第一篇：小学奥数教案——图形与面积
小学奥数教案
图形与面积
一 本讲学习目标
掌握通过面积公式及其变换解决图形面积问题
二 重点难点考点分析
小学课堂中出现的面积计算多是用特殊图形（正方形、长方形、平行四边行、图形、三角形等）面积公式来解决（这些公式在以前的讲义中已经给大家做了总结），由此可见面积公式是解决问题的基础工具，但是在历届的小学希望杯、迎春杯的比赛中出现的几何问题大多仅仅用面积公式是不能解决的，这就需要我们要进行适当的转化。转化的方法大体上分两点：
（1）利用平移、旋转、弦图、割补法、差不变等技巧解题
（2）利用五大模型之高相等面积比＝底的比（关键高相等：同一个三角形等高、平行线间的三角形等高）
（3）利用五大模型之相似三角形：相似三角形在我们小学的学习过程中常用的就是金字塔和沙漏，对应关系如下：
① ②:
三 知识框架
1.变换位值 2.割补法 3.等积变换
四 例题讲解
例1 按照图中的样子，在一个平行四边形纸片上剪去了甲、乙两个直角三角形。一直甲三角形的两
条直角边分别为2厘米和4厘米，乙三角形的两条直角边分别为3厘米和6厘米，求图中阴影部分的面积。
例2 有红黄绿三块大小一样正方形纸块，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合。已知，露在在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10。求正方形盒底的面积。
例3
例3 如图所示，在正方形ABCD中，红色、绿色正方形的面积分别是52和13，且红绿两个正方形有一个顶点重合。黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的焦点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点。求黄色正方形的面积。
例4 已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？
例5 有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34厘米，求这个长方形的面积。
例6 四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米。那么直角三角的直角边长度是多少米？
例7 如图所示在四边形ABCD中，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为1350，而且点A到边CD的垂线AE的长为12厘米。线段ED的长为5厘米，四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
例8 如图，有四个长方形的面积分别是是1平方厘米、23平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。
例9 如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，一直三块的面积分别是2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积是多少平方厘米？
例10 正方形 ABCD 的面积为 1，EFGH 分别是 AB、BC、CD、AD 的四等分点如图，求阴影部 分的面积？
例11 已知长方形ABCD的面积是70平方厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影三角形EHO的面积是多少平方厘米？
例12 如图，在平行四边形ABCD中，BC=20，高为12，并且FM//NH//CD，已知BM=8，CN=5，四边形EHGH的面积是多少？
五 课堂练习
如图，ABCD长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9。那么四边形OECD的面积是多少？
一块长方形的草坪（阴影部分），长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路，求草坪总面积。
六 课后作业
1、照图中的样子，在一个正方形的纸板上割去两个直角 三角形，求图中阴影部分的面积。
2、两块直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米，如下图那样重合，求重合部分的面积？
七 励志或学科小故事——阿基米德判断黄金真假
叙古拉国王艾希罗交给金匠一块黄金，让他做一顶王冠。王冠做成后，国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假，可是金匠以脑袋担保说没有，并当面拿秤来称，结果与原来的金块一样重。国王还是有些怀疑，可他又拿不出证据，于是把阿基米德叫来，要他来解决这个难题。
回家后，阿基米德闭门谢客，冥思苦想，但百思不得其解。一天，他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时，水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声，灵感一下子冒了出来。他从池中跳出来，连衣服都没穿，就冲到街上，高喊着：“优勒加！优勒加！（意为发现了）”。夫人这回可真着急了，嘴里嘟囔着“真疯了，真疯了”，便随后追了出去。街上的人不知发生了什么事，也都跟在后面追着看。
