们突然发现了它们的形式。这些形式不是静止的成分。它们所显示的是运动的秩序，这种秩序向我们展示了自然的新地平线。”③]这也就是说，在艺术中我们发现的是形式和它所显示的与我们内在生命的动态过程同构的运动的秩序。他进一步指出，“只有把艺术理解为是我们的思想、想象、情感的一种特殊倾向，一种新的态度，我们才能够把握它的真正意义和功能。”④这种“特殊倾向”与“新的态度”，就是指关注与观照事物的直观形式，将事物形象化，而不是仅仅将它概念化或功利化的倾向与态度，也即是一种审美的态度。因此，正是在这个意义上，造型艺术使我们看见了感性世界的全部丰富性和多样性．诗则展示了我们的个人生活。我们常人所具备的但只是朦胧地预感到的无限可能性，却被艺术家们揭示了出来。因此，这样的艺术品决不是单纯的仿造品或摹本，而就是我们内在生命的真正显现。这是卡西尔关于艺术本质的第四个规定。

最后，卡西尔从艺术与科学和道德的区别人手，得出一个总结性的看法：区别于科学在思想中给予人们以秩序和道德在行动中给予人们以秩序，艺术则是在 ①②（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第250页。

同上，第269页。③ 同上，第289页。④ 同上。对可见、可触和可听的外观之把握中给予我们以秩序的。这是卡西尔关于艺术本质的第五个规定。应该说，通过揭示艺术的形式本质，卡西尔找到了艺术符号系统的“特殊种差”，这样，他就达到了确认审美与艺术的自律性的目标。

三、从苏珊•朗格看卡西尔

卡西尔的艺术哲学思想，经他的学生苏珊•朗格进一步发挥，形成了在20世纪中叶影响很大的卡西尔——朗格符号论美学。在朗格那里，我们往往可以获得对卡西尔新的认识。

卡西尔所谓的“符号形式”实际上就是指的人类的文化形式，卡西尔认为，人类的文化形式都是由符号构成的，符号(symbol)与信号(sign)的不同在于信号只属于物理世界，而符号却还属于人的意义世界。朗格对构成艺术形式的符号作了详细深入的说明，并极其强调源于卡西尔的观点，即艺术是人的内在生命的显现。朗格认为，人的内在生命以情感为特质，“这样一些东西在我们的感受中就像森林中的灯火那样变化不定，互相交叉和重叠；当它们没有相互抵消和掩盖时，便又聚集成一定的形状，但这种形状又在时时地分解着，或是在激烈的冲突中爆发为激情，或是在这种种冲突中变得面目全非。所有这些交融为一体不可分割的主观现实就组成了我们称之为‘内在生命’的东西。”①而对于这种内在生命，语言是无法忠实再现和表达的，因此，朗格反对柯林武德把艺术称为“语言”，认为作为“符号”的艺术不是语言可以取代的，“人类情感的特征是各种因素互相沟通，一切处于无绝对界限的状态中，语言的描述只能强调它们的区别。”②朗格认为，艺术对客观实在的描绘，都是“虚幻”的。在《情感与形式》一书中，她把建筑称为“虚幻的空间”，音乐称为“虚幻的时间”，舞蹈称为“虚幻的力”，抒情诗称为“虚幻的记忆”，戏剧里充满“虚幻的节奏”。但这种客观的“虚幻”恰恰作为符号描绘了人的内在生命的真实，这样的艺术真实同时也具有客观性。这也是对卡西尔反复强调的歌德所说“诗与真”同源的解释。卡西尔这样评说柯林伍德带有后现代主义意味的艺术观：“柯林武德说：‘艺术家企图做的，就是表现某一特定的情绪。表现它与令人满意地表现它，都是一回事。„„我们每一个人发出的每一个声音、做的每一个姿势都是一件艺术品。’但是在这里，作为创造和观照艺术品的一个先决条件的整个构造过程又一次被完全忽略了。每一个姿势 ①②（美）苏珊•朗格：《艺术问题》，滕守尧、朱疆源译，中国社会科学出版社，1983年，第21页。（美）苏珊•郎格：《情感与形式》，刘大基等译，中国社会科学出版社，1986年，第441页。并不就是一件艺术品，就像每一声感叹并不就是一个言语行为一样。”①

朗格与卡西尔的艺术哲学思想的确是一脉相承的，在他们的符号论美学中认为，如果艺术不以符号表现人的内在生命的情感，如果不是创造性地将这样的符号构造成形式，单纯的非理性自我表现不能称之为艺术，从这个意义上讲，艺术具有相当大的客观性。卡西尔甚至认为这种客观性可以和历史相提并论，都可以成为人类自我认识的工具。

