几何直观在小学数学教学中的运用

第一篇：几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。

（一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系

“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了

（二）以图促思—渗透数形结合思想

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

（三）以图求解—有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

第二篇：小学数学教学中如何运用几何直观

小学数学教学中如何运用几何直观

小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。突破几何教学这一难点，关键不仅仅在于教材的改变和教学形式表面变化，更应该在于用先进的数学思想和方法去引领教学，这样才能使几何教学活起来，让我们的学生在获得几何知识的同时，建构对几何知识的概念、性质、方法、意义的理解，有效提高学生分析问题和解决问题的能力。

（一）以图沟通联系

某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了。比如这样一个例子:生说自然数就像条射线，它们都有个起点，没有终点，可以无限延长。这位学生惊人的发现无不体现了知识间是相通的，把代数中的自然数概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。8

（二）以图渗透数形结合思想

“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和算式之间的联系。在此基础上用数学式子表达它的规律。从而发现;n个奇数相加的和等于n×n;借助“形”的直观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合是一种重要的数学思想。

（三）以图有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

第三篇：几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观在小学数学教学中的运用

小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。

（一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系

“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了。比如俞止强老师的讲座中提到这样个例子:生说自然数就像条射线，它们都有个起点，没有终点，可以无限延长。这位学生惊人的发现无不体现了知识间是相通的，把代数中的自然数概念和空间形式联系起来，不但缩短了知识间的距离，而且还减少记忆容量。

（二）以图促思—渗透数形结合思想

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

利用直观的图形，学生能积极地思考图中正方形的面积的变化和算式之间的联系。在此基础上用数学式子表达它的规律。从而发现;n个奇数相加的和等于n×n;再如，教学“连除两步计算问题”时，学校图书室买来200本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每层放了多少本书?最初可以出示书架的实物模刑，逐步用长方形的图示代替来说明解决问题的过程。①先算每个书架放了几本?②先算两个书架共有几层?③先算两个书架的一层共放几本书?以数形结合的方式帮助学生感悟用连除两步计算解决问题的数学本质。借助“形”的直观，能促进小学生形成从“数”和“形”的角度把“数和形”结合起来考虑问题的意识，有机渗透数形结合是一种重要的数学思想。

（三）以图求解—有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

第四篇：几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观在小学数学教学中的运用

几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。

（一）以图连线—搭建桥梁，沟通联系

“在传统领域之间界限的日趋消失是现代数学的特性之一，而几何直观在其间起着联络作用。”某些问题的信息之间，某个知识块之间，代数与几何之间，几何直观使复杂多样的分类变得简单明了

（二）以图促思—渗透数形结合思想

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。小学数学教材中特别注重这种思想的渗透，借助几何直观，可以把数形结合思想更好地反映出来。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。

（三）以图求解—有助于数学方法的再创造

直观是抽象思维问题的信息源，又是途径信息源，它不仅为抽象思维提供信息，而且由于直观形象在认知结构中鲜明性强，可以多思路、反复地给抽象思维以技巧。通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现代数问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了条重要的途径。直观图形的使用，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，有利于培养学生的观察能力和空间观念。

借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解

决问题的能力。

如何在小学数学教学中培养学生的空间观念

刘正娟

关键词： 空间观念；几何知识；教学；几何图形变式

新课标指出：“空间观念是一种自觉地感受空间图形、运用空间图形的意识和能力”.其主要表现在：实物的形状与几何图形之间的想象；复杂图形的分解；描述实物或几何图形的运动、变化和位置的关系；运用图形描述问题、利用图形直观来进行思考等.在初中几何的教学中，教师不仅要重视学生“合情推理”的逻辑思维能力，更应该重视空间观念的培养。本文就如何在教学中培养学生的空间观念浅谈几点。

一、从建立表象到再造想象，再从再造想象到创造想象.1.运用感性材料，建立表象

空间观念指的是物体的大小、形状、方向、距离在人脑中留下的既直觉又有一些概括性的形象。表象是具有感知的形象在头脑中的保持，它是具体感知向概念、思维过渡的重要环节。没有形成清晰的表象就不能很好地进行思维活动，没有丰富的表象储备，表象的重新组合或再造而产生新的表象的过程将会困难，培养初步的空间想象能力也就无从说起。小学教材的几何知识（系统学习时）的安排是：线→面→体，即一维空间→二维空间→三维空间；从图形来说是简单单一→复杂组合；从计算来说是长度→面积→体积.无论哪一方面，都是以大量表象的内化，形象思维活动向抽象思维活动转化，揭示出概念的本质属性而得到概念，形成初步的空间想象能力，发展思维的。小学生从对几何形体的感知中获得了印象，并保留在头脑中成为表象。表象的重新组合或再造的心理过程，是学生空间概念的重要基础。教学中应注意以下两个方面：

