2013年理科全国各省市高考真题——几何证明选讲(解答题带答案)

第一篇：2013年理科全国各省市高考真题——几何证明选讲(解答题带答案)

2013年全国各省市理科数学—几何证明选讲1、2013重庆理T14.如题14图，在ABC中，C90,A600,AB20,过C作ABC的外接圆的切0

线CD，BDCD,BD与外接圆交于点E，则DE的长为__________

2、2013广东理T15.(几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上, 延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若 E AB6,ED2,则BC_________.第15题图 3、2013陕西理15.B.(几何证明选做题)如图, 弦AB与CD相交于O内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD＝2DA＝2, 则PE＝.4、2013湖南理T11.如图

2的O中,弦AB,CD相交于点

P,PAPB2,PD1，则圆心O到弦CD的距离为5、2013湖北理

15、如图，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E。若AB3AD，则6、2013新课标I理T22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.（Ⅰ）证明：DBDC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径

.CE的值为。EOCA E

B第15题图6、2013新课标Ⅱ理T22.（本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，CD为ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B、E、F、C四点共圆。

（Ⅰ）证明：CA是ABC外接圆的直径；

（Ⅱ）若DBBEEA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与ABC外接圆面积的比值。

7、2013辽宁理T22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

BC垂直于 如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E.AD垂直于CD于D，CD于C，EF垂直于F，连接AE,BE.证明：

（I）FEBCEB;

（II）EFADBC.参考答案：

1、5ABBCABCCDECDDE,又

2、【解析】,所以

BCCD,所以BC2ABDE12,从而BC

3、【答案】.【解析】

BC//PEBCDPED.且在圆中BCDBADPEDBAD.EPD∽APEPEPDPE2PAPD326.所以PE.PAPE4、【答案】

【解析】3

2由相交弦定理得APPBDPPCPC4,DC5，圆心到CD的距离dr2（5、PC23)22

ADABADCECD2ADBD82EOODOAAD1ABAD【解析与答案】由射影定理知 2

第二篇：数学选修4-1几何证明选讲解答题

选修4-1：几何证明选讲

一、填空题

1.(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.2．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．

二、解答题

3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.4．(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为

r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC

为定值．

5．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD，点E，F分别为线段AB，AD的中点，求EF的长． a

26．如图所示，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分∠APC，分别交AC、BC于点M、N.求证：(1)CM＝CN；(2)MN2＝2AM·BN

.7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD.过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB2＝BE·CD.8．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC经过圆心O，OB＝PB＝1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD，求PD的长．

9.如图，已知△ABC的两条角平分线AD和

CE

相交于点

H，∠ABC＝60°，F在AC上，且AE＝AF.求证：(1)B、D、H、E四点共圆；

(2)CE平分∠DEF.10．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC.(1)求证：FB＝FC；

(2)求证：FB2＝FA·FD；

(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6 cm，求AD的长．

答案

231．2 2.3

CE3．证明 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AF∥BC，所以BE

＝.又因为AE∥CD，所以△AFE∽△DFC，EFEA

EAEFCFEFCE所以＝＝.CDCFCDEABE

又因为∠ECA＝∠D，∠CAF＝∠DAC，ACCF所以△AFC∽△ACD，所以，ADDC

ACCE所以，ADBE

所以AC·BE＝CE·AD.4.证明 如图，连结AO1并延长，分别交两圆于点E

和点D.连结BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故

AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．

π从而∠ABD＝∠ACE.2

所以BD∥CE，ABAD2r1r1于是＝＝.ACAE2r2r2

所以AB∶AC为定值．

5．解 连结DE，由于E是AB的中点，故BE＝.又CD＝，AB∥DC，22CB⊥AB，∴四边形EBCD是矩形．

在Rt△AED中，AD＝a，F是AD的中点，故EF2

6．证明(1)∵PC切圆O于点C，∴∠PCB＝∠PAC，又∵∠CPM＝∠APM，∴∠CNM＝∠CPM＋∠PCB＝∠APM＋∠PAM＝∠CMN，∴CM＝CN.(2)∵∠CPN＝∠APM，∠PCN＝∠PAM，aaaPCCN∴△PCN∽△PAM＝，①

