高中数学 1.3.1抽样方法(一) 单随机抽样教学设计 北师大版必修3

第一篇：高中数学 1.3.1抽样方法(一) 单随机抽样教学设计 北师大版必修3

第三课时1.3.1抽样方法(一)简单随机抽样

【目标引领】 1． 教学目标：

(1)理解简单随机抽样的概念，会用简单随机抽样（抽签法、随机数表法）从总体中抽取 样本。

（2）初步感受收集数据的科学性对决策所起的作用。2． 教法指导：

统计的特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质, 体会统计结果具有随机性，统计推断是有可能犯错误的，感受统计思维与确定性思维的不同。统计思维和确定性思维一样成为人们不可缺少的思想武器。【教师在线】 1． 解析视屏：

数理统计学的核心问题是如何根据样本的情况对总体的情况作出一种推断。这里包括两

类问题：一类是如何从总体中抽取样本；另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对 总体的情况作出判断。科学合理地抽取样本是对总体进行分析的前提。简单随机抽样是在特定总体中抽取样本，总体中每一个个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此被抽取的机会是独立的。如果用从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽取的可能性等于

n。N简单随机抽样在本章既是重点又是难点。简单随机抽样是抽样中最简单的一种模型，它是本节另两种抽样方法，乃至更复杂的抽样方法的基础。

（1）关于简单随机抽样的定义，我们可以从以下几个方面来理解。

①它要求被抽取样本的总体的个体数有限。这样，就便于对其中各个个体被抽取的可能性进行分析。

②它是从总体中逐个地进行抽取。这样，就便于在抽样实践中进行操作。

③它是不放回抽样。由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有较广泛的实用性，而且由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。

④它是一种等可能抽样。不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程当中，各个个体被抽取的可能性相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。

（2）进行简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽取的可能性都相等，即等于

n。N

（3）实施简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法。

抽签法比较简单。对于随机数表法我们首先要理解随机数表并不惟一；其次，只要符合各个位置上等可能地出现其中各个数的要求，就可以构成随机数表。一般来说，统计工作者常用计算机来生成随机数表。

利用随机数表进行抽样时，应按照如下三个步骤：

第一步，将总体中的个体编号（由于需要编号，如果总体中的个体数目太多，采用随机表法进行抽样就显得不太方便了）。这里的所谓编号，实际上是编数字号码。例如将100个个体编号成：00，01，02，…，99。而不是编号成：0，1，2，…，99。此外，将起始号码选为00，而不是01，可使100个个体都可用两位数字号码表示，以便于运用随机数表。

第二步，选定开始的数字。为了保证所选定数字的随机性，应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置。

第三步，获取样本号码。为了便于操作，特别是为了知道所抽取的每一个号码是否与前 面得到的号码重复，可将总体中所有个体的数字号码先按顺序列出，每抽出一个号码，就在 列出的号码中做一个记号，这样就知道后面得到的号码是否曾被取出，最后做了记号的这些 号码就可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。2． 经典回放：

例1： 1936 年，美国著名的 «文学摘要»杂志社,为了预测总统候选人罗斯福与兰登两人谁能当选,他们以电话簿上的地址和俱乐部成员名单上的地址发出1000万封信,收回回信200万封,在调查史上这是少有的样本容量,花费了大量的人力、物力，«文学摘要»相信自己的调查结果，即兰登将以57%对43%的比例获胜，并进行大量宣传，最后选举却是罗斯福以62%对38%的巨大优势获胜，这个调查断送了这家原本颇有名气的杂志社的前程，不久只得关门停刊，试分析这次调查失败的原因。

分析：科学地选取样本是对样本进行数据分析的前提。

解：失败的原因：(1)抽样方法不公平，样本不具有代表性，样本不是从总体(全体美国公民)中随机地抽取的，当年，美国有私人电话和参加俱乐部的家庭都是比较富裕的家庭，1929-1933年的世界经济危机，使美国经济遭到打击，“罗斯福新政”动用行政手段干预经济，损害了部分富人的利益，“喝了富人的血”，但广大的美国人民从中得到了好处，所以，从富人中抽取的样本严重偏离了总体。

