立体几何最全教案doc

第一篇：立体几何最全教案doc

直线、平面垂直的判定及其性质

一、目标认知 学习目标

1．了解空间直线和平面的位置关系；

2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤．

3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象

能力．

4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑

推理能力．

重点：

直线与平面平行的判定、性质定理的应用；

难点：

线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用．

二、知识要点梳理

知识点

一、直线和平面垂直的定义与判定

1.直线和平面垂直定义

如果直线和平面的垂线；平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面

互相垂直，记作

.直线叫平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：

(1)定义中“平面

注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若，则.内的任意一条直线”就是指“平面

内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，2.直线和平面垂直的判定定理

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．

符号语言：

特征：线线垂直

要点诠释： 线面垂直

(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线

垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.知识点

二、斜线、射影、直线与平面所成的角

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：

(1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.(2)直线与平面垂直射影是点.(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是

0°的角.知识点三、二面角

1.二面角定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角

.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点角或.，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面

2.二面角的平面角

在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角叫做直二面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的

知识点

四、平面与平面垂直的定义与判定

1.平面与平面垂直定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作

.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：

图形语言：

特征：线面垂直

要点诠释： 面面垂直

平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.知识点

五、直线与平面垂直的性质

1.基本性质

一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：

图形语言：

2.性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：

图形语言：

知识点

六、平面与平面垂直的性质

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：

图形语言：

三、规律方法指导

垂直关系的知识记忆口诀：

线面垂直的关键，定义来证最常见，判定定理也常用，它的意义要记清，平面之内两直线，两线交于一个点，面外还有一条线，垂直两线是条件，面面垂直要证好，原有图中去寻找，若是这样还不好，辅助线面是个宝，先作交线的垂线，面面转为线和面，再证一步线和线，面面垂直即可见，借助辅助线和面，加的时候不能乱，以某性质为基础，不能主观凭臆断，判断线和面垂直，线垂面中两交线，两线垂直同一面，相互平行共伸展，两面垂直同一线，一面平行另一面，要让面和面垂直，面过另面一垂线，面面垂直成直角，线面垂直记心间.经典例题透析

类型

一、直线和平面垂直的定义

1．下列命题中正确的个数是()内的无数条直线垂直，则内的一条直线垂直，则，则，则

； ；

①如果直线与平面

②如果直线与平面

③如果直线不垂直于

④如果直线不垂直于

内没有与垂直的直线； 内也可以有无数条直线与垂直.A.0

B.1C.2D.3

答案：B

解析：当当与当与内的无数条直线平行时，与

不一定垂直，故①不对； 垂直，故②不对；

内的一条直线垂直时，不能保证与不垂直时，可能与

内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.故选B.总结升华：注意直线和平面垂直定义中的关键词语.举一反三：

【变式1】下列说法中错误的是()

①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；

②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；

③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；

④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线.A.①②

B.②③④

C.①②④

D.①②③

答案：D

解析：如图所示，直线

∴ ①错；

由于

，，但，但，∴ ②错；，∴ ③错.，面ABCD，显然，由直线与平面垂直的定义知④正确，故选D.总结升华：本题可以借助长方体来验证结论的正误.类型

二、直线和平面垂直的判定

2．如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.总结升华：挖掘题目中的隐含条件，利用线面垂直的判定定理即可得证.举一反三：

【变式1】如图所示，三棱锥的四个面中，最多有________个直角三角形.答案：4

解析：如图所示，PA⊥面ABC.∠ABC=90°，则图中四个三角形都是直角三角形.故填4.总结升华：注意正确画出图形.【变式2】如图所示，直三棱柱的两条对角线交点为D，求证：CD⊥平面BDM.的中点为M.中，∠ACB=90°，AC=1，侧棱，侧面

证明：如右图，连接

∵

又知D为其底边

∵

又，∴、，∴、，则

为等腰三角形....的中点，∴，∴.∵ 为直角三角形，D为的中点，∴，.又

∵、，∴

.即CD⊥DM..为平面BDM内两条相交直线，∴ CD⊥平面BDM.类型

三、直线和平面所成的角

BC=3．如图所示，已知∠BOC在平面，求OA和平面所成的角.内，OA是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，解析：∵