PAAM

同理△PNB∽△PMCPBBN.② PCCM

又∵PC2＝PA·PB，③

由①②③可知CM·CN＝AM·BN，∵CM＝CN，∴CM2＝AM·BN.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴MN2＝2CM2，即MN2＝2AM·BN.7．证明 连结AC.∵EA切⊙O于A，∴∠EAB＝∠ACB，∵AB＝AD，∴∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.∴∠EAB＝∠ACD.又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.∴△ABE∽△CDA.ABBE，即AB·DA＝BE·CD.CDDA

∴AB2＝BE·CD.8．解 方法一 连结AB，∵PA切⊙O于点A，B为PO中点，∴AB＝OB＝OA，∴∠AOB＝60°，∴∠POD＝120°.在△POD中，由余弦定理得PD2＝PO2＋DO2－2PO·DO·cos∠POD＝4＋1－14×(－＝7.∴PD7.2

方法二 过D作DE⊥PC，垂足为E，∴∠POD＝120°，13∴∠DOE＝60°，可得OE，DE＝，22

在Rt△PED中，25322PDPE＋DE＝7.44

9．证明(1)在△ABC中，∵∠ABC＝60°，∴∠BAC＋∠BCA＝120°.∵AD，CE分别是△ABC的角平分线，∴∠HAC＋∠HCA＝60°，∴∠AHC＝120°.∴∠EHD＝∠AHC＝120°.∴∠EBD＋∠EHD＝180°.∴B，D，H，E四点共圆．

(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，∴∠EBH＝∠HBD＝30°.由(1)知B，D，H，E四点共圆，∴∠CED＝∠HBD＝30°，∠HDE＝∠EBH＝30°.∴∠HED＝∠HDE＝30°.∵AE＝AF，AD平分∠BAC，∴EF⊥AD.∴∠CEF＝30°.∴CE平分∠DEF.10．(1)证明 因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC.因为四边形AFBC内接于圆，所以∠DAC＝∠FBC.因为∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，所以∠FBC＝∠FCB，所以FB＝FC.(2)证明 因为∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，FBFA所以△FBA∽△FDB.所以＝ FDFB

所以FB2＝FA·FD.(3)解 因为AB是圆的直径，所以∠ACB＝90°.又∠EAC＝120°，所以∠ABC＝30°，1∠DAC＝EAC＝60°.因为BC＝6，2

所以AC＝BCtan∠ABC＝23，AC所以AD＝＝43(cm)． cos∠DAC

第三篇：2007-2012新课标数学几何证明选讲解答题汇总

1、如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是

O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A

（Ⅱ）求OAMAPM的大小．（2007新课标）A【解析】（Ⅰ）证明：连结OP，OM．

因为AP与O相切于点P，所以OPAP． 因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC． 于是OPAOMA180°．，P，O，M四点共圆．由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

由（Ⅰ）得OPAP．

由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90°．

所以OAMAPM90°．

A2、如图，过圆O外

切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P． 一点M作它的一条切线，OPOA；（Ⅰ）证明：OM

（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．证明：∠OKM90．（2008课标卷）

23、如图,已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B＝60°,F在AC上,且AE＝AF.（2009课标卷）

(1)证明B,D,H,E四点共圆;

(2)证明CE平分∠

DEF.分析:此题考查平面几何知识,如四点共圆的充要条件,角平分线的性质等.证明:(1)在△ABC中，因为∠B＝60°,所以∠BAC+∠BCA＝120°.因为AD,CE是角平分线,所以∠HAC+∠HCA＝60°.故∠AHC＝120°.于是∠EHD＝∠AHC＝120°,因为∠EBD+∠EHD＝180°,所以B,D,H,E四点共圆.(2)连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD＝30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∠AHE＝∠EBD＝60°,由已知可得EF⊥AD,可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.4、如图，已经圆上的弧，过C点的圆切线与BA的延长线交于E点，证明：

（Ⅰ）∠ACE=∠BCD；

2（Ⅱ）BC=BF×CD。（2010课标卷）

解：

,（I）因为ACBC所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.（II）因为ECBCDB,EBCBCD, 所以BDC∽ECB，故即BCBECD.2BCCD，BEBC5、如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且

不与ABC的顶点重合。已知AE的长为m，AC的长为n,AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根。

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径。（）（201

1新课标）

解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，ADABmnAEAC即ADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB因此∠ADE=∠ACBACAB