(2)样本容量相对过小，也是导致估计出现偏差的重要原因，因为样本容量越大，估计才能准确，发出的信不少，但回收率太低。点评：数理统计中涉及到两个问题：

1、研究如何抽样，抽多少，怎样抽，才能使样本具有很好的代表性，这是抽样方法问题；

2、研究如何对样本进行合理的分析，作出科学的推断，怎样用样本估计总体。

本例中，调查失败的根本原因就是抽样方法不合理，造成样本不具有代表性。样本的性质不能反映总体的性质，我们所说的随机抽样并不是“随便抽样”，“随意抽样”，在抽样的过程中，要保证抽样的公平性，等可能性的同时，还要保证所抽样本具有较好的代表性，要能反映出总体的特征，这样，我们才能通过研究样本来估计总体。要保证所抽样本中有穷人，也有富人，不同阶层的人按比例抽取，这样得到的样本才能较全面地反映总体，得到的结果才具有参考意义。

例2 ：现有30个零件，需从中抽取10个进行检查，问如何采用简单随机抽样得到一个容量为10的样本？

分析： 简单随机抽样适合总体个数较少的情况，本题中总体个数只有30个，所以具有可行性。

解法一（抽签法）：先将30个零件编号：1，2，3，…，30，并把号码写在形状，大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这30个号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽10次，就得到一个容量为10的样本。

解法二（随机数表法）：

第一步，将30个零件编号00，01，02，…，29。

第二步，在随机数表中任选一数开始，如从第7行第9的数06开始。

第三步，从06开始向右读，读到88>29，删去；继续向右读，得到04，将它取出；继续下去，又得到21，25，12，随后的两位数号码是06，由于它前面已取出，将它去掉；再继续下去，又得到01，16，19，10，07。至此，10个样本的号码已取得。于是，所要抽取 的样本号码是：

06，04，21，25，12，01，16，19，10，07。

点评： 使用随机数表法时，选取开始读的数是任意的，读数的方向也是随机的，可以向右，也可以向左，向上或向下等。在每两位地读数过程中，得到一个两位数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。【同步训练】

1．在简单抽样中，某一个个体被抽的可能是（）

A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性大些。B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性相等。

C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性较大。

D．与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能不一样。

2．简单随机抽样的常用方法有_________和_____________。当随机地选定随机数表读数选定开始读数的数后，读数的方向可以是________________________________。

3．某班有50名学生，要从中随机地抽取6人参加一项活动，请用抽签法和随机数表法进行抽取，并写出具体过程。

4．在各类广告中，我们会经常遇到由“方便样本（即样本没有代表性”所产生的结论。例如“现代研究证明，99%以上的人感染有螨虫，”请你从统计学的角度分析该数据的产生情况，如果样本是从去医院看皮肤病的人中产生，那么样本具有代表性吗？ 【拓展尝新】

5.中央电视台希望在春节晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率，下面是三名同学为电视台设计的调查方案。

同学A：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中，这样，我就可以很快的统计出收视率了。同学B：我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢的调查表，只要一两天就可以统计出收视率。

同学C：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率。

请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？ 【解答】

1．B 2．抽签法，随机数表法，任意的 3．同例2 4．样本没有代表性 5．不能

第二篇：北师大高中数学必修3：抽样方法(分层抽样)教学设计

一、教学目标：

1、知识与技能：(1)正确理解分层抽样的概念;(2)掌握分层抽样的一般步骤;(3)区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当正确的方法进行抽样.2、过程与方法：通过对现实生活中实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法.3、情感态度与价值观：通过对统计学知识的研究，感知数学知识中估计与精确性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观.二、重点与难点：正确理解分层抽样的定义，灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当的选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题.三、教学方法：观察、思考、交流、讨论、概括.四、教学过程

(一)、创设情景

假设某地区有高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，此地教育部门为了了解本地区中小学的近视情况及其形成原因，要从本地区的小学生中抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本?

