学生数学构造思维研究论文

第一篇：学生数学构造思维研究论文

什么是构造法又怎样去构造？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，及基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助，下面我们通过举例来说明通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新。、构造函数

函数在我们整个中学数学是占有相当的内容，学生对于函数的性质也比较熟悉。选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练学生的思维，增强学生的思维的灵活性，开拓性和创造性。

例

1、已知a，b，m∈R+，且a < b 求证：（高中代数第二册p91）

分析：由 知，若用 代替m呢？可以得到 是关于 的分式，若我们令 是一个函数，且 ∈R+联想到这时，我们可以构造函数 而又可以化为 而我们又知道 在[0，∞] 内是增函数，从而便可求解。

证明：构造函数 在[0，∞] 内是增函数，即得。有些数学题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造一个函数，利用函数的性质得到了简捷的证明。解题过程中不断挖掘学生的潜在意识而不让学生的思维使注意到某一点上，把自己的解题思路搁浅了。启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维。

例

2、设 是正数，证明对任意的自然数n，下面不等式成立。

≤

分析：要想证明 ≤ 只须证明

≤0即证

≥0也是

≥0对一切实数x 都成立，我们发现是不是和熟悉的判别式相同吗？于是我们可以构造这样的二次函数来解题是不是更有创造性。

解：令

只须判别式△≤0，△= ≤0即得

≤

这样以地于解决问题是很简捷的 证明通过这样的知识转移，使学生的思维不停留在原来的知识表面上，加深学生对知识的理解，掌握知识更为牢固和知识的运用能力。有利于培养学生的创新意识。

2、构造方程

有些数学题，经过观察可以构造 一个方程，从而得到巧妙简捷的解答。

例

3、若(Z-X)2-4(X-Y)(Y-Z)=0 求证：X，Y，Z 成等差数列。

分析：拿到题目感到无从下手，思路受阻。但我们细看，题条件酷似 一元二次方程 根的判别式。这里 a = xx，c = yx，x + z = 2y

∴ x，y，z 成等差数列。遇到较为复杂的方程组时，要指导学生会把难的先简单化，可以构造出我们很熟悉的方程。

例

4、解方程组 我们在解这个方程组的过程中，如果我们用常规方法来解题就困难了，我们避开这些困难可把原方程化为：

于是 与 可认为是方程 两根。易求得 再进行求解(1)或(2)

由(1)得 此时方程无解。

由(2)得 解此方程组得： 经检验得原方程组的解为：

通过上面的例子我们在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径，我们在口头提到的创新思维，又怎样去创新?创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其的基本特征。这种创新思维能保证学生顺利解决问题，高水平地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，而构造法正从这方面增训练学生思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。

在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的“授之以鱼，不如授之以渔”。在这我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。运用构造 方法解题也是这样的，通过讲解一些例题，运用构造法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。

