不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳（定稿）

第一篇：不等式与不等式组小结与解含参数问题题型归纳（定稿）

第九章 不等式与不等式知识点归纳

一、不等式及其解集和不等式的性质

用不等号表示大小关系的式子叫做不等式。常见不等号有：“＜” “＞” “≤” “≥” “ ≠ ”。含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集，解不等式就是求不等式的解集。注：①在数轴上表示不等式解集时，有等号用实心点，无等号用空心圈。

②方向：大于向右画，小于向左画。

不等式的三个性质：①不等式两边同时加（或减）同一数或式子，不等号不变；

②不等式两边同时乘（或除）同一正数，不等号不变； ③不等式两边同时乘（或除）同一负数，不等号改变。

作差法比较a与b的大小：若a-b＞0,则a＞b；若a-b＜0；则a＜b；若a-b=0, 则a=b。例1、下列式子中哪些是不等式？

① a+b=b+a;②a＜b－5;③－3＞－5;④x≠1 ；⑤2x-3。例

2、若a

aba1b122 －;④

；⑤am___bm 2232⑥ab 0；⑦a+m b+m；⑧a² b²；⑨am bm。

例

3、①由axa，可得x1可得a____；②由axa，可得x＜1可得a____； ③ 由mx22xm可得x1，那么m______。

例

4、不等式5(x2)282x的非负整数解是__________________。二、一元一次不等式及其实际问题

一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式（即分母中不含未知数），这样的不等式叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（两边每一项同乘分母的最小公倍数）（2）去括号（括号里每一项都要乘括号前面的系数）（3）移项（变号后移项）（4）合并同类项（5）将x项系数化为1（系数为负数要变号）。一元一次不等式与实际问题（审设列解验答）

常见表示不等关系的关键词：①不超过，不多于，至多，最多（≤）；②不少于，不少于，至少，最少（≥）③之前，少于，低于（＜）；④超过，多于，大于（＞）。（1）审（找表示不等关系的关键词）;（2）设（把问题中的“至多、至少” 去掉）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答（加上“至多、至少”作答）。

三、不等式组及其解集，与实际问题

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集。一元一次不等式组与实际问题（审设列解验答）

（1）审（找表示不等关系的关键词和题中涉及的两个未知量）;（2）设（设其中一个未知量，另一个用设的未知数表示）（3）列;（4）解；（5）验（实际问题是否需要求整数解）；（6）答(方案问题要描述清楚)。一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a>b）不等式组的解集

1.（同大型，同大取大）x>a

数轴表示

2.（同小型，同小取小）x

3.（一大一小型，小大之间）b

4.（比大的大，比小的小空集）无解

特殊：

x＞3x3x＞3x3无解，无解无解有解x＜3x＜3；x3；x3；专题 解决含参数的一元一次不等式（组）

类型

一、根据已知不等式（组）的解集，求参数的值(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出方程（组）；③解方程（组）

例

1、若不等式的解集为，求k值。，得解：化简不等式，得x≤5k①，比较已知解集②，∴③。

例

2、若不等式组的解集是-1

解：化简不等式组，得 ①

∵ 它的解集是-1

也为其解集，比较得 ② ∴(a+1)(b-1)=-6.③

2xb0b________练习、不等式组的解集为：1x3，则a_____,。

3x5a 类型

二、根据已知不等式（组）的特殊解集，求参数的取值范围(解集是突破口)方法归纳：①表示解集；②根据已知解集的情况列出不等式；③解不等式 例

1、若关于x的不等式3x-a＞4（x-1）的解集是负数，求a的取值范围？

解：化简不等式得：x＜4-a①，∵ 它的解集是负数，∴只要4-a≤0均可满足②∴a≥4③ 练习、若关于x的不等式-3（x+2）＞m+2的解集是正数，求m的取值范围？