正三角形，∴

∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴ △AOB、△AOC为.，∴，∴ △ABC为直角三角形.同理△BOC也为直角三角形.过A作AH垂直平面于H，连接OH，∵ AO=AB=AC，∴ OH=BH=CH，H为△BOC的外心.∴ H在BC上，且H为BC的中点.∵ Rt△AOH中，∴

所成角为45°.，∴ ∠AOH=45°.即AO和平面

总结升华：

(1)确定点在平面内的射影的位置，是解题的关键，因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面

所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解.(2)求斜线与平面所成的角的程序：

①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求解；

③把该角放入三角形计算.(3)直线和平面所成的角，也应考虑到直线和平面垂直、直线和平面平行或在平面内诸情况，也就是直

线和平面成90°角和0°角的情况，所以求线面所成角时，应想到以上两种情况.举一反三：

【变式1】如图所示，在正三棱柱

中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则

与侧面所成的角是________.答案：

解析：如右图.由题取AC中点O，连接BO.则BO⊥平面

.故为与平面所成角.又在中，.∴，∴.类型四、二面角

4．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵ AB=AC，∴ AE⊥BC.又∵ △ABD≌△ACD，AB=AC，∴ DB=DC，∴ DE⊥BC.∴ ∠AED为二面角的平面角.又∵ △ABC≌△BDC，∴ AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=

同理.，BE=1，∴，在△AED中，∵，∴，∴ ∠AED=90°.∴ 以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°.总结升华：确定二面角的平面角，常常用定义来确定.举一反三：

【变式1】已知D、E分别是正三棱柱E、C1的平面与棱柱的下底面的侧棱和上的点，且.求过D、所成的二面角的大小.解析：如图，在平面

则F是面与面内延长DE和的公共点，的平面角.，交于点F，为这两个平面的交线，∴ 所求二面角就是

∵

∴ E、∵

∴

又面

∴

∴

∴ 面.是二面角.，而，且分别DF和A1F的中点.，面面，.的平面角，由已知，∴.总结升华：当所求的二面角没有给出它的棱时，找出二面角的两个面的两个公共点，从而找出它的棱，进而求其平面角的大小即可.类型

五、平面与平面垂直的判定

5．在四面体ABCD中，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：∵ △ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴ 取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴ ∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，，∴.同理.在△AEC中，由于，，∴ AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.总结升华：利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是

(1)找出两个相交平面的平面角；

(2)证明这个平面角是直角；

(3)根据定义，这两个平面互相垂直.举一反三：

【变式1】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵ AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴ BG⊥AC，DG⊥AC，∴ AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴ EF⊥平面BGD.∵ EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.总结升华：证面面垂直的方法：

(1)证明两平面构成的二面角的平面角为90°；

(2)证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将证明“面面垂直”的问题转化为证明线面垂直的问题.【变式2】如图所示，在Rt△AOB中，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB；

证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴ ∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又∵ 二面角B-AO-C是直二面角.∴ CO⊥BO.又∵ AO∩BO=O，∴ CO⊥平面AOB.又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.【变式3】过点P引三条长度相等但不共面的线段PA、PB、PC，有∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90°，求证：平面ABC⊥平面BPC.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，取BC中点为E

直角△BPC中，由AB=AC，AE⊥BC，，直角△ABE中，，在△PEA中，∴，，平面ABC⊥平面BPC.类型

六、综合应用

6．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

证明：(1)取EC的中点F，连接DF．

∵ CE⊥平面ABC，∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵，∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MN

∵ BDCF，∴ MN

CF．

BD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA．

(3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA．

总结升华：本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定，这里证明的关键是BN⊥平面ECA，应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．

7．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

思路点拨：要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线．注意到M、N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可．证明如下．

证明：(1)取PD的中点E，连接AE、EN，则，故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN

平面PAD，∴ MN∥平面PAD．

(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．

由(1)知，需证AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E为PD的中点．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，∴ MN⊥平面PCD．

