数学思维方式

第一篇：数学思维方式

第一部分 《高数解题的四种思维定势》

1.在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。

2.在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

3.在题设条件中函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)=f(b)=0，先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

4.对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

第二部分 《线性代数解题的八种思维定势》

1.若要证明一组向量a1，a2，„，as线性无关，先考虑用定义再说。

2.若已知AB=0，将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。

3.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

4.若已知A的特征向量ζ0，先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。

5.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，用定义处理一下再说。

6.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

7.若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

8.若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，先分解出因子aA+bE再说。

第三部分《概率与数理统计解题的九种思维定势》

1.欲求二维随机变量(X，Y)满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的区域的公共部分。

2.涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，要联想到对X作(0-1)分解。

3.凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率(或已知概率求随机变量个数)的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

4.若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用分布，t分布和F分布的定义进行讨论。

5.如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，马上联想到概率加法公式;当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式。

6.若给出的试验可分解成(0-1)的n重独立重复试验，马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式。

7.若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组。

8.若题设中给出随机变量X ~ N 马上联想到标准化X ~ N(0，1)来处理有关问题。

9.求二维随机变量(X，Y)的边缘分布密度的问题，应马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而Y的求法类似。

第二篇：数学思维方式与创新

集合的划分

（一）已完成 1 数学的整数集合用什么字母表示？ A、N B、M C、Z D、W 我的答案：C 2 时间长河中的所有日记组成的集合与数学整数集合中的数字是什么对应关系？ A、交叉对应 B、一一对应 C、二一对应 D、一二对应 我的答案：B 3 分析数学中的微积分是谁创立的？ A、柏拉图 B、康托 C、笛卡尔

D、牛顿-莱布尼茨 我的答案：D 4 黎曼几何属于费欧几里德几何，并且认为过直线外一点有多少条直线与已知直线平行？ A、没有直线 B、一条 C、至少2条 D、无数条 我的答案：A 5 最先将微积分发表出来的人是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我的答案：D 6 最先得出微积分结论的人是 A、牛顿 B、费马 C、笛卡尔 D、莱布尼茨 我的答案：A 7 第一个被提出的非欧几何学是 A、欧氏几何 B、罗氏几何 C、黎曼几何 D、解析几何 我的答案：B 8 代数中五次方程及五次以上方程的解是可以用求根公式求得的。我的答案：³ 9 数学思维方式的五个重要环节:观察－抽象－探索－猜测－论证。我的答案：√ 10 在今天，牛顿和莱布尼茨被誉为发明微积分的两个独立作者。我的答案：√

集合的划分

（二）已完成 1 星期日用数学集合的方法表示是什么？ A、{6R|R∈Z} B、{7R|R∈N} C、{5R|R∈Z} D、{7R|R∈Z} 我的答案：D 2 将日期集合里星期一到星期日的七个集合求并集能到什么集合？ A、自然数集 B、小数集 C、整数集 D、无理数集 我的答案：C 3 在星期集合的例子中，a,b属于同一个子集的充要条件是什么？ A、a与b被6除以后余数相同 B、a与b被7除以后余数相同 C、a与b被7乘以后积相同 D、a与b被整数乘以后积相同 我的答案：B 4 集合的性质不包括 A、确定性 B、互异性 C、无序性 D、封闭性 我的答案：D 5 A={1，2}，B={3,4},A∩B= A、Φ B、A C、B D、{1,2,3,4} 我的答案：A 6 A={1，2}，B={3,4}，C={1,2,3,4}则A，B，C的关系 A、C=A∪B B、C=A∩B C、A=B=C D、A=B∪C 我的答案：A 7 星期二和星期三集合的交集是空集。我的答案：√ 8 空集属于任何集合。我的答案：³ 9 “很小的数”可以构成一个集合。我的答案：³

集合的划分

（三）已完成 1 S是一个非空集合，A，B都是它的子集，它们之间的关系有几种？ A、2.0 B、3.0 C、4.0³ D、5.0 我的答案： 2 如果～是集合S上的一个等价关系则应该具有下列哪些性质？ A、反身性 B、对称性 C、传递性 D、以上都有 我的答案：D 3 如果S、M分别是两个集合，SХM{（a,b)|a∈S,b∈M}称为S与M的什么？ A、笛卡尔积 B、牛顿积 C、康拓积

D、莱布尼茨积 我的答案：A 4 A={1,2}，B={2,3}，A∪B= A、Φ B、{1,2,3} C、A D、B 我的答案：B 5 A={1,2}，B={2,3}，A∩B= A、Φ B、{2} C、A D、B 我的答案：B 6 发明直角坐标系的人是 A、牛顿 B、柯西 C、笛卡尔 D、伽罗瓦 我的答案：C 7 集合中的元素具有确定性，要么属于这个集合，要么不属于这个集合。我的答案：√ 8 任何集合都是它本身的子集。我的答案：√ 9 空集是任何集合的子集。我的答案：√