华罗庚：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。

3.构造复数来解题

由于复数是中学数学与其他内容联系密切最为广泛的一部分，因而对某些问题的特点，可以指导学生从复数的定义性质出发来解决一些数学难题。

例

5、求证： ≥

分析：本题的特点是左边为几个根式的和，因此可联系到复数的模，构造复数模型就利用复数的性质把问题解决。

证明：设z1 = a + bi z2 = a +(1-b)i z3 =(1-a)+(1 + b)i z4 =(1 – a)+ bi

则左边= | z1 | + | z2 | + | z3 | + | z4 |

≥ | z1 + z2 + z3 +z4 |

≥ | 2 + 2i | =

即 ≥

例

6、实数x，y，z，a，b，c，满足

且xyz≠ 0求证：

通过入微观察，结合所学的空间解析几何知识,可以构造向量

联想到 ≤ 结合题设条件

可知，向量 的夹角 满足，这两个向量 共线，又xyz≠0

所以

利用向量等工具巧妙地构造 出所证明的不等式的几何模型，利用向量共线条件，可解决许多用普通方法难以处理的问题对培养学生创新思维十分有益。

4.构造几何图形

对于一些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的，我们可以构造所需的图形来解题。

例

7、解不等式||x-5|-|x+3||< 6

分析：对于这类题目的一般解法是分区间求解，这是比较繁杂的。观察本题条件可构造双曲线，求解更简捷。

解：设F(-3，0)F(5，0)则|F1F2|=8，F1F2的中点为O`(1，0)，又设点p(x，0)，当x的值 满足不等式条件时，p点在双曲线 的内部

∴ 1-3

运用构造法就可以避免了烦杂的分类讨论是不是方便得多了，引导学生掌握相关知识运用到解决问题上来。

又如解不等式：

分析：若是按常规的解法，必须得进行分类讨论而非常麻烦的，观察不等式特点，联想到双曲线的定义，却'柳暗花明又一村"可把原不等式变为

令 则得 由双曲线的定义可知，满足上面不等式的(x，y)在双曲线 的两支之间区域内，因此原不等式与不等式组： 同解

所以不等式的解集为：。利用定义的特点，把问题的难点转化成简单的问题，从而使问题得以解决。

在不少的数学竞赛题，运用构造来解题构造法真是可见一斑。

例

8、正数x，y，z 满足方程组：

试求 xy+2yz+3xz的值。

分析： 认真观察发现5，4，3可作为直角三角形三边长，并就每个方程考虑余弦定理，进而构造图形直角三角形ABC，∠ACB=90°三边长分别为3，4，5，∠COB=90°

∠AOB=150°并设 OA= x，OB=，则x，y，z，满足方程组，由面积公式得：S1 + S2 + S3 =

即得：xy+ 2yz + 3xz = 24

又例如：a，b，c为正数求证： ≥ 由是 a，b，c为正数及 等，联想到直角三角形又由 联系到可成为正方形的对角线之长，从而我们可构造图形求解。

通过上述简单的例子说明了，构造法解题有着在你意想不到的功效，问题很快便可解决。可见构造法解题重在“构造”。它可以构造图形、方程、函数甚至其它构造，就会促使学生要熟悉几何、代数、三角等基本知识技能并多方设法加以综合利用，这对学生的多元思维培养学习兴趣的提高以及钻研独创精神的发挥十分有利。因此，在解题教学时，若能启发学生从多角度，多渠道进行广泛的联想则能得到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法而且还能加强学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高学生分析问题的创新能力。

第二篇：职校数学中如何培养学生思维论文

传统的数学教育是以教师灌输知识技能为主,往往缺乏对学生进行逆向思维的训练。因此,学生解决问题习惯于正向思维,但新课程背景下更注重发展学生的创新思维,培养创新精神,形成全方位、多角度思考问题的额体系,因此如何在数学教学中培养学生的逆向思维能力就被置于一个更加重要的位置。

1创设问题情境,促进智力探索形成氛围

《新课程标准》中指出:数学教学必须要注意从学生的生活经验和感兴趣的事物出发,为他们提供参与的机会,从而对数学产生亲切感,尤其是面对低年级学生,我们更要创设一些有趣的问题情境,激发学生的学习兴趣,从而引发学生的逆向思考。例如:在教学《二项式定理》这一节内容时,教师一开始就写出2(a+b),这时候学生们都会写出它的展开式,然后教师提出n(a+b)中这个n不管是多少我都可以知道它的展开式多少项,分别是多少。这个时候学生就会提出疑问:为什么老师这么快就可以算出来呢,是不是有什么秘诀?这样很自然的就引入了课题。

2注重教学概念、定义的逆向性

定义是对一个名词进行说明,从而使得数学概念和语言紧密联系起来,揭示出事物的本质特征,而概念是反映对象特有属性的思维模式,是构成判断、推理的要素。因此,在教学中除了学生理解概念本身及常规应用以外,还要善于引导启发学生从相反方向思考问题,从而加深对概念的理解和拓展,最终形成推理能力和计算的技能技巧。例如:在教学《奇函数定义及图像》时,首先讲解奇函数的定义:对于函数f(x)的定义域中任意一个x,都有f(x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。针对这个定义要求学生们理解:如果函数满足f(x)=f(x),则函数为奇函数,且函数图像关于x轴对称,而另一方面,如果一个函数的图像时关于x轴对称,则可说明这个函数是奇函数f(x)=f(x)这就是从定义、概念的反方向思考问题。3.3注重教学公式、运算法则的逆向性数学中的公式及运算法则是数学知识体系的最基本的部分,是解决其它数学问题的桥梁。因此,在讲授公式及运算法则的时候,教师要注意训练学生逆用公式、运算法则的基本动。讲完后,要通过一些公式逆用的例子,以此加深学生们对公式、运算法则的理解,给学生一个更为深刻的印象。

