21.4 第3课时 利用二次函数模型解决抛物线形运动轨迹问题
一、选择题
1.如图小芳在某次投篮时,球的运动路线是抛物线y=-15x2+3.5的一部分.若想命中篮圈中心,则她与篮底的距离l应是
()
A.3.5
m
B.4
m
C.4.5
m
D.4.6
m
2.[2020·山西]
竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为
()
A.23.5
m
B.22.5
m
C.21.5
m
D.20.5
m
3.[2018·威海改编]
如图1,将一个小球从斜坡上的点O处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数y=4x-12x2刻画,斜坡可以用一次函数y=12x刻画,下列结论错误的是
()
图1
A.当小球抛出高度达到7.5
m时,小球距点O的水平距离为3
m
B.小球距点O的水平距离超过4
m后呈下降趋势
C.小球落地点距点O的水平距离为7
m
D.小球距点O的水平距离为2.5
m和5.5
m时的高度相同
4.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)之间满足函数表达式h=-t2+24t+1.则下列说法中正确的是
()
A.点火后9
s和点火后13
s的升空高度相同
B.点火后24
s火箭落于地面
C.点火后10
s的升空高度为139
m
D.火箭升空的最大高度为145
m
二、填空题
5.某广场有一个喷水池,水从地面喷出,如图11-1,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-2x2+8x(单位:m)的一部分.若想求出水喷出的最大高度,则需要将抛物线的表达式配方成顶点式为 ,由于抛物线开口向下,故当与出水点的水平距离为 m时,喷出的水达到最大高度,是 m.6.一个网球发射器向空中发射网球,网球飞行的路线是一条抛物线,如果网球距离地面的高度h(米)关于运行时间t(秒)的函数表达式为h=-180t2+14t+1(0≤t≤20),那么网球到达最高点时所需的时间是 秒.7.某市政府大楼前的广场上有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.若以水平地面为x轴,建立如图2所示的平面直角坐标系(O为喷水点),水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是 米.图2
8.某次羽毛球比赛中,羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图3).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y=-29x2+89x+109,则羽毛球落地时飞出的水平距离为 米.图3
三、解答题
9.在某校九年级的一场篮球比赛中,如图4,队员甲正在投篮,已知球出手时离地面209
m高,与篮圈中心的水平距离为7
m,当球出手后水平距离为4
m时到达最大高度4
m,篮球运行的轨迹为抛物线,篮圈距地面3
m.(1)建立如图4所示的平面直角坐标系,此球能否准确投中?
(2)此时,若对方队员乙在甲前面1
m处跳起拦截,已知乙的最大摸高为3.1
m,那么他能否拦截成功?
图4
10.如图5,甲站在球场边缘的O处接对手乙打过来的网球,从点O正上方1
m的A处把乙打过来的网球回击过去,把球看成点,其飞行的高度y(m)与飞行的水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x-8)2+h.已知球网与点O的水平距离为12
m,高度为1.07
m,球场的边界距点O的水平距离是24
m.(1)当a=-120时,①求h的值;②网球能否越过球网?网球会不会出界?请说明理由.(2)若甲击球过网后,乙抓住机会及时上前,恰好在距网3
m、网球高度为1.5
m的B处将网球拦截成功,在此条件下能否确定a的值?若能,求出a的值;若不能,请说明理由.图5
11.某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图6所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;
(2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.图6
答案
1.B
.C
.A
D
4.y=-2(x-2)2+8 5 8
6.10
7.4
8.5
9.解:(1)由题意,知抛物线的顶点坐标为(4,4),球出手时的坐标为(0,209).设抛物线的函数表达式为y=a(x-4)2+4.将(0,209)代入,得16a+4=209,解得a=-19,则抛物线的函数表达式为y=-19(x-4)2+4.∵当x=7时,y=-19×9+4=3,∴此球能准确投中.(2)∵当x=1时,y=-19×9+4=3<3.1,∴他能拦截成功.10解:(1)①当a=-120时,y=-120(x-8)2+h.把(0,1)代入,得1=-120×(0-8)2+h,解得h=4.2.②网球能越过球网且不会出界.理由:由①得函数表达式为y=-120(x-8)2+4.2.当x=12时,y=-120×(12-8)2+4.2=3.4.因为3.4>1.07,所以甲回击的网球能越过球网.当x=24时,y=-120×(24-8)2+4.2=-8.6.因为-8.6<0,所以甲回击的网球不会出界.(2)能确定a的值.根据题意,得1=a×(0-8)2+h,1.5=a×(15-8)2+h,解得a=-130,h=4715.所以a=-130.11解:(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5.将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得25a+5=0,解得a=-15,∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-15(x-3)2+5(0
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