110714119 刘占芳 浅谈小学数学教学中的分类思想

第一篇：110714119 刘占芳 浅谈小学数学教学中的分类思想

浅谈小学数学教学中的分类思想

摘要：

分类思想作为数学思想方法中的一种，渗透于整个小学的数学教材体系中。通过分类可以使大量看似纷繁复杂的事物条理化、系统化，从而为我们深入研究学习创造条件，提供便利可行的途径。分类思想在数学知识的概念学习中十分重要，因此对小学数学教学中分类思想的应用进行整理，对分类思想在学生思维上起到的作用进行研究，不仅能够加深对数学思想方法渗透于教学的理解和应用，更对提高教学效率，优化教学方法有着积极的指导作用。关键词：

小学数学；分类思想；数学思维

一、小学数学分类思想的生成

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在小学数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯既符合新的课程标准，也是数学素质教育的一个切入点。[1]小学数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。[2]掌握好这类思想对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

二、分类思想方法的渗透

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、书籍的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

如在五年级“方程的意义”教学中，学生对方程意义的理解就是通过式的二次分类建构对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的特质的。教学时首先出示各种各样的“式”，按照式子中有无等号可分为：有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：含有未知数和不含有未知数的等式。进一步分别对每种情况中的第一类进行观察，将他们分类，该如何进行？将有等号的式子按照式子中是否含有未知数，分成两类：含有未知数的式子和不含有未知数的式子。将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，分成两类：有等号的式子和没有等号的式子。此时，满足方程的二要素便很清楚了：含有未知数、等式。

结合式的分类、数的分类等教学内容，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识，并能在分类的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把自然数分为：合数、零和奇数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

三、分类思想方法的应用

1、分类——概念的引入无痕化 有效的数学学习，必然是建立在对儿童心理准确把握的基础之上。小学阶段，儿童以形象思维为主，认知水平不高，其最大的特点是思维离不开具体事物的支撑。分类必然存在分类对象，满足了学生的认知需要形象支撑的特点。[3]

案例：人教版五年级上册《方程的意义》教学片断

第一部分，通过多媒体演示天平称量不同重量的物体，平衡或倾斜的现象，得出如下式子：22+30=50，100﹥80，80﹤100, 80+X=100，80+X﹥100，80﹤2X

3X=180，100+Y=3×50

师：仔细观察这些式子，你能将它们分分类？并说说，你是按什么标准来分的。

第二部分，学生分类活动后，汇报如下：

（图1）

（图2）

2、分类——概念的理解深入化

数学研究对象主要是事物的数量关系和空间图形，这种关系是要逐步脱离事物的物质属性。正视学生概念学习的困难，在具体情境中，借助学生已有知识背景和生活经验，利用分类思想，使抽象的概念形象化，便于学生理解和掌握。

案例：人教版二年级上《数学广角》教学片断

第一部分：教师出示1、2两张数字卡片，问：可以组成哪些两位数？

生很快得出12，21教师板书：

师：观察这两个两位数，你发现什么？ 生：12,21相互交换了十位和个位上的数字。我们可以把这种方法叫做“交换法”。

第二部分：教师出示1，2，3三张数字卡片，问：可以组成哪些两位数？

生思考后得出12，21，23，32，13，31。汇报时，教师要有意将6个数字分类板书如（图1）

师：看看着6个两位数，你认为它们可以分成几组?（图3）

在第一部分的铺垫下，学生一般都会以交换数位的两个数为一组，分成3组，板书上分割线。

第三部分：引导学生在分类的基础上找“序”。

师：刚才我们是拿两张数字卡片，用交换的方法得到6个不同的两位数。你还有其他的方法吗？

生思考。

师提示：“我们在拿两位数的时候，需要拿几次数字卡片？” 生：两次

师：我们是否可以根据拿的顺序将这3张卡片分成两组。师示例并板书：

第一次拿出数字1，把1放在十位，可以和剩下的2，3放在个位，分别组成12，13。我们可以把这种方法叫做“固定一位法”。你能按照这样的方法接着往下拿？

与学生一起完成。

师：如果第一次拿的数放在个位，会是一组什么情况？ 生：21，31；12，32；13，23 师：你还可以按照什么顺序拿卡片？请你们拿卡片，分一分，写一写。

第四部分，交流汇报，教师板书：

13，12；23，21；32，31

31，32；23，21；12，13

由汇报的结果可见，学生的思维被完全打开。

3、分类——复杂的问题简单化

数学学习的本质是学生在教师的引导下能动的组建认知结构，并使自己得到全面发展的过程。分类中的逐级分类，逐级讨论，可以使学生思维互补深入。应用分类，可以化整为零，对每个子类的情况分别讨论，各个击破，再合零为整，可以使看似复杂的问题变得简单