(二)、探究新知

1、分层抽样的定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫分层抽样.【说明】分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：(1)分层：将相似的个体归人一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体数量与总体容量的比相等.2、分层抽样的步骤：(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分.(2)按比例确定每层抽取个体的个数.(3)各层分别按简单随机抽样的方法抽取.(4)综合每层抽样，组成样本.【说明】(1)分层需遵循不重复、不遗漏的原则.(2)抽取比例由每层个体占总体的比例确定.(3)各层抽样按简单随机抽样进行.探究交流：(1)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行().A、每层等可能抽样;B、每层不等可能抽样;C、所有层按同一抽样比等可能抽样

(2)如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n样本，那么每个个体被抽到的可能性为().A.B.C.点拨：(1)保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽共同的特征，为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的，故此选C.(2)根据每个个体都等可能入样，所以其可能性本容量与总体容量比，故此题选C.知识点2 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

(三)、例选精析

例

1、某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高

一、高

二、高三各年级抽取的人数分别为().A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D15,10,20

[分析]因为300：200：400=3：2：4，于是将45分成3：2：4的三部分.设三部分各抽取的个体数分别为3x,2x,4x,由3x+2x+4x=45，得x=5，故高

一、高

二、高三各年级抽取的人数分别为15，10，20，故选D.例

2、一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3：2：5：2：3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法?并写出具体过程.[分析]采用分层抽样的方法.解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.3003/15=60(人)，3002/15=100(人)，3002/15=40(人)，3002/15=60(人)，因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60 人.(3)将300人组到一起，即得到一个样本.(四)、课堂练习P52 练习1.2.3

(五)、课堂小结：

1、分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)、分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，面层之间的样本差异要大，且互不重叠.(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.2、分层抽样的优点是：使样本具有较强的代表性，并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法，因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法.(六)、作业：

1、某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽取方法是()

A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老人中剔除1人，然后再分层抽样

2、某校有500名学生，其中O型血的有200人，A型血的人有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为 人，A型血应抽取的人数为 人，B型血应抽取的人数为 人，AB型血应抽取的人数为 人.3、某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2,若该校取一个容量为n的样本，则n=.

第三篇：高中数学必修一教学设计

篇一：高一数学必修一教案

课题： 1.1 集合

教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方

面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所

反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课 型：新授课

教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体

问题，感受集合语言的意义和作用；

教学重点：集合的基本概念与表示方法；

教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程：

一、引入课题

军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？

在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高

二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

二、新课教学

（一）集合的有关概念

1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这

些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简

称集。

3.关于集合的元素的特征

（1）确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 4.元素与集合的关系；

（1）如果a是集合a的元素，就说a属于（belong to）a，记作a∈a（2）如果a不是集合a的元素，就说a不属于（not belong to）a，记作a?a（或a a）? 5.常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作n 正整数集，记作n或n+；

整数集，记作z 有理数集，记作q 实数集，记作r

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，?；

思考2，引入描述法

说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。

（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，?；

强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{r}也是错误的。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

三、归纳小结

本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。* 课题: 1.2集合间的基本关系

教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系

了解空集的含义

课 型：新授课

教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；

（2）理解子集、真子集的概念；

（3）能利用venn图表达集合间的关系；

（4）了解与空集的含义。

教学重点：子集与空集的概念；用venn图表达集合间的关系。

教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；

教学过程：

四、引入课题

1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 n；（2）；（3）-1.5 r

2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣

布课题）

五、新课教学

（一）集合与集合之间的“包含”关系； a={1，2，3}，b={1，2，3，4} 集合a是集合b的部分元素构成的集合，我们说集合b包含集合a；

如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合a是集合b的子集（subset）。

记作：a?b(或b?a)读作：a包含于（is contained in）b，或b包含（contains）a 当集合a不包含于集合b时，记作 a b a?b(或b?a)用venn图表示两个集合间的“包含”关系

（二）集合与集合之间的 “相等”关系； a?b且b?a，则a?b中的元素是一样的，因此a?b ?a?ba?b?? b?a?即

结论：

任何一个集合是它本身的子集

（三）真子集的概念

若集合a?b，存在元素x?b且x?a，则称集合a是集合b的真子集（proper subset）。

记作：a b（或b a）

读作：a真包含于b（或b真包含a）

（四）空集的概念

（实例引入空集概念）

不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：? 规定： 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）结论：

1a?a ○2a?b，且b?c，则a?c ○

（六）例题

（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（2）化简集合a={x|x-3>2},b={x|x?5}，并表示a、b的关系；

（七）归纳小结，强化思想

两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；

已知集合a?{x|a?x?5}，b?{x|x≥2}，○且满足a?b，求实数a的取值范围。

设集合a?{四边形}，b?{平行四边形}，c?{矩形}，○ enn图表示它们之间的关系。d?{正方形}，试用v 课题：

1.3集合的基本运算

教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课 型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念；

