高考数学基础知识总结：第15章_复数（推荐）

第一篇：高考数学基础知识总结：第15章_复数（推荐）

高中数学第十五章 复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15.复 数知识要点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.3.共轭复数的性质：

zzz1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi）zz|z|2|z|2

z1z2z1z2z1z2z1z2

z1z2z1（z20）zn(z)n z2

注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]⑴①复数的乘方：znzzz...z(nN)

n

②对任何z，z1,z2C及m,nN有

③nzmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nznz12

注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由i21142(i)121就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,若1i1ii,i 1i1i1

1是的立方虚数根，即

则.5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件： ①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.6.⑴复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设aR,则arga0,arg(a),argai

⑵复数的代数形式与三角形式的互化： 31,2,,120,nn1n20(nZ)123i2，3,arg(ai).22

abir(cosisin)，ra2b2，cosab,sin.rr

⑶几类三角式的标准形式：

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(sinicos)r)isin()] 22

7.复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

x1,2b；若=0，则有二相等实数根2ab|ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.2a2a

②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：

r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)] r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)] r2(cos2isin2)r2

棣莫弗定理：[r(cos

isin)]nrn(cosnisinn)

第二篇：2010届高考数学总结精华版第十五章复数

高中数学第十五章 复数

考试内容：

复数的概念．

复数的加法和减法．

复数的乘法和除法．

数系的扩充．

考试要求：

（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．

（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．

（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．

§15.复 数知识要点

1.⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i21.⑵复数及其相关概念：

① 复数—形如a + bi的数（其中a，bR）；

② 实数—当b = 0时的复数a + bi，即a；

③ 虚数—当b0时的复数a + bi；

④ 纯虚数—当a = 0且b0时的复数a + bi，即bi.⑤ 复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：

abicdiac且bd（其中，a，b，c，d，R）特别地abi0ab0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z1,z2为复数，则1若z1z20，则z1z2.（×）[z1,z2为复数，而不是实数] 2若z1z2，则z1z20.（√）

②若a,b,cC，则(ab)2(bc)2(ca)20是abc的必要不充分条件.（当(ab)2i2，(bc)21,(ca)20时，上式成立）

2.⑴复平面内的两点间距离公式：dz1z2.其中z1，z2是复平面内的两点z1和z2所对应的复数，d表示z1和z2间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：zz0r（r0）.⑵曲线方程的复数形式： ①zz0r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②zz1zz2表示线段z1z2的垂直平分线的方程.③zz1zz22a（a0且2az1z2Z1，Z2为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程

（若2az1z2，此方程表示线段Z1，Z2）.④zz1zz22a（02az1z2表示以Z1，Z2为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2az1z2，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：

设z1，z2是不等于零的复数，则 ①z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，且0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.②z1z2z1z2z1z2.左边取等号的条件是z2z1（R，0），右边取等号的条件是z2z1（R，0）.注：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.3.共轭复数的性质：

zzz1z2z1z2

zz2a，zz2bi（za + bi）zz|z|2|z|2

z1z2z1z2z1z2z1z2

z1z2z1（z20）zn(z)n z2

nzzz...z(nN)

n注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：z

②对任何z，z1,z2C及m,nN有

③nzmznzmn,(zm)nzmn,(z1z2)nznz12

42(i)12注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i21,i41若由i21就会得到11的错误结论.②在实数集成立的|x|x2.当x为虚数时，|x|x2，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：

i21,i4n1i,i4n21,i4n3i,i4n1

inin1in2in30,(nZ)

(1i)22i,若

31i1ii,i 1i1i112是的2立n方n1虚n2数根，即123i2，,,10,0(nZ)则 1 , .5.⑴复数z是实数及纯虚数的充要条件：

①zRzz.②若z0，z是纯虚数zz0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同

一复数.特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：|z||z|.6.⑴复数的三角形式：zr(cosisin).辐角主值：适合于0≤＜2的值，记作argz.注：①z为零时，argz可取[0,2)内任意值.②辐角是多值的，都相差2的整数倍.③设aR,则arga0,arg(a),argai

⑵复数的代数形式与三角形式的互化：

abir(cosisin)，ra2b2，cos3,arg(ai).22ab,sin.rr

⑶几类三角式的标准形式：

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(cosisin)r[cos()isin()]

r(sinicos)r)isin()] 22

7.复数集中解一元二次方程：

在复数集内解关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)时，应注意下述问题： ①当a,b,cR时，若＞0，则有二不等实数根x1,2