案例：人教版四年级下册《三角形内角和》教学片断

第一部，分出示两块三角板，告诉学生这节课的主题：研究三角形3个内角的度数和。

第二部分，分别算出两块三角板的内角和，引发对内角和的猜测，“三角形的内角和，是否都是180度？” 第三部分，证明方法的讨论。

师：怎么样证明一个三角形的内角和是否都是180度呢？ 生：量出这个三角形的3个内角，加一加就知道了。

师：除了测量，计算，还有什么其他办法？（引导学生思考平角180度，可否利用平角的性质，和三角形3个内角和比一比）

生：三个角剪下来，拼在平角上，和平角比一比。

师：怎么样证明所有三角形的内角和，是否都是180度？要把所有的三角形都找来证明吗？（用三角形的分类，引导学生证明三类三角形的内角和，每类各取1个。）

第四部分，学生活动后，汇报：

数学思想方法作为数学教学的重要组成部分，已日益引起教育工作者的关注。渗透在教学中的分类思想已成为一种行为习惯乃至精神，在学生跨出校门后，长期指导着他们的工作和生活。可以说，敏锐的思维，严密的逻辑与幼年时所接受的数学教育，特别是分类思想的熏陶，是密不可分的。参考书目：

1.张奠宙.《数学素质教育设计》［c］，2.朱成杰.《数学思想方法的频数分布及其思考》［J］，数学教学，1994（1）：37-41

3.张玉琴.《我的无痕教学》［J］，福建教育，2011(1):19-21.

第二篇：刘芳教学论文

如何使聋生学好数学

本学期我承担了初一年级数学的教学任务，从一名语文老师转变为数学老师，在教学方法等方面都处在探索阶段。通过一学期的教学实践，我认为要使聋生学好数学，教师应从以下几方面着手：

一、通过采取直观的教学手段，帮助学生扫除学习障碍。

1、借助直观的图形、图片帮助学生理解教材。

图画、图片具有生动形象的特点，具有鲜明的启发性，是向聋生传授知识的最好的辅助方法。由于聋生先天缺陷，对应用题中的数量关系缺乏正确的理解，无从正确找出应用题中的数量关系，因而导致个别学生在做应用题时一错全错，遇到应用题不知所措。为了帮助他们掌握应用题的内在结构，弄清数量关系，我在把画线段图的方法渗透到数学教学中，帮助其理解题意。这样能帮助聋生深入理解题意，分析题中的数量关系。

2、借助教具和实物，拓展聋生的思维空间。

实物是耳聋学生能够看得到得到的，是教学效果最好的教具。如我在讲圆的周长时，除了运用圆规等，还运用了学生吃饭的饭盆作为教具。用一根线绕着饭盆缠一圈，线的长度就是圆的周长；在教学直径和圆周长的关系时，我用了水桶，杯子盖等教具，让学生自己动手量，得出了不管是大圆还是小圆，直径和周长的关系都在3左右，并让学生真正理解了π的含义，突破了本节课的教学难点。

二、教学内容多与实际生活相联。

1、教学的生活化。

当教学问题是聋生生活中曾经碰到或可能碰到的问题时，即可将教学情境转化为生活情境。如在教学“元、角、分的认识和计算”时，我导演学生模拟买卖货物的情景，学生轮流做售货员和顾客，开展活动，如一个学生拿2元钱买单价是1元3角的圆珠笔，售货员怎么找钱？2元等于多少 1 角？1元3角又等于多少角？应找回多少钱？这一系列问题既形象直观又训练了学生的思维。