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；

教学过程：

六、引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？

思考（p9思考题），引入并集概念。

七、新课教学 1.并集 一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集（union）

记作：a∪b读作：“a并b”

即： a∪b={x|x∈a，或x∈b} venn图表示：

篇二：新课标人教版高中数学必修1优秀教案全套

备课资料

［备选例题］

【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:(1)被3除余1的自然数组成的集合;(2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;(3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;(4)设a、b是非零实数,求y=abab的所有值组成的集合.??|a||b||ab| 思路分析：本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.解：(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n∈n).用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈n}.(2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.(3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.(4)当ab<0时,y=abab=-1;当ab>0时,则a>0,b>0或a<0,b<0.??|a||b||ab| abababab=3;若a<0,b<0,则有y==-1.|a||b||ab||a||b||ab|若a>0,b>0,则有y= ∴y=abab的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.??|a||b||ab| 【例2】定义a-b={x|x∈a,x?b},若m={1,2,3,4,5},n={2,3,6},试用列举法表示集合n-m.分析:应用集合a-b={x|x∈a,x?b}与集合a、b的关系来解决.依据定义知n-m就是集合n中除去集合m和集合n的公共元素组成的集合.观察集合m、n,它们的公共元素是2,3.集合n中除去元素2,3还剩下元素6,则n-m={6}.答案：{6}.(设计者：张新军)设计方案

（二）教学过程

导入新课

思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出

课题.思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？(提问学生)圆是到一个定点的距离等 于定长的点的集合.接着点出课题.推进新课

新知探究

提出问题

教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?(1)1~20以内的所有质数;(2)我国古代的四大发明;(3)所有的安理会常任理事国;(4)所有的正方形;(5)北京大学2004年9月入学的全体学生.活动：教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.引导过程: ①一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集),集合中的每个对象叫做这个集合的元素.②集合常用大写字母a,b,c,d,„表示,元素常用小写字母a,b,c,d,„表示.③集合的表示法:a.自然语言(5个实例);b.字母表示法.④集合元素的性质:a.确定性:即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:集合中的元素是没有顺序的.⑤集合相等:如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.⑥元素与集合的关系:“属于”和“不属于”分别用“∈”和“?”表示.元素确定性的符号语言表述为:对任意元素a和集合a,要么a∈a,要么a?a.⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织(iso)制定了常用数集的记法: 自然数集(包含零):n,正整数集:n*(n+),整数集:z,有理数集:q,实数集:r.因此字母n、z、q、r不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.提出问题

(1)请列举出“小于5的所有自然数组成的集合a”.(2)你能写出不等式2-x>3的所有解吗？怎样表示这个不等式的解集？

活动：学生回答后,教师指出: ①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为a={0,1,2,3,4}.②描述法:将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x|p(x)}的形式.其中x为元素的一般特征,p(x)为x满足的条件.如数集常用{x|p(x)}表示,点集常用{(x,y)|p(x,y)}表示.应用示例

思路1 1.课本第3页例1.思路分析：用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.点评：本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:(1)用字母表示集合;(2)明确集合中的元素;(3)把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成a={„„}的形式.变式训练 请试一试用列举法表示下列集合:(1)a={x∈n|且9∈n};9?x(2)b={y|y=-x2+6,x∈n,y∈n};(3)c={(x,y)|y=-x2+6,x∈n,y∈n}.分析:本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.(1)集合a中元素x满足9均为自然数;9?x(2)集合b中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;(3)集合c中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.答案：(1)a={0,6,8};(2)b={2,5,6};(3)c={(0,6),(1,5),(2,2)}.2.课本第4页例2.思路分析：本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.点评：本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:(1)用字母分别表示集合和元素,(2)用数学符号表达集合元素的共同特征;(3)在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成a={„|„}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.变式训练

