北师大版九年级下册数学中考知识点梳理27讲

第一部分

教材知识梳理·系统复习

第一单元

数与式

第1讲

实

数

知识点一：实数的概念及分类

关键点拨及对应举例

1.实数

（1）按定义分

（2）按正、负性分

正有理数

有理数

有限小数或

正实数

负有理数

无限循环小数

实数

正无理数

负实数

无理数

无限不循环小数

负无理数

（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二

：实数的相关概念

2.数轴

（1）三要素：原点、正方向、单位长度

（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大

例：

数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数

（1）概念：只有符号不同的两个数

（2）代数意义：a、b互为相反数ó

a+b=0

（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等

a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.4.绝对值

（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离

（2）运算性质：|a|=

(a≥0)；

|a-b|=

a-b(a≥b)

-a(a＜0).b-a(a＜b)

（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒数

（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)

（2）代数意义：ab=1óa,b互为倒数

例：

-2的倒数是-1/2

；倒数等于它本身的数有±1.知识点三

：科学记数法、近似数

6.科学记数法

（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数

（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）

例：

21000用科学记数法表示为2.1×104；

19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示为7×10-4.7.近似数

（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：

3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四

：实数的大小比较

8.实数的大小比较

（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而

小.（3）作差比较法：a-b＞0óa＞b；a-b=0óa=b；a-b＜0óa＜b.（4）平方法：a＞b≥0óa2＞b2.例：

把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.知识点五

：实数的运算

9.常见运算

乘

方

几个相同因数的积;

负数的偶（奇）次方为正（负）

例：

（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;

3-1=_1/3_;π0=__1__;

(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.失分点警示：类似

“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是

4___,的算术平方根是___2__.零次幂

a0=_1_(a≠0)

负指数幂

a-p=1/ap（a≠0，p为整数）

平方根、算术平方根

若x2=a（a≥0）,则x=.其中是算术平方根.立方根

若x3=a,则x=.10.混合运算

先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左

向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化

第2讲

整式与因式分解

一、知识清单梳理

知识点一：代数式及相关概念

关键点拨及对应举例

1.代数式

（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．

（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．

求代数式的值常运用整体代入法计算.例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.2.整式

（单项式、多项式）

（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：

（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是

__1

.知识点二：整式的运算

3.整式的加减运算

(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

(2)去括号法则:

若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.幂运算法则

(1)同底数幂的乘法：am·an＝am＋n；

(2)幂的乘方：(am)n＝amn；

(3)积的乘方：(ab)n＝an·bn；

(4)同底数幂的除法：am÷an＝am－n

(a≠0).其中m,n都在整数

(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.5.整式的乘除运算

(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．

(2)单项式×多项式：

m(a+b)=ma+mb.(3)多项式×多项式:

(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．

失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法

公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用

完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.变形公式：

a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】

6.混合运算

注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．

例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知识点五：因式分解

7.因式分解

(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．

(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.(1)

因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；

(2)

因式分解与整式的乘法互为逆运算．

第3讲

分

式

二、知识清单梳理

知识点一：分式的相关概念

关键点拨及对应举例

1.分式的概念

（1）分式：形如

(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母.例：下列分式：①;②;

③;④，其中是分式是②③④；最简分式

③.2.分式的意义

(1)无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；

(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；

(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.例：

当的值为0时，则x＝-1.3.基本性质

（1)

基本性质：(C≠0)．

（2）由基本性质可推理出变号法则为：；

.由分式的基本性质可将分式进行化简：

例：化简：=.知识点三

：分式的运算

4.分式的约分和通分

(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即；

(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即

分式通分的关键步骤是找出分式的最

简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式和的最简公分母为.5.分式的加减法

(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝；

(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝.例：

＝－1.6.分式的乘除法

(1)乘法：·＝；

(2)除法：＝；

(3)乘方：＝

(n为正整数).例：＝；＝2y；

＝.7.分式的混合运算

(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．

失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.第4讲

二次根式

三、知识清单梳理

知识点一：二次根式

关键点拨及对应举例

1.有关概念

（1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1.2.二次根式的性质

（1）双重非负性：

①被开方数是非负数，即a≥0；

②二次根式的值是非负数，即≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：

（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1.（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.(2)两个重要性质：