集合的划分

（四）已完成 1 设S上建立了一个等价关系～，则什么组成的集合是S的一个划分？ A、所有的元素 B、所有的子集 C、所有的等价类 D、所有的元素积 我的答案：C 2 设～是集合S上的一个等价关系，任意a∈S，S的子集{x∈S|x～a}，称为a确定的什么？ A、等价类 B、等价转换 C、等价积 D、等价集 我的答案：A 3 如果x∈a的等价类，则x～a,从而能够得到什么关系？ A、x=a B、x∈a C、x的笛卡尔积=a的笛卡尔积 D、x的等价类=a的等价类 我的答案：D 4 0与{0}的关系是 A、二元关系 B、等价关系 C、包含关系 D、属于关系 我的答案：D 5 元素与集合间的关系是 A、二元关系 B、等价关系 C、包含关系 D、属于关系 我的答案：D 6 如果X的等价类和Y的等价类不相等则有X～Y成立。我的答案：³ 7 A∩Φ=A 我的答案：³ 8 A∪Φ=Φ 我的答案：³

等价关系

（一）已完成 1 星期一到星期日可以被统称为什么？ A、模0剩余类 B、模7剩余类 C、模1剩余类 D、模3剩余类 我的答案：B 2 星期三和星期六所代表的集合的交集是什么？ A、空集 B、整数集 C、日期集 D、自然数集 我的答案：A 3 x∈a的等价类的充分必要条件是什么？ A、x>a B、x与a不相交 C、x～a D、x=a 我的答案：C 4 设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S的对称性 A、一定满足 B、一定不满足 C、不一定满足 D、不可能满足 我的答案： 5 集合A上的一个划分，确定A上的一个关系为 A、非等价关系 B、等价关系 C、对称的关系 D、传递的关系 我的答案：B 6 等价关系具有的性质不包括 A、反身性 B、对称性 C、传递性 D、反对称性 我的答案：D 7 如果两个等价类不相等那么它们的交集就是空集。我的答案：√ 8 整数的同余关系及其性质是初等数论的基础。我的答案：√ 9 所有的二元关系都是等价关系。我的答案：³

等价关系

（二）已完成 1 a与b被m除后余数相同的等价关系式是什么？ A、a+b是m的整数倍 B、a*b是m的整数倍 C、a-b是m的整数倍 D、a是b的m倍 我的答案：C 2 设～是集合S的一个等价关系，则所有的等价类的集合是S的一个什么？ A、笛卡尔积 B、元素 C、子集 D、划分

我的答案：D 3 如果a与b模m同余，c与d模m同余，那么可以得到什么结论？ A、a+c与b+d模m同余 B、a*c与b*d模m同余 C、a/c与b/d模m同余 D、a+c与b-d模m同余 我的答案： 4 设A为3元集合，B为4元集合，则A到B的二元关系有几个 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案：A 5 对任何a属于A，A上的等价关系R的等价类[a]R为 A、空集 B、非空集 C、{x|x∈A} D、不确定 我的答案： 6 在4个元素的集合上可定义的等价关系有几个 A、12.0 B、13.0 C、14.0 D、15.0 我的答案： 7 整数集合Z有且只有一个划分，即模7的剩余类。我的答案：³ 8 三角形的相似关系是等价关系。我的答案：√ 9 设R和S是集合A上的等价关系，则R∪S一定是等价关系。我的答案：³

模m同余关系

（一）已完成 1 在Zm中规定如果a与c等价类相等，b与d等价类相等，则可以推出什么相等？ A、a+c与d+d等价类相等 B、a+d与c-b等价类相等 C、a+b与c+d等价类相等 D、a*b与c*d等价类相等 我的答案：C 2 如果今天是星期五，过了370天是星期几？ A、一 B、二 C、三 D、四

我的答案：D 3 在Z7中，4的等价类和6的等价类的和几的等价类相等？ A、10的等价类 B、3的等价类 C、5的等价类 D、2的等价类 我的答案：B 4 同余理论的创立者是 A、柯西 B、牛顿 C、高斯 D、笛卡尔 我的答案：C 5 如果今天是星期五，过了370天，是星期几 A、星期二 B、星期三 C、星期四 D、星期五 我的答案：C 6 整数的四则运算不保“模m同余”的是 A、加法 B、减法 C、乘法 D、除法