课本p5练习2.思路2 1.下列所给对象不能构成集合的是()a.一个平面内的所有点 b.所有大于零的正数

c.某校高一(4)班的高个子学生 d.某一天到商场买过货物的顾客

答案：c 变式训练

下列各组对象中不能构成集合的是()a.高一(1)班全体女生 b.高一(1)班全体学生家长 c.高一(1)班开设的所有课程 d.高一(1)班身高较高的男同学

分析:判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为a、b、c中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而d中所给对象不确 定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将d中“身高较高的男同学”改为“身高175 cm以上的男同学”,则能构成集合.答案：d 2.用另一种形式表示下列集合:(1){绝对值不大于3的整数};(2){所有被3整除的数};(3){x|x=|x|,x∈z且x<5};(4){x|(3x-5)(x+2)(x2+3)=0,x∈z};(5){(x,y)|x+y=6,x>0,y>0,x∈z,y∈z}.思路分析：用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.答案：(1){绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2){x|x=3n,n∈z}.(3)∵x=|x|,∴x≥0.又∵x∈z且x<5, ∴{x|x=|x|,x∈z且x<5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.(4){-2}.(5){(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.变式训练

用适当的形式表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)所有被3整除的数组成的集合;(3)方程(3x-5)(x+2)(x2+3)=0实数解组成的集合;(4)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.分析:元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案：(1){x||x|≤3,x∈z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};(2){x|x=3n,n∈z};(3){5,-2};3(4){(x,y)|y=x+6}.3.已知集合a={x|ax2-3x+2=0,a∈r},若a中至少有一个元素,求a的取值范围.思路分析：对于方程ax2-3x+2=0,a∈r的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合a的元素也不相同,所以首先要分类讨论.解：当a=0时,原方程为-3x+2=0?x=2,符合题意;3 ?a?0,9解得a≠0且a≤.8?9?8a?0.当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则? 综上所得a的取值范围是{a|a≤ 4.用适当的方法表示下列集合:(1)方程组?9}.8?2x-3y?14,的解集;?3x?2y?8(2)1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;(3)直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;(4)所有正方形;(5)直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.分析:本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方

?2x-3y?14,程组?的解为x=4,y=-2.故(1)宜用列举法;(2)中尽管是有限集,但由于它的元素个3x?2y?8? 数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;(3)和(5)也宜用描述法;而(4)则宜用列举法为好.解：(1){(4,-2)};(2){x|x=3k+2,k∈n且x<1000};(3){(x,y)|x<0且y>0};(4){正方形};(5){(x,y)|x<-1或x>１}.知能训练

课本p5练习1、2.拓展提升

1.已知a={x∈r|x=|a||b||c||ab||ac||bc||abc|,abc≠0},用列举法表示集??abcabacbcabc 合a.分析:解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.解：题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:(1)a、b、c全为正时,x=7;(2)a、b、c两正一负时,x=-1;(3)a、b、c一正两负时,x=-1;(4)a、b、c全为负时,x=-1.∴a={7,-1}.注意：(2)、(3)中又包括多种情况(a、b、c各自的正负情况),解题时应考虑全面.2.已知集合c={x|x=a+b,a∈a,b∈b}.(1)若a={0,1,2,3},b={6,7,8,9},求集合c中所有元素之和s;(2)若a={0,1,2,3,4,„,2 005},b={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合c中所有元素之和s;(3)联系高斯求s=1+2+3+4+„+99+100的方法,试求出(2)中的s.思路分析：先用列举法写出集合c,然后解决各个小题.答案：(1)列举法表示集合c={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得s=6+7+8+9+10+11+12=63.(2)列举法表示集合c={5,6,7,„,2 013,2 014},由此可得s=5+6+7+„+2 013+2 014.(3)高斯求s=1+2+3+4+„+99+100时,利用1+100=2+99=3+98=„=50+51=101,进而得s=1+2+3+4+„+99+100=101×50=5 050.本题(2)中s=5+6+7+„+2 013+2 014=2 019×1 005=2 029 095.课堂小结

在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:(1)本节课我们学习过哪些知识内容?(2)你认为学习集合有什么意义？

(3)选择集合的表示法时应注意些什么? 篇三：高中数学必修一教案

第一章 集合与函数概念 1.1 集合

1.1.1 集合的含义与表示

课标三维定向

〖知识与技能〗

1、了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

2、掌握集合中元素的特性。

3、能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

〖过程与方法〗通过实例，从集合中的元素入手，正确表示集合，结合集合中元素的特性，学会观察、比较、抽象、概括的思维方法，领悟分类讨论的数学思想。

〖情感、态度、价值观〗在运用集合语言解决问题的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学会用数学思维方法解决问题。