总结升华：本题是涉及线面垂直、线面平行、线线垂直诸多知识点的一道综合题．(1)的关键是选取PD的中点E，所作的辅助线使问题处理的方向明朗化．线线垂直→线面垂直→线线垂直是转化规律．

学习成果测评 基础达标

1.平面

A.2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是().外的一条直线与

B.内的两条平行直线垂直，那么().相交

D.与的位置关系不确定

C.与

A.B.C.D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面

A.4.若P是平面

B.，则有().D.或

C.外一点，则下列命题正确的是().相交 垂直平行平行

A.过P只能作一条直线与平面

B.过P可作无数条直线与平面

C.过P只能作一条直线与平面

D.过P可作无数条直线与平面

5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么().A.a与b可能垂直，但不能平行

B.a与b可能垂直，也可能平行

C.a与b不可能垂直，但可能平行

D.a与b不可能平行，也不能垂直

6.设

、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，则；②若，则

届那么().，有如下两个命题：①若

A.①是真命题，②是假命题

B.①是假命题，②是真命题

C.①②都是真命题

D.①②都是假命题

7.关于直线m、n与平面

①若

③若且且与，有下列四个命题：

且且，则

；，则m∥n；②若，则

；④若，则m∥n.其中真命题的序号是().A.①②

B.③④

C.①④

D.②③

8.已知直线m⊥平面

①若，则，直线；②若，给出下列四个命题，其中正确的命题是().，则m∥n；③若m∥n，则

；④若，则

.A.③④

B.①③

C.②④

D.①②

9.下面四个命题：

①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；

②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；

③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则

；

④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题

的个数是().A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

10.设有不同的直线a、b和不同的平面

①若，则；②若、，、，给出下列三个命题：，则

；③若，则

.其中正确的个数是()

A.0

B.1C.2

D.3

11.已知直线⊥平面

③；④，直线

平面

.，有四个命题：①

；②

；

其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)

12.长方体 中，MN在平面内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是_______.13.如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC.求证：BD⊥面SAC.能力提升

1.下面四个命题：

①若直线a∥平面

②若直线a⊥平面

③若平面

④若平面∥平面⊥平面，则，则，则，则内任何直线都与a平行； 内任何直线都与a垂直； 内任何直线都与内任何直线都与

平行； 垂直.其中正确的两个命题是()

A.①与②

B.②与③

C.③与④

D.②与④

2.一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角().A.相等

B.互补

C.关系无法确定

D.相等或互补

3.、是两个不同的平面，m、n是平面⊥；③n⊥；④m⊥

.、外的两条不同直线，给出四个结论：

①m⊥n；②

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________________.4.已知直线PA与平面

5.已知ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，过点A作AE⊥SB于点E，过点E作EF⊥SC于点F，如图所示.(1)求证：AF⊥SC；

(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.内过点A的三条直线AB、AC、AD成等角，求证：PA⊥平面

.综合探究

1.已知：如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；

(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.2.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)证明：PA∥平面EDB；