方法归纳：①表示解集；②将解集表示在数轴上，平移分析；③得参数的取值范围。

例

1、已知关于x的不等式x-a＞0，的整数解共5个，则a的取值范围是________。例

2、已知关于x的不等式组的整数解共5个，则a的取值范围是________。

解：化简不等式组，得有解①，将其表在数轴上，②

如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。由图1得：-4

xm0练习、不等式组的整数解只有-2和-1，则a，b的取值范围__________________；

2x51

类型

三、根据不等式组是否有解，及解的特殊情况；求参数取值范围。

方法归纳：

1、表示解集；

2、将解集表示在数轴上，平移分析；

3、得参数的取值范围。例

1、不等式组xm0有解，则m的取值范围______；

2x51解：化简不等式组，得x＜m有解①，将其表示在数轴上②，观察可知：m≤-2③

x-2 练习

1、若不等式组x＜m的解集是x＜5，则m的取值范围______；

x＜5xm02、若不等式组3的解集是x3，则m的取值范围是_______________。

3x8

13、不等式组x30无解，则k的范围__________。

2xk1类型

四、根据已知方程（组）的解的情况，求参数的取值范围(解的情况是突破口)方法归纳：①表示方程（组）的解；②根据已知解的情况列出不等式；③解不等式；

例

1、已知关于x的方程5x-2m=3x-6m+2的解大于-5，求符合条件m的非负整数值？ 解：解方程的x=1-2m，① ∵解大于-5，∴1-2m＞-5，②

解得：m＜3，(3)∴符合条件m的非负整数值为：0，1，2。例2.已知方程组xy=m的解是非负数，求m取值范围的？

5x3y=13解：解方程组得①

∵方程组的解是非负数，∴

即 ②

解不等式组(3)∴m的取值范围为≤m≤, 练习

1、已知方程组

2xy=1+m的解满足x＞y，求m取值范围的？

x2y=1-m2x-3y=1+a练习

2、已知方程组的解满足x+y＞0，求m取值范围的？

x2y=a

第二篇：不等式与不等式组教案

以下是查字典数学网为您推荐的不等式与不等式组教案，希望本篇文章对您学习有所帮助。不等式与不等式组本章知识是在学习了一元一次方程(组)的基础上研究简单的不等关系的.教材首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集及解不等式的概念，然后具体研究了一元一次不等式的解、解集、一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用等.通过具体实例渗透一元一次不等式与一元一次方程的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集、一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组的简单应用等.小结2 本章学习重难点【本章重点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质.会解简单的一元一次不等式,能在数轴上表示出不等式的解集,会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.能够根据具体问题中的不等关系,列出一元一次不等式或一元一次不等式组解决简单的问题.【本章难点】能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集,会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并用数轴确定解集.能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组解决简单的实际问题.小结3 中考透视本章内容在中考中所占比重较大,直接考查不等式的基本性质.一元一次不等式(组)的解法,在数轴上表示不等式(组)的解集;间接考查将不等式(组)应用于二次根式、绝对值的化简与求值讨论、一元二次方程根的情况及求函数自变量的取值范围.以填空、选择形式为主,计算题形式也不少,其中应用不等式知识进行方案设计及比赛分析题目难度较大,不易得分.知识网络结构图专题总结及应用

一、知识性专题专题1 不等式(组)的实际应用【专题解读】利用不等式(组)解决实际问题的步骤与列一元一次不等式解应用题的步骤类似，所不同的是，前者需寻求的不等关系往往不止一个，而后者只需找出一个不等关系即可.在列不等式(组)时,审题是基础,根据不等关系列出不等式组是关键.解出不等式组的解集后,要养成检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况的习惯.即审题设一个未知数找出题中所有的数量关系,列出不等式组解不等式组检验.例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.解:(1)由题意知购买B种船票(15-x)张.根据题意,得解得因为x为正整数,所以满足条件的x为5或6.所以共有两种购票方案.方案一:购买A种票5张,B种票10张.方案二:购买A种票6张,B种票9张.(2)方案一的购票费用为6005+12010=4200(元);方案二的购票费用为6006+1209=4680(元).因为4500元4680元,所以方案一更省钱.【解题策略】运用不等式知识解决实际问题,关键是把实际问题的文字语言转化为数学符号语言.二、规律方法专题专题2 求一元一次不等式(组)的特殊值【专题解读】在此类问题中，一般给出一个一元一次不等式(组)，然后在解集的范围内限制取值，解决的方法通常是先求出不等式(组)的解集，再由题意求出符合条件的数值.例2 求不等式 的非负整数解.分析 先解不等式,求出x的取值范围,在x的取值范围内找出非负整数解,求非负整数解时注意不要漏解.解:解不等式 ,得x5.所以不等式的非负整数解是5,4,3,2,1,0.【解题策略】此题不能忽略0的答案.专题3 一元一次不等式(组)中求参数的技巧【专题解读】由已知不等式(组)的解集或整数解来确定选定系数的值或待定系数的取值范围,常用的方法是先用解不等式(组)的方法解出含待定系数的不等式(组)的解集,再代入已给出的条件中,即可求出待定系数的值.例3 已知关于x的不等式组 的整数解共有3个,则b的取值范围是______.分析 化简不等式组,得 如图9-59所示,将其表示在数轴上,其整数解有3个,即为x=5,6,7.由图可知78.故填78.例4 已知关于x的不等式(2-a)x3的解集为 ,则a的取值范围是()A.a0B.a2C.a0D.a2分析 分析题中不等式解集的特点,结合不等式的性质3,可知2-a0,即a2.故选B.三、思想方法专题专题4 数形结合思想【专题解读】在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给出解答.解决此类问题时，要充分利用图形反馈的信息，或将文字信息反馈到图形上，做到有数思形，有形思数，顺利解决问题.例5 关于x的不等式2x-a-1的解集如图9-60所示，则a的取值是()A.0B.-3C.-2D.-1分析 由图9-60可以看出，不等式的解集为x-1，而由不等式2x-a-1，解得x ,所以 =-1，解这个方程，得a=-1.故选D.专题5 分类讨论思想【专题解读】在利用不等式(组)解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为了防止漏解和便于比较，我们常常用到分类讨论思想对方案的优劣进行探讨.例6某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件,学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.(1)设租用甲种汽车x辆,请你帮助学校设计所有可能的租车方案;(2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，那么请你帮助学校选出最省钱的一种租车方案.分析 本题考查利用不等式组设计方案并做出决策的问题.根据题中的不等关系可列出不等式组,解不等式组求出x的取值,从而解答本题.解:(1)设租用甲种汽车x辆,则租用乙种汽车(8-x)辆.根据题意得 解得56.因为x为整数,所以x=5或x=6.故有两种租车方案,方案一:租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.方案