参考文献：

[1]（德）恩斯特•卡西尔.人论[M].甘阳译.上海：上海译文出版社，2013.[2]（美）苏珊•朗格.艺术问题[M].滕守尧、朱疆源译.北京：中国社会科学出版社，1983.[3]（美）苏珊•郎格.情感与形式[M].刘大基，等译.北京：中国社会科学出版社，1986.[4] 韩璞庚，樊波.符号••文化•艺术——卡西尔艺术哲学思想新探[J].学术界（双月刊），2003(3).[5] 胡友峰，何正国.卡西尔艺术哲学引论[J].安徽：安徽教育学院学报，1993(5).[6] 刘炬航，林影.艺术的认知功能与形式创造——卡西尔艺术哲学评析[J].江西：上饶师范学院学报，2008(2).[7] 赵芳.《人论》艺术理论分析[J].文教资料，2009(11).[8] 洪永稳.论卡西尔的艺术本质观——艺术是人类感性符号形式的创造[J].安徽：鸡西大学学报，2014(3).[9] 圣玉杰.卡西尔艺术论研究[D].江苏：扬州大学文学院，2010.①（德）恩斯特•卡西尔：《人论》，甘阳译，上海译文出版社，2013年，第242页。

第四篇：数学文化课程作业

教育科学学院 12初等教育班 钟舒怡 201213032131

数学文化课程作业

（三）1.分形：分形理论是人们在自然界和社会的实践活动中所遇到的不完全规则事物的一种数学抽象。分形理论自从20世纪70年代被提出以来，经过几十年的发展，已经成为一门重要的新学科，被广泛应用于数学、计算机科学、力学、物理学、化学、生物学、地质学、社会学、人文学以及艺术学等各个领域，成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。分形理论是研究和处理自然与工程项目中不完全规则图形的强有力的理论工具，分形理论正起着把现代科学各个领域连接起来的作用，人们把它与耗散结构及混沌理论共称为20世纪70年代中期科学上的三大重要发现。随着电子计算机的迅速发展和广泛应用，分形的思想和方法正在不断的应用发展，日益影响着现代社会的生产和生活活动。随着分形理论的广泛应用，一些新的数学方法和数学工具被不断提出，显示了分形理论的强大生命力。

分形理论是非线性科学的前沿和重要分支，在分形造型、自然景物模拟以及图象压缩等方面具有广阔的应用前景，随着图形学和软件技术的迅速发展，分形理论的研究和应用日见受到人们重视。对具有分形特征的图形图像进行变形也越来越成为热门，分形变形技术是计算机图形学中重要的研究领域之一。

2.感想与建议：数学文化与人类一般文化的不同，与人类一般文化相比较，数学文化具有如下特点：首先，它具有自己独一无二的语言系统——数学语言。数学语言是按照简化自然语言的方向，按克服

自然语言中含糊不清的毛病的方向按扩充它的表达范围的方向去改进自然语言的结果。数学语言和自然语言的本质区别之一是变元的使用。由于使用了各种变元，数学语言能够较好地表示一般规律。其次，它具有独特的价值判断标准 —数学认识论、数学真理观。数学在它长期发展的过程中，形成了以逻辑论证来检验真理性的学科标准。这些集中地、淋漓尽致地反映了人类思维中极宝贵的逻辑性和简约性。再次，它具有独特的发展模式。在数学课程中谈数学文化，与在数学教育中倡导人文性并不能混为一谈。一方面，数学中蕴含的人文精神与数学知识建构中的人性特征，固然可以作为数学文化的生动材料，但是，对于数学教育的人文性来说，需要考虑的东西显然要更多一些。换句话说，后者比前者有更为丰富的内涵。在数学教育中倡导人文性，其含义应该不囿于数学文化语境中的“人文性”。另一方面，数学文化的基本素材并不必然对等于数学教育中的人文性。这是因为，数学文化兼有科学文化与

人文文化的共同特征，这一特点使得数学文化在数学课程建设中扮演着培育科学精神与人文精神的双重功效。数学文化保留了既有的数学活动的痕迹，是有关数学现象的一种客观纪录。在数学课程中谈数学文化，有一个很重要的功能选择问题，这至少包括3个方面的含义。第一，数学文化必须与数学课程的总体目标相协调、相一致。想的课程设计应该是融知识与文化于一体的。第二，数学文化应

它体现出对于数学前进方向和数学思想方法的一种倾向、一种引导和一种归结，而不仅仅是事实的陈述与历史的展现。第三，数学文

化应该与学习者的既有文化系统做一个很好的切合。所以，数学文化在数学课程中予以渗透，这一思想倾向总体上是值得肯定的。

但是如果在数学课堂上过度纠缠于数学史的枝节，就会偏离数学课堂的核心目标。数学课程的核心是教数学，而不应该是数学知识的演化史，或者数学故事、数学家生平，甚至数学的应用价值，都不代替数学本身。这里，数学课程的过滤与选择功能应该发挥其对于数学文化材料的更大的作用。在有限的课程容量与资源的限制之下，数学课程应该把什么样的“目标”和“素材”放在优先和重要的位置，是一个十分关键的问题。我们的理解是，“数学文化”应该包含这样的意思，就是一种数的印象、数学的“感觉”和“知道”，即不一定非要会证明、非要把细节和来龙去脉弄得一清二楚，知道个大概和有这回事就行了。所以，希望以后上这门课的老师能更加形象的介绍这门课程。