原来，阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法：相同质量的相同物质泡在水里，溢出的水的体积应该相同。如果把王冠放到水了，溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同，否则王冠里肯定掺有假。阿基为德跑到王宫后立即找来一盆水，又找来同样重量的一块黄金，一块白银，分两次泡进盆里，白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍，然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里，王冠溢出的水比金块多，显然王冠的质量不等于金块的质量，王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前，金匠不得不低头承认，王冠里确实掺了白银。烦人的王冠之谜终于解开了。
第二篇：小学奥数数数图形教案
我是闯关小达人
关卡一：握手游戏
有6个小朋友，每2人握一次手并且只能握一次手，一共要握几次手？
关卡二：你知道怎么算吗
从青岛到上海的直达列车，中途停靠5个大站,这趟列车共有多少种不同的车票？
关卡三：和爸爸妈妈合影
如果让你和爸爸妈妈一起并排站着合影，你知道你们有几种不同的排列顺序吗？
关卡四：我不会上当的哦
老师在黑板上写下了0,2,4,6这四个数字，请同学们想想它们能组成几个三位数？
数数图形教案 例1：数一数，图中有多少个锐角？
如何做到不重复又不遗漏呢？ 第一种方法：列举法
第二种方法：图示法
小朋友们，你们发现什么规律了吗？
例2：数一数，下面图形中共有几个三角形？
（1）
（2）
方法解析：按照三角形的拼组方式或者形状的大小将给定的图形分类数数。（1）
（2）
例3：动动脑，数数下图中有几个长方形？
例4：数数下图中有几个正方形？
例5：数一数，下图中的大长方体是由多少个小长方体组成的？
例6：下图所示的“塔”由四层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少个小立方块？
练习
1.你知道下图中共有几个角吗？
（1）
（2）
2.数一数，下面的图形有几条线段？（1）
（2）
3.你知道下图中共有几个三角形吗？（1）
（2）
4.下面图形有多少个长方形？
（1）
（2）
5.下图是由小立方块码放起来的，其中有一些小立方体被压住看不见，请你数一数共有多少小立方体？
第三篇：四年级奥数-数数图形-教案
四年级奥数第十三章《数数图形》教案
教学目标：
1、在学过一些基本的几何图形的基础上，通过观察掌握数线段、角、三角形、长方形的规律和方法。
2、学生通知亲身体验明白数图形时不重复、不遗漏的规律，锻炼数学思维的严谨性。教学重、难点：
在观察的基础上，自己总结出数图形的规律和方法。教学过程：
一、复习：
复习以前所学的数简单的线段、三角形、角的方法。
二、新授：
例1：数一数，下图中有多少条线段？（1）
（2）解答：（1）4＋3＋2＋1=10（条）答：有10个线段。
（2）6＋5＋4＋3＋2＋1=21（条）答：有21条线段。
总结：如果线段上有5个点，就构成了4条基本线段，线段总数为：4＋3＋2＋1这4个连续自然数的和。以此类推。练习：
数线段：师在黑板上画图（线段上有8个点）。
7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=28（条）例2：数角、数三角形。
（1）数角。
（2）数三角形。
（2）数三角形。
解答：（1）4＋3＋2＋1=10（个）答：有10个角。
（2）4＋3＋2＋1=10（个）答：有10个三角形。
（3）（4＋3＋2＋1）×2=20（个）答：有20个三角形。总结：数角、三角形规律的数线段类似。练习：
数线段：师在黑板上画图（数角和数三角形的）。例3：数长方形。
（1）
(2)
(3)(3)1 解答：（1）6个 6=6×1(6=3＋2＋1)（2）18个 18=6×3(6=3＋2＋1,3=2＋1)（3）60个 60=10×6(10=4＋3＋2＋1,6=3＋2＋1)总结：数长方形的个数可以用公式：
长边上的线段数×宽边上的线段数=长方形的个数 练习：师在黑板上画图（数长方形的）。
（如果学生接受好，还可以补充数正方形的方法。不过，数正方形的方法将在五年级奥数里会学到。）
方法学会了，那么，会有什么用途呢？接下来学习数图形的应用。
例4：从成都到南京的某次快车，中途要停靠9个站。铁路局要为这次快车准备多少种不同的车票？这些车票中有多少种不同的票价？
分析：这道题实际上也是数线段的问题。中途要停靠9个站，连同成都、南京两个站，共可看作有11个点，进而有10条基本线段，共要准备
10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=（10＋1）×10÷2=55（种）想一想，上面的计算运用了我们学过的什么知识点？ 答：共要准备55种不同的车票，共有55种不同的票价。练习：P75，第5题、第9题。
作业：练习十三：1，2，6，10大题。
第四篇：1年级奥数练习题及图形
1、小动物们举行动物运动会，在长跑比赛中有4只动物跑在小松鼠的前面，有3只动物跑在小松鼠的后面，一共有几只动物参加长跑比赛?