3注重教学中定理的逆向性

定理是数学知识的重要组成部分,是判断是非、逻辑推理的依据,是进一步解决数学问题的锐利武器,只有熟练掌握定理的成立条件与内容,才能产生正确的思考方法和形成简洁的解题技巧。要想熟练掌握定理,就必须从正反两个方向去理解定理,虽然每个定理都有逆命题,但并不是每个逆定理都是成立的,经过证明是成立的逆命题就成为逆定理。重视逆定理的运用,不仅可以开拓学生的思维,还可以培养他们严谨的数学思想品质。例如:对于《勾股定理》大家都很熟悉定理内容:如果直角三角形的两个直角边分别为a,b斜边为c,则这个三角形的三条边的边长满足222a+b=c。这个定理的逆命题是,已知三角形的三条边的边长满足222a+b=c,则这个三角形就是直角三角形。通过证明我们发现这个命题是成立的,那么这个命题就是勾股定理的逆定理。

4结语

培养学生逆向思维可以让学生的思维更加敏捷、灵活及深刻,使学生在遇到难题时积极主动地去寻求新的解决途径。这不仅能提高他们的实际解题能力,更重要的是能够改善职业学校学生学习数学的思维方式,有助于他们形成良好的思维习惯,逐步形成创新思维,最终使得整个素质得到很大程度的提高。

第三篇：初中数学教学论文如何培养学生的数学思维

初中数学教学论文 如何培养学生的数学思维

初中数学教学中，一方面要传授数学知识，使学生具备数学基础知识的素养；另一方面，要通过数学知识的传授，发展智力，培养学生数学能力。钱学森教授曾指出：“教育工作的最终机智在于人脑的思维过程。”思维活动的研究，是教学研究的基础，数学教学与思维的关系十分密切，数学思维的发展规律，对数学教学的实践活动具有根本性的指导意义，因此，在数学教学中如何发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力是一个广泛而值得探讨的课题。

一、精心设计课题引入，吸引学生的注意力，活跃学生的思维。

苏霍姆林斯基说过：“所有智力方面的工作都要依赖于兴趣。”爱因斯坦也曾说过 ：“兴趣是最好的老师”。俗话说 ：“万事开头难”，良好的开头是成功的一半，精彩的引入能在课堂教学的开始便深深地吸引住学生的注意力。因此几分钟的引入切不可轻视，它关系到四十五分种课堂教学的直接效果。那么引入要怎样做才能做到引人入胜呢？ 这是没有定论的，它 要根据教材内容、比如，在学习§2.11有理数的平方时，故事引入：从前，有一个国王为了奖励发明国际象棋游戏的人，承诺要满足这个人的一个要求。这个人提出，只要在这个国际象棋棋盘里的64个格子中，依次放上2颗、4颗、8颗、16颗，…，后一个格子里的数量是前一格子的数量的2倍的粮食就可以了。国王高兴的答应了。但随后令国王惊讶的是，国王并没有办法满足这个人的要求。你知道这是为什么吗？（一下子就把学生的注意了力吸引过来了。）让我们一起来探索其中的奥妙吧！（如何用式子把每一格的数量表达出来呢？）

第一格：2

第四格：2 ×2×2×2=16

第一格：2×2=4

第五格：2×2×2×2×2=32

第三格：2×2×2=8

……

我们发现第2格也能象上面一样列出数学式子进行计算，但显然用这样的式子在表达上很不方便的，那我们能否找到简便的表达方式呢？这就是我们今天要学习的有理数的乘方。

小学时，我们学过：a×a记作 a，读作a的平方（或a的2次方）；a×a×a记作 a，读作a的立方（或a的3次方）；那么a×a×a×a可以记作什么？a×a×a×a×a呢？a×a×a×a…×a有n个a呢？象这样n个a相乘，记作a，既简单又明确。这样就很自然地把求几个相同因数的乘积的运算介绍给了学生。学生都能在不知不觉中参与教学活动中，学到了新的知识，活跃了思维。