2、教学的游戏化。

当有些教学情境不能生活化时，我们还可以采用游戏的方法，在课堂上直接创设情境。例如教学“比的意义“时，教师可让他们赛跑，通过求赛跑的速度掌握了求比值的方法。生动形象的语言富有感染力，能唤起聋生的形象思维，激发了聋升学习新知识的兴趣。

三、多让聋生实际动手操作。

动手操作有利于引发聋生的学习兴趣。许多聋生在学习数学时往往感到枯燥、乏味，而解决之一矛盾的最好方法就是根据聋生的思维特点，适当增加聋生动手的机会。例如在教学“比的概念”时，我举了以下例子：身高与双臂平伸的比大约是1：1，脚长和身高的比是1：7，学生立刻来了兴趣，亲身动手测量，使教学取得令人欲想不到的效果。

四、充分运用现代化的教学手段。

聋生的视觉是他们获取知识的主要途径。因此，电脑或投影仪等现代化教学设备的演示是我们聋校教师给聋生们传授知识的有力武器。

现代化的教学手段有助于激发聋生的学习兴趣，使学生易于接受新知识。例如我在听一数学课时，有位老师在教“加减混合运算”时的做法就很值得我们学习：让学生观察汽车开进开出的变化，知道车子开出去了，要去掉开出去的一部分，用减法计算；车辆开进来了，要合并在一起，用加法计算。把车辆开动的连续动作，用数学符号记录下来，就列出了加减混合计算的算式。这样，聋生的思维有根据，真正理解了加减混合运算的意义，也培养了他们的想象力。

总之，在聋校数学教学中，我们应时刻把学生放在首位，要根据聋生的认识特点精心组织教学，结合具体教学内容，学生的年龄特征，因材施 2 教，要让学生学会思考、勇于实践、勇于创新，要让每一个学生都能熟悉和探索数学世界，感受数学的乐趣与力量。

第三篇：小学数学教学中的分层分类教学

小学数学教学中的分层分类教学

分层教学是指在大纲统一要求下，关注学生的个体差异。即针对学生不同的个性特征和心理倾向、不同的知识基础和学生的接受能力，将全班学生动态地分为两个不同的层次。然后设计多层次的教学目标，运用不同的教学方法，采取小组合作学习组织形式，充分调动不同层次学生的学习积极性和主动性，使每个学生都能在各自的”最近发展区域”内得到充分的发展。这符合《数学课程标准》提出的：数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生的教学新理念。

一、分层分类教学的必要性。

一个班级的学生在知识能力、学习态度、学习方法等方面存在着较大的差异，而素质教育要求我们要面向全体学生，使每个学生的才能得到充分的发展。如何让优等生“吃得好”、中等生“吃得饱”、差等生“吃得了”，这就决定了现行的教育必须遵循因材施教原则，实行分层分类教学。因此，在教学中根据学生发展水平的差异设置不同层次的发展目标，激发学生的活力，改变学生被动学习、被动发展的状态，努力形成学生主动学习、主动发展的局面，提高全体学生的素质显得尤为重要。

二、课堂教学的分层。

【一】问题设计的分层。

不同层次学生，我们要给他们设计不同层次的问题。成功的设计方案能让全班的孩子都参与到课堂中来，让每一个孩子都体验到成功的感觉。

【1】根据学生的智商层次设计提问：老师的提问要把握好问题的难易度，给不同层次的学生提难易适度的问题。提问时要先提问中下水平的学生，让中下生有发言的机会。对内容简单思考性不强的问题，应首先让后进生回答，即使后进生一时回答不出，也可让优等生帮助回答后，再让后进生重述，直至正确为止，这样让后进生也能体验到成功。在后进生回答问题时教师要耐心启发，引导鼓励他们大胆回答。在突破重难点时，就要发挥优等生的优势，启发全体学生深刻理解，及时进行反馈。这样安排能使各个层次的学生在课堂上都有言可发，学有所得。

【2】根据学生的思维偏好设计提问：观察力较强的学生多提信息收集类问题，例如：问“你看到了什么？”，……；想像力丰富的学生多提猜测性的问题，例如，问：“接下去会怎样？”，……；理解力较强的学生多提逻辑思维性的问题，例如，问：“你是怎样想出来的？”，……；概括力较强的学生多提总结性问题，例如，问：“你明白了什么？”，……