①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝；

(3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)；

(4)商的算术平方根：

(a≥0，b＞0)．

例：计算：

＝3.14；＝2；

=；=2；

知识点二

：二次根式的运算

3.二次根式的加减法

先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．

例：计算：＝.4.二次根式的乘除法

（1）乘法：·=(a≥0，b≥0)；

（2）除法：

(a≥0，b＞0)．

注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：＝1；4.5.二次根式的混合运算

运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．

运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：(+1)（-1)=

.第二单元

方程(组)与不等式(组)

第5讲

一次方程(组)

四、知识清单梳理

知识点一：方程及其相关概念

关键点拨及对应举例

1.等式的基本性质

(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c

.(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．

(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.(1)若a=b,则a/c=b/c.(×)

(2)若a/c=b/c，则a=b.(√)

2.关于方程的基本概念

(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．

(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．

(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．

(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．

在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.例：若(a-2)是关于x的一元一次方程，则a的值为0.知识点二

：解一元一次方程和二元一次方程组

3.解一元一次方程的步骤

(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；

(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；

(3)移项：移项要变号；

(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；

(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.4.二元一次

方程组的解法

思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：

已知则x-y的值为x-y=4.方法：

(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；

(2)

加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三

：一次方程(组)的实际应用

5.列方程(组)

解应用题的一般步骤

(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；

(2)设未知数；

(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；

(4)解方程(组)；

(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；

(6)作答：规范作答，注意单位名称．

（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式

（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间.①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；

②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.第6讲

一元二次方程

五、知识清单梳理

知识点一：一元二次方程及其解法

关键点拨及对应举例

1.一元二次方程的相关概念

(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程．

(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.2.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.（2)因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.（3)公式法:一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2-4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．

解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知识点二

：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

3.根的判别式

(1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根．

(2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．

(3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根．

例：方程的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程的判别式等于－8，故该方程没有实数根.*4.根与系数的关系

（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：

(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,等.失分点警示

在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.知识点三

：一元二次方程的应用

4.列一元二次方程解应用题

（1）解题步骤：①审题；②

设未知数；③

列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．

运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；

②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；

③传播、比赛问题：

④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.第8讲

一元一次不等式(组)

六、知识清单梳理

知识点一：不等式及其基本性质

关键点拨及对应举例

1.不等式的相关概念

（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质

性质1：若a＞b,则

a±c>b±c；

性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；

性质3：若a＞b,c<0，则ac

：一元一次不等式

3.定义

用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法

（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示

系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:

x≥a

x＞a

x≤a

x＜a

知识点三

：一元一次不等式组的定义及其解法

5.定义

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．

（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．

（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法

先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

7.不等式组解集的类型

假设a＜b

解集

数轴表示

口诀

x≥b

大大取大

x≤a

小小取小

a≤x≤b

大小，小大中间找

无解

大大，小小取不了

知识点四

：列不等式解决简单的实际问题

8.列不等式解应用题

（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：

a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；

b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

注意：

列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲

平面直角坐标系与函数

七、知识清单梳理

知识点一：平面直角坐标系

关键点拨及对应举例

1.相关概念

（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．

（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．

点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征

（1)各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：

点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；

点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；

点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；

点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）

坐标轴上点的坐标特征：

①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标

①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；

②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数

（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：

①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；

③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．

（5）点M（x,y）平移的坐标特征：

M（x,y）

M1(x+a,y)

M2(x+a,y+b)

（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题

（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．

（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：

点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；

点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|．

平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函

数

4.函数的相关概念

（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．

（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．

失分点警示

函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数y=中自变量的取值范围是x≥-3且x≠5.5.函数的图象