二、在赏识教学中充分调动学生学习积极性，活跃学生的数学思维。

在教学活动中，最被动的莫过于后进生了。素质教育要求面向全体学生，放弃后进生就不能做到，使人人都能学数学用数学。根据后进生基础差、学习习惯不良容易情绪低落，甚至 自暴自弃的特点，本人认为，应从赏识入手，多给后进生一些鼓励和指导帮助。承认学生之间的差异性，降低对后进生在学习上难度的要求，积极发现后进生在课堂中的闪光点，及时调动他们的积极性。

例如§4.1生活中的立体图形的教学中，安排这样一道题：你能用6根火柴组成4个一样大的三角形吗？若能，请说明你的图形。其中，有一个后进生说：“能”，虽然声音不大，却能被老师听到，及时给他一个机会。这个同学说：“图形是棱锥，是三棱锥。”因为之前老师有分析过三棱锥有6条棱，在这一题目中，6根火柴就是6条棱，所以要回答本题并不难。由于该生的特殊性，老师鼓励他说：“你看，你有很好的空间想象能力，在今后的学习中，只要你能像现在一样，你一定会有很大的进步的。”这个同学的积极性马上就有了，其他同学也是深受鼓舞。>当然，不仅仅后进生需要老师、同学的赏识，在学习生活中，每一个同学都渴望能得到理解和肯定，都希望能得到老师和同学的赞赏。我们知道，不是聪明的学生被夸奖，而是被夸奖的学生会变得更聪明。课堂中，赏识的目光象阳光，照到哪里哪里亮，有赏识就有成功，有赏识，学生都愿意动起来。

三、一题多解，合作讨论，发展学生思维的广阔性。

大课堂教学有利于以教师为中心的讲解，但不利于以学生为中心的自主学习。要想让学生在课堂上真正的动起来，就必须积极探索班级、小组、学生个人相结合的组织形式，加强小组研讨的学习方式，为学生提供充分的自主活动的空间和广泛交流思想的机会，引导学生独立探索、用心思考、真诚交流，全身心地投入到学习中。

例如：平行线的识别与特征的复习中，有这样一道题：已知：直线AB∥ CD，直线L 分别截 直线AB、CD于点E、点F两点。并且

∠1=130°，求：∠2 的度数。

问题分析：（1）所求角∠2 与已知角∠1 之间有什么联系？

（2）已知直线AB

∥CD，能帮我们带来哪些结论？

（3）怎样把求∠2 的过程用几何语言表达出来？

学生分组讨论、合作学习，尽可能地从多种角度求出.以提高学生几何题的分析和推理表达能力。

解法1：通过∠2 的内错角与∠1

联系起来；解法2：通过∠2 的同位角与∠1联系起来；解法3：通过∠2的同旁内角与∠1联系起来。这样，通过一道题的多种解法，既复习了平行线的特征的应用，又使得学生在合作学习中，合作讨论中自主地完成对知识的构建；学生不仅对知识点的理解深刻，而且“创造”着解题过程的方法，体验着获取、巩固知识的喜悦。同时在和谐诚恳的交流中，充分展现出学生的个性和才能，使学生在学习中真正地动起来。

四、增加动手操作，增强学生数学思维的直观性。

在传统的教学形态里，教师是权威的代言人，将各种经验、概念、法则与理论强制地灌输给学生，学生完全处于一种被动接受的状态，于是学生的学习兴趣和热情被压抑了，主动性减弱了，很大程度上阻碍了学生个性的发展培养。在初中的数学教学中，要注意挖掘新教材的优势，增加学生动手操作，让学生的学习由被动向主动转变。