二、租用甲种汽车6辆、乙种汽车2辆.(2)方案一的费用：52000+31800=15400(元).方案二的费用:62000+21800=15600(元).因为15400元15600元,所以方案一最省钱.答:第一种租车方案更节省费用,即租用甲种汽车5辆、乙种汽车3辆.【解题策略】解答设计方案的问题时,要注意不等式组的解集必须符合实际问题的要求,不能把数学问题与实际问题相混淆.2011中考真题精选

一、选择题1.(2011江苏无锡，2，3分)若ab，则()A.a﹣b B.a﹣b C.﹣2a﹣2b D.﹣2a﹣2b考点：不等式的性质。专题：应用题。分析：由于a、b的取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，若能直接利用不等式性质的就用不等式性质.解答：解：由于a、b的 取值范围不确定，故可考虑利用特例来说明，A、例如a=0，b=﹣1，a﹣b，故此选项错误，B、例如a=1，b=0，a﹣b，故此选项错误，C、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a﹣2b，故此选项错误，D、利用不等式性质3，同乘以﹣2，不等号改变，则有﹣2a﹣2b，故此选项正确，2.(2011南昌，7，3分)不等式8﹣2x0的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.专题：计算题.分析：先根据不等式的基本性质求出此不等式的解集，在数轴上表示出来，再找出符合条件的选项即可.解答：解：移项得，﹣2x﹣8，系数化为1得，x4.在数轴上表示为：3.(2011山东日照，6，3分)若不等式2x4的解都能使关于x的一次不等式(a﹣1)xA.1考点：解一元一次不等式组;不等式的性质。专题：计算题。分析：求出不等式2x4的解，求出不等式(a﹣1)x解答：解：解不等式2x4得：x2，4.如果ab，c0，那么下列不等式成立的是()A、a+cb+c B、c-ac-b C、acbc D、考点：不等式的性质.专题：计算题.分析：根据不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.一个个筛选即可得到答案.解答：解：A，∵ab，a+cb+c，故此选项正确;B，∵ab，-a-b，-a+c-b+c，故此选项错误;C，∵ab，c0，ac故此选项错误;5.(2011四川凉山，2，4分)下列不等式变形正确的是()A.由，得 B.由，得-2a-2bC.由，得 D.由，得考点：不等式的性质.分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案.解答：解：A.由ab，得acbc，当c0，不等号的方向改变.故此选项错误;B.由ab，得-2a-2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选项正确;C.由ab，得-a-b，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变;(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.6.(2011台湾13，4分)解不等式﹣ x﹣32，得其解的范围为何()A、x﹣25 B、x﹣25C、x5 D、x5考点：解一元一次不等式。专题：计算题。分析：首先去掉不等式中的分母，然后移项，合并同类项即可求解.7.(2011台湾，18，4分)解不等式1-2x，得其解的范围为何()A.B.C.D.考点：解一元一次不等式。专题：计算题。分析：利用不等式的基本性质，把不等号右边的x移到左边，合并同类项即可求得原不等式的解集.解答：解：移项得，-2x+ x-1，(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.8.(2011湖北潜江，4，3分)某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是()A.B.C.D.考点：在数轴上表示不等式的解集。专题：探究型。分析：先根据数轴上表示的不等式组的解集写出来，在对四个选项进行分析即可.解答：解：由数轴上不等式解集的表示法可知，此不等式组的解集为x3，A.不等式组的解集为x3，故本选项错误;B.不等式组的解集为x3，故本选项正确;9.(2011河池)解集在数轴上表示为如图所示的不等式组是()A、B、C、D、考点：在数轴上表示不等式的解集。专题：计算题。分析：由图可得，x﹣1且x2，从而得出不等式的解集.10.(2011泰安，18，3分)不等式组 的最小整数解为()A.0 B.1 C.2 D.-1考点：一元一次不等式组的整数解。专题：计算题。分析：首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值即可.解答：解：解第一个不等式得：x解第二个不等式得：x-111.(2011年山东省威海市，11，3分)如果不等式组 的解集是x2，那么m的取值范围是()A、m=2 B、m2 C、m2 D、m2考点：解一元一次不等式组;不等式的解集.专题：计算题.分析：先解第一个不等式，再根据不等式组 的解集是x2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可.解答：解：解第一个不等式得，x2，12.(2011山东淄博5，3分)若ab，则下列不等式成立的是()A.a﹣3考点：不等式的性质。分析：根据不等式的性质分别进行判断即可.解答：解：∵ab，a﹣3﹣2aab﹣1，13.(2011四川凉山2，3分)下列不等式变形正确的是()A.由，得 B.由，得-2a-2bC.由，得 D.由，得考点：不等式的性质.分析：根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案.解答：解：A.由ab，得acbc，当c0，不等号的方向改变.故此选项错误;B.由ab，得-2a-2b，不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向改变，故此选项正确;C.由ab，得-a-b，不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变;(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.14.(2011福建莆田，3，4分)已知点P(a,a-1)在平面直角坐标系的第一象限，则a的取值范围在数轴上可表示为()考点：在数轴上表示不等式的解集;点的坐标.专题：计算题.分析：由点P(a，a-1)在平面直角坐标系的第一象限内，可得，分别解出其解集，然后，取其公共部分，找到正确选项;解答：解：∵点P(a，a-1)在平面直角坐标系的第一象限内，15.(2011福建福州，6，4分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.分析：分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集.16.2011广州，6，3分)若aA.abc0 B.abc=0 C.abc0 D.无法确定【考点】不等式的性质.