（1）分析实际问题判断函数图象的方法：

①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；

②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；

③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：

①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲

一次函数

八、知识清单梳理

知识点一

：一次函数的概念及其图象、性质

关键点拨与对应举例

1.一次函数的相关概念

（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b

＝0时，称为正比例函数．

（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质

k，b

符号

K＞0，b＞0

K＞0，b＜0

K＞0，b=0

k<0，b>0

k<0，b<0

k<0，b＝0

（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．

大致

图象

经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四

图象性质

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

3.一次函数与坐标轴交点坐标

(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，与y轴的交点是(0，b)；

(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．

例：

一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二

：确定一次函数的表达式

4.确定一次函数表达式的条件

（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：

①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；

③解：求出k与b的值，得到函数表达式．

（2）常见类型：

①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；

③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题.如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移

规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．

知识点三

：一次函数与方程（组）、不等式的关系

6.一次函数与方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：

（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x

＞4时，y的值为负数．

7.一次函数与方程组

y=k2x+b

y=k1x+b

二元一次方程组的解两个一次函数y=k1x+b

和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式

（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集

知识点四

：一次函数的实际应用

9.一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型

（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲

反比例函数的图象和性质

九、知识清单梳理

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质

关键点拨与对应举例

1.反比例函数的概念

（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．

（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：

①y＝；②y=kx-1;

③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)

例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质

k的符号

图象

经过象限

y随x变化的情况

（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示

（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0

图象经过第一、三象限

（x、y同号）

每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0

图象经过第二、四象限

（x、y异号）

每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征

（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在“、“不在“)

4.待定系数法

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二

：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义

（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：

失分点警示

已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用

.一般步骤

（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；

（2设出函数表达式；

（3）依题意求解函数表达式；

（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲

二次函数的图象与性质

十、知识清单梳理

知识点一：二次函数的概念及解析式

关键点拨与对应举例

1.一次函数的定义

形如y＝ax2＋bx＋c

(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.2.解析式

（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;

③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二

：二次函数的图象与性质

3.二次函数的图象和性质

图象

（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示

（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7

.开口

向上

向下

对称轴

x＝

顶点坐标

增减性

当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.最值

x=，y最小＝.x=，y最大＝.3.系数a、b、c

决定抛物线的开口方向及开口大小

当a＞0时，抛物线开口向上；

当a＜0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：

①

a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.③

2a+b的符号，需判断对称

轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.a、b

决定对称轴（x=-b/2a）的位置

当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；

当b＝0时，-b/2a=0，对称轴为y轴；

当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．

决定抛物线与y轴的交点的位置

当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；

当c＝0时，抛物线经过原点；

当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac

决定抛物线与x轴的交点个数

b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;

b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;

b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点

知识点三

：二次函数的平移

4.平移与解析式的关系

注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式

失分点警示：

抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．

知识点四

：二次函数与一元二次方程以及不等式

5.二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＜0，无实根

例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二次函数与不等式

抛物线y=

ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.第13讲

二次函数的应用

十一、知识清单梳理

知识点一：二次函数的应用

关键点拨

实物抛物线

一般步骤

若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.①

据题意，结合函数图象求出函数解析式；

②确定自变量的取值范围；

③根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中

求最值

①

分析问题中的数量关系，列出函数关系式；

②

研究自变量的取值范围；

③

确定所得的函数；

④

检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；

⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：

①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；

②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形

①

根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；

②

根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；

③

利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题

由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.第四单元

图形的初步认识与三角形

第14讲

平面图形与相交线、平行线

十二、知识清单梳理

知识点一：直线、线段、射线

关键点拨

1.基本事实

（1）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．

（2）线段的基本事实：两点之间，线段最短．

例：在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.知识点二

：角、角平分线

2.概念

（1）角：有公共端点的两条射线组成的图形．

（2）角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线

例：

（1）15°25＇＝15.5°；

37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇.（2）32°的余角是58°，32°的补角是148°.3.角的度量