2、小平家距学校2千米，一次他上学走了1千米，想起忘带铅笔盒，又回家去取。这次他到学校共走了多少千米?
3、小朋友排队，小红前面4个人，后面3个人，问这队共有几个人?
4、你能用4根筷子拼成一个“田”字吗？
5、小学一年级奥数应用题20题
（1）同学们要做80个灯笼,已做好8个，还要做多少个？
（2）从花上飞走了26只蝴蝶，又飞走了15只，两次飞走了多少只？
（3）飞机场上有15架飞机，飞走了3架，现在机场上有飞机多少架？
（4）小苹种7盆红花，又种了同样多的黄花，两种花共多少盆？
（5）学校原有54瓶胶水，又买回19瓶，现在有多少瓶？
（6）小强家有19个苹果，吃了13个，还有多少个？
（7）汽车总站有73辆汽车，开走了28辆，还有几辆？
（8）小朋友做剪纸，用了18张红纸，又用了同样多的黄纸，他们用了多少张纸？
（9）马场上有29匹马，又来了15匹，现在马场上有多少匹？
（10）商店有15把扇，卖去9把，现在有多少把？
（11）学校有兰花和菊花共60盆，兰花有26盆，菊花有几盆？
（12）小青两次画了32个苹果，第一次画了19个，第二次画了多少个？
（13）小红家有苹果和梨子共31个，苹果有24个，梨子有多少个？
（14）学校要把42箱文具送给山区小学，已送去7箱，还要送几箱？
（15）家有11棵白菜，吃了5棵，还有几棵？
（16）一条马路两旁各种上48棵树，一共种树多少棵？
（17）从车场开走8辆汽车，还剩24辆，车场原来有多少汽车？（18）从车场开走38辆大汽车，又开走同样多的小汽车，两次开走多少辆汽车？
（19）学校体育室有13个足球，又买来29个，现在有多少个？
（20）学雷锋小组上午修了18张椅，下午修了19张，一天修了多少张椅？
6、小学一年级奥数简单应用题练习精选
（1）小平家距学校2千米，一次他上学走了1千米，想起忘带铅笔盒，又回家去取。这次他到学校共走了多少千米？
（2）春天来了，小明、小冬和小强到郊外捉蝴蝶，小明捉了3只，小冬捉了5只，他们一共捉了12只，小强捉了几只？（3）小华和爸爸、妈妈为植树节义务植树，小华植了1棵，爸爸植了5棵，妈妈比爸爸少植2棵，妈妈植了多少棵，他们一共植了多少棵？
（4）猫妈妈给小白5条鱼，给小花4条鱼，小白和小花共吃了6条，它们还有几条？
（5）草地上有10只羊，跑走了3只白山羊，又来了7只黑山羊，现在共有几只羊？
（6）王老师有12元钱，正好买一支钢笔和2个笔记本，如果只买一支钢笔，还剩6元钱，你知道一个笔记本多少钱？（7）日落西山晚霞红，我把小鸡赶进笼。一半小鸡进了笼，还有5只在捉虫，另外5只围着我，叽叽喳喳闹哄哄。小朋友们算一算，多少小鸡进了笼？
（8）5个小朋友同时吃5个苹果需要5分钟，照这样，10个小朋友同时吃10个苹果需要几分钟？
（9）小华有10个红气球，小花有8个黄气球。小华用4个红气球换小花3个黄气球，现在小华、小花各有几个球？
（10）13个小朋友玩“老鹰抓小鸡”的游戏，已经抓住了5只“小鸡”，还有几只没抓住？
7、分组题：
（1）把11个苹果分给三个小朋友，要求每个小朋友分得偶数个苹果，怎样分？
（2）把10个球分成三组，要求每组球的个数都是奇数，怎么样分？
答案：
（1）不能分，以为如果每个小朋友都得到偶数个苹果，那么三个小朋友得到的苹果总数也必定是个偶数，而11个苹果是奇数。
（2）不能分，以为如果三组球，每组都是奇数个球的话，总数必是奇数，而不可能是偶数，而10个球却是偶数；
8、奇与偶
（1）奇与偶