【专题】计算题.【分析】根据不等式是性质：①不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.②不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，解答此题.【解答】解：∵aac0(不等式两边乘以同一个负数c，不等号的方向改变)，abc0(不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变).故选C.【点评】主要考查了不等式的基本性质：(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.17.(2011广东省茂名，1，3分)不等式组 的解集在数轴上正确表示的是()A、B、C、D、考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。专题：存在型。分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可.解答：解：，由①得，x2，1.(2011广东深圳，9，3分)已知a，b，c均为实数，若ab，c0.下列结论不一定正确的是()A、a+cb+c B、c-aabb2考点：不等式的性质.专题：计算题.分析：根据不等式的性质1，不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不变;根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变;根据不等式的性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变;利用不等式的3个性质进行分析.解答：解：A，根据不等式的性质一，不等式两边同时加上c，不等号的方向不变，故此选项正确;B，∵ab，-a-b，-a+c-b+c，故此选项正确;C，∵c0，c20，∵ab.，故此选项正确;D，∵ab，a不知正数还是负数，a2，与ab，的大小不能确定，故此选项错误;18.(2011广西来宾，8，3分)不等式组 的解集可表示为()A BC D考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。专题：计算题。分析：首先解出不等式组x的取值范围，然后根据x的取值范围，找出正确答案;19(2011杭州，9，3分)若a+b=-2，且a2b，则()A、ba有最小值 12 B、ba有最大值1C、ab有最大值2 D、ab有最小值-89考点：不等式的性质.专题：计算题.分析：由已知条件，根据不等式的性质求得b0和a然后根据不等式的基本性质求得 2 和②当a0时，有最大值是 ②当 0时，据此作出选择即可.解答：解：∵a+b=-2，a=-b-2，b=-2-a，又∵a2b，-b-22b，a-4-2a，移项，得-3b2，3a-4，b0(不等式的两边同时除以-3，不等号的方向发生改变);a由a2b，得 2(不等式的两边同时除以负数b，不等号的方向发生改变);A.当a0时，有最大值是，;故本选项错误;B.当 0时，有最小值是，无最大值;故本选项错误;C..有最大值2;故本选项正确;(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.20.(2011浙江台州，6，4分)不等式组 的解集是()A.x3 B.x6 C.36 D.x6考点：解一元一次不等式组;不等式的性质;解一元一次不等式.专题：计算题.分析：根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组的解集的规律找出即可.解答：解：，由①得：x6，由②得：x3，21.(2011梧州，8，3分)不等式组的解集在数轴上表示为如图，则原不等式组的解集为()A、x2 B、x3 C、x3 D、x2考点：在数轴上表示不等式的解集。专题：探究型。分析：根据数轴上不等式解集的表示方法进行解答即可.解答：解：∵由数轴上不等式解集的表示方法可知，不等式组中两不等式的解集分别为：x3，x2，22.(2011年湖南省湘潭市，3，3分)不等式组 的解集在数轴上表示为()A、B、C D、考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.专题：存在型.分析：先根据在数轴上表示不等式组解集的方法表示出不等式组的解集，再找出符合条件的选项即可.23.(2011巴彦淖尔，4，3分)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是()A、B、C、D、考点：在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组。专题：计算题。分析：先解不等式组得到﹣2解答：解：解x+20得，x﹣2，二、填空题1.(2011柳州)不等式组 的解集是 1考点：解一元一次不等式组。分析：首先分别解两个不等式，再根据：大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小取不着，写出公共解集即可.解答：解：，由①得：x2，2.(2011郴州)不等式组 的解集是 1考点：解一元一次不等式组。分析：首先解不等式组中的每一个不等式，然后求出不等式组的解集即可.解答：解：，3.(2011四川眉山，18，3分)关于x的不等式3x﹣a0，只有两个正整数解，则a的取值范围是 69.考点：一元一次不等式的整数解。专题：计算题。分析：解不等式得x，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断 的取值范围，求出a的职权范围.解答：解：原不等式解得x，∵解集中只有两个正整数解，三、解答题1.(2011新疆建设兵团，16，6分)解不等式组5x-93(x-1)1-32x12x-1，并将解集在数轴上表示出来.考点：解一元一次不等式组;不等式的性质;在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式.专题：计算题.分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.解答：解： 5x-93(x-1)①1-32x12x-1②，解不等式①得：x3，解不等式②得：x1，2.(2010重庆，18，6分)解不等式2x-3，并把解集在数轴上表示出来.考点：解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集分析：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，系数化为1，求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.解答：解：3(2x﹣3)6x﹣93.(2011浙江衢州，18，6分)解不等式，并把解在数轴上表示出来.考点：解一元一次不等式;不等式的性质;在数轴上表示不等式的解集。专题：计算题;数形结合。分析：根据不等式的性质得到得3(x﹣1)1+x，推出2x4，即可求出不等式的解集.解答：解：去分母，得3(x﹣1)1+x，综合验收评估测试题(时间：120分钟 满分：120分)