我的答案：D 7 整数的除法运算是保“模m同余”。我的答案：³ 8 同余理论是初等数学的核心。我的答案：√

模m同余关系

（二）已完成 1 Zm的结构实质是什么？ A、一个集合 B、m个元素 C、模m剩余环 D、整数环 我的答案：C 2 集合S上的一个什么运算是S*S到S的一个映射？ A、对数运算 B、二次幂运算 C、一元代数运算 D、二元代数运算 我的答案：D 3 对任意a∈R,b∈R,有a+b=b+a=0,则b称为a的什么？ A、正元 B、负元 C、零元 D、整元 我的答案：B 4 偶数集合的表示方法是什么？ A、{2k|k∈Z} B、{3k|k∈Z} C、{4k|k∈Z} D、{5k|k∈Z} 我的答案：A 5 矩阵的乘法不满足哪一规律？ A、结合律 B、分配律 C、交换律 D、都不满足 我的答案：C 6 Z的模m剩余类具有的性质不包括 A、结合律 B、分配律 C、封闭律 D、有零元 我的答案：C 7 模5的最小非负完全剩余系是 A、{0,6,7,13,24} B、{0,1,2,3,4} C、{6.7.13.24} D、{1,2,3,4} 我的答案：B 8 同余关系具有的性质不包括 A、反身性 B、对称性 C、传递性 D、封闭性 我的答案：D 9 在Zm中a和b的等价类的乘积不等于a,b乘积的等价类。我的答案：³ 10 如果一个非空集合R满足了四条加法运算，而且满足两条乘法运算可以称它为一个环。我的答案：√ 11 如果环有一个元素e，跟任何元素左乘右都等于自己，那称这个e是R的单位元。（）我的答案：√ 12 中国剩余定理又称孙子定理。我的答案：√

模m剩余类环Zm

（一）已完成 1 Z的模m剩余类环的单位元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、3.0 我的答案：B 2 集合的划分，就是要把集合分成一些（）。A、子集 B、空集 C、补集 D、并交集 我的答案： 3 设R是一个环，a∈R，则0²a= A、0 B、a C、1.0 D、2.0 我的答案：A 4 如果一个非空集合R有满足其中任意一个元素和一个元素加和都是R中元素本身，则这个元素称为什么？ A、零环 B、零数 C、零集 D、零元

我的答案：D 5 若环R满足交换律则称为什么？ A、交换环 B、单位环 C、结合环 D、分配环 我的答案：A 6 环R中的运算应该满足几条加法法则和几条乘法法则？ A、3、3 B、2、2 C、4、2 D、2、4 我的答案：C 7 矩阵乘法不满交换律也不满足结合律。我的答案：³ 8 环R中零元乘以任意元素都等于零元。我的答案：√ 9 整数的加法是奇数集的运算。我的答案：³ 10 设R是非空集合，R和R的笛卡尔积到R的一个映射就是运算。我的答案：√

模m剩余类环Zm

（二）已完成 1 在Zm环中一定是零因子的是什么？ A、m-1等价类 B、0等价类 C、1等价类 D、m+1等价类 我的答案：B 2 环R中，对于a、c∈R,且c不为0，如果ac=0，则称a是什么？ A、零元 B、零集 C、左零因子 D、归零因子 我的答案：C 3 环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元）则称a是什么？ A、交换元 B、等价元 C、可变元 D、可逆元 我的答案：D 4 设R是一个环，a，b∈R，则(-a)²（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：C 5 设R是一个环，a，b∈R，则(-a)²b= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 6 设R是一个环，a，b∈R，则a²（-b）= A、a B、b C、ab D、-ab 我的答案：D 7 环R中满足a、b∈R，如果ab=ba=e(单位元），那么其中的b是唯一的。我的答案：√ 8 Z的模m剩余类环是有单位元的交换环。我的答案：√ 9 一个环有单位元，其子环一定有单位元。我的答案：³

环的概念已完成 1 在Zm剩余类环中没有哪一种元？ A、单位元 B、可逆元

C、不可逆元，非零因子 D、零因子 我的答案：C 2 在整数环中只有哪几个是可逆元？ A、1、-1 B、除了0之外 C、0.0 D、正数都是 我的答案：A 3 在模5环中可逆元有几个？ A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案： 4 Z的模4剩余类环不可逆元的有（）个。A、4 B、3 C、2 D、1 我的答案： 5 Z的模2剩余类环的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0 D、4.0 我的答案：B 6 设R是有单位元e的环，a∈R，有（-e）²a= A、e B、-e C、a D、-a 我的答案：D 7 在有单位元e（不为零）的环R中零因子一定是不可逆元。我的答案：√ 8 一个环没有单位元，其子环不可能有单位元。我的答案：³ 9 环的零因子是一个零元。我的答案：³

域的概念已完成 1 当m是什么数的时候，Zm就一定是域？ A、复数 B、整数 C、合数 D、素数

我的答案：D 2 素数m的正因数都有什么？ A、只有1 B、只有m C、1和m D、1到m之间的所有数 我的答案：C 3 最小的数域是什么？ A、有理数域 B、实数域 C、整数域 D、复数域 我的答案：A 4 设F是一个有单位元（不为0）的交换环，如果F的每个非零元都是可逆元，那么称F是一个什么？ A、积 B、域 C、函数 D、元

