人教版
九年级数学下册
第二十七章
相似
综合训练
一、选择题
1.(2019•雅安)若，且，则的值是
A．4
B．2
C．20
D．14
2.(2019•雅安)如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与相似的是
A．
B．
C．
D．
3.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是()
A．(2,4)
B．(－1，－2)
C．(－2，－4)
D．(－2，－1)
4.（2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（）
A．3
B．2
C．4
D．5
5.（2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）
A．15
B．20
C．25
D．30
6.（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且=，则的值为（）
A．
B．
C．
D．
7.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为()
图27－Y－3
A．4
B．4
C．2
D．8
8.(2019•贺州)如图，在中，分别是边上的点，若，则等于
A．5
B．6
C．7
D．8
二、填空题
9.（2020·盐城）
如图，且，则的值为
．
10.（2020·吉林）如图，在中，分别是边，的中点．若的面积为．则四边形的面积为_______．
11.(2019•郴州)若，则__________．
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE，BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝________．
13.(2019•烟台)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，与是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为__________．
14.在由边长均为1的小正方形组成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图27－Y－7，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是________．
15.（2020·临沂）如图，在中，为边的三等分点，为与的交点.若，则_________.16.（2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，则______，______．
三、解答题
17.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
图① 图② 图③
18.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，与AB，CD分别交于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.(1)求证：OE＝OF；
(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．
19.(2019•张家界)如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．
(1)求证：；
(2)若，求FG的长．
20.（2020·杭州）如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，．
（1）求证：．
（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
21.（2020·泰州）如图，在中，，为边上的动点（与、不重合），交于点，连接，设，的面积为．
（1）用含的代数式表示的长；
（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．
22.（2020•丽水）如图，在△ABC中，AB＝4，∠B＝45°，∠C＝60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长.23.（2020·江苏徐州）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点.它们的比值为.（1）在图①中，若AC=20cm，则AB的长为
cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B的对应点H，得折痕CG.试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE>DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.图①
图
②
图③
24.（2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，连接BD，AB﹦BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
图（1）
图（2）
备用图
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九年级数学下册
第二十七章
相似
综合训练-答案
一、选择题
1.【答案】A
【解析】由a∶b=3∶4知，所以．
所以由得到：，解得．所以．
所以．故选A．
2.【答案】B
【解析】因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选B．
3.【答案】C 解析：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以－2，故点A的坐标是(1,2)，则点A′的坐标是(－2，－4)．
4.【答案】
A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．
5.【答案】
B
【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．
6.【答案】A
【解析】利用平行截割定理求的值．∵DE∥AB，∴==，∵CE+AE=AC，∴=．
7.【答案】B [解析]
依题意可知S△ADE＝1，S△ABD＝2，∴S四边形ABDE＝3.∵AB⊥AD，AD⊥DE，∴DE∥AB，∴△EDC∽△ABC，∴＝()2，即＝()2，解得S△ABC＝4.故选B.8.【答案】B
【解析】∵，∴，∴，即，解得：，故选B．
二、填空题
9.【答案】2
【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，设DE＝x,则AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8,x2＝2(舍去)，此本题答案为2
．
10.【答案】
【解析】点，分别是边，的中点，即
又，则四边形的面积为.故答案为：．
11.【答案】