例如：§4.3立体图形的展

开图中，对正方体展开图的探索。

1、课前准备：每个学生都有6个一样的正方形硬纸板、剪刀、透明胶布。

2、授课方式：分组合作学习。

3、探索步骤：（1）将6片硬纸板围成正方形，（2）将正方体剪开，与同学对比，得到正方体的平面展开图是否唯一？

（3）讨论正方体的平面是展开图有哪些可能情况？

（4）讨论由6块一样的正方形拼成的图形一定是正方体的展开图吗？哪些情形不是？

发现：通过让学生动手操作、合作学习，学生学习的积极性高涨。虽然现在初一年的学生并不能自主地归纳出正方体展开图的所有可能，但体会其中的几种情况也让他们得到莫大的满足，尤其是对含田字结构形、含凹字结构形、四连两同侧形、五连形、或六连结构形的不能围成正方体可是深有体会。虽然学生在理论上的理解还不深刻，但能让老师感到他们都在愉快的学习中，数学思维得到了锻炼。

新课程教学中，教师是学生学习的合作者、引导者和参与者。教师的职责已由知识的传授转向促进学生发展，要引导学生学会观察、学会思考、学会如何学习、培养终身学习的能力，而在数学课中培养学生的数学思维能力则是教学的根本目的，这需要教师充分利用教材内容，通过数学知识的学习，努力培养和提高学生的数学思维能力。

第四篇：构造情景,转变思维

构造情景,转变思维

高中英语教学不断的向前发展，其中一个最大的变化就是它对多媒体设备的采用，该设备的采用为高中英语课堂带来了很多新颖的现象，尤其是在开展情景教学的过程中，多媒体的作用是不容忽视的，它可以为师生构筑逼真的教学情景，也可以帮助学生很好的转变英语思维，让英语学习变得更加顺利！

一、构筑逼真情景，加深理解强度

纵观各个不同版本的高中英语教材内容都会或多或少的涉及到一些现实生活场景，这些场景包括了生活、学习和工作、旅游等各个方面，而学生的时间空间有限，因此接触面也会十分有限，此时对于一些生活场景就会比较陌生，而多媒体教学方式的出现则刚好弥补了学生在这一方面的不足，它可以为师生构筑逼真的教学情景，从而让学生熟悉该情景，降低了理解难度。

以牛津高中英语教材为例，在《Prepare for the future》这一个模块中，从第一单元到第四单元，教材内容所涉及到的生活场景大部分都是关于工作的，很显然，学生对于找工作这一场景不但没有接触过，甚至会显得十分的陌生，当单元学习涉及到相关内容时就会因为较为陌生而出现接受能力不足的现象，多媒体则刚好可以提供这一部分的功能，例如在学习《Getting a job》可以运用多媒体展示一些找工作的场景，面试者参加面试时的场景，在其他单元的学习中，这样一来，学生通过多媒体就能够看到工作场景究竟是怎样的情形，在学生对工作场景有了基本的印象之后，我作为英语老师就会组织学生将这些场景表演出来，如此一来更是加深了印象，所以说，多媒体在英语学习中的作用是不容忽视的！

二、阐释英语世界，转换英式思维

影响英语学习效果的因素有很多，其中一个很重要的因素就是学习者的思维究竟是采用原来的母语系统还是采用英式思维，一个生活在英语世界中的人往往能够快速的学习英语，其中最关键的因素就在于英语世界有助于帮助学习者转换成英式思维，这对于高中英语教学的启示就是尽可能的为学生展现一个有血有肉的英语世界，将英语世界的文化背景适当的展现出来，一方面让学生看到别开生面的英语世界，而另一方面也有助于帮助学生转换成为英式思维。

以牛津版高中英语教材为例，在《understanding society》这一模块中，它的主要内容是通过教材的学习来了解社会，而这里所说的社会更大程度上偏向于西方社会，偏向于英语世界的文化背景，尤其是在《law and order》这一单元的学习中，教材的主要内容是关于法律和秩序，谈及这一话题，有关法律和秩序的很多内容，比如说关于“cybercrime”这一种犯罪现象，在西方英语世界中，似乎这种犯罪现象更为频繁，教师不妨运用多媒体为学生展示关于网络犯罪的相关例子和数据，加深学生的理解，同时在表达方式上可以适当的嵌入本单元单词的学习以及一些经典句型的学习，并要求学生熟悉这些句型的基本结构。