我的答案：B 5 属于域的是（）。A、（Z,+,²）B、（Z[i],+,²）C、（Q,+,²）D、（I,+,²）我的答案： 6 Z的模p剩余类环是一个有限域，则p是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数

我的答案：D 7 不属于域的是（）。A、（Q,+,²）B、（R,+,²）C、（C,+,²）D、（Z,+,²）我的答案： 8 有理数集，实数集，整数集，复数集都是域。我的答案：³ 9 域必定是整环。我的答案：√ 10 整环一定是域。我的答案：³

整数环的结构

（一）已完成 1 对于a,b∈Z，如果有c∈Z,使得a=cb，称b整除a,记作什么？ A、b^a B、b/a C、b|a D、b&a 我的答案：C 2 整数环的带余除法中满足a=qb+r时r应该满足什么条件？ A、0<=r<|b| B、1 C、0<=r D、r<0 我的答案：A 3 在整数环中没有哪种运算？ A、加法 B、除法 C、减法 D、乘法 我的答案： 4 最先对Z[i]进行研究的人是 A、牛顿 B、柯西 C、高斯 D、伽罗瓦 我的答案：C 5 不属于无零因子环的是 A、整数环 B、偶数环 C、高斯整环 D、Z6 我的答案： 6 不属于整环的是 A、Z B、Z[i] C、Z2 D、Z6 我的答案： 7 整数环是具有单位元的交换环。我的答案：√ 8 整环是无零因子环。我的答案：√ 9 右零因子一定是左零因子。我的答案：³

整数环的结构

（二）已完成 1 在整数环中若c|a,c|b，则c称为a和b的什么？ A、素数 B、合数 C、整除数 D、公因数 我的答案：D 2 整除没有哪种性质？ A、对称性 B、传递性 C、反身性 D、都不具有 我的答案： 3 a与0 的一个最大公因数是什么？ A、0.0 B、1.0 C、a D、2a 我的答案：C 4 不能被5整除的数是 A、115.0 B、220.0 C、323.0 D、425.0 我的答案：C 5 能被3整除的数是 A、92.0 B、102.0 C、112.0 D、122.0 我的答案：B 6 整环具有的性质不包括 A、有单位元 B、无零因子 C、有零因子 D、交换环 我的答案：C 7 在整数环的整数中，0是不能作为被除数，不能够被整除的。我的答案：³ 8 整除关系是等价关系。我的答案：³ 9 若n是奇数，则8|（n^2-1）。我的答案：√

整数环的结构

（三）已完成 1 0与0的最大公因数是什么？ A、0.0 B、1.0 C、任意整数 D、不存在 我的答案： 2 探索里最重要的第一步是什么？ A、实验 B、直觉判断 C、理论推理 D、确定方法 我的答案： 3 对于a,b∈Z，如果有a=qb+r，d满足什么条件时候是a与b的一个最大公因数？ A、d是a与r的一个最大公因数 B、d是q与r的一个最大公因数 C、d是b与q的一个最大公因数 D、d是b与r的一个最大公因数 我的答案：D 4 gac(234,567)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 5 若a=bq+r,则gac(a,b)= A、gac(a,r)B、gac(a,q)C、gac(b,r)D、gac(b,q)我的答案： 6 gac(126,27)= A、3.0 B、6.0 C、9.0 D、12.0 我的答案：C 7 对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数。我的答案：√ 8 a是a与0的一个最大公因数。我的答案：√ 9 0是0与0的一个最大公因数。我的答案：√

整数环的结构

（四）已完成 1 如果d是被除数和除数的一个最大公因数也是哪两个数的一个最大公因数？ A、被除数和余数 B、余数和1 C、除数和余数 D、除数和0 我的答案：C 2 对于整数环，任意两个非0整数a,b一定具有最大公因数可以用什么方法求？ A、分解法 B、辗转相除法 C、十字相乘法 D、列项相消法 我的答案：B 3 对于a与b的最大公因数d存在u,v满足什么等式？ A、d=ua+vb B、d=uavb C、d=ua/vb D、d=uav-b 我的答案： 4 gcd(13,8)= A、1.0 B、2.0 C、8.0 D、13.0 我的答案：A 5 gcd(56,24)= A、1.0 B、2.0 C、4.0 D、8.0 我的答案：D 6 gac(13,39)= A、1.0 B、3.0 C、13.0 D、39.0 我的答案：C 7 用带余除法对被除数进行替换时候可以无限进行下去。我的答案：³ 8 欧几里得算法又称辗转相除法。我的答案：√ 9 计算两个数的最大公因子最有效的方法是带余除法。我的答案：³