一、选择题1.在方程组 中，若未知数x,y满足x+y0，则m的取值范围在数轴上的表示是图9-61中的()2.已知关于x的不等式(1-a)x2的解集为，则a的取值范围是()A.a0B.a1C.a0D.a13.如果不等式组 的解集是x-1，那么m的值是()A.1B.3C.-1D.-34.若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有()A.1组B.2组C.3组D.4组5.已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是()A.a-1B.a2C.-1D.a-1，或a26.函数 中，自变量x的取值范围是()A.x-2B.x-2C.x-2D.x-27.已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()A.13cmB.6cmC.5cmD.4cm8.如果aA.ab0B.a+b0C.0D.a-b09.不等式3-2x7的解集是()A.x-2B.x-2C.x-5D.x-510.若不等式组 有解，则a的取值范围是()A.x-1B.a-1C.a1D.a

1二、填空题11.若a12.当a5时,不等式 的解集是________.13.不等式组 的解集是_________.14.如果一元一次不等式组 的解集为x3，那么a的取值范围是______.15.已知一元一次方程3x-m+1=2x-1的根是负数，那么m的取值范围是________.16.若代数式 的值不小于 的值，则x的取值范围是________.17.不等式组 的所有整数解的和是________.18.若关于x的不等式组 的解集为x2，则a的取值范围是_________.三、解答题19.解不等式5x-122(4x-3).20.解下列不等式(组).(1);(2);(3)(4).21.已知方程组 的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围.22.已知正整数x满足，求代数式 的值.23.若干名学生合影留念，照相费为2.85元(含两张照片).若想另外加洗一张照片,则又需收费0.48元,预定每人平均交钱不超过1元,并都能分到一张照片,则参加照相的至少有几名学生?24.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，且20元钱刚好用完.(1)有几种购买方式?每种方式可乐和奶茶各买多少杯?(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时,有几种购买方式?25.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度.(本题计算结果精确到个位)(1)预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人;(2)为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.26.迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A，B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆.(1)某校九年级(一)班课外活动小组承接了这个园林造型搭配方案的设计,则符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来;(2)若搭配一个A种造型的成本是800元,搭配一个B种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元?参考答案1.B2.B[提示:根据题意,由不等式两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,得1-a0,即a1.]3.D4.D5.B[提示:若不等式组中各不等式的解集无公共部分,则原不等式组的解集是空集.]6.B7.B.8.C9.A10.A11.空集12.13.x214.a315.m216.[提示:根据题意,得 ,解得.]17.318.a-219.x-220.(1)x10.(2)x-11.(3)x0.(4)21.-222.提示:x=1,23.解:设参加照相的有x名学生,根据题意,得2.85+(x-2)0.48x,所以 ,即至少有4名学生参加照相.答:参加照相的至少有4名学生.24.解:(1)设买可乐、奶茶分别为x杯、y杯，根据题意得2x+3y=20(且x,y均为自然数)，解得 y=0,1,2,3,4,5,6.代入2x+3y=20,并检验，得 所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为:(亦可直接用列举法求得)10，0;7，2;4，4;1，6.(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少两杯时，即y2且x+y8，由(1)可知有两种购买方式.25.解(1)(人).(2)设平均每年耕地总面积增加x亩.则有.26.(1)解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50-x)个，依题意，得 解得 3133.∵x是整数，x可取31，32，33，可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19;②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个;③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个.(2)解法1：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本，所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为33800+17960=42720(元).解法2：方案①需成本31800+19960=43040(元)，方案②需成本32800+18960=42880(元)，方案③需成本33800+17960=42720(元)，应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元.