【3】根据学生的个性特点设计提问：活泼开朗、表达能力强的学生多提需要长篇叙述的问题，胆小腼腆的学生多提书上能找到答案、回答篇幅较简短的问题，给不同层次及类别的学生充分交流的时间和空间，让全体学生能够在平等交流、互助协作中取长补短，使自己各方面的发展更加全面、平衡。

【二】教学目标及能力培养的分层。

教学目标是课堂教学的出发点和归宿，对整个教学过程起着调节、导向和控制作用，不同层次的学生，对于知识的形成过程和掌握程度我们都要有不同的要求。因此，正确制定不同层次的教学目标是实施分层教学的重要前提，教师课前应认真钻研教材，把握大纲及教材的重难点，在备课中针对教材和不同层次学生的实际，准确把握本节课的教学目的要求，制定分层教学目标：人人达到的基础教学目标和学有余力的学生立足发挥他们的潜力的提高性教学目标。如在教学四年级上册《植树问题》这个内容时，公式的推导过程复杂而较难理解，理解能力特别差的学生根本就不能掌握。这时我只要求让C类学生在实际操作和比较中感受植树问题的特征并能掌握最后的计算公式就可以了，对于理解能力较强的A、B类学生，则要求他们能理解段数与植树棵数之间的规律，能够根据题意画简单的线段图，能根据线段图正确推导公式及列式解答，培养学生借助图形解决问题的意识。

在课堂教学中，对优生以“放”为主，“放”中有“扶”，重在指导自学；对中等生和后进生以“扶”为主，“扶”中有“放”，重在带领学生学习。在分层实施阶段，我们充分考虑学生的学习兴趣、学习能力、学习习惯、学习成绩等因素，结合学生意愿和教师规范等，将学生按照A、B、C三个层次以1:2:1的比例配比分组，使学生在课堂探究活动中能够充分发挥小组内各个成员的优势互补作用，努力做到以点带面，使课堂效率得到最大化。

【三】课堂练习的分层。

练习分层，每节课设计的练习要有层次性，由浅入深。

【1】第一层次：基础练习，全班统一要求，重点辅导后进生，过好模仿练习这一关。

【2】第二层次：变式练习或简单的综合练习，要求B类和A类学生掌握，这类题重点指导B类学生，也鼓励C类学生尝试做，作为他们的附加题。

【3】第三层次：提高题，具有思考性、开放性和创造性，要求A类学生多思考、多练习，也鼓励B类学生做一做，作为他们的附加题。

三、学生评价的分层。【一】课堂评价

课堂的分层分类评价是反馈教师教学思想、教学行为的表现。小学生的学习行为的发展，很大程度依赖于老师的评价。对不同学习能力的学生如用同一尺度去评价，不仅会扼杀后进生的学习热情，也会影响优秀生的学习积极性。因此教师应准确地根据学生的实际情况，尊重学生的差异，进行有针对性的课堂评价，更好地推动优秀生精益求精，保护后进生的自尊心，提高他们的学习兴趣，营造浓郁的课堂民主氛围。

【二】课后评价

把智力水平不同、基础能力不同的学生用一个标准来评价，显然是不科学的。我采取的方法是分组评价，把班上成绩接近的学生按4人或5人分为一组，小组内的同学从作业、平时测验、上课回答问题等方面来进行竞争。因为同组的同学实力相当，所以竞争也非常激烈。一个月评选一次红旗小组，加以奖励。这样成绩中下等的学生拥有同样获胜的机会，他们的自信心也能得到极大的提高。成绩非常好的学生，由于同组的实力都很大，更加激起他们的斗志。

【三】期终评价

成功的评价反馈是对学生学习的最高奖赏，是激励学生学习的有力手段。对不同层次的学生应采用不同的评价标准。对差等生采用表扬评价，寻找其闪光点，及时肯定他们的点滴进步；对中等生采用激励性评价，既揭明不足又指出努力方向，促使他们的积极向上；对优等生采用竞争性评价，坚持高标准严要求，促使他们更加严谨谦虚，不断超越自我。