自然数中，前10个奇数之和是偶数还是奇数？ 解答：偶数。（18）从车场开走38辆大汽车，又开走同样多的小汽车，两次开走多少辆汽车？
（19）学校体育室有13个足球，又买来29个，现在有多少个？
（20）学雷锋小组上午修了18张椅，下午修了19张，一天修了多少张椅？
比较下面各数的大小，在()里填上 “<” “>” 或 “=”。
8()19，12()10，51()15，5+6()3+7，3+19()21，8+9()3+14 答案与解析： “>” “<” “=”像怪兽的嘴巴一样，总是吃大的、重的、高的、长的。比较两 位数的大小，先看十位数，十位数字大的数比十位数字小的数大，如果十位相同就看个位数 字，两边如果是算式比较，就先算出两边的结果再进行比较。
8(<)19 12(>)10 51(>)15
5+6(>)3+7
3+19(>)21 8+9(=)3+14
17、数萝卜：
小灰兔有10个萝卜，如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，小白兔有多少个萝卜? 参考答案：
如果小白兔给小灰兔3个萝卜，它俩的萝卜就一样多，一样多时都是13个，求小白兔原来额萝卜，就要把它给小灰兔的3个加上所以是16个。
18、数人数：
小亮走进教室，看见教室里只有8名同学，那么现在教室里一共有几名同学? 参考答案：
粗心的小朋友一看题目就认为是8名同学，但这个答案是错的，认真审题后可以发现，题中已经指出“小亮走进教室”，因此现在同学的人数应该包括小亮，所以一共有9名同学。
19、不等与排序：
下面的数是一些动物的年龄，请将它们按从小到大的顺序排列起来。大象 80岁，长颈鹿 25岁，马 40岁，猴子 30岁，老虎 20岁，梭鱼 260岁，乌龟 170岁，鹰 160岁 【答案解析】
20岁<25岁<30岁<40岁<80岁 老虎 长颈鹿
猴子
马
大象 80岁<160岁<170岁<260岁 大象
鹰
乌龟
梭鱼
20、方块：
数一数图中共有多少个正方形? 答案与解析： 从下层数起，最底下一层有8个，第二层6个，第三层有3个，最上面一层有1个，共8+6+3+1=18(个)
23、简单应用题
（1）李老师带有60元钱，正好买一个足球和两个排球。如果只买两个排球，还剩28元。一个足球多少钱？一个排球多少钱？
（2）14个同学站成一队做操，从前面数张兵是第6个，从后数他是第几个？
（3）有两篮苹果，第一篮25个，第二篮19个，从第一篮中拿几个放入第二篮，两篮的苹果数相等？
（4）小花今年6岁，爸爸对小花说：“你长到10岁的时候，我正好40岁。”爸爸今年多少岁？
（5）一辆公共汽从东站开到西站，开一趟。如果这辆车从东站出发，开了１１趟之后，这辆车在东站还是西站？
（6）王老师领男女学生个10名去看电影，要买几张电影票。（7）12辆摩托车组成一列向前开，从前往后数，银色摩托车是第8辆，问：从后往前数，它是第几辆？
（8）小文今年10岁，比妈妈小29岁。去年他比妈妈小几岁？
（9）妈妈买回一些鸭蛋和12个鸡蛋，吃了8个鸡蛋后，剩下的鸡蛋和鸭蛋同样多，问妈妈买回的鸭蛋是几个？
（10）一只猫吃一只老鼠用５分钟吃完，５只猫同时吃５只同样大小的老鼠，需要几分钟才能吃完？
24、数梨：
有一筐梨，2个2个地拿，最后剩1个，这筐梨的个数是单数还是双数？ 解答：单数
25、有四只小猫，分别是一只黑猫、一只白猫、一只黑白猫和一只花猫。黑猫比黑白猫大，花猫比白猫小，黑猫不是最 大的，那么最大的猫是？
26、奥数应用题练习精选
（1）小红跳了25个绳，小刚跳了36个，一共跳了几个?