第三篇：《不等式与不等式组》复习教案

《不等式与一次不等式组》 全章复习与巩固（提高）知识讲解

要点

一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：

1、用最简的不等式表示，例如xa，xa等；

2、是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程

2.不等式的性质：

基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：

如果a＞b，那么a±c＞b±c 基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：

ab如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．

cc 基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：

ab如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．

cc要点二、一元一次不等式

1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1 要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

心态不改变，成绩怎会变 坚持才会成功

要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，注意的是“三定”：

一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”

“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；

（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：

列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组

一元一次不等式组：关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起。要点诠释：

（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等

式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取

所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：

①根据题意构建不等式组，解这个不等式组； ②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．

【典型例题】

1.若x是非负数，则用不等式可以表示为（）A.x＞0

B.x≥0

C.x＜0

D.x≤0 解析:x为非负数，即x是正数或零，即x＞0或x=0.答案:B 2.亮亮在“联华超市”买了一个三轮车外轮胎，看见上面标有“限载280 kg”的字样，由此可判教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

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断出该三轮车装载货物重量x的取值范围是（）A.x＜280 kg

B.x=280 kg

C.x≤280 kg

D.x≥280 kg 解析:“限载280 kg”是指最大载重量为280 kg，即不能超过280 kg.答案:C 3.如图9-1-1,则x____________80.图9-1-1 解析:因为左边比右边重，所以x＞80.答案:＞

4.不等式的两边加上或减去同一个数（或式子），不等号的方向_____________;不等式的两边同时乘以或除以同一个_____________，不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以或除以同一个_____________，不等号的方向改变.答案:不变

正数

负数

10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下面的式子中不等式有_____________个.（）①3＞0 ②4x+3y＞0 ③x=3 ④x-1 ⑤x+2≤5

A.2

B.3

C.4

D.5 解析:用符号“＞”“≠”“≥”“＜”“≤”连接的式子叫不等式，所以①②⑤是不等式.答案:B 2.无论x取何值，下列不等式总成立的是（）A.x+5＞0

B.x+5＜0 C.-(x+5)2＜0

D.(x+5)2≥0 解析:根据任意数的平方都是非负数，所以(x+5)2≥0.答案:D 3.由a＞b，得到ma＜mb，则m的取值范围是（）A.m＞0

B.m＜0

C.m≥0

D.m≤0

解析:根据“不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变”,得m＜0.答案:B 4.用不等式表示“长为a+b,宽为a的长方形面积小于边长为3a-1的正方形的面积”: _________.解析:长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长.答案:a(a+b)＜(3a-1)2 5.3x2n-7-3＞n1是关于x的一元一次不等式,则n=_____________.2解析:根据一元一次不等式的定义可得2n-7=1,所以n=4.答案:4 6.利用不等式的性质求下列不等式的解集，并在数轴上表示出来.(1)x-3＜2;(2)11x＞;(3)5x≥3x-2.24解:解关于x的不等式，就是利用不等式的性质将不等式逐步化为x＜a或x＞a的形式.（1）不等式两边加3,得x＜5；（2）不等式两边乘以-4,得x＜-2；（3）不等式两边减3x,得5x-3x≥-2，教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

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即2x≥-2;不等式两边除以2,得x≥-1.在数轴上表示不等式的解集要分清两点，一要分清实点和虚点（“≥”与“≤”用实点，“＞”与“＜”用虚点），二要分清方向（“≥”与“＞”向右，“≤”与“＜”向左）.如图.7.若x＜0，x+y＞0，请用“＜”将-x，x，y，-y连接起来.解:由x＜0，x+y＞0，可知y＞0，且|y|＞|x|，所以-x＞0，-y＜0.根据“两个负数，绝对值大的反而小”知-y＜x，所以-y＜x＜-x＜y.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(2010吉林长春模拟，3)如图9-1-2所示，在数轴上表示不等式2x-6≥0的解集，正确的是（）

图9-1-2 答案:B 2.设“”“”“”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图9-1-3所示，那么、、这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）