整数环的结构

（五）已完成 1 若a,b∈Z，且不全为0，那么他们的最大公因数有几个？ A、5.0 B、4.0 C、3.0 D、2.0 我的答案：D 2 若a,b∈Z，它们的最大公因数在中国表示为什么？ A、[a,b] B、{a,b} C、(a,b)D、gcd(a,b)³ 我的答案： 3 如果a,b互素，则存在u,v与a,b构成什么等式？ A、1=uavb B、1=ua+vb C、1=ua/vb³ D、1=uav-b 我的答案： 4 在Z中，若a|bc,且(a,b)=1则可以得到什么结论？ A、a|c B、(a，c）=1³ C、ac=1 D、a|c=1 我的答案： 5 若（a,b）=1,则a与b的关系是 A、相等 B、大于 C、小于 D、互素

我的答案：D 6 由b|ac及gac(a,b)=1有 A、a|b B、a|c C、b|c D、b|a³ 我的答案： 7 若a与b互素，有 A、（a,b）=0 B、(a,b)=1 C、(a,b)=a D、(a,b)=b 我的答案：B 8 在整数环中若（a,b）=1，则称a,b互素。我的答案：√ 9 在Z中，若a|c,b|c,且(a,b)=1则可以a|bc.我的答案：³ 10 0与0的最大公因数只有一个是0。我的答案：√ 11 任意两个非0的数不一定存在最大公因数。我的答案：³

整数环的结构

（六）已完成 1 在Z中若(a,c)=1,(b,c)=1,则可以得出哪两个数是素数？ A、(abc,a)=1 B、(ac,bc)=1 C、(abc,b)=1 D、(ab,c)=1 我的答案：D 2 在所有大于0的整数中共因素最少的数是什么？ A、所有奇数 B、所有偶数 C、1.0 D、所有素数³ 我的答案： 3 对于任意a，b∈Z，若p为素数，那么p|ab可以推出什么？ A、p|a B、p|b C、p|ab D、以上都可以 我的答案：D 4 对于任意a∈Z，若p为素数，那么（p,a）等于多少？ A、1.0³ B、1或p C、p D、1，a，pa 我的答案： 5 p是素数，若p|ab，(p,a)=1可以推出 A、p|a B、p|b C、(p,b)=1³ D、(p,ab)=1 我的答案： 6 正因数最少的数是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数

我的答案：D 7 若（a,c）=1,(b,c)=1则（ab,c）= A、1.0 B、a C、b D、c 我的答案：A 8 所有大于1的素数所具有的公因数的个数都是相等的。我的答案：√ 9 任意数a与素数p的只有一种关系即p|a。我的答案：³ 10 a与b互素的充要条件是存在u,v∈Z使得au+bv=1。我的答案：√

整数环的结构

（七）已完成 1 素数的特性总共有几条？ A、6.0 B、5.0³ C、4.0 D、3.0 我的答案： 2 任一个大于1的整数都可以唯一地分解成什么的乘积？ A、有限个素数的乘积 B、无限个素数的乘积 C、有限个合数的乘积 D、无限个合数的乘积 我的答案：A 3 素数的特性之间的相互关系是什么样的？ A、单独关系 B、不可逆

C、不能单独运用 D、等价关系 我的答案：D 4 p与任意数a有（p,a）=1或p|a的关系，则p是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数

我的答案：D 5 p不能分解成比p小的正整数的乘积，则p是 A、整数 B、实数 C、复数 D、素数

我的答案：D 6 1是 A、素数 B、合数 C、有理数 D、无理数 我的答案：C 7 素数P能够分解成比P小的正整数的乘积。我的答案：³ 8 合数都能分解成有限个素数的乘积。我的答案：√ 9 p是素数则p的正因子只有P。我的答案：³

Zm的可逆元

（一）已完成 1 在Zm中，等价类a与m满足什么条件时可逆？ A、互合 B、相反数 C、互素 D、不互素 我的答案：C 2 Z8中的零因子都有哪些？ A、1、3、5、7³ B、2、4、6、0 C、1、2、3、4 D、5、6、7、8 我的答案： 3 模m剩余环中可逆元的判定法则是什么？ A、m是否为素数 B、a是否为素数 C、a与m是否互合 D、a与m是否互素 我的答案：D 4 Z5的零因子是 A、0.0 B、1.0³ C、2.0 D、3.0 我的答案： 5 不属于Z8的可逆元的是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、5.0 我的答案：B 6 Z6的可逆元是 A、0.0 B、1.0 C、2.0³ D、3.0 我的答案： 7 在Zm中等价类a与m不互素时等价环a是零因子。我的答案：√ 8 p是素数，则Zp一定是域。我的答案：√ 9 Zm的每个元素是可逆元或者是零因子。我的答案：√