总之，能有效调动不同层次学生的学习积极性，参与到课堂教学活动中去，促使每个学生在原有的基础上都得到发展才是我们开展分层教学的初衷。

四、采用分层分类教学应注意的问题。

【一】要端正教学思想。采用分层分类教学是为了促进各个层次间的融合，增强班集体的凝聚力，使全体学生都能搭载集体这辆特快列车，借助“雁阵效应”振翅翱翔；绝不可弄成了顾头不顾尾的“劣位淘汰制 ”，回到了“应试教育”的老路上。

【二】要正视个体差异。洪荒衍生万物，是万物间的差别形成了大自然的姹紫嫣红。缩小差别并非意味着消除差异，首先必须承认每个人的固有素质差别的先天性以及后天的差别不可抹除性，鼓励个体间的良性竞争以及个体差别间的良性交流。如果教师不能正视个体差异，极力在教学中搞“一刀切、一般齐”，那么随之而来的失败感定会给予你沉重的打击。

【三】要善于动态调控。教学是一个动态系统，学生也在不断发展变化中，不应采用固定模式，分层并不是分而不变的，随着教学进程，要不断调整层次结构。

【四】要有的放矢，讲求实效。并非所有教材内容都能进行分层分类教学。在教学过程中，是否需要分层或怎样分层，必须从教材内容、课型情况以及班级学生的实际出发进行选择。

总之，分层分类教学是从学生的个性差异和实际水平出发，以他们的“最近发展区”为发展目标，遵循教育规律和学习发展特点的一种教学实验模式。在数学教学中实施分层分类教学，有利于素质教育在数学教学中落到实处。我国古代教育家、思想家孔子提出育人要“深其深，浅其浅，益其益，尊其尊”，即主张“因材施教，因人而异”。经过多年的实践，我觉得分层教学之所以能对提高教学质量有着很大的作用，其关键在于要做到持之以恒，把细节做好，功到自然成。

第四篇：初中数学教材中分类思想的探讨

初中数学教材中分类思想的探讨

亭湖区黄尖初级中学邮编：224049

内容提要: 中学数学的学习, 常常会运用到一些数学思想, 分类讨论的思想方法在初中数学学习中有着广泛应用.在数学概念教学中的分类思想的应用, 数学定理、公式、性质和运算法则进行分类,图形的位置的变化而进行的分类, 定理证明中的分类讨论, 我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.关键词: 数学思想, 分类讨论思想, 概念的分类, 数学定理、公式、性质和运算法则的分类, 图形位置变化的分类, 定理证明中的分类讨论, 运用分类思想,解决数学问题，提高数学素养

在中学数学的学习过程中，我们常常会运用到一些数学思想，而数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻；其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理-1-

论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。

在初中阶段对数学知识学习过程中，应将统领知识的数学思想和方法概括出来，增强学生对数学思想和方法的应用意识，从而令学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析问题、解决问题的能力。这是锻炼学生学会学习这种能力的重要途径。

素质教育的主要任务不仅是发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素养”，培养学生创新意识。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学素养”，树立创新意识的关键，她能使学生在未来的生活和工作中终生受益。新的数学课程标准认为掌握好数学思想方法，是培养学生创新意识，使学生具有一定的数学素养的必要条件。掌握好数学思想方法可以使学生对数学更容易理解和记忆，如果把数学思想方法学好了，在数学思想方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力，使数学学习变得更加容易，并能将所学到的知识和方法运用于今后的工作和生活之中。

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等。在这些基本思想方法中，分类讨论的思想由于初中学生认知能力、思维习惯、知识水平和教学内容的限制，学生在运用的过程中感觉到特别困难，但分类思想在中学数学中又有着极其广泛的应用，有必要对其特别加以重视，下面我们就一同来看一看这种数学思想方法在初中

数学教材应用，以更好地利用数学教学来提高学生的素质，使学生在今后的学习、生活中运用这种数学思想方法，来解决实践中遇到的各种问题。

数学分类思想是在研究与解决数学问题时,根据数学对象的本质属性的异同点,将对象分为不同种类,然后逐类进行研究与解决,从而达到研究与解决问题的目的的一种思想方法。分类思想的掌握对研究和解决问题十分有益，因此是科学研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简捷。

分类思想有三个明显特点，一是对什么东西分类，即确定分类的对象；二是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪几类，即确定分类的结果。通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。就分类讨论的思想方法在初中数学教材中的应用，大致可以分成下面四种类型。