根x1,2b；若=0，则有二相等实数2ab|ib；若＜0，则有二相等复数根x1,2（x1,2为共轭复数）.2a2a

②当a,b,c不全为实数时，不能用方程根的情况.③不论a,b,c为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.8.复数的三角形式运算：

r1(cos1isin2)r2(cos2isin2)r1r2[cos(12)isin(12)] r1(cos1isin2)r1[cos(12)isin(12)] r2(cos2isin2)r2

棣莫弗定理：[r(cos

isin)]nrn(cosnisinn)

第三篇：高考数学备考：注重基础知识 加强规律总结

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高考数学备考：注重基础知识加强规律总结

命题：注重基础和方法

注重“双基”

高考数学试卷将会一如既往地坚持考查“双基”——基础知识、基本方法，突出对主干知识、重点知识的反复考查。三角函数、解三角形、数列、立体几何、统计与概率等知识将在解答题中被重点考查。同时，在选择题和填空题中，将对集合、复数、程序框图、三视图、二项式定理、线性规划、向量、三角、函数图像和性质等内容进行全面、系统的考查。考生要特别注意教材中新增内容，如二分法、函数零点、条件概率等，还要兼顾冷点知识，如线性回归、相关系数、独立性检验及正态分布等。考生要抓住重点并做到系统全面复习，切忌出现知识盲点。

注重数学本质

高考数学最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，转化成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、韦达定理、两点间距离公式等可以编出很多精彩的试题。这些问题考查了解析几何的基本方法，也体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交会点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想。

注重知识的交会

对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点;对空间想象能力的考查，主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上。

对运算求解能力的考查以代数运算为主。对数据处理能力的考查主要是考查考生运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力，重视对数学思想方法，如分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、配方法等的考查，函数与方程、不等式、导数、数列、平面向量的结合，三角函数与平面向量、数列等知识网络间的交会仍然是数学命题的重点。

备考：突出重点，加强总结

选择题题量大、分值多，考生可从近年高考试卷和做过的模拟题中筛选出那些“出镜率高”的重点题型进行训练。还要注意整理平时积累的一些小规律，这可以大大提高解客观题的速度和准确率，还有助于在解答大题时抓住实质，迅速解题。

解填空题的基本要求是“正确、合理、迅速”，必须概念清楚，推理明白，运算熟练，方法简洁灵活。基本题型以定量型居多，也有定性型和混合型。由于没有选择题的选项和“必有一个正确”的保证，填空题难度比选择题要大，但应试策略基本类似。比如重点练习常考热点题型，熟记大量特殊结论。另外，除直接求解法外，数形结合法、特殊赋值法、等价转换法、特征分析法、归纳猜想法等都是十分有效的方法。数学解答题中常有一些带有套路性的解题程序出现，要有意识地把它们提炼出来形成模型并反复练习。比如许多压轴题的最后一步往往归结为“二次函数最值或单调性”“双勾函数与基本不等式”“恒成立问题与最值”等模型;立体几何中，线面垂直是联系各种平行垂直关系的枢纽，题目有或者能挖掘出此条件就等于成功了一半，之后用坐标法还是几何法都很容易。还有立体几何中的“向量坐标法”，解析几何中的“代入消元-韦达定理-判别式-弦长公式”一条龙，导数大题中“求导-求极值点-解导数不等式-分类讨论研究单调性”一条龙，几乎每套卷子里都会用到。把这些运用得非常熟练，必受大益，而且也是一些大题的解题步骤。

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第四篇：高考数学回归课本教案：复数

高考数学回归课本教案

整理：卢立臻 第十五章 复数

一、基础知识

21．复数的定义：设i为方程x=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z).z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z).r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=a2b2.如果用e表示cosθ+isinθ，则z=re，iθ

iθ称为复数的指数形式。

3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则za-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：

z1（1）z1z2z1z2；（2）z1z2z1z2；（3）zz|z|；（4）z22z1；（5）z2（6）||z1z2||z1||z2|；22

22z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z2|z2|1。z|z1+z2|+|z1-z2|=2|z1|+2|z2|；（9）若|z|=1，则z4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1••z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z20,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θz2r22)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e

i(θ1+θ2),z1r1i(12)e.z2r2n5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).n6.开方：若wr(cosθ+isinθ)，则wnn

r(cos2knisin2kn)，k=0,1,2,„,n-1。

[cos(2)isin(2)]ncosn(2)isin(2)cos(2n)isin(2n)，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。4．二项式定理的应用。

02410013599例5 计算：（1）C100；（2）C100 C100C100C100C100C100C100[解](1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2,=1002505050

由二项式定理(1+i)=)+（***00C100C100iC100iC100iC100i024100(C100C100C100C***9)i，比较实部和虚部，得C100=-2，C100C100C100C100C100C100C10013599=0。C100C100C100C1005．复数乘法的几何意义。