1°＝60′，1′＝60＇＇，1°＝3600＇＇

4.余角和补角

（1)

余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；

（2)

补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角.（3）性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等．

知识点三

：相交线、平行线

5.三线八角

（1）同位角：形如”F”;（2）内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察

6.对顶角、邻补角

（1）概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角.（2）性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角.7.垂线

（1）概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线．

（2）性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

②垂线段最短．

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

例：如图所示，点

A到BC的距离为AB，点B到AC的距离为BD，点C到AB的距离为BC.8.平行线

（1）平行线的性质与判定

①同位角相等两直线平行

②内错角相等两直线平行

③同旁内角互补两直线平行

（2）平行公理及其推论

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

②平行于同一条直线的两直线平行．

（1）如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线.（2）在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用.知识点四

：命题与证明

9.命题与证明

（1）概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.（2）命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成“如果p，那么q“的形式，其中p是题设，q是结论.（3）证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.例：下列命题是假命题的有（③)

①相等的角不一定是对顶角；

②同角的补角相等；

③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题；

④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题.第15讲

一般三角形及其性质

十三、知识清单梳理

知识点一：三角形的分类及性质

关键点拨与对应举例

1.三角形的分类

（1）按角的关系分类

（2）按边的关系分类

失分点警示：

在运用分类讨论思想计算等腰三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

3.角的关系

（1）内角和定理：

①三角形的内角和等180°；

②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4.三角形中的重要线段

四线

性

质

（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.角平分线

（1）

角平线上的点到角两边的距离相等

（2）

三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）

中线

（1）

将三角形的面积等分

（2）

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

高

锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部

中位线

平行于第三边，且等于第三边的一半

5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结

如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=∠BAC-∠CAE=(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=(∠C-∠B）；

如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=∠A+90°；

如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=∠A，∠O’=∠O；

如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二

：三角形全等的性质与判定

6.全等三角形的性质

(1)全等三角形的对应边、对应角相等．

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．

(3)全等三角形的周长等、面积等．

失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定

一般三角形全等

SSS（三边对应相等）

SAS（两边和它们的夹角对应相等）

ASA（两角和它们的夹角对应相等）

AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）

失分点警示

如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等

(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）

(2)证明两个直角三角形全等同样可以用

SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用

（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：

如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲

等腰、等边及直角三角形

十四、知识清单梳理

知识点一：等腰和等边三角形

关键点拨与对应举例

1.等腰三角形

（1）性质

①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高

互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；

②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如若等腰三角形ABC的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形

（1）性质

①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定

①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二

：角平分线和垂直平分线

3.角平分线

（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若

∠1

＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平

分线上．

例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形

（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

知识点三：直角三角形的判定与性质

5.直角三角形的性质

(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；

(2)

30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝AB；

(3)

斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝AB.(4)

勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即

a2＋b2＝c2

.（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定

(1)

有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；

(2)

如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△

(3)

勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.第17讲

相似三角形

十五、知识清单梳理

知识点一：比例线段

关键点拨与对应举例

1.比例

线段

在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．

列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质

(1)基本性质：⇔

ad＝bc；（b、d≠0）

(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）

(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔

＝k.（b、d、···、n≠0）

已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.例：若，则.3.平行线分线段成比例定理

（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线

段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD应等于.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长

线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．

如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割

点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝=≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．

例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(－1)cm．

知识点二

：相似三角形的性质与判定

5.相似三角形的判定

(1)

两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行

线，可用平行线找出相等的角而判定；②条

件中若有一对等角，可再找一对等角或再找

夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中

若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件

中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证

明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有

等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等

或找底、腰对应成比例.(2)

两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．

如图，若∠A＝∠D，则△ABC∽△DEF.(3)

三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若，则△ABC∽△DEF.6.相似

三角形的性质

(1)对应角相等，对应边成比例．

(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．

例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2)