一、数学概念中的分类思想的应用

1、实数的分类：实数按定义可以分为有理数与无理数；而按大小又可分为正实数、0、负实数。在实数的应用中时常需要就实数的取值进行分类讨论。

2、角的分类，小于180的角按大小可分成锐角、直角、钝角等

3、三角形的分类：在三角形中按角的大小进行分类可以分为锐

角三角形、直角三角形，钝三角形；而按边的相等数来分又可以分成：

（1）三条边都不相等，即一般三角形；（2）有两边相等，即等腰三角形；（3）有三条边相等，即等边三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分类讨论的题型最多。

4、四边形的分类：在四边形中按边的平行关系可分为：①两组

对边都不平行，即一般四边形；②只有一组对边平行，即梯形③两组对边分别平行，即平行四边形，而平行四边形中又可分为一般平行四边形和特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分类，方程按未知数的个数可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知项的次数可分为一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常对未知数前面的字母系数的取值分类讨论。

6、函数的分类，初中数学中的函数可分成正比例函数、一次函

数、二次函数、反比例函数等。

二、根据数学定理、公式、性质和运算法则进行分类

a当a0时

1、绝对值的化简a0当a0时

a当a0时

2、二次根式的化简a当a0时a2a0当a0时 a当a0时

23、一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),当△=b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b-4ac=0时，2

2方程有两个相等的实数根；当△=b-4ac<0时,方程无实根。

4、函数的增减性，（1）在一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值随x值的增大而增大；如果k<0，那么y的值随x值的增大而减小。

（2）在反比例函数y=k／x（k为常数，且k≠0）中，当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x 增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x 增大而增大。

5、不等式的性质

不等式的性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

根据不等式这个性质在不等式的两边都乘或除以一个数时需要考虑到这个数是正数还是负数。

三、根据图形的位置的变化而进行的分类

1、点与直线的位置关系①点在直线上②点在直线外

2、直线与直线的位置关系：在同一平面内两直线的位置关系有①相交②平行。直线与直线的位置关系中分类讨论的题型并不多见，但它本身就是一种分类。

3、点与圆的位置关系①点在圆外②点在圆上③点在圆内。

4、直线与圆的位置关系①相离②相切③相交。

5、圆与圆的位置关系①外离②外切③相交④内切⑤内含

四、定理证明中的分类讨论

圆周角定理证明中的分类，分三种情况进行讨论。①圆心在角的一边上；②圆心在角的内部；③圆心在角的外部。

通过上述问题的讨论,分类讨论的思想方法在初中数学教材中有着广泛的应用。在运用分类思想解题时主要步骤有：①分析题目中的已知条件，明确所要讨论的对象，确定所要讨论对象的全体；②确定分类标准，正确进行合理分类，做到不重不漏,并力求最简；③对所分类型进行逐级讨论、求解；④归纳小结，得出最后的结论。

当然课本中分类讨论题型很多，在具体的题目中也许多类型，例如在三角形相似中由于对应关系的不明确也可以进行分类讨论，在图形运动中的题目也会有分类讨论，在中考综合题中也会穿插着许多分类讨论的题目，因此有必要在今后的学习和教学的过程中，根据新课程标准的要求,我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.当学生初步理解一些数学分类方法后,适时做好深化、归纳工作，可设计一些含有分类思想的习题，通过专项训练，帮助学生总结一些常见的分类方法，逐步强化分类意识，养成善于分类的思维习惯，便于学生在以后的学习过程中能正确地运用这种思想方法解决好数学问题，并能使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，这样才能提高学生的数学素养。

第五篇：浅谈小学数学教学中如何体现数学化思想

浅谈小学数学计算教学中如何体现数学化思想

江宁区江宁小学 陈海勇

内容提要：在新课改的今天，计算教学的目的不仅是让学生获取有关的计算知识，更重要的是发挥学生的学习主动性、发展学生的数学思考力，数学地组织现实世界（也就是数学化），培养学生对数学的情感，促进学生可持续地发展。

关键词：小学数学；计算教学； 数学化

计算是人们在日常生活中应用最多的数学知识，它历来是小学数学教学的基本内容，培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目的之一。计算教学要培养学生利用已学知识综合解决实际问题的能力，并使他们体会到数学应用的价值。从理性的角度分析，计算能力是小学生必须形成的基本技能，它是学生今后学习数学的基础，所以计算教学又是小学数学教学重点中的重点。