第一、重视启蒙阶段对几何图形的观察。通常教材中几何知识是结合认数与计算编排的，一年级集合认数出现了三角形、正方形、立方形以及圆等图形和直观教具，出现这些图形不仅仅只是为了认数，同时也是为了培养学生初步空间观念。一年级有这么一个习题：要求学生在下图中找三角形、圆形、正方形的个数，这个集合图里的图形，排列杂乱，大小不一，既有标准图形，又有变式图形。这时要好好指导学生观察，然后让学生分类找出，从而使学生初步建立起三角形、正方形、圆形等的表象。

第二、充分利用几何直观教具。在教几何图形时，一定要充分运用几何图形的直观教具，让学生仔细观察。使其感知并获得具体鲜明的形象，形成图形的表象；另一方面，表象常常是概括了许多感知形象的，所以表象又具有概括性特征。例如：学生对三角形的知觉，可在认识角的大小、边的长短、三边上的高、内角和、稳定性、对称性等的同时，出示各种不同类型的三角图形、模型等直观教具，让学生亲手量一量、画一画、拼一拼，使学生建立起一个完整的三角形表象，并为建立三角形概念完成过渡。2.创造条件，形成再造想象

表象的重新组合、成为新的表象，就是想象。如果这种想象是根据别人的语言文字描述或图形、模型想出来的，这种想象就是再造想象。再造想象在培养学生初步空间概念中具有重要意义。

第一、通过实际操作，促进学生想象。动手操作可以丰富学生的感性认识.在操作过程中，引导学生观察、比较、分析、综合，发展他们的思维能力。生理学研究表明：双手动作时，在脑与手之间，信息通过两条双向的通道高速地传导着。在手脑并用时，大脑的创造性有关区域受刺激而活跃起来，手使脑的功能得到发展，脑使手的技能得到训练。在操作中，操作的顺序性又可促使语言的条理化、完整化，同时使思维得到发展。如长方体、正方体的表面积和体积两个概念，学生往往容易混淆，我们除了把长方体、正方体的六个面展开，说明这六个面的总面积就是表面积外，还应把长方体、正方体摆在讲桌上，看所占空间的大小，说明这就是体积：然后让学生自己动手做一个长方体和正方体的纸盒，看看要多少硬纸盒，这两种纸盒各有多大。这样做，学生不仅仅兴趣浓，而且促进了想象。

第二、渗透几何思想，丰富学生想象。如讲完梯形之后，我们对四边形先进行归类复习，可运用让学生边想边填图的方式，从而渗透正方形集合是长方形集合的子集合，长方形集合又是平行四边形的子集合，平行四边形集合和梯形集合又是四边形集合的子集合的集合思想。通过这样的复习和填图，学生对四边形就能建立起一个概念系统，这样的想象就更丰富、更全面了。3.积极引导，培养创造想象

创造想象是新表象的创造，小学生学习的初步的几何知识，也需要创造想象。教学中，一定要积极引导，培养学生的创造想象力，以促进初步空间观念的迅速形成。

首先要培养学生具有独立思想的自觉性。如：我们在教完梯形的面积之后，要学生计算做一个加料斗要用多少铁板。学生的立体图形知识很贫乏，虽有一图，但看不懂，也想象不出这是一个什么样的形状，这时，教师应拿出一个加料斗模型让学生观察，然后让学生用硬纸做一个加料斗，再让学生独自想一想。计算做这个加料斗要多少材料的关键是什么？学生通过看、做、想，逐渐懂得它是由四块相等的梯形组成的。因此。求出四个相等梯形繁荣面积，就是整个加料斗所需的材料了。

其次要鼓励学生敢于进行捏造性想象。如圆面积求法，教材上采用了分割成16块相等的扇面，拼成近似长方形，推导出“圆面积= ”这一公式。如果把每一个扇形不断地分割下去，弧越来越短，会变成什么形状呢？让学生大胆想象，学生就会提出把圆分成近似三角形来推导圆面积，这个推导方法就是一种“创造性”的思想过程。