（2）两只青蛙一共吃了40只害虫，一只吃了15只，另一只吃了多少只？
（3）男生有32瓶果汁，女生有19瓶果汁，男生比女生多几瓶？
（4）小明拔萝卜，已经拔了16个，地里还剩48个，地里原有几个？
（5）米奇摘了48个桃，小猴比米奇多12个，小猴摘了几个？
（6）小明有37个糖果，小红比小明少19个，小红有几个？
（7）一共要折43只纸鹤，已经好了19只，还要折几只？
（8）小明跳了25下绳，小刚跳了17下，小刚再跳几下就和小明同样多？
（9）小明跳了47个绳，小红再跳18个就和小明一样多，小红跳了几个？
（10）车上原有45人，下来19人，又上来23人，现在有多少人？
（11）一共有96筐苹果，上午卖了26筐，下午卖了39筐，还剩几筐？
（12）一班有38人，二班有36 人，现有60顶帽子每人分一个够吗？
（13）打排球的有48人，比划船的少19人，划船的有几人？
（14）小兔拔了26个萝卜，比小猪多7个，小猪拔了几个？
（15）一支钢笔4元8角，一把尺子2元5角，钢笔比尺子多多少？钢笔和尺子共多少？（16）从前面数，小明排18，从后面他排15，这一排共有几人？
（17）一个贝壳25元，一个海螺13元，用50元去买还剩多少元？
（18）参加演出的合唱队有28人，舞蹈队的有24人，参加演出的一共有多少人？
（19）爸爸今年36岁，我比爸爸小28岁，今年我几岁？
（20）同学们去拍照，已经照了17张，还有19张没照，胶卷一共有多少张？
27、奥数应用题》，是无忧考网特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
（1）一年级（2）班图书角原来有图书25本，同学们又捐献了故事书9本，画册8本。现在图书角共有图书（）本。
（2）上衣：50元 裤子：30元 鞋：19元
①买一条裤子和一双鞋共（）钱。
②小华想买一件上衣、一条裤子和一双鞋，带100元，够吗？
（3）排练舞蹈，需要女生30人，男生25人。一共需要学生多少人？
（4）①活动课上打乒乓球的有8人，做操的有36人。打乒乓球和做操的同学共有多少人？
②活动课上有26名同学参加体育活动，40名同学参加文艺活动。参加这两种活动的共有多少人？
5、我们班有46人，男生有20人，女生有多少人？
6、（1）一辆客车上有48个座位，乘客上车后还剩7个空座位。上来乘客多少人？
（2）一辆客车上有48个座位，上来30名乘客。还剩几个空位？
7、（1）一本书有42页，小华已经看了7页。还剩多少页没有看？
（2）一本书有42页，小华看了一些后还剩30页没看。小华看了多少页？
8、（1）图书室有连环画84本，已经借出9本。还剩多少本？
（2）图书室有连环画84本，一班借走9本，二班借走8本。还剩多少本？
9、书包：49元 水彩笔：10元 墨水：3元
（1）书包比水彩笔贵多少钱？
（2）墨水比水彩笔便宜多少钱？
（3）你还能提出什么问题？
10、兔妈妈：我收了35个萝卜。兔宝宝：我收了30个萝卜。
（1）兔妈妈比兔宝宝多收了几个萝卜？（2）兔宝宝比兔妈妈少收了几个萝卜？
11、母鸡：35只 小鸡：50只
（1）小鸡比母鸡多多少只？
（2）母鸡比小鸡少多少只？
12、大客车：30辆 中巴：45辆 小轿车：40辆
（1）小轿车比大客车多多少辆？
（2）中巴比大客车多多少辆？
（3）你还能提出什么问题？
13、拿50元去买车票，找给我20元。买车票花了多少钱？
14、跳绳比赛，小明跳了20下，小东跳了30下，小丽跳了46下。
（1）小明比小东少跳几下？
（2）小丽比小东多跳几下？
（3）你还能提出什么问题？
15、同学们植树，一班植树20棵，二班植树35棵，三班植树40棵。
（1）二班比一班多植树多少棵？
（2）一班比三班少植树多少棵？
（3）三个班共植树多少棵？
16、小华收集了多少个废塑料瓶？
小刚：我收集了50个废塑料瓶。
小华：我再收集9个就和你同样多。
17、游泳：25人 跑步：30人 跳远：20人
（1）参加游泳的同学比参加跑步的少几人？
（2）跑步的同学比跳远的多几人？（3）你还能提出什么问题？
18、爸爸：我今年32岁。儿子：我今年8岁。
10年后父亲比儿子大多少岁？
19、购物
本：1元 水彩笔：13元 笔：1元3角 闹钟：29元
（1）买一盒水彩笔和一个闹钟，一共需要多少钱？
（2）小红买一个文具盒，付出5元，售货员找回1元5角，一个文具盒多少钱？
（3）买一只笔，可以怎样付款？
（4）笔比本贵多少钱？
（5）小明带了20元钱，能买哪两样东西？还剩多少钱？
（6）你还能提出什么数学问题？写出来，并解答。
20、一共有15个苹果，外面有8个，篮子里有几个？
第五篇：小学数学奥数教案
小学奥数基础教程（四年级）
小学奥数
第1讲 归一问题与归总问题 第2讲 年龄问题
第3讲 鸡兔同笼问题与假设法 第1讲 归一问题与归总问题
在解答某些应用题时，常常需要先找出“单一量”，然后以这个“单一量”为标准，根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题，称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等。
例1 一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？（损耗忽略不计）
分析：以一根钢轨的重量为单一量。
（1）一根钢轨重多少千克？
1900÷4＝475（千克）。
（2）95000千克能制造多少根钢轨？
95000÷475＝200（根）。
解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。
答：可以制造200根钢轨。
例2 王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
分析：以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。
（1）1头奶牛1天产奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）。
（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
小学奥数基础教程（四年级）
18×8×15＝2160（千克）。
解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。
答：可产牛奶2160千克。
例3 三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？
分析与解：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？
2400÷3÷2.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？
25600÷320÷8=10（时）。
综合列式为
25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（时）。
例4 4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。现在有沙土420吨，要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆？ 分析与解：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？
336÷4÷7=12（吨）。
（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？
420÷12÷5＝7（辆）。
（3）需要增加多少辆卡车？
7-4＝3（辆）。
综合列式为
420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（辆）。
小学奥数基础教程（四年级）
与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。
例5 一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？
分析：（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？
15×8＝120（时）。
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
120÷12＝10（时）。解：15×8÷12＝10（时）。
答：12人需10时完成。