例6 以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。

[证明] 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z1,z2,z3,CAz1a,BAz1a，由复数乘法的几何意义得：CNz3ai(z1a)，①BMz2ai(z1a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=

z2z3ai,为2定值，所以MN的中点P为定点。

例7 设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB•AD+BC•AD≥AC•BD。

[证明] 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥|A-C|•|B-D|, “=”成立当且仅当Arg(BABCDABC)Arg()，即Arg()Arg()=π，即A，B，C，D共圆DACDBADC时成立。不等式得证。6．复数与轨迹。

例8 ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC的外心轨迹。

[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x26(y).3所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。7．复数与三角。

例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[证明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则

[证明] 以P为原点建立复平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取Q三角形；又由C-Q=i(B-Q)得

CiB，则C-Q=i(B-Q)，则ΔBCQ为等腰直角1iDAQi(Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也为等腰直ii角三角形且以Q为直角顶点。综上命题得证。

例14平面上给定ΔA1A2A3及点p0，定义As=As-3,s≥4，构造点列p0,p1,p2,„,使得pk+1为绕0中心Ak+1顺时针旋转120时pk所到达的位置，k=0,1,2,„,若p1986=p0.证明：ΔA1A2A3为等边三角形。[证明] 令u=ei3，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面为复平面，则p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 22①×u+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+uA1)+p0=w+p0,w为与p0无关的常数。同理得

22p6=w+p3=2w+p0,„,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，从而A3-uA2+uA1=0.由u=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，这说明ΔA1A2A3为正三角形。

三、基础训练题

221．满足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序实数对(x,y)有__________组。2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-

100=__________。z3.复数z满足|z|=5，且(3+4i)•z是纯虚数，则z__________。4．已知z213i，则1+z+z+„+z

2199

2=__________。

5.设复数z使得z1的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是__________。z266．设z,w,λ∈C,|λ|≠1，则关于z的方程z-Λz=w的解为z=__________。

1x1x2arcsin__________。7.设0

29．若a,b,c∈C,则a+b>c是a+b-c>0成立的__________条件。

2210．已知关于x的实系数方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m取值的集合是__________。

211．二次方程ax+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。12．复平面上定点Z0，动点Z1对应的复数分别为z0,z1，其中z0≠0，且满足方程|z1-z0|=|z1|，①另一个动点Z对应的复数z满足z1•z=-1，②求点Z的轨迹，并指出它在复平面上的形状和位置。

13．N个复数z1,z2,„,zn成等比数列，其中|z1|≠1，公比为q,|q|=1且q≠±1,复数222222

|z1||z2||z3|1,zzz13.给定实数a,b,c,已知复数z1,z2,z3满足1231,求

z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。

三、联赛一试水平训练题 1．已知复数z满足|2z1|1.则z的辐角主值的取值范围是__________。z2．设复数z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，复数z,(1+i)z，2z在复平面上对应的三个点分别是P，Q，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则S到原点距离的最大值为__________。3．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,„,z20,则复数1995z1,z1995,,z1995220所对应的不同点的个数是__________。

4．已知复数z满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为__________。5．设w130z1=w-z,z2=w+z,z1,z2对应复平面上的点A，B，点O为原点，∠AOB=90，i，22|AO|=|BO|，则ΔOAB面积是__________。6．设wcos5isinm5n，则(x-w)(x-w)(x-w)(x-w)的展开式为__________。

3797．已知(3i)=(1+i)(m,n∈N+)，则mn的最小值是__________。

8．复平面上，非零复数z1,z2在以i为圆心，1为半径的圆上，z1•z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=__________。63i7)1]n的值中有实数__________个。29.当n∈N,且1≤n≤100时，[(10．已知复数z1,z2满足

z2z17，且Argz1，Argz2，Argz3，则

368z1z2Argz1z2的值是__________。z318

4811．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，问：集合C中有多少个不同的元素？ 12．证明：如果复数A的模为1，那么方程(1ixn)A的所有根都是不相等的实根（n1ix∈N+）.13.对于适合|z|≤1的每一个复数z，要使0<|αz+β|<2总能成立，试问：复数α，β应满足什么条件？

六、联赛二试水平训练题

第五篇：考研数学基础知识总结

考研数学基础知识总结 1.摆线 一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线，摆线有一个重要性质，即当一物体仅凭重力从A点滑落到不在它正下方的B点时，若沿着A，B间的摆线，滑落所需时间最短，因此摆线又称最速降曲线。每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）r为圆的半径，t是圆的半径所经过的角度（滚动角），当t由0变到2π时，动点就画出了摆线的一支，称为一拱。