(2)证明：PB⊥平面EFD.参考答案 基础达标

1.D 内两条直线若相交则

；若平行则不能确定与的位置关系.2.D a与b位置关系不能确定.3.D

4.D 过P能作无数条直线与

5.C 若，如图，在平行，这些直线均在过P与，则

.平行的平面内.内可作

∴，则，与已知矛盾.∴ a与b不可能垂直；当a、b均与平行时，a∥b，故选C.6.D

7.D

8.B

9.B 面面垂直的性质定理对于④显然成立；在①中应考虑两两相交的几种情况，对于三条直线交于一点

时，且不在同一平面时，显然不成立；在②中，平面外一点只能引一条直线与平面垂直，但过这条

直线的平面有无数个，不是真命题；对于③，若的三点到

10.B平行于同一平面的两直线可能平行，也可能相交或异面，故①错.平行于同一直线的两平面可能平

行，也可能相交，故②也错.11.①③ ①∵

②设

③∵，，∴，∴，且m∥d时，.又

.∴ ①正确..故命题②错.，∴

.故③正确.的距离相等，故不是真命题.与

相交，在两侧且在内一定存在不共线

④由②知④不正确.12.MN⊥AB 如下图，由长方体的性质知，平面

内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD.AB

平面ABCD，交线为BC.因为MN在平面

平面ABCD，∴ MN⊥AB.13.证明：(1)∵ SA=SC，D为AC的中点，∴ SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，则AD=DC=BD.∴ △ADS≌△BDS.∴ SD⊥BD.又AC∩BD=D，∴ SD⊥面ABC.(2)∵ AB=BC，D为AC中点，∴ BD⊥AC.又由(1)知SD⊥面ABC，∴ SD⊥BD.∵ SD∩AC=D，∴ BD⊥平面SAC.能力提升

1.B ①是错误的，a与

④是错误的.2.C 可类比“空间中一个角的两条边分别垂直于另一个角的两条边”可知，这两个角关系不确定.3.①③④ ②或②③④①，成立，如图.过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，、的交线交于点C.内的一簇平行线平行.②③由线面垂直，面面平行的性质可判断出是正确的.假设①③④为条件，即

PB⊥.设垂足为点B，又设，垂足为点A，过PA、PB的平面与

∵ ⊥PA，⊥PB，∴ ⊥平面PAB.∴ ⊥AC.⊥BC.∴ ∠ACB是二面角

由m⊥n，显然PA⊥PB.∴ ∠ACB=90°.∴

由①③④.②成立.的平面角.反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立.4.证明：如图，在AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE=AF=AG，连接PE、PF、PG、EF、FG，设EF、FG的中点分别为H、I.由已知可得△PAE≌△PAF.∴ PE=PF.∵ H是EF中点，∴ PH⊥EF，AH⊥EF.∴ EF⊥平面PAH.∴ EF⊥PA.同理可证FG⊥PA.又EF∩FG=F，∴ PA⊥平面EFG，即PA⊥平面.5.证明：(1)∵ SA⊥平面ABCD，BC

平面ABCD，∴ SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB=A，∴ BC⊥平面SAB，AE

平面SAB.∴ BC⊥AE.又AE⊥SB，BC∩SB=B.∴ 有AE⊥平面SBC，又SC平面SDC，∴ AE⊥SC.又EF⊥SC，AE∩EF=E，∴ SC⊥平面AEF，AE平面AEF，∴ AF⊥SC.(2)∵ SC⊥平面AEF，AG

平面AEF，∴ SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A.∴ CD⊥平面SAD，AG

平面SAD.∴ CD⊥AG，又SC∩CD=C，∴ AG⊥平面SDC.又SD平面SDC，∴ AG⊥SD.综合探究

1.证明：(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于点F.∴平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴ DF⊥平面PAC.PC平面PAC，∴ DF⊥AP.作DG⊥AB于点G.同理可证DG⊥AP.又DG、DF都在平面ABC内.∴ PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵ E是△PBC的垂心，∴ PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线.∴ PC⊥BH.∴ PC⊥平面ABE.∴ PC⊥AB.又∵ PA⊥平面ABC，∴ PA⊥AB.∴ AB⊥平面PAC.∴ AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.2.证明：(1)连接AC，AC交BD于点D.连接EO，如图.∵ 底面ABCD是正方形.∴ 点O是AC的中点.在△PAC中，EO是中位线，∴ PA∥EO.而EO平面EDB且PA

平面EDB.所以PA∥平面EDB.(2)∵ PD⊥底面ABCD且DC

∴ PD⊥DC.∵ PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴ DE⊥PC.同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵ 底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴ BC⊥平面PDC。而DE

∴ BC⊥ED。

由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC，∴ DE⊥PB.平面PDC，底面ABCD.又EF⊥PB且DE∩EF=E，∴ PB⊥平面EFD.