教学重、难点

〖重点〗集合的含义与表示方法。

〖难点〗集合表示方法的恰当选择及应用。

教学过程设计

一、阅读课本：p2—6（10分钟）（学生课前预习）

二、核心内容整合

1、为什么要学习集合——现代数学的基础（数学分支）

2、集合的含义：把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

3、集合的特性

（1）确定性。问题：“高个子”能不能构成集合？我国的小河流呢？

〖知识链接〗模糊数学（“模糊数学简介”、“浅谈模糊数学”）

（2）互异性：集合中的元素不重复出现。如{1，1，2}不能构成集合（3）无序性——相等集合，如{1，2} = {2，1}

4、元素与集合之间的“属于”关系：a?a,a?a

5、一些常用数集的记法：n（n*，n+），z，q，r。如：r+表示什么？

6、集合的表示法：

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}“括起来。例

1、用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}（2）方程x?x的所有实数根组成的集合；（0，1）

（3）由1 ~ 20以内的所有质数组成的集合。（难点：质数的概念）{2，3，5，7，11，13，17，19}（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示。{x|x?p} 例

2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）方程x?2?0的所有实数根组成的集合；

列举法：；描述法：{x|x2?2?0}。

（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

列举法：{11，12，13，14，15，16，17，18，19}；描述法：{x|10?x?20,x?z}。〖知识链接〗代表元素：如{x|y?x2}（自变量的取值范围），{y|y?x2}（函数值的取值范围），{(x,y)|y?x2}（平面上在抛物线上的点）各代表的意义。

三、迁移应用

1、已知4?{1,a,(a?1)}，求实数a的值。

2、已知m?{x|ax?2x?1?0}是单元素集合，求实数a的值。

思路探求：（1）对a讨论；（2）方程仅一根???0。

四、学习水平反馈：p6，练习；p13，习题11，a组，1、2。

五、三维体系构建 22222 ??元素与集合的关系集合的含义?? 集合的含义与表示??元素的特征：确定性、互异性、无序性

??集合的表示：列举法、描述法

六、课后作业：p13，习题11，a组，3、4。

22补充：已知a?{a?2,(a?1),a?3a?3}，若1?a，求实数a的值。

七、教学反思：

1.1.2 集合间的基本关系 课标三维定向

〖知识与技能〗

1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

2、在具体情景中，了解空集的含义。

〖过程与方法〗从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。

〖情感、态度、价值观〗通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。

教学重、难点

〖重点〗理解子集、真子集、集合相等等。

〖难点〗子集、空集、集合间的关系及应用。

教学过程设计

一、问题情境设疑——类比引入

问题：实数有相等关系、大小关系，可否拓展到集合之间的关系？

引例：观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？

（1）a = {1，2，3}，b = {1，2，3，4，5}；

（2）设a为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，b为这个班全体学生组成的集合；

（3）设c = {x | x是两条边相等的三角形}，d = {x | x是等腰三角形}。

二、核心内容整合

1、子集的概念

集合a中任意一个元素都是集合b的元素，记作a?b或b?a。图示如下 符号语言：任意x?a，都有x?b。

2、集合相等

类比：实数：a?b且a?b?a?b 集合：a?b且b?a?a?b

3、真子集的概念

集合a?b，但存在元素x?b，且x?a，记作a?b或b?a。（a ≠ b）说明：从自然语言、符号语言、图形语言三个方面加以描述。

4、空集的概念：

不含任何元素的集合，记作? 规定：空集是任何集合的子集：??a 〖知识链接〗比较计算机“我的文档”的“文件夹”与子集的关系。如何体现“集合相等”？

5、包含关系{a}?a与属于关系a?a有什么区别？

如0，{0}，?。注意区分元素与集合，集合与集合之间的符号表示。

6、集合的性质

（1）反身性：a?a,??a（2）传递性：a?b,b?c?a?c 课堂练习：判断集合a是否为集合b的子集，若是打“√”，若不是打“×”。

（1）a = {1，3，5}，b = {1，2，3，4，5，6}（√）

（2）a = {1，3，5}，b = {1，3，6，9}（×）

（3）a = {0}，b = {x|x2?1?0}（×）

（4）a = {a，b，c，d}，b = {d，b，c，a}（√）

三、例题分析示例

例

1、写出集合{a , b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。?，{a}，{b}，{a，b}。〖探究拓展〗练习：p8，练习1。