二、利用几何图形变式在培养空间观念中的运用。1． 操作，感悟几何元素的位置关系 让学生亲自动手、实验、操作，使学生经历、体验图形的变换，从中感悟图形的变化前后几何元素（点、线、面、体）的相互位置关系，这有利于培养学生直觉思维的习惯、发展空间观念。

图1 例：如图1，将1张纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，的到的图形是（）

A B C D 分析由于题中所给的条件对图形变化前后几何元素的位置关系并不明了，因此按常规思路或习惯思维求解，很难找到问题的突破口。但如果按照题目所给的步骤逐步地进行动手操作，则问题的答案呼之欲出，易得D即为所求.2． 想象，实物模型与几何图形的转化

新课标指出：“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状”.通过观察图形，分析图中几何元素的位置关系，找寻实物和几何之间的内在的联系，凭借直觉思维，在想象实物和几何体之间的关系中寻得答案。在探索平面图形与空间几何体的相互转换的活动中，可建立空间观念，发展几何直觉。例：由一些大小相同的小正方体组成简单几何体的三视图如下.你能画出这几何体吗？有多少画法？

主视图左视图右视图 图2 分析由三视图的特点可知，这个几何体无论从前面看、左面看、还是从上面看都可以看到四个小立方体，通过想象知道图（1）、图（2）、图（3）都符合要求，它的答案不是唯一的.事实上，如果保持图（1）中下面一层有4个小正方体，那么上面一层4块中缺少任意一块（图（2）），都符合要求，这样的几何体有4种。或者缺对角2块（图（3）），也符合要求，这种情况有2种.因此共有7种画法.（1）（2）（3）

图3 通过这样由平面图形到空间几何体的互相转换过程中，培养了学生的空间想象能力，促进几何直觉思维的发展。3．折叠，平面图形向空间图形的演变

“折叠”是一类重要的几何题型，在近几年的中考题中缩短常常出现.主要考查学生识图、想图、画图等空间观念及空间图形平面化，非标准图形标准化的变形处理能力.解决这类问题时，需认真审图，充分挖掘折叠前、后平面图形与空间的位置关系中的“变”与“不变”，探寻解决问题的突破口。4．分解，几何图形处理能力的标志

将复杂的图形分解为基本的、简单的图形，恰当地对图形进行分割、组合、变形的处理，易寻觅图中基本元素及相互位置关系，有利于问题的解决。这是考察学生几何直观、图形处理能力的重要内容.因此在图形变式的教学中，应有意识的培养学生识图、看图、变图、及图形的分解组合的能力。

通过这样的训练，使学生经历和体验图形的变化过程，发展几何直觉，有利于他们今后学习立体几何。

5．平面展开，空间图形平面化的重要手段

有些空间问题直接求解比较困难，但通过空间图形平面化的处理后，线、面位置关系清楚，解题思路明朗，“以直代曲”就是将图形平展变式的结果。

在平时的教学中，教师通过强调“操作”、“想象”、“折叠”、“分解”、“平面展开”等一些常见的图形变式，可向学生渗透空间观念，强化学生的合情推理能力，培养学生的空间想象能力，为以后的空间立体几何的学习打下基础。

三、教学中应注意的几个问题

教师的“教”，应当是为了学生更好的学习。教学中，正确处理教师的主导与学生的主体关系，才能提高课堂教学效率，取得更好的教学效果.1.直观演示的正确性

直观演示，不仅可以给学生提供鲜明的感性材料，帮助他们理解抽象的数学知识，而且有助于发展学生的观察力和思维能力。在几何教学中，直观演示是很重要的，它能唤起学生头脑中已有的表象，使之组合、再造，形成新的表象，为概念的得出起到积极的作用.在演示过程中，一般应伴有教师的解说或提问，引导学生注意所演示的主要内容，抽象事物的本质特征，弄清实际操作的方法和步骤.教师在作图时，还要起到示范作用.就要求我们的演示过程、顺序应与概念所描述的内容顺序以及学生学习这些知识、感受这些概念一致起来.如讲“直线”，直线的特点一是“直”，二是无限的，三是无粗细的。我们拿细线来演示时，除了演示“直”外，还要突出“无限延伸”；黑板上画图时，也应告诉学生，黑板上只是画了这条直线的一部分，它的两边可以无限延伸，这样，才能使画图、演示、显示概念的内容一致起来，建立起清晰的表象。