第二篇：教案 立体几何

【教学过程】 *揭示课题 9 立体几何 *复习导入

一、点线面的位置关系 点与直线的位置关系：Aa　Aa 2.点与面的位置关系： A　A 3.直线与直线的位置关系：平行 相交 异面 4直线与平面的位置关系： 在平面内 相交平行

二、线面平行的判定定理

1.线线平行：平行于同一条直线的两条直线互相平行

2.线面平行：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行

3.面面平行：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行

三、线面平行的性质定理

1.线线平行：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

2.线面平行：如果一条直线和一个平面平行，并且经过这条直线的平面和这个面相交，那么这条直线和交线平行

3.面面平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

四、线面垂直的判定定理

1.线面垂直：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直

2.面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

五、线面垂直性质定理

1.线面垂直：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

2.面面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

六、柱、锥、球 1.棱柱、圆柱

S侧=底面周长高V体=底面面积高2.棱锥、圆锥

1底面周长母线2 1V体=底面积高3S侧3.球

S表=4r243 V体=r3*练习讲解 复习题A组 *归纳小结

本章立体几何部分概念偏多，需要着重分辨判定定理与性质定理的适用范围，将点线面位置关系化为最简单的线线判断，由此可提高位置判定的速度，能够更加地熟练运用各大定理。

第三篇：立体几何电子教案总纲

《解析几何》课程电子教案总纲

一、本课程地位、性质和任务

本课程为高等院校数学系各专业的一门必修的专业基础课程。它为学习数学系的其它课程（诸如《数学分析》、《高等代数》及《微分几何》等打好基础，同时，它在自然科学与工程技术中，也有广泛的应用。

通过本课程的教学，应使学生系统地掌握空间解析几何的基础知识和基本理论；正确地理解和使用向量；在掌握几何图形性质的同时，提高运用代数方法，解决几何问题的能力；进一步培养学生的空间想象能力；能在较高的理论水平基础上，处理教学或工程技术中的有关问题。

二、课程教学的基本要求

能够以向量代数为工具，用标架法建立空间直线、平面方程；掌握直线、平面的位置关系及几何量计算；掌握特殊曲面方程的推导并能利用平面截割法刻划曲面的几何性质；二次曲线（曲面）的一般理论。

三、课程教学要求及主要内容

第一章 向量与坐标

教学目的和要求：向量代数及坐标法在自然科学和工程技术中有着广泛的应用。本章是工具性的知识，是学习后面各章的基础。本章通过向量代数与空间坐标系基本知识的教学，使学生能以向量为工具，研究并简单地解决某些几何问题。

教学重点和难点:

1、透彻理解向量的有关基本概念。

2、牢固掌握向量的各种运算及其对应的几何意义与算律。

3、理解坐标系建立的依据以及向量与点坐标的意义，熟练地利用向量的坐标进行运算。

4、利用向量代数的知识解决某些初等几何问题。

教学内容：

1、向量的概念；

2、向量的加减法；

3、数量乘向量；

4、向量的线性关系与向量的分解；

5、标架与坐标；

6、向量在轴上的射影；

7、两向量的数量积；

8、两向量的向量积；

9、三向量的混合积。

第二章 轨迹与方程

教学目的和要求：本章通过图形与方程相互关系的学习，使学生能运用坐标法建立空间图形的方程。了解空间曲面与曲线方程的一般形式，同时了解球坐标系和柱坐标系。

教学重点和难点:掌握根据图形的性质，利用坐标法，建立空间曲面与曲线方程的一般步骤。

教学内容：

1、平面曲面的方程；

2、曲面的方程；

3、空间曲线的方程。

第三章平面与空间直线

教学目的和要求：空间中，点、直线、平面是最简单的几何图形，它们也是空间解析几何研究的重要内容。本章利用向量代数为工具，建立空间中平面与直线方程的各种形式，并讨论空间中点、直线、平面之间的相互位置关系，为研究复杂的几何图形打下基础。

教学重点和难点: 理解并掌握平面和三元一次方程之间的对应关系。能够熟练地根据不同的已知条件，导出平面和直线方程的各种形式。掌握空间中，点、直线、平面之间相互位置关系的判断以及它们之间几何量的计算。注意与中学平面解析几何有关知识进行比较。