例6 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。
（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？
60×5=300（千米）。
（2）4时到达，每小时需要行多少千米？
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米？
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。
答：每小时需要多行15千米。
例7 修一条公路，原计划60人工作，80天完成。现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？
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分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？
60×80＝4800（劳动日）。
（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？
4800-60×20=3600（劳动日）。
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？
3600÷（60＋30）=40（天）。
解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。
答：再用40天可以完成。
练习11
1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？
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7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？
第2讲 年龄问题
年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题。
年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化，将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生变化，年龄增大，倍数变小。
根据题目的条件，我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。
例1 儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？ 分析与解：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是
30＋5=35（岁）。
例2 今年爸爸48岁，儿子20岁，几年前爸爸的年龄是儿子的5倍？ 分析与解：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变，所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数，这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时，儿子的年龄是
（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。
由20－7＝13（岁），推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。
小学奥数基础教程（四年级）例3 兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
分析与解：根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到
弟今年6＋4＝10（岁），兄今年10＋5＝15（岁）。
例4 今年兄弟二人年龄之和为55岁，哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍，请问哥哥今年多少岁？ 分析与解：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年，若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份，哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等，所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页图）。
由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为
55÷(3+2)×3=33(岁)。
例5 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等，哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁？
小学奥数基础教程（四年级）分析与解：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”，可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）。
例6 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年，父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的2倍。问：父亲出生在哪一年？
分析与解：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）。
父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁），它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁。由
1段＋12岁=2段＋3岁，推知1段是9岁。所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于
1994——36＝1958（年）。
例7今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁？
解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁，父亲就要增加4岁。这样，20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁，比儿子多增加了80－20＝60（岁）。
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事实上，20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚才的假设，多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍，因此，今年儿子的年龄为
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁），父亲今年的年龄为10×4＝40（岁）。
解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄，那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。
20年后，父亲的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁，是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁。由
1段＋20=2段＋10，求得1段是10岁，即儿子今年10岁，从而父亲今年40岁。例8 今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
分析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。
答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