第五篇：数学文化欣赏论文

主题：数学文化

数字的神奇

姓名：杨晨 学院：经管-土管院 班级：土规1102 学号：2011306200619

摘要：在现实世界中，大到宇宙星系，小至生物微粒及人类所处事宜都散发着数学的气息。而数字作为数学的重要组成部分，伴着人类的发展直至今日。经过无数学者对数字的研究与探索，发现了数字独有的魅力。

关键字：数学 数字 走马灯数 黄金分割率 神奇

正文：

数字，美妙且神奇，不仅吸引了众多科学家、文学家、艺术家们，让他们大为感叹，投身其中，还有众多对数字有着独特感觉的普通人，他们认为“8”代表着“发”，意味着发财致富，“6”则代表六六大顺。或许，仅是这样并不足以看出它对人们的吸引力究竟有多大，但是，以下的例子却足以调足你的胃口，引发你的好奇，让你赞叹它的美妙，惊叹它的神奇。

神奇的数----142857 142857,又名走马灯数。它发现于埃及金字塔内，它是一组神奇数字，它证明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6个数字，依顺序轮值一次，到了第7天，它们就放假，由999999去代班，数字越加越大，每超过一星期轮回，每个数字需要分身一次，你不需要计算机，只要知道它的分身方法，就可以知道继续累加的答案。

142857×1＝142857（原数字）142857×2＝285714（轮值）142857×3＝428571（轮值）142857×4＝571428（轮值）142857×5＝714285（轮值）142857×6＝857142（轮值）

142857×7＝999999（放假由9代班）

142857×8＝1142856（7分身，即分为头一个数字1与尾数6，数列内少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）

142857×14＝1999998（9也需要分身变大）继续算下去„„

以上各数的单数和都是“9”。而且，同样的数字，只是调换了位置，反复的出现。如果把它乘与7，我们会惊人的发现是 999999，然后，142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99，挑三段 1+8 4+5 2+7 都等于9 若我们把142857再乘于142857，结果是142857x142857=20408122449 再把20408122449分解两组数字，20408和122449，而他们的和正是142857。

黄金分割率

15世纪末期，法兰图教会的传教士路卡·巴乔里(LUCAPACIOLI)发现金字塔之所以能屹立数千年不倒，且形状优美，原因在于其高度与基座每边的结构比例为“5：8”。因为有感于这个神秘比值的奥妙与价值，而使用了黄金一词，将描述此比例法的书籍命名为“黄金分割”。

数百年来，一些学者专家陆续发现，包括建筑结构、力学工程、音乐艺术，甚至于很多大自然的事物，都与“5：8”比例近似的0．382和0．618这两个神秘数字有关：

5／(5＋8)＝0．3846 8／(5＋8)＝0．6154 而由于0．382与0．618这两个神秘数字相加正好等于1，所以，将“0．382”及“0．618”的比率称之为“黄金分割率”或“黄金切割率”。

其实,黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星„„许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著。

你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗?这个高楼大厦鳞次栉比的现 代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。有趣的是嵌 在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。多伦多电视塔被称为“高塔之王”，这个 奇妙的“0.618”起了决定性作用。与此类似，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”——埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。

气势雄伟的建筑物少不了“0.618”，艺术上更是如此。舞台上，演员既不是站在正中间，也 不会站在台边上，而是站在舞台全长的0.618倍处，站在这一点上，观众看上去才惬意。我们所熟悉的米洛斯的“维纳斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼达等一些名垂千古的 雕像中，都可以找到“黄金比值”——0.618，因而作品达到了美的奇境。

达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像，都有意无意地用上了这个比值。因为人体的很多部位，都遵循着黄金分割比例。人们公认的最完美的脸型——“鹅蛋”形，脸宽与脸长的比值约为0.618，如果计算一下翩翩欲仙的芭蕾演员的优美身段，可以得知，他们的腿长与身 长的比值也大约是0.618，组成了人体的美。

总而言之，黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，也被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。

两个简单的例子、几页纸的文字是无法言说数字的奥妙，数学的神奇的。这些并不是巧合，这是人类智慧的结晶，更是人类对美的追求，不仅是对表象的美的追求，更是对学术中美的热爱。数学很美，数字很神奇，是不可置否的。然而它与我们的学习、生活又是那样密切，难道这些还不足以成为我们热爱它的理由吗？

参考书目及网站：

《数学文化欣赏》邹庭荣编著 《数学中的美》吴振奎 《数学发展史》普罗克鲁斯

黄金分割http://baike.baidu.com/view/52401.htm 142857 http://baike.baidu.com/view/812117.htm