教学内容：

1、平面的方程；

2、平面与点的相关位置；

3、两平面间的相关位置；

4、空间直线的方程；

5、直线与平面的相关位置；

6、空间直线与点的相关位置；

7、空间两直线的相关位置。

第四章 柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面

教学目的和要求：本章介绍的几种常见的曲面，它们在数学、物理和工程技术中都有广泛的应用。柱面、锥面及旋转曲面有明显的几何特征，因此可用这些曲面的几何特征，利用轨迹法建立它们的方程。然后，对于二次曲面的标准方程，利用平行截割法研究它们的几何性质，并作图。最后，研究二次曲面的直纹性。

教学重点和难点: 掌握柱面、锥面、旋转曲面方程的导出方法与过程；能够利用二次曲面标准方程的特点，研究二次曲面的特征；掌握利用平行截割法作二次曲面及空间区域的图形，提高空间想象能力；掌握单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性质。

教学内容：

1、柱面；

2、锥面；

3、旋转曲面；

4、椭球面；

5、双曲面；

6、抛物面；

7、单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。

第五章 二次曲线的一般理论

教学目的和要求：二次曲面-线是日常生活和科学技术中常见的曲线。通过本章学习，使学生掌握二次曲线的中心、主方向、主直径和二次曲线方程的化简等知识。掌握二次曲线的分类，培养学生的空间想象能力。

教学重点和难点: 掌握二次曲线的渐近方向、中心、主方向与主直径等概念，会求二次曲线的切线；熟悉空间坐标变换公式的导出，并且深入领会其实质；熟练地运用空间坐标变换和坐标变换下的不变量，对一般二次曲线的方程进行化简，并对二次曲线进行分类。

教学内容：

1、二次曲线与直线的相关位置；

2、二次曲面的渐近方向与中心；

3、二次曲线的切线；

4、二次曲线的直径；

5、二次曲线的主直径与主方向；

6、二次曲线的方程化简与分类；

7、应用不变量化简二次曲线的方程。

四、使用教材与参考书目

[1] 吕林根、许子道，《解析几何》（第四版），高等教育出版社，2006年5月。

[2] 吕林根、许子道，《解析几何学习辅导书》，高等教育出版社，2006年5月。

[3] 李养成，《空间解析几何》，科学出版社，2007年8月。

[4] 丘维声，《解析几何》（第二版），北京大学出版社，2005年9月。

第四篇：高中立体几何教案

高中立体几何教案 第一章 直线和平面 两个平面平行的性质教案

教学目标

1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；

2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：两个平面平行的性质定理；

难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用． 教学过程

一、复习提问

教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：

（1）两个平面平行的意义是什么？

（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？

（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）（目的：（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）

二、引出命题

（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）师：从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？ 生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论．

师：下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．（学生议论）

师：猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结

论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．

（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）

师：前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？

生：由平面与平面平行的定义，我猜想：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．

师：很好，把它写成命题形式．

（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）猜想一：

已知：平面α∥β，直线a 求证：a∥β．

生：由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．

[教师板书]

α，猜想二：

已知：平面α∥β，直线l⊥α．

求证：l⊥β．

师：这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？

生：a∥a′．

师：若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？

（学生讨论）

生：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．” [教师板书] 猜想三：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：γ与β一定相交． 师：怎么作这样的猜想呢？

生：我想起平面几何中的一个结论：“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”

师：很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？

生：平行

师：请同学们表达出这个命题．

生：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． [教师板书]

猜想四：

已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b． 求证：a∥b．

[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫] 师：在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：在平面几何中，我们有这样一条定理：“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？

生：把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等． [教师板书] 猜想五：

已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β． 求证：AA′=BB′．

[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]

三、证明猜想

师：通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．

[师生相互交流，共同完成猜想的论证] 师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义． [猜想一证明] 证明：因为α∥β，所以α与β无公共点． 又 因为a α，所以 a与β无公共点． 故 a∥β．

师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”

[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”] [论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”] 师：“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？ [学生回答：反证法] 师：那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？

生：用反证法：假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．

师：很好．由此可知：不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．

[猜想四的证明] 师：猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可． 生：（证法一）因为 a∥β，所以 a与β无公共点．