练习12
1．父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？
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2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？
3．小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？
4．父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？
5．一家三口人，三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是儿子年龄的4倍。问：三人各是多少岁？
6．今年老师46岁，学生16岁，几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
7．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁？
8．小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？
第3讲 鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的，它是一类有名的中国古算题。许多小学算术应用题，都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
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例1 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。
答：有6只兔，10只鸡。
当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。
有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。
由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。因此这类问题也叫置换问题。
例2 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
分析与解：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。
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假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有
100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。
在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。
例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？
分析与解：我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。
假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以
买普通文化用品 24÷8=3（套），买彩色文化用品 16－3＝13（套）。
例4 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
分析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。
现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。
解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小学奥数基础教程（四年级）
有鸡100——30=70（只）。
答：有鸡70只，兔30只。
例5 现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？
分析：本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个），大瓶有50-30＝20（个）。
答：有大瓶20个，小瓶30个。
例6 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？
分析：要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。
利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。由此可求出这批钢材有多少吨。解：4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。
答：这批钢材有720吨。
例7 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？
分析：假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×500=120（元）。实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。
小学奥数基础教程（四年级）搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。
解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。
答：共打破3只花瓶。
例8 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？
分析与解：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
780——270×2＝240（下）。练习13
1．鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？
4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？
小学奥数基础教程（四年级）
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？
8．有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克？
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？
高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：
所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。
例4张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京工作，席辉不在上海工作；
（2）在北京工作的不是教师；
（3）在上海工作的是工人；
（4）席辉不是农民。
问：这三人各住哪里？各是什么职业？
小学奥数基础教程（四年级）分析与解：与前面的例题相比，这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。
我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件（1）得到表1，由条件（4）得到表2，由条件（2）（3）得到表3。
因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表（3）可填全为表（4）。
因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表4知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表1可填全为表5。
对照表5和表4，得到：张明住在上海是工人，席辉住在天津是教师，李刚住在北京是农民。
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