Zm的可逆元

（二）已完成 1 Z10的可逆元是 A、2.0 B、5.0 C、7.0 D、10.0 我的答案：C 2 Z9的可逆元是 A、3.0 B、6.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：C 3 在Z91中等价类元素83的可逆元是哪个等价类？ A、91.0 B、38.0 C、34.0 D、19.0³ 我的答案： 4 当p为素数时候，Zp一定是什么？ A、域 B、等价环 C、非交换环 D、不可逆环³ 我的答案： 5 不属于Z7的可逆元是 A、1.0 B、3.0³ C、5.0 D、7.0 我的答案： 6 p是素数，在Zp中单位元的多少倍等于零元 A、1.0 B、p+1³ C、p-1 D、p 我的答案： 7 Z91中等价类34是零因子。我的答案：³ 8 Z81中，9是可逆元。我的答案：³ 9 Z91中，34是可逆元。我的答案：√

模P剩余类域已完成 1 在域F中，e是单位元，对任意n，n为正整数都有ne不为0，则F的特征是什么？ A、0.0 B、f C、p D、任意整数 我的答案：A 2 在R中,n为正整数，当n为多少时n1可以为零元？ A、1.0 B、100.0 C、n>1000 D、无论n为多少都不为零元 我的答案：D 3 在域F中，e是单位元，存在n，n为正整数使得ne=0成立的正整数n是什么？ A、合数 B、素数 C、奇数 D、偶数 我的答案：B 4 任一数域的特征为 A、0.0 B、1.0 C、e D、无穷 我的答案：A 5 设域F的单位元e，存在素数p使得pe=0，而0＜l＜p,le不为0时，则F的特征为 A、0.0 B、p C、e D、无穷 我的答案：B 6 设域F的单位元e，对任意的n∈N都有ne不等于0时，则F的特征为 A、0.0 B、1.0 C、e D、无穷 我的答案：A 7 任一数域的特征都为0，Zp的特征都为素数p。我的答案：√ 8 设域F的单位元e，对任意的n∈N有ne不等于0。我的答案：√ 9 设域F的单位元e，存在素数p使得pe=0。我的答案：√

域的特征

（一）已完成 1 Cpk=p(p-1)„(p-k-1)/k!，其中1<=k< p,则(K！，p)等于多少？ A、0.0 B、1.0 C、kp³ D、p 我的答案： 2 域F的特征为p，对于任一a∈F，pa等于多少？ A、1.0 B、p C、0.0 D、a 我的答案：C 3 在域F中，设其特征为2，对于任意a,b∈F，则（a+b）2 等于多少 A、2（a+b）B、a2 C、b2 D、a2+b2 我的答案：D 4 设域F的特征为素数p，对任意a∈F，有pa= A、p B、a C、0.0 D、无穷 我的答案：C 5 设域F的特征为2，对任意的a，b∈F，有（a+b）^2= A、a+b B、a C、b D、a^2+b^2 我的答案：D 6 特征为2的域是 A、Z B、Z2 C、Z3 D、Z5 我的答案：B 7 在域F中，设其特征为p，对于任意a,b∈F，则（a+b）P 等于ap+bp 我的答案：√ 8 设域F的特征为素数p，对任意的a，b∈F，有（a+b）^p=a^p+b^p。我的答案：√ 9 设域F的特征为3，对任意的a，b∈F，有（a+b）^2=a^2+b^2。我的答案：³

域的特征

（二）已完成 1 设p是素数，对于任一a∈Z，ap模多少和a同余？ A、a B、所有合数 C、P D、所有素数³ 我的答案： 2 用数学归纳法：域F的特征为素数P，则可以得到(a1+„as)p等于什么？ A、asp B、ap C、ps D、a1P+„asP 我的答案：D 3 6813模13和哪个数同余？ A、68.0 B、13.0³ C、136.0 D、55.0 我的答案： 4 68^13≡？（mod13）A、66.0 B、67.0 C、68.0 D、69.0 我的答案：C 5 设p是素数，则（p-1）!≡？（modp）A、-1.0 B、0.0 C、1.0 D、p 我的答案：A 6 费马小定理中规定的a是任意整数，包括正整数和负整数。我的答案：³ 7 设p是素数，则对于任意的整数a，有a^p≡a（modp）。我的答案：√ 8 9877是素数。我的答案：³

中国剩余定理

（一）已完成 1 首先证明了一次同余数方程组的解法的是我国哪个朝代的数学家？ A、汉朝 B、三国³ C、唐朝 D、南宋 我的答案： 2 一般的中国军队的一个连队有多少人？ A、30多个 B、50多个 C、100多个 D、300多个 我的答案：C 3 关于军队人数统计，丘老师列出的方程叫做什么？ A、一次同余方程组 B、三元一次方程组 C、一元三次方程组 D、三次同余方程组 我的答案：A 4 中国古代求解一次同余式组的方法是 A、韦达定理 B、儒歇定理 C、孙子定理 D、中值定理 我的答案：C 5 孙子问题最先出现在哪部著作中 A、《海岛算经》 B、《五经算术》 C、《孙子算经》 D、《九章算术》 我的答案：C 6 剩余定理是哪个国家发明的 A、古希腊 B、古罗马 C、古埃及 D、中国