如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型

（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲

解直角三角形

十六、知识清单梳理

知识点一：锐角三角函数的定义

关键点拨与对应举例

1.锐角三角函数

正弦:

sinA＝＝

余弦:

cosA＝＝

正切:

tanA＝＝.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值

度数

三角函数

30°

45°

60°

sinA

cosA

tanA

知识点二

：解直角三角形

3.解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；

已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；

已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系

(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；

(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；

(3)边角之间的关系：sinA＝=cosB=，cosA＝sinB=，tanA＝.知识点三

：解直角三角形的应用

5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）

(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）

(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）

解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

（1）

叠合式

（2）背靠式

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤

(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；

(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

第五单元

四边形

第19讲

多边形与平行四边形

十七、知识清单梳理

知识点一：多边形

关键点拨与对应举例

1.多边形的相关概念

（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为．

多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解.例：

(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．

(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．

2.多边形的内角和、外角和

（1)

内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180°

（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n.（3)

正n边形有n条对称轴.（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.知识点二

：平行四边形的性质

4.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：

（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.例：

如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.5.平行四边形的性质

（1）

边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD

且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC.（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD

（4）对称性：中心对称但不是轴对称.6.平行四边形中的几个解题模型

（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB；

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.（3）

如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.（4）

根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.知识点三

：平行四边形的判定

7.平行四边形的判定

（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形.第20讲

特殊的平行四边形

一、知识清单梳理

知识点一：特殊平行四边形的性质与判定

关键点拨及对应举例

1.性质

（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）

矩

形

菱

形

正方形

(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC;

_两

对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为

等边

三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.（1）四个角都是直角

（2）对角线相等且互相平分.即

AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽

=2S△ABD=4S△AOB.（1）四边相等

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角

（3）面积=底×高

=对角线_乘积的一半

(1)四条边都相等，四个角都是直角

(2)对角线相等且互相垂直平分

(3)面积=边长×边长

=2S△ABD

=4S△AOB

2.判定

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形

（2）有三个角是直角

（3）对角线相等的平行四边形

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形

（2）对角线互相垂直的平行四边形

（3）四条边都相等的四边形

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形

（2）一组邻边相等的矩形

（3）一个角是直角的菱形

（4）对角线相等且互相垂直、平分

例：判断正误.邻边相等的四边形为菱形.（）

有三个角是直角的四边形式矩形.（）

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（）

对边相等的矩形是正方形.（）

3.联系

包含关系：

知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳

4.中点四边形

（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.5.特殊四边形中的解题模型

（1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO.（变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.）

图①

图②

图③

图④

第六单元

圆

第21讲

圆的基本性质

十八、知识清单梳理

知识点一：圆的有关概念

关键点拨与对应举例

1.与圆有关的概念和性质

（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过

圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个

交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；

（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二

：垂径定理及其推论

2.垂径定理及其推论

定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸

根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：

①

弧AC=弧BC;

②弧AD=弧BD；

③AE=BE;

④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三

：圆心角、弧、弦的关系

3.圆心角、弧、弦的关系

定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

知识点四

：圆周角定理及其推论

4.圆周角定理及其推论

（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图a,∠A=1/2∠O.图a

图b

图c

（2)推论：

①

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②

直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③

圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．

第22讲

与圆有关的位置关系

十九、知识清单梳理

知识点一：与圆有关的位置关系

关键点拨及对应举例

1.点与圆的位置关系

设点到圆心的距离为d.(1)d

⇔点在⊙O内；(2)d＝r

⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．

判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系

位置关系

相离

相切

相交

由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形

公共点个数

0个

1个

2个

数量关系

d＞r

d＝r

d＜r

知识点二

：切线的性质与判定

3.切线的判定

（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质

（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长

（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四

：三角形与圆

5.三角形的外接圆

图形

北师大版九年级下册数学中考知识点梳理27讲

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