探究：集合a中有n个元素，请总结出它的子集、真子集的个数与n的关系。子集的个数：2 n，真子集的个数：2 n – 1。与杨辉三角形比较。

例

2、设a?{x,x,xy},b?{1,x,y}，且a = b，求实数x，y的值。

例

3、若a?{x|?3?x?4},b?{x|2m?1?x?m?1}，当b?a时，求实数m的取值范围。2

四、学习水平反馈：p8，练习2，3；p14，1，2。

五、三维体系构建

集合间的基本关系：子集，集合相等，真子集，空集。

六、课后作业

1、已知a , x∈r，集合a = {2 , 4 , x 2 – 5x + 9} , b = {3 , x 2 + ax + a}，（1）若a = {2 , 3 , 4}，求x的值；

（2）若2?b,b?a，求a , x的值。

2、已知a = {x | x < – 1或x > 2} , b = {x | 4x + p < 0}，且a?b，求实数p的取值范围。

第四篇：必修三随机抽样教学设计

简单随机抽样教学设计

高一数学组

魏建梅

一 教材分析

教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向，逐步引入简单随机抽样概念．并通过实例介绍了两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验，教学中要注意增加学生实践的机会．例如，用抽签法决定班里参加某项活动的代表人选，用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等． 二 教学目标

1.能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力． 2.理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣． 3.学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．

三 教学重点

1.从现实生活或其他学科中具有一定价值的统计问题

2.理解随机抽样的必要性和重要性，以及样本代表性的概率描述。3.学会简单的随机抽样的方法

教学难点：对统计的理解和对抽签法和随机数法的步骤实施

四 课堂设计

1利用实际问题引出统计的概念：

提出问题统计是什么？举例子：在生活中会遇到很多类似：你的数学成绩好不好？这个产品受不受欢迎等问题。我们在一个大数据时代，很多问题都可以用数据回答。所以我们把这些问题变为可以用数据作答的：你的数学平均成绩为多少?这个产品的销售量是多少？等统计问题，再通过调查统计的方法得出这些数据，分析数据得出结论，这就是统计。提出统计问题的概念，举出3个例子：

1.2014年全区中考学生数学平均成绩和语文平均成绩各是多少？ 2.某电视剧平均收视率是多少？

3.某品牌计算器的合格率是多少？

3．介绍普查法和抽样调查法： 4．引出简单随机抽样的模型：

用小面小包装饼干的卫生是否达标问题引出简单随机抽样的模型，给出随机抽样的定义，注意：说明普查法在此问题中是不合适的，注意样本的抽取（搅拌）。

问题：若你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店里的一批小包装饼干进行卫生达标检验，准备怎么做？

显然，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验样本（为什么？）应当如何选出样本？ 将这批小包装饼干放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀，然后不放回地摸取（保证每袋饼干被抽中的机会相等），得到一个简单随机样本，相应的抽样方法就是简单随机抽样。

5.简单随机抽样的概念：

一般的，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n<=N）,如果每次抽取时总体的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

6.介绍两种随机抽样方法：（1）抽签法的定义及其步骤：

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，得到容量为n的样本。步骤：

1.将总体的所有N个个体从0到（N-1）编号；

2.准备N个号签分别标上这些编号，将号签放在容器中搅拌均

匀后，每次抽取一个号签，不放回地连续抽取n次；

3.将取出的n个号签上的号码对应的n个个体作为样本。

（2）随机数法的定义及其步骤，并给出例题讲解：

随机数法：

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。步骤：

1.将总体的所有N个个体从0到（N-1）编号；

2.在0到（N-1）的自然数中产生n个不同的随机数作为选出的号码； 3.将取出的n个签上的号码对应的个体作为样本

五 教学反思

讲完后，老师和同学提出很多意见，比如整堂课的和学生的互动不够，学生自主思考的空间不足，对两个随机抽样方法的讲解不够细致，以后讲课注意这些问题。

第五篇：必修三随机抽样教学设计

必修三统计教学设计

一 教材分析

教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向，逐步引入简单随机抽样概念．并通过实例介绍了两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验，教学中要注意增加学生实践的机会．例如，用抽签法决定班里参加某项活动的代表人选，用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等．