人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体的现象，能用数学的眼光观察生活，并加以整理组织，以发现其规律，应用数学的知识去解决生活中的问题，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。

在计算教学中怎样使这一思想得到体现呢？

首先，根据计算教学的内容特点和学生的学习起点，选择合适的导入方式，在实际情境中实现数学化

建构主义学习理论认为，学习总是与一定的社会文化背景即“情境”相联系的，在实际情境下进行学习，有利于意义建构。

课改前，计算教学过于形式化、技巧化，严重脱离学生生活实际；计算教学的训练单调枯燥，严重挫伤了学生的学习热情。

计算知识是人们在长期生产实践中逐步发展起来的，原本是十分生动的数学活动。把计算教学置入现实情境之中，把探讨计算方法的活动与解决实际问题融于一体，能够促使学生积极主动地参与学习活动，经历计算方法形成的过程，还数学以本来面目。正因如此，所以《义务教育数学课程标准（实验稿）》也非常强调，计算教学时“应通过解决实际问题进一步培养数感，增进学生对运算意义的理解”“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系，并运用所学知识解决问题的过程，避免将运算与应用割裂开来”。淡化了程式化地叙述算理和计算法则，强化的是学生对算理的理解和算法的掌握，强化的是学生在计算过程的经历过程和主动探索。

其次，计算教学的生活化是实现数学化的重要途径，但不能过分强调生活化。

1、计算教学要生活化，警惕“去数学化”，寻找数学化与生活化的平衡

生活化是指将抽象的数学知识、方法以生活原型、现实情境的方式呈现，让学生在感兴趣、已有的生活经验的基础上建构自己的认知体系。计算教学与生活实际相联系，让学生体会到生活中处处有数学，体验学习数学的乐趣，积极主动地学习有价值的数学。我们也应该看到片面追求“生活化”，会削弱“数学化”，过于注重数学的生活化，会使学生的探索停留在生活阶段，缺少抽象化、数学化的提炼；相反的过度地强调“数学化”，会，让学生产生畏难情绪。因此片面的生活化或片面的数学化都是不可取的。生活化与数学化不是对立的，而是一个问题的两个方面，它们的关系是如何在数学课堂中实现和谐统一。这就要求我们在数学教学中，密切联系学生生活实际，构建生活化的学习内容，从生活中提练有价值的数学问题。只有如此，才能让凝固的数学变为生动的数学，让理论的数学成为实践的数学。因此，在计算教学中要关注生活原型，提炼数学问题。

建构主义理论认为：知识并不能简单地由教师传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构，这样知识的获得才是牢固的知识。因此，我们不能把课本中的数学知识当作一种真理教给学生，也不应要求学生以成人化的理解方式去接受数学知识，应联系学生生活实际，按照学生自己的理解方式去建构数学知识，这就需要我们数学教师根据课本知识关注现实生活，为课本抽象知识寻找生活原型，来帮助学生理解。例如，在四年级 “加减法的一些简便计算”教学时，对于“多加要减去”“多减了要加上”的方法，学生常常很难理解。为此，在计算464-298时我们首先从生活中的“付整找零”问题展开：小红带了464元钱到商店买一台复读机，到了商店小红看中了一台标价298元的复读机，就从口袋里拿出（3）张一百元，营业员找给小红（2）元，这时，小红的口袋里还剩（166）元。然后再将上述生活问题进行数学化即464-300+2。生活常识被提炼为数学问题，很拗口的简便算法算理一下子也理解通了。改变了以往干巴巴的讲解速算的方法。在这时，教师可再组织学生解一些相似的题，然后让学生观察这些题解法上的特点，尝试归纳简算方法，再次建构一个更高层次的理性的数学模型。这样的教学，既没有脱离生活，又高于生活，而且同时训练了学生的数学思维，培养了学生从生活中挖掘数学问题的意识。

2、从学生自身出发，重视知识间的迁移，在迁移中实现纵向数学化，发展学生的思维能力

纵向数学化，就是在数学内部探究，揭示数学知识的的本质及规律，得出新的数学知识或数学方法。它是在符号世界里，符号的生成、重塑与彼此呼应，生成的是数学知识之间的内部联系，是靠的思维和逻辑进行的数学化。也就是在数学内部对数学知识进行深入的研究。