所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂

线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC.HF=AG=5，DF=

故C,B,D,E四点所在圆的半径为

526、如图，D,E分别为ABC边AB,AC的中点，直线DE交 021(12-2)=5.2ABC的外接圆于F,G两点，若CF//AB，证明：

（1）CDBC；

（2）BCDGBD（2012课标卷）

【解析】（1）CF//AB，DF//BCCF//BD//ADCDBF

CF//ABAFBCBCCD

（2）BC//GFBGFCBD

BC//GFGDEBGDDBCBDCBCDGBD7、

第四篇：2018全国Ⅰ理科数学真题 解答题

解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。17.（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=，求BC.18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BP.（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19.（12分）设椭圆C： +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.20、（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的 作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

21、（12分）已知函数.（1）讨论 的单调性；

（2）若 存在两个极值点 , ,证明：.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2p-3=0.（1）求C₂的直角坐标方程:（2）若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.满足约束条件

则z=3x+2y的最大值为.14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.（用数字填写答案）

16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.

第五篇：2013年全国高考理科数学试题分类：几何证明

2013年全国高考理科数学试题分类汇编

17：几何证明

一、填空题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如

图,在ABC中,C90, A600,AB20,过C作ABC的外接圆的切线0

CD,BDCD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为

__________

【答案】

5错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如

图, △ABC为圆的内接三角形, BD为圆的弦, 且BD//AC.过点A 做圆的切线与DB的延长线交于点E, AD与BC交于点F.若AB = AC, AE = 6, BD = 5, 则线段CF的长为

______.【答案】8

3错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））

(几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上,延长BC到D使BCCD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB6,ED2,则BC_________.E

第15题图

【答案】

错误！未指定书签。．（2013年高考四川卷（理））设P1,P2,,Pn为平面内的n个点,在平

1P为P面内的所有点中,若点P到P1,P2,,Pn点的距离之和最小,则称点1,P2,,Pn

点的一个“中位点”.例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点.则有下列命题:

①若A,B,C三个点共线,C在线AB上,则C是A,B,C的中位点;

②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点;

③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一;

④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是____________.(写出所有真命题的序号数学社区)

【答案】①④

错误！未指定书签。．（2013年高考陕西卷（理））B.(几何证明选做题)如图, 弦AB与CD

相交于O内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P.已知PD=2DA=2, 则PE=_____.【答案】 6.O中,弦AB,CD错误！未指定书签。．（2013年高考湖南卷（理））如图2,相交于点P,PAPB

2,PD1,则圆心O到弦CD的距离为____________.【答案】

2CE的值为___________.EO错误！未指定书签。．（2013年高考湖北卷（理））如图,圆O上一点C在直线AB上的射影为D,点D在半径OC上的射影为E.若AB3AD,则

C

AB

第15题图

【答案】8

错误！未指定书签。．（2013年高考北京卷（理））如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB

DB9：16,则

PD=_________;AB=___________.与圆O相交于D.若PA=3,PD：

【答案】

二、解答题

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版

含答案））选修4—1几何证明选讲:如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交9;45直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BCAEDCAF,B,E,F,C四点共圆.(Ⅰ)证明:CA是△ABC外接圆的直径;

(Ⅱ)若DBBEEA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.【答案】

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））选

修4-1:几何证明选讲

BC垂直于如图,AB为O直径，直线CD与O相切于E.AD垂直于CD于D，CD于C，EF,垂直于F,连接AE,BE.证明:

(I)FEBCEB;(II)EFAD

BC.2

【答案】

错误！未指定书签。．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯

WORD版含附加题））A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题满分10分.如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC2OC

求证:AC2AD

【答案】A证明:连接OD,∵AB与BC分别与圆O相切于点D与C

∴ADOACB90,又∵AA

∴RTADO~RTACB∴0BCAC又∵BC=2OC=2OD∴AC=2ADODAD

错误！未指定书签。．（2013年高考新课标1（理））选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB

为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于

D.(Ⅰ)证明:DB=DC;

(Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径

.【答案】(Ⅰ)连结DE,交BC与点

G.由弦切角定理得,∠ABF=∠BCE,∵∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BCE,BE=CE,又∵DB⊥BE,∴DE是直径,∠DCE=90,由勾股定理可得DB=DC.0

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,∠CDE=∠BDE,BD=DC,故DG是BC

oo设DE中点为O,连结BO,则∠BOG=60,∠ABE=∠BCE=∠CBE=30,∴CF⊥BF,∴Rt△BCF

.6