在《 Films and film events》这一单元的学习中，多媒体的作用更是体现得淋漓尽致，因为教材内容中有一部分涉及到的是电影和电影大事件，而就电影产业的发展来看，尽管它已经呈现出全球化的趋势，但是西方世界的电影产业很显然要比中国的电影产业发展历史悠久，并且更为成熟，其中最典型的就是几个大型的国际电影节都在西方，然而学生平时虽然接触到电影，但是对于电影节和电影大事件的了解却不是很多，我在充分的认识到这一点之后运用多媒体为学生大致介绍了在世界范围内电影产业的发展，尤其是西方英语世界里的电影大世界，在介绍了这一部分的内容之后，学生对电影的了解就深化了很多，运用多媒体介绍也有很多好处，因为学生对于陌生的认识对象总是会感到十分的枯燥，而多媒体这种设备的呈现模式则在一定程度上改变了学生接受学习的方式，新鲜有趣，提高了学习效率，同时也让学生更感兴趣。

三、拉近时空距离，有效拓展视野

高中英语教学的时空有限，而在该阶段中学生所需要接触和掌握到的英语知识却相当丰富驳杂，尤其是当这一部分的内容跨越时空之后，更是会给学生增加理解上的难度，这需要学生有较为广泛的接触面，并且有较为广阔的视野，然而从大多数学生的实际来看很显然是不太可能的，此时就需要多媒体来打破这种时空上的限制，将课堂之外的世界展现在学生的面前，从而实现拓展视野的效果。

以《Broadening horizons》这一模块的学习为例，这一模块的内容所涉及到的大部分都是学生平时不太接触或者是思考的内容，比如说《The world of our senses》这一单元中主要为学生介绍感官世界，和其他单元的内容相比起来，这一单元的内容更为细腻，尤其是在《Back to the past》这一单元中，讲到过去的文明时，学生本身是感觉十分的陌生的，有的学生甚至会觉得这些过去的文明发生的年代久远，学习的意义不大，因此提不起兴趣，为了消除这种陌生感，我用多媒体为大家播放了一段纪录短片，短片中主要讲述关于庞贝古城遗址的内容，在短片中时间逐渐向后退，回到庞贝古城最繁华的时间中，而因为一些自然灾害的原因，一个繁华的城市被埋在地下，成为了今天的文明遗址，学生对于这种跨越时空的信息接受起来就轻松很多了，同时，我要求学生留心听短片中所使用的一些单词和教材的联系，于是大家就初步知道了“remain”等几个重点单词的用法，再经过我在课堂上的专门讲述，学生掌握了更加全面的英语知识！

综上所述，高中英语教学内容的丰富性和多样性决定了从教者可以采用多样化的教学方式来提高教学效果，多媒体设备成为了教师们的好帮手之一，在对它使用的过程中，教师可以为学生构筑一个逼真的教学情景，同时也能够最大程度为学生模拟出一个原汁原味的英语世界，让学生感悟其中的英式文化，转换英式思维，从而让为英语学习做好充分准备，为提高英语教学质量打下坚实基础！

第五篇：论文浅谈小学数学思维训练方法

浅谈小学数学思维训练方法

数学是思维的体操，学数学离不开思维，没有数学思维，就没有真正的数学学习。数学教学就是数学思维活动的教学，数学教学实质上就是学生在教师指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维，使学生的数学思维结构向数学家的思维结构转化的过程。数学教师不仅要教知识，更要启迪学生思维，交给学生一把思维的金钥匙。因此，在数学教学中如何发展学生的数学思维，培养学生的数学思维能力是一个值得探讨的课题。

在小学数学教学中，为培养学生的思维能力，许多专家、教师著文论述其经验，值得借鉴。我在教学时也进行了实践和探索。以下浅谈自己的一些培养方法。

一、单向延展法

即以某一知识为端点，将若干项知识经过联想活动纵向组合起来，形成有

层次有过程、动态发展的思维的方法，体现出逻辑递进关系。

（一）由因导果演化延展

以果为因演化延展。如要求学生口述平面几何图形的演化过程；平面几何

图形（长方形、平行四边形、梯形、三角形）面积计算公式的推演过程。比如问：长方形的一边延长时，变成怎样的几何图形？当此几何图形的一个底逐渐缩小到一点时，变成了什么样的几何图形？