另外，画图示范也应注意概念内容。如画“角”，它的概念是“由一点引出的两条射线，就组成角”，画图时就应按这个概念叙述的顺序、方式来画，而不能顺手就画成“折线”。2.语言叙述的准确性

要形成第一、第二信号系统的正确联系。人类除有第一信号系统外，还有第二信号系统.即：人类除对具体信号刺激发生反应（第一信号系统）外，还可以对语言文字发生反应.人类对语言文字发生反应的皮层机能系统叫做第二信号系统（复杂的条件反射）.在理解概念和下定义时，不要和学生在感知图形的基础上所获得的知识脱节，既要充分利用“术语”的生活意义，又要指出其区别.如讲角时，要指出它是在平面上一点向不同方向引出两条射线，构成一个角，而生活中指的某些角，如墙角，就不是我们所学的角的意思。

在教学中，力求语言表达准确，不能模棱两可。如用纸剪一个圆，还有像球的投影面等，它实际上是一个圆面，与几何中的“圆”是有区别的。如讲三角形分类，当学生明确了三种三角形（按角分类），还可告诉学生：任何一个三角形都有两个角是锐角，第三个决定分类。第三个是锐角的，就是锐角三角形，如果第三个角是直角的就是直角三角形等等。这样可以避免学生把“三个角是锐角的三角形就叫锐角三角形”类推到“三个角是钝角的三角形叫钝角三角形”，发生错误。

此外提问题也应准确，表达清楚。如讲圆的周长时，涉及到“圆周率”，如果问“圆周率等于多少”，那么就错了。3.培养思维的灵活性 学生学习几何知识时，对获得的感性材料进行分析、比较、综合和抽象、概括，才能理解和掌握几何图形的概念和特征.通过判断、推理等思维的过程，才能更好地解决问题.在教学中还应注意思维的灵活性，以便更敏捷地解决问题。例如，对于平面几何图形的特征和面积计算方法，开始只要求学生掌握每一种平面几何图形特征和面积计算方法，然后要求学生理解各种平面几何图形特征之间的相互关系、面积计算方法之间的联系，注意揭示图形概念与计算之间的辨证关系、联系和区别。通过变化平面图形，让图形与公式同步变化，使学生的思维更加灵活。

综上所述，培养学生的空间观念，与几何初步知识的教学有着密切的联系。明确表象在形成空间观念中的作用，提高学生运用表象的能力，注意教师的示范作用，才能在教学中更好的发展学生的思维，为培养目标服务。

内一个感觉就是有趣。如果在课堂上教师能多让孩子们产生有趣的感觉，相信小学数学课堂会很精彩。

二、直观的图形有助于学生寻找数量关系

利用形象的图形来教学抽象的数学知识，还可以直观地揭示数学问题中的数量关系。有些学生的理解能力、接受能力较弱，对一些解题方法的理解存在较大困难。针对这些很有智力挖掘潜力

第五篇：几何直观在小学数学教学中的实践与思考

几何直观在小学数学教学中的实践与思考

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。

一、利用直观图帮助学生数的组成

几何直观在小学数学教学中的实践与思考

上传: 刘东军

更新时间：2013-12-7 11:41:19 摘要 : 随着《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》提出要注重培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。本文从几何直观的本质意义出发，探讨如何培养学生的几何直观能力，反思教学中运用几何直观应注意的问题，让小学数学教学从简约中走向丰富。关键词:几何直观；课程标准；本质把握；培养能力；注意问题

当前，数学教育界都在关注新版《数学课程标准》的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”培养和发展学生的几何直观能力，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。要以保护学生先天的几何直观潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观能力作为目标，最终形成敏锐的洞察力和深厚的数学素养。

为此，我在小学数学教学实践中，力从几何直观的本质意义出发，就如何培养学生的几何直观能力，进行了有益的尝试，对教学中运用几何直观应注意的问题有了更多的思考。

一、几何直观的本质把握

对于何为“直观”，可能有很多说法，但本质基本相同。所谓直观，《现代汉语词典》2002版解释是：用感官直接接受的；直接观察的。对于数学直观，数学家克莱因指出，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。

综上，我们认为直观要体现两点：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。几何直观是指借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象，即空间形式和数量关系，进行直接感知、整体把握的能力。既有形象思维的简约，又有抽象思维的丰富。