我的答案：D 7 一次同余方程组在Z中是没有解的。我的答案：³ 8 “韩信点兵”就是初等数论中的解同余式。我的答案：√ 9 同余式组中，当各模两两互素时一定有解。我的答案：√

中国剩余定理

（二）已完成 1 一次同余方程组最早的描述是在哪本著作里？ A、九章算术 B、孙子算经 C、解析几何 D、微分方程 我的答案：B 2 最早给出一次同余方程组抽象算法的是谁？ A、祖冲之 B、孙武 C、牛顿 D、秦九识 我的答案：D 3 一次同余方程组（模分别是m1,m2,m3)的全部解是什么？ A、km1m2m3 B、Cm1m2m3 C、C+km1m2m3 D、Ckm1m2m3 我的答案：C 4 n被3，4，7除的余数分别是1,3,5且n小于200，则n= A、170.0 B、177.0 C、180.0 D、187.0 我的答案：D 5 n被3，5，7除的余数分别是1,2,3且n小于200，则n= A、155.0 B、156.0 C、157.0 D、158.0 我的答案：C 6 n被3，5，11除的余数分别是1,3,3且n小于100，则n= A、54.0 B、56.0 C、58.0 D、60.0 我的答案：C 7 欧拉在1743年，高斯在1801年分别也给出了同余方程组的解法。我的答案：√ 8 某数如果加上5就能被6整除，减去5就能被7整除，这个数最小是20。我的答案：³ 9 一个数除以5余3，除以3余2，除以4余1.求该数的最小值53。我的答案：√

欧拉函数

（一）已完成 1 Zp是一个域那么可以得到φ(p)等于多少？ A、0.0³ B、1.0 C、p D、p-1 我的答案： 2 φ(m)等于什么？ A、集合{1,2„m-1}中与m互为合数的整数的个数 B、集合{1,2„m-1}中奇数的整数的个数

C、集合{1,2„m-1}中与m互素的整数的个数 D、集合{1,2„m-1}中偶数的整数的个数 我的答案：C 3 Zm中所有的可逆元组成的集合记作什么？ A、Zm* B、Zm C、ZM D、Z* 我的答案：A 4 Z5的可逆元个数是 A、1.0 B、2.0 C、3.0³ D、4.0 我的答案： 5 Z7的可逆元个数是 A、2.0³ B、4.0 C、6.0 D、7.0 我的答案： 6 Z3的可逆元个数是 A、0.0 B、1.0³ C、2.0 D、3.0 我的答案： 7 求取可逆元个数的函数φ(m)是高斯函数。我的答案：³ 8 在Zm中，a是可逆元的充要条件是a与m互素。我的答案：√ 9 Zm中可逆元个数记为φ(m)，把φ(m)称为欧拉函数。我的答案：√

欧拉函数

（二）已完成 1 当m为合数时，令m=24，那么φ(24)等于多少？ A、2.0 B、7.0 C、8.0 D、10.0 我的答案：C 2 设p为素数，r为正整数，Ω={1，2,3,„pr}中与pr不互为素数的整数个数有多少个？ A、pr-1 B、p C、r D、pr 我的答案：A 3 φ(24)等于哪两个素数欧拉方程的乘积？ A、φ(2)*φ(12)B、φ(2)*φ(4)C、φ(4)*φ(6)D、φ(3)*φ(8)我的答案：D 4 φ(9)= A、1.0 B、3.0³ C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 φ(4)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：B 6 φ(8)= A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 7 φ(12)=φ(3*4)=φ(2*6)=φ(3)*φ(4)=φ(2)*φ(6)我的答案：³ 8 设p是素数，r是正整数，则φ(p^r)=(p-1)p^(r-1)。我的答案：√ 9 设p是素数，则φ(p)=p。我的答案：³

欧拉函数

（三）已完成 1 欧拉方程φ(m2)φ(m1)之积等于哪个环中可逆元的个数？ A、Zm1 Zm2 B、Zm1 C、Zm2 D、Zm1*m2 我的答案：A 2 Zm1*Zm2的笛卡尔积被称作是Zm1和Zm2的什么？ A、算术积 B、集合 C、直和 D、平方积 我的答案： 3 设m=m1m2,且(m1,m2)=1,则φ(m)等于什么？ A、φ(m1)B、φ(m2)φ(m1)C、φ(m1)*φ(m1)D、φ(m2)*φ(m2)我的答案：B 4 φ(24)= A、2.0³ B、4.0 C、8.0 D、12.0 我的答案： 5 φ(10)= A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 φ(12)= A、1.0 B、2.0 C、3.0³ D、4.0 我的答案： 7 设m1，m2为素数,则Zm1*Zm2是一个具有单位元的交换环。我的答案：√ 8 设m=m1m2，且（m1,m2）=1则φ(m)=φ(m1)φ(m2)。我的答案：√ 9 φ(24)=φ(4)φ(6)我的答案：³