（二）由易到难逐层延展

如：⑴一班40人，二班比一班多10人,二班有多少人？ ⑵一班有40人，二班比一班多10人，两班共有多少人？ ⑶一班二班共有90人,二班比一班多10人,两班各有多少人?  ⑷一班二班共有90人,从二班调5人到一班后，两班人数相等,两个班原来各有多少人?  ⑸一班二班共有90人,从二班调3人到一班后,二班比一班多4人, 两个班原来各有多少人?  ⑹两个班共有90人，二班调给一班８人后，二班比一班少６人，两个班原来各有多少人?

这样的练习思考题，有目的，有针对性地训练学生的思维能力，同时，练习也能够让学生在掌握书本知识的基础上起到“举一反三”的作用，是书本知识的巩固和延伸。这种方法是依照思维递进的程序性和数学的逻辑性的统一，以及学生的认识水平，对学生思维能力的培养应由浅入深，由易到难的原则。

（三）注重逻辑推理延展。

数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，教学中注重逻辑推理能力的培养，就是很好的思维能力的培养。

如：甲车从Ａ城到Ｃ城，乙车从Ｂ城到Ｃ城，两车共行使1620千米, 甲车行了4/5，乙车行了3/4后，没走的路程相等。甲乙两车各行了多少千米？根据甲车行了4/5推想到甲车所行的路程平均分成了５份，行了４份，没行１份；从乙车行了3/4推想到乙车所行的路程平均分成了４份，行了３份，没行１份。从没行的路程相等推想到乙车所行路程的１份相当于甲车所行路程的１份，可知两车所行路程的和恰有这样（５＋４）份。从总路程和总份数可以推想到１份的路程S1＝1620÷(5+4)（千米），所以甲车所行路程是5S1，乙车所行路程是4S1。

二、多向延展法

即以某一知识为中心，向四面八方自由的扩展开，形成多方面、多角度的思维活动方式。平时有些学生思维狭窄，只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。我注意引导学生沟通前后单元、此单元和彼单元的知识联系，打破知识单元的框框，促使学生在多思的过程中培养思维的灵活性和发散性。

（一）叙述理解延展

如根据：“甲相当于乙的3/5”我要求学生改变角度叙述:“甲相当于乙的60℅”、“甲与乙的比是３：5　”、“ 乙相当于甲的5/3倍”、“甲比乙少２/５”、“ 甲与乙的和相当于乙的8/5”、“甲与乙的差相当于乙的2/5”。

（二）转化基准多向延展

如“乙筐西瓜的个数是甲筐的3/5”:以甲筐为单位“１”，则乙是甲的几分

之几?(3/5)，以乙为单位“１”，则甲是乙的几分之几?(5/3),甲比乙多多少?(5/3-1=2/3)，总数是乙的几分之几?（１＋5/3）；如果以总数为单位“１”，则甲是总数的5/5+3,乙是总数的3/5+3等。

（三）思路辐射延展

感受解决问题策略的多样化与灵活性,并比较不同方法的特点,来培养学生的数学思维。如“有两人各自骑自行车行走。当甲车轮滚动40圈时，乙车轮在同样的距离中滚动了30圈，如果乙车轮的周长比甲车轮的周长长0.32米,求这段距离。”

解法一：用归一法解。先求出甲车轮旋转一周的距离，再求总距离。

0.32×30÷(40－30)×40.解法二:用倍比法解。先求出甲车轮旋转10圈的距离，再求出总距离。

0.32×30×〔40÷（40－30)〕.解法三：用分数法解。以这段距离为单位“1”。

0.32÷（1/30－1/40）。

解法四：用列方程求解。根据车轮滚动的距离相等关系，设甲车轮的周长为X米，那么可以列出这样的方程：

40x=30(x+0.32).解法五：运用比例来解。根据距离一定，车轮周长与周数成反比例关系，设甲车轮的周长为X米，则

30：40=x:（x＋0.32）。

解法六：根据求最小公倍数方法解。

有30和40的最小公倍数=2×5×3×4=120，0.32×120=38.4（米）。

这样不仅在于传授知识，让学生学习、理解、掌握数学知识，让学生多掌握解题方法，更重要的是要培养学生灵活多变的解题思维，从而既提高教学质量，又达到培养能力、发展智力的目的。