二、教学中培养学生的几何直观能力 20世纪最伟大数学家希尔伯特（Hilbert）在名著《直观几何》一书中谈到，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。这就是几何直观带给我们的好处。我国拓扑学家张素诚曾说过：“对数学中的许多问题来说，„灵魂‟往往来自几何。”几何激发学生这种“灵感”，首先教师自身在教学中只要在有可能的地方，尽量借助几何直观分析讲解，这样既能逐步培养学生在解决问题中具有借助几何直观解决问题的意识，又能为学生创造便于用几何直观去寻找解题方法的条件。

小学生的思维水平只处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。《标准》（修改稿）指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”为此，对于在小学数学课堂教学中如何培养学生的几何直观能力，我从以下几方面进行了尝试，收到了良好的效果。

（一）识图中感知几何直观。

几何直观是借助图形对事物的认识，那么对图形的学习与认识以及运用图形的意识和能力就是几何直观的基础了。教学中要关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系。如在教学《线段、射线、直线》一课时，通过展示科学家用激光器发送到月球的一束激光图片，视觉上给学生直观的认识，引出射线是一条线段将它的一端无限地延长所形成的图形。让学生很容易发现射线的特点，尤其射线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要。日常教学中要多采用学生喜爱的“看一看、摆一摆、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，更好地感知几何直观。

（二）画图中培养几何直观。

几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，通过画图可以将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。因此，在小学数学教学中激发学生的画图兴趣，促进几何直观能力的发展，是十分重要的。数学兴趣是推动学生不懈追求的一种内在驱动力，而画图兴趣则是几何直观教学的载体。教学中要善于启发和创设情境，激发学生的画图兴趣，培养学生的几何直观能力。如在教学二年级《几倍》一课时，创设游玩动物园的情景：动物园里有6头小狮子，2头大狮子，小狮子的头数是大狮子的几倍？让学生尝试用自己喜欢的图形画一画，来表示6是2的几倍？然后再汇报展示，如下：

通过画图，学生很直观地看出6里面有3个2，也就是说6是2的3倍，这样为抽象的倍的概念建立了具体形象的表象，理解起来轻松很多，以后在学习较复杂的“和倍、差倍”问题时，学生会很容易想到画直观图帮助解决问题。课上通过用自己喜欢的方式画图，激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。在日常教学中，我还采取了一系列的措施，来激发学生的画图兴趣：比如上课时让学生在黑板上画图，然后师生共同评析，看哪个同学画得好，优点在哪里，存在哪些毛病；印发常见的基本直观图给学生，让学生反复观摩，然后再画出来；课外组织学生进行“画直观图比赛”。这些措施激发了学生的学习兴趣，使学生认识到规范作图的重要性，增强了学生的作图能力。在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。首先，要通过多种途径和方式使学生真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的益处。其次，要求学生解决问题时能画图的尽量画图，将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。再次，要让学生规范画图，能准确直观的表达题意。例如关于求面积的问题，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。首先向学生呈现例题：一块正方形试验田，如果长和宽都增加5米，面积将比原来增加875平方米。原来试验田的面积是多少平方米？面对比较难理解的数学问题，引导学生想到用画图的方法来解决。接着鼓励学生尝试画示意图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图（如下图所示：注意边长比例，增加的长度用虚线表示，标出数据），使学生感受到画图能清楚地理解题意。

5米 5米

(875-5×5)÷2÷5 =(875-25)÷(2×5)? b =850÷10 =85（米）

85×85=7225（平方米）

a c 答：原来试验田面积是7225平方米。

然后借助示意图分析数量关系，明确增加面积为a、b、c三部分面积之和，并且a与b面积相等，再列式解答。最后回顾整个解题的过程，突出示意图对解决有关面积问题的重要作用，感受画图策略的价值。画图可以通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现数学问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明了，还开拓解题思路，让学生养成画图习惯，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，使数学从简约中走向丰富。

（三）数形结合中发展几何直观。

华罗庚先生的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中，有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值。其实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与直观图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，从而顺利、有效地解决问题。小学数学教学中，应特别注重数形结合思想的渗透，从而更好地发展学生的几何直观能力。