又因为 a α，b β．

所以 a与b无公共点． 又因为 a γ，b 所以 a∥b．

师：我们来探讨其它的证明方法．要证线线平行，可以转化为线面平行． 生：（证法二）

因为 a α，又因为 α∥β，所以 a∥β．

又因为 a γ，且γ∩β=b，所以 a∥b．

师：用两种不同证法得出了“猜想四”是正确的．这是平面和平面平行的性质定理二． [教师擦掉“猜想四”，板书“性质定理二”] 师：平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法．即：“作一平面，交两面，得交线，则线线平行．”同时也给我们证明两条直线平行的又一方法．简言之，“面面平行，则线线平行”．

[猜想二的证明] 师：猜想二要证明的是直线l⊥β，根据线面垂直的判定定理，就要证明l和平面β内的两条相交直线垂直．那么如何在平面β内作两条相交直线呢？

[引导学生回忆：“垂直于同一直线的两个平面平行”的定理的证明] γ，生：（证法一）设l∩α=A，l∩β=B．

过AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′． 因为 α∥β，所以 a∥a′．

再过AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′． 同理b∥b′．

又因为l⊥α，所以 l⊥a，l⊥b，所以 l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故 l⊥β．

师：要证明l⊥β，根据线面垂直的定义，就是要证明l和平面β内任何一条直线垂直． 生：（证法二）

在β内任取一条直线b，经过b作一平面γ，使γ∩α=a，因为 α∥β，所以 a∥b，因此 l⊥α，a α，故 l⊥a，所以 l⊥b． 又因为b为β内任意一条直线，所以 l⊥β．

[教师擦掉“猜想二”，板书“性质定理三”] [猜想五的证明] 证明：因为 AA′∥BB′，所以过AA′，BB′有一个平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．

因为 α∥β，所以 AB∥A′B′，因此 AA′ B′B为平行四边形． 故 AA′=BB′．

[教师擦掉“猜想五”，板书“性质定理四”] 师：性质定理四，是类比两条平行线的性质得到的．平行线的性质有许多，大家还能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？你能证明吗？请大家课下思考．

[因类比法是重要的方法，但平行性质定理已得出，故留作课下思考]

四、定理应用

师：以上我们通过探索一猜想一论证，得出了平面与平面平行的四个性质定理，下面来作简单的应用．

例 已知平面α∥β，AB，CD为夹在α，β间的异面线段，E、F分别为AB，CD的中点． 求证：EF∥α，EF∥β．

师：要证EF∥β，根据直线与平面平行的判定定理，就是要在β内找一条直线与EF平行． 证法一：

连接AF并延长交β于G． 因为 AG∩CD=F，所以 AG，CD确定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG． 因为 α∥β，所以 AC∥DG，所以 ∠ACF=∠GDF，又 ∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以 △ACF≌△DFG． 所以 AF=FG． 又 AE=BE，所以 EF∥BG，BG 故 EF∥β． 同理：EF∥α．

师：要证明EF∥β，只须过EF作一平面，使该平面与β平行，则根据平面与平面平行性质定理即可证．

证法二：因为AB与CD为异面直线，所以A CD． β．

在A，CD确定的平面内过A作AG∥CD，交β于G，取AG中点H，连结AC，HF． 因为 α∥β，所以 AC∥DG∥EF．

因为 DG β，所以 HF∥β． 又因为 E为AB的中点，因此 EH∥BG，所以 EH∥β． 又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以 EF∥β． 同理，EF∥α．

平面EFH，师：从以上两种证明方法可以看出，虽然是解决立体几何问题，但都是通过转化为平面几何的问题来解决的．这是解决立体几何问题的一种技能，只是依据的不同，转化的方式也不同．

五、平行平面间的距离

师：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面有几条公垂线？这些公垂线的位置关系是什么？

生：两个平行平面有无数条公垂线，它们都是平行直线．

师：夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？根据是什么？ 生：相等，根据“夹在两个平行平面间的平行线段相等．”

师：可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯一的．而且是夹在两个平行平面间的所有线段中最短的．因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．显然两个平行平面的距离等于其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度．