三、反思延展法

许多教育者认为如果我们的学生有了解题后反思的良好习惯，就能很好地促进思维能力的提高，从而学好数学。解题后反思是指解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考。我在平时的教学中学习他人经验，指导学生解题后反思，在反思中训练学生思维，发展思维水平。

如：“给你一段20厘米长的细铁丝做成不同的长方形或正方形，你能做几个？它们的面积分别是多少？”学生通过思考，有以下几种：

长方形 长 9厘米 宽1厘米 面积9平方厘米

长8厘米 宽2厘米 面积16平方厘米

长7厘米 宽3厘米 面积21平方厘米

长6厘米 宽4厘米 面积24平方厘米

正方形 边长5厘米 面积25平方厘米

学生做到这一步都停住了，觉得问题解决了，不再深究。如果这样，学生得到的仅仅是这道题的答案，对学生来说，思维并没有一个提高的过程。这时，老师引导学生反思：这道题里还隐藏着秘密，你有发现吗？学生通过观察、比较，发现了长方形长、宽、面积之间的新的关系。“在周长相等的情况下，长与宽的差越小，面积反而越大。”“周长相等的情况下，正方形的面积一定比长方形大。”为了思维的再深入延展，教师可以进一步引导学生再次反思：这条规律是不是只在这道题目里适用？学生通过举例、小组交流，得出了这是一条普遍存在的规律。解题后如此反思，既有利于沟通知识间的纵横联系，也使思维得到了提高。

四、破思维定势训练法

就是教师以一组一组的题目呈现，通过题组训练，打破思维定势的一种思维

训练方式。学生在用某种思维模式多次解决同类问题而形成思维定势后，再遇到相类似的新问题时，往往会出现机械套用以前思维模式的倾向，而且同一方法使用次数越多，这种倾向越明显。思维有了较多的定势，就会阻碍数学思维的发展。我常采用题组进行教学，选取的题型一般为基本题与变式题整体出现。

如基本题：甲车间一月份加工食品240吨，二月份比一月份多加工1/4，二月份加工多少吨？

变式题：去年，甲厂收入比乙厂多1/5，乙厂收入1000万元，甲厂收入多少万元？

结构变式题：甲车间一月份加工食品240吨，二月份比一月份少加工1/4，二月份加工多少吨？

叙述变式题：甲车间一月份加工食品240吨，二月份如果再多加工一月份加工吨数的1/4，就和一月份一样多，二月份加工多少吨？

通过这样的题组练习，训练学生思维，提高思维能力，使学生不因结构的定型化而产生思维定势。

五、常规求异法

我所讲的常规求异法，不是指一题多解的求异思维训练，是指摆脱常规思维的支配，独辟溪径，既在意料之外，又在情理之中，引导学生从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决的思维训练方式。

如在培养学生空间想象能力时，我出示下题：“用12根火柴棒摆6个相等的正方形，你能摆出来吗？”按习惯思路，学生往往在平面上摆弄，显然是无法达到题目要求的。我引导学生联想已学过的正方体的特征（12条棱的长度相等，六个面的面积相等），学生的思路打开了，很快解决了问题，都摆出了一个正方体，找到了六个相等的正方形。

又如在新授结束后进行复习时我出了这样一道题：张师傅要加工一批零件，每小时加工240个，７小时完成。如果要在６小时完成,平均每小时应加工多少个？学生都是这样做的：240×7÷6=280(个)。觉得容易，不再思维。我在学生不再思维时，在黑板上写了这样一个算式：240+240÷6=280(个)。问：你认为这样做对吗？请说明你的理由。许多学生傻眼了。我就引导学生思考、合作讨论。通过讨论、交流学生终于知道了这样做正确的理由，而且简便。经过一番思维，体验到了常规求异法的精彩。

综上所述，在小学数学教学中，有目的、有计划地对学生实施思维训练，有利于提高数学教学质量，有利于发展学生思维能力，从而全面提高学生的素质。