1、在低年级运算教学中，借助数射线将抽象的“数”直观形象化，有助于理解运算，将运算直观形象化。例如：“加法”就是在数射线上继续向右数；“减法”就是在数射线上先找到“被减数”，然后再向左数；“乘法”就是在数射线上几个几个地向右数；“除法”就是在数射线上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”，就产生了余数，数射线是理解“有余数除法”的形象化载体。

2、在解决问题教学中，借助线段图将抽象的数量关系直观形象化，有助于理解抽象的数量关系。例如教学四年级第二学期《解决问题（2）》中“增加几倍、增加到几倍”一课时，探究：小胖带了3个苹果，把小胖的苹果增加到3倍是几个苹果？引导学生借助线段图来分析数量关系，明确增加到3倍就是原数的3倍，再列式解答，最后结合算式和线段图说说解题思路。

列式：3 × 3 = 9（个）答：把小胖的苹果增加到3倍是9个苹果。

3、在分数及其运算的教学中，借助“面积模型”将抽象的思维过程直观形象化，有助于对分数意义的透彻理解，既知其然又知其所以然。如在四年级《分数的大小比较》一课中，充分利用分数的直观图（图1），将数与形结合起来，引导学生体会比较分子相同的分数的大小时，分母小的分数就大；在《分数的加减计算》一课中，借助分数直观图（图2）理解同分母分数相加，分母不变，分子相加，从而更直观的理解分数的运算。

图1 图2

利用数形结合的方法，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，使学生表象清晰，记忆深刻，是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，为发展几何直观开辟了条重要的途径。

（四）运用模型和多媒体信息技术丰富几何直观。

借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法。模型可以让学生直接接触到几何的知识，直观而有效。如在教学“圆柱的认识”时，直接出示薯片包装盒、水杯等实物，给学生造成强烈的视觉冲击，圆柱的基本特征映入眼帘，一览无遗。

多媒体辅助教学是运用现代信息技术与教学有机结合的一种教学方式，它可以把抽象的知识通过形、声、情、意形象化，让学生直观感知和理解数学问题，有利于优化学生的认知过程，培养学生的几何直观能力。因此，教学中要深入浅出、化难为易、运用多媒体给学生提供一些具体的、生动的直观材料做支柱。如在“认识直线”教学中，通过多媒体演示，直线是将一条线段的两端无线延长所形成的图形。这样利用多媒体化虚为实、化抽象为具体、化模糊为清晰、化静态为动态的特殊功能为学生的学习提供了直观例证，充分调动了学生多种感官的协同参与，不仅给学生渗透了极限思想，而且丰富了学生的几何直观。

总之，几何直观的培养应贯穿整个小学数学教学的全过程，通过对学生几何直观能力的培养，使学生学会数学的一种思考方式和学习方式，以促进学生能力的提升和数学素养的形成，让学生的几何直观能力从简约的图形中走向丰富的 数学思考。

三、运用几何直观应注意的问题。

几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路和预测结果。苏霍姆林斯基在《给教师的建议》一书《谈谈直观性问题》中，写到物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住一个相当长的时间，但是运用直观性的目的绝不是为了整节课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是为了在教学的某一个阶段上使儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律性上去。因此，在教学中运用几何直观时应该注意一些问题，从而更好的发展学生的几何直观能力。

首先，要适时运用几何直观。在教学中常常会遇到一些出乎预料的情况，就是直观教具以其某一个细节束缚住了学生的注意力，不仅没有帮助反而妨碍了学生去思考老师本来想引导他们去思考的抽象真理。几何直观应当使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去。

其次，要适度运用几何直观。在运用几何直观时，必须考虑到怎样由具体过渡到抽象，直观手段在教学的哪一个环节上将是不再需要的，那时学生已经不应当把注意力放在直观手段上。几何直观只是在促进思维积极化的一定阶段上才是需要的。第三，要准确运用几何直观。在运用几何直观的实际教学中，许多学生往往由于画图不准确、讨论不全面、理解片面等原因导致出错，或有一定的误差干扰，失去数学问题原有的科学性与严密性。因此教学中应让学生掌握画图技巧，准确运用几何直观解决问题。

几何直观可以帮助学生直观地理解数学本质，体验数学创造性工作历程，开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。“删繁就简三秋树，领异标新二月花”，要让简约的几何直观真正充满张力，成为师生生命成长的栖息地，要让小学数学教学从几何直观中的简约中，真正走向更为深刻的思维价值的丰富，还需要我们在今后的教学实践中不断地思考和探索。