迁移，是小学数学教学中一种重要手段，也是课堂中教师引导学生探索新知的一种重要方法。学生能否实现从旧有知识经验到新的认知图式的飞跃（也就是实现纵向数学化），很大程度上取决于教师能否成功地安排好迁移这一环节。如在“小数除以小数”一课,探讨“0.06÷0.2”“0.012÷0.3”“0.015÷0.5”时，复习时相对应的安排“0.6÷20 6÷20”“ 0.12÷3 1.2÷30”“0.15÷5 1.5÷50”复习题（复习商不变的性质），学生思考后就会把所学过的旧知识迁移到本节课的新问题中去，在这个过程中就解决了“小数除以小数”的算法问题。在这个过程中学生运用已有的知识和生活经验不仅解决了问题，同时也发

展了学生的推理和逻辑思考能力，培养了学生的数学素养。

在活动中实现数学化，发展学生的思维，使不同的人学到不同的数学

《数学课程标准》指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”小学生的思维是由具体形象思维向抽象思维过渡的。而抽象思维需要以感性材料为基础，数学计算教学尤其如此。

1、重视动手，在操作中实现数学化，促进学生对算理的理解

计算教学中加强直观动手操作，使学生获得最直接、最深刻的体验，丰富感性认识，为学生的探究提供支持，有利于学生掌握计算方法，理解算理；有利于发展学生的思维，提高实践能力。课堂上经常给予每个学生动手操作的时间和空间，让每个学生在动手实践中自主探究，从而激发学生的学习兴趣，提高计算能力。例如在教学分数除法“4÷2”时，可以设计折纸的活动。让学生把一张纸的4平均分成2份，55算一算每份是这张纸的几分之几。有的学生认为把4平均分成2份，就是4÷2把4个1平均分成2份，555每份就是2个1，就是2（如图1）；还有的学生发现把4平均分成2份，每份是4的1，就是4，也5510552就是2（如图2）。

（图1）（图2）

2、注重互动交流，提倡“算法多样化”，实现不同学生对数学化不同的需求

提倡“算法多样化”是课程标准关于计算教学的重要观点。它满足了课堂中学生个性化的学习需求，是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径。新教材在计算教学中，挖掘了许多有利于突出算法多样化的素材，凸显了同一个问题的多样化算法，为学生的多角度思维拓展了空间。如“两位数加一位数进位加法”一课，在探讨27+5时，学生纷纷发表了如下解法：有把27分成20和7，用5+7+20=32；有把5分成3和2，用27+3+2=32；有把27分成25和2，用25+5+2=32；有把27分成22和5，用5+5+22=32；有把27看成30，用30+5-3=32；有把5看成10，用27+10-5=32„再如研究300-185=？时，出现了几种新的算法：把185看成200，用300-200+15=115；把185添上15得200，再添上100的300，所以300-185=115；把300看成299，299-185+1=115（300看成299，用299-185是不退位减法）；把300和185各加15，315-200=115„这样的教学有利于培养学生独立思考和创新的能力，而且在解决计算问题的过程中，使每个学生获得了成功的愉悦，使不同的人学到了不同的数学。

但是，应该注意的是，“算法多样化”只是一种手段，绝不是目的。鼓励“算法多样化”，并不是要求学生一定要掌握多种算法，而是教师应该在课堂中鼓励、尊重学生的思维结果，引导学生进行讨论、交流，适时地点拨，肯定有创意的方法，从而培养学生良好的思维习惯和探索精神，其根本目的在于让学生感受解决问题策略的多样性，并形成解决问题的基本策略。

数学化的探究过程具有多样性和丰富性，它没有固定不变的程式和套路，我们要避免把生动、丰富的数学化变成简单化模式化的机械操作。我们重要的是理解数学化的内涵，理解数学化所蕴藏的一种教育精神。任何一种教学方式或方法，如果忽视了它背后的教育精神，最终它都会异化为驯兽式教育的工具。面对生活化的学习材料，我们不能停留在从生活的角度进行思考的层面上，而是引导学生学会数学的思考。