图9-1-3 A.、、B.、、C.、、D.、、答案:B 3.(2010浙江绍兴模拟，7)不等式2-x＞1的解集是（）A.x＞1

B.x＜1

C.x＞-1

D.x＜-1 答案:B 4.已知△ABC中，a＞b，那么其周长P应满足的不等关系是（）A.3b＜P＜3a

B.a+2b＜P＜2a+b C.2b＜P＜2(a+b)

D.2a＜P＜2(a+b)答案:D 5.如图9-1-4，有理数a、b在数轴上的位置如图9-1-4所示，则或“＜”）.图9-1-4 答案:＜

6.一个木工有两根长为40 cm和60 cm的木条,要另外找一根木条并钉成一个三角形木架，问第三根木条的长度x的取值范围是_________________厘米.答案:20＜x＜100 教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

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ab_________0（填“＞”ab

7.用适当的符号表示下列关系:(1)a的3倍与b的1的和不大于3;5(2)x2是非负数;(3)x的相反数与1的差不小于2;(4)x与17的和比它的5倍小.解:(1)中不大于就是小于或等于,即“≤”；（2）中的非负数就是大于等于零,即“≥”;(3)不小于就是大于等于;(4)中关键词是“小”等.可得(1)3a+

1b≤3;5(2)x2≥0;(3)-x-1≥2;(4)x+17＜5x.8.请写出一个含有“≤”的不等式的题目，并列出该题的不等式，能求出解集的求其解集.解:x的2倍与3与x差的和不大于7.列出不等式为2x+（3-x）≤7；2x+3-x≤7，x+3≤7，x≤4.9.你能比较2 0052010与2 006的大小吗? 为了解决这个问题,我们可先探索形如:n(n+1)和(n+1)n的大小关系(n≥1,自然数).为了探索其规律可从n=1、2、3、4、„这些简单的情形入手,从中观察、比较、猜想、归纳并得出结论.(1)利用计算器比较下列各组中两个数的大小:(填“＜”“＞”)

①12____________21;②23____________32;③34____________43;④45____________54;⑤56____________65.(2)试归纳出nn+1与(n+1)n的大小关系是:______________.(3)运用归纳出的结论，试比较2 0052010与2 006的大小.解:（1）通过计算可得＜

＜

＞

＞

＞(2)经过观察、比较、猜想可归纳出, 当n=1,2时，nn+1＜(n+1)n； 当n＞3时，nn+1＞(n+1)n.(3)根据规律，当n＞3时，nn+1＞(n+1)n,得0052 006＞2 0062 005.10.某辆救护车向相距120千米的地震灾区运送药品需要1小时送到，前半小时已经走了50

千米，后半小时至少以多大的速度前进，才能保证及时送到? 解:设后半小时速度为x千米/时, 依题意,有1x+50≥120.21x≥70,x≥140.2故后半小时至少以140千米/时的速度前进才能保证及时送到.11.小明和小亮决定把省下的零用钱存起来，已知小明存了168元，小亮存了85元，从这个月开始小明每月存16元，小亮每月存25元，几个月后小亮的存款数能超过小明? 解:设x个月后小亮的存款数能超过小明，则第x个月后小明的存款数为(16x+168)元，小亮的存款数是(25x+85)元.所以由题意可得25x+85＞16x+168，25x-16x＞168-85，即9x＞81，得x＞9.故9个月后小亮的存款数能超过小明.教师寄语： 没有付出，那来收获 没有努力，何来成绩

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12.两根长度均为a cm的绳子,分别围成一个正方形和一个圆.(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2,那么绳长a应满足怎样的关系式?(2)如果要使圆的面积大于100 cm2,那么绳长a应满足怎样的关系式?(3)当a=8时,正方形和圆的面积哪个大?a=12呢?(4)你能得到什么猜想?改变a的取值再试一试.解:这是一个等周问题,所围成的正方形面积可表示为（a2a2),圆的面积可表示为π().42a2a2(1)要使正方形的面积不大于25 cm,就是()≤25,即≤25.4162

a2a2(2)要使圆的面积大于100 cm,就是π()＞100,即＞100.242

82822(3)当a=8时,正方形的面积为=4(cm),圆的面积为≈5.1(cm2),4＜5.1,此时圆的面积大;

4161221222当a=12时,正方形的面积为=9(cm),圆的面积为≈11.5(cm2).1649＜11.5,此时还是圆的面积大.a2a2(4)周长相同的正方形和圆,圆的面积大.本题中即＞.164

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第四篇：解含参数的不等式应遵循的原则

解含参数的不等式应遵循的原则

含参数的不等式是历年来高考考察的重点内容之一.在解含参数的不等式时,由于参数的不确定性,常常要依据参数的取值范围,对参数进行全面的分类讨论.在解题中,如果我们遵循“一看系正否,二判根大小”的原则,则往往使得分类的标准清晰明确,有章可循.这一原则即:首先看不等式最高次的系数是否是正数;其次再比较相应的方程的根谁大谁小.下面举例说明这一原则在解题中的具体应用.例1 解关于x的不等式xa0(aR).xa2

解:原不等式等价于:(xa)(xa2)0.222当aa,即:a1或a0时,解得:axa;当aa,即:a1或a0时,不等式

22无解;当aa,即:0a1时,解得:axa.

