23.1.2.30°,45°,60°角的三角函数值
一、选择题
1.cos30°的值为
()
A.22
B.32
C.1
D.3
2.[2019·怀化]
已知∠α为锐角,且sinα=12,则∠α等于
()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,a=1,c=2,则∠A的度数为()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
4.点M(-sin60°,-cos60°)关于x轴对称的点的坐标是
()
A.32,12
B.-32,-12
C.-32,12
D.-12,-32
5.[2019·合肥长丰县一模]
在△ABC中,已知∠A,∠B都是锐角,sinA-12+(1-tanB)2=0,那么
∠C的度数为
()
A.75°
B.90°
C.105°
D.120°
6.已知∠C=75°,则∠A与∠B满足以下哪个选项才能构成△ABC
()
A.sinA=22,sinB=22
B.cosA=12,cosB=32
C.sinA=22,tanB=3
D.sinA=32,cosB=12
二、填空题
7.在△ABC中,∠C=90°,若∠A=45°,则cosA+cosB=.8.已知α是锐角,若sinα=cos15°,则α= °.9.已知∠α为锐角,且tanα=3,则tan(90°-α)=.10.如图1,在正方形网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cos∠BAC=
.11.身高相同的甲、乙、丙三人在同一地面上放风筝,各人放出的线长分别为200
m,250
m,300
m,线与水平线的夹角分别为60°,45°,30°(假设风筝线是拉直的,且风筝线的一端在头顶处),那么三人中放的风筝最低的是.(填“甲”“乙”或“丙”)
图1
12.如图2,在等边三角形ABC中,D是BC边上一点,延长AD到点E,使AE=AC,∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O,则tan∠AEO=.图2
三、解答题
13.计算:
(1)2cos230°-2sin60°·cos45°;
(2)cos60°-22sin45°+|-3tan30°|;
(3)tan260°-4tan60°+4-3cos60°5sin30°-1.14.数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现在一副三角尺中,含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图3,将一副三角尺的直角顶点重合拼放在一起,点B,C,E在同一直线上,若BC=2,求AF的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.图3
15.如图4,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AC=12,∠BAD=30°,∠DAC=45°,求AB的长.图4
16.如图5,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,AD=1633,求∠B的度数及边AB,BC的长.图5
17.类似在直角三角形中研究三角函数,我们新定义:等腰三角形中腰与底边的比叫做底角的邻对(can),如图6①,在△ABC中,AB=AC,底角∠B的邻对记作canB,这时canB=腰底边=ABBC=ACBC.容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的.根据上述角的邻对的定义,解决下列问题:
(1)计算can30°,can45°和can60°的值;
(2)如图②,已知在△ABC中,AB=AC,canB=1324,若△ABC的周长为50,求△ABC的面积.图6
答案
1.B
2.[解析]
A ∵∠α为锐角,且sinα=12,∴∠α=30°.故选A.3.[解析]
B 在Rt△ABC中,∠C=90°,a=1,c=2,∴sinA=ac=12=22,∴∠A=45°.故选B.4.[解析]
C 关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同,纵坐标互为相反数.5.[解析]
C ∵sinA-12+(1-tanB)2=0,∴sinA-12=0,(1-tanB)2=0,∴sinA=12,tanB=1.又∵∠A,∠B都是锐角,∴∠A=30°,∠B=45°,∴∠C=180°-30°-45°=105°.故选C.6.[解析]
C ∵∠C=75°,∴∠A+∠B=180°-75°=105°.A项,sinA=22,sinB=22,则∠A=45°,∠B=45°,∠A+∠B=90°,故本选项错误;
B项,cosA=12,cosB=32,则∠A=60°,∠B=30°,∠A+∠B=90°,故本选项错误;
C项,sinA=22,tanB=3,则∠A=45°,∠B=60°,∠A+∠B=105°,故本选项正确;
D项,sinA=32,cosB=12,则∠A=60°,∠B=60°,∠A+∠B=120°,故本选项错误.故选C.7.[答案]
[解析]
∵∠A=45°,∠C=90°,∴∠B=45°,∴cosA+cosB=cos45°+cos45°=22+22=2.8.[答案]
[解析]
∵α是锐角,sinα=cos15°,∴α=90°-15°=75°.故答案为75.9.[答案]
[解析]
∵tanα=3,∴α=60°,∴90°-α=30°,∴tan(90°-α)=tan30°=33.10.[答案]
[解析]
连接BC,易判断△ABC为等腰直角三角形,故cos∠BAC=cos45°=22.11.丙
12.[答案]
[解析]
由题意可证△BOA≌△EOA,则∠AEO=∠ABO=30°,所以tan∠AEO=33.13.解:(1)原式=2×(32)2-2×32×22=32-62=3-62.(2)原式=12-22×22+3×33=12-12+3=3.(3)原式=|tan60°-2|-3×125×12-1=2-3-1=1-3.14.解:在Rt△ABC中,∵BC=2,∠A=30°,∴AC=BCtanA=23,∴EF=AC=23.∵∠E=45°,∴FC=EF·sinE=6,∴AF=AC-FC=23-6.15.解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ADC中,cos∠DAC=ADAC,∴AD=AC·cos45°=12×22=62.在Rt△ABD中,cos∠BAD=ADAB,∴AB=ADcos30°=6232=46.16.解:在Rt△ACD中,∵cos∠CAD=ACAD=81633=32,∠CAD为锐角,∴∠CAD=30°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=30°,∴∠BAC=60°,∴∠B=90°-∠BAC=30°.∵sinB=ACAB,∴AB=ACsinB=8sin30°=16.∵cosB=BCAB,∴BC=AB·cosB=16×32=83.17.解:(1)如图,∠B=∠C=30°,AD是BC边上的高,设AB=AC=2,则BD=CD=3,∴BC=23.根据邻对的定义,得can30°=canB=ABBC=223=33.若∠B=∠C=45°,则△ABC是等腰直角三角形,则can45°=canB=12=22.若∠B=∠C=60°,则△ABC是等边三角形,则can60°=canB=1.(2)过点A作AD⊥BC于点D.设AB=AC=13x,则由邻对的定义,得BC=2413AB=24x,∴13x+13x+24x=50,解得x=1,∴AB=AC=13,BC=24,∴BD=CD=12,∴AD=AB2-BD2=132-122=5,∴S△ABC=12BC·AD=12×24×5=60.
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