【解析】∵，∴，故2y=x，则，故答案为：．
12.【答案】
[解析]
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB＝1.∵AB∥CD，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∴＝，∴＝.∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△BDC，∴＝＝.∵CD＝2，∴PQ＝.13.【答案】
【解析】如图，连接并延长，并延长，与的交点即为位似中心P点，由图可知、B、P在一条直线上，则P点横坐标为–3，由图可得和的位似比为，所以，解得PB=2，所以P点纵坐标为2，即P点坐标为．故答案为：．
14.【答案】5
[解析]
∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，AC∶BC＝1∶2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1∶2.若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，∴画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4.在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的格点三角形．
∵＝＝＝，∴△ABC∽△DFE，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积为×2
÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为5
.15.【答案】1【解析】
∵D、E为边AB的三等分点，∴BE=ED=AD=AB.∵，∴∴.16.【答案】2 －1
【解析】设BE＝x，则AB＝AE＋BE＝2＋x．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2＋x，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC．由折叠得∠BEC＝∠DEC，EF＝BE＝x，∴∠DCE＝∠DEC．∴DE＝CD＝2＋x．∵点D，F，E在同一条直线上，∴DF＝DE－EF＝2＋x－x＝2．∵AB∥CD，∴△DCF∽△EAF，∴＝．∴＝，解得x1＝－1，x2＝－－1．经检验，x1＝－1，x2＝－－1都是分式方程的根．∵x＞0，∴x＝－1，即BE＝－1．
三、解答题
17.【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝
.又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.(3)120，.18.【答案】
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE＝OF.(2)由平行四边形的性质可知DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∴CM＝BM＋BC＝5.由(1)可知△BOE≌△DOF，∴DF＝BE，∴CF＝CD－DF＝6－BE.∵AB∥CD，∴△MBE∽△MCF，∴＝，即＝，∴BE＝1.19.【答案】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∵BE=AB，AE=AB+BE，∴，∴，∴．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，即，解得，．
20.【答案】
解：
（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．
（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．
②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面积是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面积是45．
21.【答案】
解：
（1）∵DP∥AB
∴△DCP∽△ACB
∴
∴
∴
∴AD＝3－
（2）∵△DCP∽△ACB,且相似比为x：4．
∴S△DCP：S△ACB＝x2：16
∴S△ABC＝
∴S△DCP＝
∴S△APB＝
∴S＝S△ABC－S△ABP－S△CDP
当
时，S随x增大而减少．
22.【答案】
解：（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝44．
（2）①如图2中，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP，∵AE＝EB，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠PEB＝90°，∴∠AEP＝180°﹣90°＝90°．
②如图3中，由（1）可知：AC，∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°，∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，∴∠AFE＝∠B，∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，即，∴AF＝2，在Rt△AFP，AF＝FP，∴APAF＝2．
23.【答案】
解：
（1）.解：∵，AC=20，∴AB=.（2）延长CG交DA的延长线于点J，由折叠可知：∠BCG=∠ECG，∵AD∥BC，∴∠J=∠BCG=∠ECG，∴JE=CE.由折叠可知：E、F为AD、BC的中点，∴DE=AE=10，由勾股定理可得：CE=,∴EJ=，∴AJ=JE-AE=-10，∵AJ∥BC，∴△AGJ∽△BGC，∴,∴G是AB的黄金分割点.（3）PB=BC，理由如下：∵E为AD的黄金分割点，且AE>DE，∴AE=a.∵CF⊥BE，∴∠ABE+∠CBE=∠CBE+∠BCF=90˚,∴∠ABE=∠FCB,在△BEA和△CFB中，∵，∴△BEA≌△CFB，∴BF=AE=a.∴,∵AE∥BP，∴△AEF∽△BPF,∴,∵AE=BF,∴PB=AB，∴PB=BC.24.【答案】
（1）是；
（2）结论成立．
理由如下：
∵BD⊥DF，ED⊥AD，∴∠BDC＋∠CDF﹦90°，∠EDF＋∠CDF﹦90°．
∴∠BDC﹦∠EDF．
∵AB﹦BD，∴∠A﹦∠BDC．
∴∠A﹦∠EDF．
又∵∠A﹦∠E，∴∠E﹦∠EDF．
∴EF﹦FD．
又∠E＋∠ECD﹦90°，∴∠ECD﹦∠CDF．
∴CF﹦DF．
∴CF﹦EF．
∴F为CE的中点．
（3）在备用图中，设G为EC的中点，则DG⊥BD．
∴GD﹦EC﹦．
又BD＝AB＝6，在Rt△GDB中，GB＝＝．
∴CB＝—＝3．
在Rt△ABC中，AC＝＝3．
由条件得：△ABC∽△EDC．
∴＝．
∴CD＝．
∴AD＝AC＋CD＝3＋﹦．
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