二 教学目标

1.能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力．

2.理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣． 3.学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力． 三 教学重点

1.从现实生活或其他学科中具有一定价值的统计问题

2.理解随机抽样的必要性和重要性，以及样本代表性的概率描述。3.学会简单的随机抽样的方法 教学难点：

对样本代表性的概率描述的理解

对统计的理解和对抽签法和随机数法的步骤实施 四 课堂设计

1利用实际问题引出统计的概念：

提出问题统计是什么？举例子：在生活中会遇到很多类似：你的数学成绩好不好？这个产品受不受欢迎等问题。我们在一个大数据时代，很多问题都可以用数据回答。所以我们把这些问题变为可以用数据作答的：你的数学平均成绩为多少?这个产品的销售量是多少？等统计问题，再通过调查统计的方法得出这些数据，分析数据得出结论，这就是统计。提出统计问题的概念，举出3个例子：

1.2014年全区中考学生数学平均成绩和语文平均成绩各是多少？ 2.某电视剧平均收视率是多少？

3.某品牌计算器的合格率是多少？ 利用例子统计问题所包含了：

总体：包含所研究的全部个体的集合（2014年全区中考的学生全体)变量：说明现象某种特征的概念(数学和语文平均成绩)引导学生把生活中的问题转化为统计问题，随后由具体事例： 3．介绍普查法和抽样调查法：

问：要调查全班同学的数学平均成绩要怎样做？引出普查法。问：进一步，要调查全国中学生数学平均成绩要怎样做？

引导学生，介绍抽样调查法，介绍样本的概念：样本——从总体中抽取的一部分元素的集合；样本抽取原则——样本能够很好的代表总体。

举出汤的例子：想知道一锅汤的咸淡，就要用勺子舀出一勺尝尝味道，这一勺就是样本，而要把汤搅拌均匀这一勺才被能代表总体。

讲解抽样调查法的有点及重要性：大多数的调查普查法是无法做到的，抽样调查省时省力而且比较准确。

问：怎样理解“一个好的抽样调查胜过一次蹩脚的普查”？

4．引出简单随机抽样的模型：

用小面小包装饼干的卫生是否达标问题引出简单随机抽样的模型，给出随机抽样的定义，注意：说明普查法在此问题中是不合适的，注意样本的抽取（搅拌）。

问题：

若你作为一名食品卫生工作人员，要对某食品店里的一批小包装饼干进行卫生达标检验，准备怎么做？

显然，只能从中抽取一定数量的饼干作为检验样本（为什么？）应当如何选出样本？ 将这批小包装饼干放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀，然后不放回地摸取（保证每袋饼干被抽中的机会相等），得到一个简单随机样本，相应的抽样方法就是简单随机抽样。

5.简单随机抽样的概念：

一般的，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n<=N）,如果每次抽取时总体的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。

6.介绍两种随机抽样方法：（1）抽签法的定义及其步骤：

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，得到容量为n的样本。步骤：

1.将总体的所有N个个体从0到（N-1）编号；

2.准备N个号签分别标上这些编号，将号签放在容器中搅拌均

匀后，每次抽取一个号签，不放回地连续抽取n次；

3.将取出的n个号签上的号码对应的n个个体作为样本。

问：思考抽签法的优点缺点是什么？

优点：保证每个个体选人样本机会均等

缺点：（1总体个数较多，制作号签成本增加，使得抽签法成本高（耗时、耗力）

（2号签很多，“搅拌均匀”比较困难，结果很难保证每个个体入选样本的可能性相等，从而使产生坏样本（即代表性差的样本）的可能性增加

（2）随机数法的定义及其步骤，并给出例题讲解：

随机数法：

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。步骤：

1.将总体的所有N个个体从0到（N-1）编号；

2.在0到（N-1）的自然数中产生n个不同的随机数作为选出的号码； 3.将取出的n个签上的号码对应的个体作为样本

五 教学反思

讲完后，老师和同学提出很多意见，比如整堂课的和学生的互动不够，学生自主思考的空间不足，对两个随机抽样方法的讲解不够细致，以后讲课注意这些问题。