六、小结

1．由学生用文字语言和符号语言来叙述两个平面平行的性质定理．

教师总结本节课是由发现与论证两个过程组成的．简单的说就是：由具体问题具体素材用类比等方法猜想命题，并由转化等方法论证猜想的正确性，得到结论．

2．在应用定理解决立体几何问题时，要注意转化为平面图形的问题来处理．大家在今后学习中一定要注意掌握这一基本技能．

3．线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系．在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系．下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：

七、布置作业

课本：p．38，习题五5，6，7，8． 课堂教学设计说明

1．本节课的中心是两个平行平面的性质定理．定理较多，若采取平铺直叙，直接地给出命题，那样就绕开了发现、探索问题的过程，虽然比较省事，但对发展学生的思维能力是不利的． 在设计本教案时，充分考虑到教学研究活动是由发现与论证这样两个过程组成的．因而把“如何引出命题”和“如何猜想”作为本节课的重要活动内容．在教师的启发下，让学生利用具体问题；运用具体素材，通过类比等具体方法，发现命题，完成猜想．然后在教师的引导下，让学生一一完成对猜想的证明，得到两个平面平行的性质定理．也就在这一“探索”、“发现”、“论证”的过程中，培养了学生发现问题，解决问题的能力．

在实施过程中，让学生处在主体地位，教师始终处于引导者的位置．特别是在用类比法发现猜想时，学生根据两条平行线的性质类比得出许多猜想．比如：根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得到“平行于同一个平面的两个平面平行．”根据“两条直线平行，同位角相等”等，得到“与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等”等等，当然在这些猜想中，有的是正确的，有的是错误的，这里不一一叙述．这就要求教师在教学过程中，注意变化，作适当处理．学生在整节课中，思维活跃，沉浸在“探索、发现”的思维乐趣中，也正是在这种乐趣中，提高了学生的思维能力．

2．在对定理的证明过程中，课上不仅要求证出来，而且还考虑多种证法．对于定理的证明，是解决问题的一些常用方法，也可以说是常规方法，是要学生认真掌握的．因此教师要把定理的证明方法，作为教学的重点内容进行必要的讲解，培养学生解决问题的能力．

3．转化是重要的数学思想及数学思维方法．它在立体几何中处处体现．实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题，化繁为简．特别是在线线平行，线面平行，面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的体现，因而在小结中列出三个平行关系相互转让的关系图，一方面便于学生理解，记忆，同时通过此表，能马上发现三者相互推导的关系，能打开思路，发现线索，得到最佳的解题方案．

第五篇：立体几何教案奥数

第九讲 立体几何

知识导航：

在小学阶段，我们除了学习习近平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下：

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来． 经典例题：

例1：下图是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

例2：一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了 2 厘米，表面积就减少 12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积？

例3：一个正方体形状的木块，棱长为 1 米．若沿正方体的三个方向分别锯成 3 份、4 份和 5 份，如下图，共得到大大小小的长方体60 块，这 60 块长方体的表面积的和是多少平方米？

例4：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积

神经依旧制作贡献 为 26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米。问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？

例5：一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是 9.42 米，高 2 米，圆锥的高是 0.6 米．求这个粮囤的体积是多少立方米？

例6：皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 12 厘米，水桶底面直径为 60 厘米．皮球有一半浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

例7：下图所示为一个棱长 6 厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最

神经依旧制作贡献 大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？

课堂练习

1、大、中、小三个正方体形的水缸都盛有缸水，它们的内边长分别为 4 分米、3 分米、2 分米．把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了 4 厘米和 11 厘米．如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？

2、一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是 960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4 立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．

3、在一只底面直径是 40 厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10 厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降 0.5厘米，求铸件的高．

4、在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为 1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．

神经依旧制作贡献

5、如下图所示一个零件，中间一段是高为 10 厘米，底面半径为 2 厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是 2厘米．求这个零件的体积

6、塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如图（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）．把这个筒的 A 面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是 2 厘米（如图（2））问：（1）若把 B 面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？（2）若把 C 面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？

7、有一个圆柱体的零件，高 10 厘米，底面直径是 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是 4 厘米，孔深5 厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

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