不等式的解集为;当0a1时,原不等式的解集为:xa

例2 解关于x的不等式2综上所述,当a1或a0时,原不等式的解集为:xaxa;当a1或a0时,原2xa.a(x1)1(a1).x2

(a1)x(2a)0,所以:(x2)(a1)x(2a)0.解:原不等式可化为: x2

a2)0,又因为因为a1,所以当a1时,上式即为:(x2)(xa1

a21a212,所以,此时x2或x.a1a1a1

a2a2)0.若2,即: 0a1时:有: 当a1时,上式即为:(x2)(xa1a1

a2a2a22x2,即: a0时, x不存在;若2即: a0时,有;若a1a1a1

a2x2.a1

综上所述,原不等式的解集

当a1时,为xx2或x

a2a20a1;当时,为x2x;当a0时,a1a1

为;当a0时,为xa2x2.a1

2例3 解关于x的不等式ax(a1)x10.解:(1)当a0时,原不等式变为:x10,此时不等式的解为:x1.1)0.a

11若a0,则上式即为:(x1)(x)0,又因为1,所以,此时不等式的解为:x1或aa

1x.a

11若a0,则上式即为:(x1)(x)0.(ⅰ)当1,即:a1时,原不等式的解为: aa

111x1;(ⅱ)当1,即:a1时,原不等式的解为;(ⅲ)当1,即:0a1时,原aaa

1不等式的解为1x.a(2)当a0时,原不等式可化为:a(x1)(x

综上所述,原不等式解集为:当a0时,xx

1或x1;当a0时,xx1;当a

0a1时,xx11a1a1;当时,;当时,xx1.aa

x例4 解关于x的不等式loga(1)1.a10a11解:原不等式即为:loga(1)logaa.它等价于:.或11x1a01axx

当a1时,不等式即为:

得:(1a)x1110,亦即:x(x)0.因为0,所以,解x1a1a1x0.1a

111011xx当0a1时,不等式即为:.亦即:,解得:1x.111a1a1axx

纵上所述,当a1时,原不等式解集为:x1x0;当0a1时,原不等式解集1a

为:xx

1.1a

第五篇：向量 不等式(高考题型与方法)

向量（高考题型与方法）

1.已知向量a=

1），b=（0，-1），c=（k

。若a-2b与c共线，则k=___________________。

2.已知向量a，b满足a1，b2，a与b的夹角为60°，则ab

3.已知平面向量,,1,2,(2),则2a的值是4.如图，在ABC中，AD

AB,BC,AD1,则ACAD.5.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3,BD1，则ABAD

6.2011年高考山东卷理科12)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若11且2,则称A3，A4调和分割A1，A2 ,A1A3A1A2(λ∈R)，A1A4A1A2(μ∈R)，

已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是

(A)C可能是线段AB的中点(B)D可能是线段AB的中点

(C)C，D可能同时在线段AB上(D)C，D不可能同时在线段AB的延长线上

b，(ac)(bc)0，7.(2011年高考全国新课标卷理科10)若a，且ab0，c均为单位向量，则|abc|的最大值为

（A）21（B）1（C）2（D）2

8.(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，BACDEF=_____

9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,ADC90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则

|PA3PB|的最小值为.9.若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足A.23B.2 C.2D.2 11，则等于 33

10.ABC和点M满足MAMBMC0.若存在实n使得AMACnAM成立，则n

=

A.2B.3C.4D.5

11.（2010年高考全国卷Ⅱ理科7）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若CB= a , CA= b , a= 1，b= 2, 则CD=

12213443a + b（B）a +b（C）a +b（D）a +b 33335555（A）

212.（2010年高考四川卷理科6）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC16，ABACABAC，则AM

（A）8（B）4（C）2（D）1

不等式与推理证明（高考题型与方法）

yx1.设m1,在约束条件ymx下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为．

xy1

2.若变量x,y满足约束条件32xy9,则zx2y的最小值为.6xy9

3.(2011年高考天津卷文科5)已知alog23.6,blog43.2,clog43.6,则

A.abcB.acbC.bacD.cab

4.(2011年高考广东卷文科4)函数f(x)1lg(x1)的定义域是（）1x

A．(,1)B．(1,)C．(1,1)(1,)D．(,)

5.（2011年高考陕西卷文科3)设0ab，则下列不等式中正确的是

ababb（B）a22

ababb（C）ab

a22（A）

ab

6.（2010山东文数）（14）已知x,yR，且满足xy1，则xy的最大值为.34