欧拉函数

（四）已完成 1 有序元素对相等的映射是一个什么映射？ A、不完全映射 B、不对等映射 C、单射 D、散射 我的答案：C 2 若有Zm*到Zm1 Zm2的一个什么，则|Zm*|=|Zm1 Zm2*|成立 A、不对应关系 B、互补 C、互素 D、双射

我的答案：D 3 Φ(7）= A、Φ(1)Φ(6)B、Φ(2)Φ(5)³ C、Φ(2)Φ(9)D、Φ(3)Φ(4)我的答案： 4 Φ(6）= A、Φ(1)Φ(5)B、Φ(3)Φ(3)C、Φ(2)Φ(3)D、Φ(3)Φ(4)我的答案：C 5 Φ(3)Φ(4)= A、Φ(3)B、Φ(4)C、Φ(12)D、Φ(24)我的答案：C 6 如果m=m1m2,且（m1,m2）=1，有m|x-y,则m1|x-y,m2|x-y.我的答案：√ 7 Φ(N)是欧拉函数，若N＞2，则Φ(N)必定是偶数。我的答案：√ 8 Φ(4)=Φ(2)Φ(2)我的答案：³

欧拉函数

（五）已完成 1 a是Zm的可逆元的等价条件是什么？ A、σ（a）是Zm的元素 B、σ（a）是Zm1的元素 C、σ（a）是Zm2的元素

D、σ（a）是Zm1，Zm2直和的可逆元 我的答案：D 2 单射在满足什么条件时是满射？ A、两集合元素个数相等 B、两集交集为空集³ C、两集合交集不为空集 D、两集合元素不相等 我的答案： 3 若映射σ既满足单射，又满足满射，那么它是什么映射？ A、不完全映射 B、双射 C、集体映射 D、互补映射 我的答案：B 4 属于单射的是 A、x → x^2 B、x → cosx C、x →x^4 − x D、x →2x + 1 我的答案：D 5 不属于单射的是 A、x → ln x B、x → e^x C、x →x^3 − x D、x →2x + 1 我的答案：C 6 数学上可以分三类函数不包括 A、单射 B、满射 C、双射 D、反射

我的答案：D 7 映射σ是满足乘法运算，即σ(xy)=σ(x)σ(y)。我的答案：√ 8 对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。我的答案：√ 9 一个函数不可能既是单射又是满射。我的答案：³

欧拉函数

（六）已完成 1 根据欧拉方程的算法φ(1800)等于多少？ A、180.0 B、480.0 C、960.0 D、1800.0 我的答案：B 2 欧拉方程φ(m)=φ(P1r1)„φ(Psrs)等于什么？ A、P1r1-1(P1-1)„Psrs-1(Ps-1)B、P1r1-1„Psrs-1³ C、(P1-1)„(Ps-1)D、P1(P1-1)„Ps(Ps-1)我的答案： 3 设M=P1r1„Psrs,其中P1，P2„需要满足的条件是什么？ A、两两不等的合数 B、两两不等的奇数 C、两两不等的素数 D、两两不等的偶数 我的答案：C 4 不属于满射的是 A、x → x+1 B、x → x-1 C、x → x^2 D、x →2x + 1³ 我的答案： 5 属于满射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx³ D、x →2x + 1 我的答案： 6 属于双射的是 A、x → x^2 B、x → e^x C、x → cosx³ D、x →2x + 1 我的答案： 7 φ(m)=φ(m1)φ(m2)成立必须满足(m1,m2)=1.我的答案：√ 8 x → ln x不是单射。我的答案：³ 9 既是单射又是满射的映射称为双射。我的答案：√

环的同构

（一）已完成 1 设环R到环R'有一个双射σ且满足乘法和加法运算，则称σ为环R的什么？ A、异构映射³ B、满射 C、单射

D、同构映射 我的答案：D 2 设p是奇素数，则Zp的非零平方元a,有几个平方根？ A、2.0 B、3.0 C、4.0 D、和p大小有关³ 我的答案： 3 环R与环S同构，若R是整环则S A、可能是整环 B、不可能是整环 C、一定是整环 D、不一定是整环 我的答案：C 4 环R与环S同构，若R是域则S A、可能是域 B、不可能是域 C、一定是域

D、不一定是域³ 我的答案： 5 环R与环S同构，若R是除环则S A、可能是除环³ B、不可能是除环 C、一定是除环 D、不一定是除环 我的答案： 6 若存在c∈Zm,有c2=a，那么称c是a的平方元。我的答案：³ 7 同构映射有保加法和除法的运算。我的答案：³ 8 环R与环S同构，则R、S在代数性质上完全一致。我的答案：√

环的同构

（二）已完成 1 二次多项式x2-a在Zp中至多有多少个根？ A、无穷多个 B、两个 C、一个 D、不存在 我的答案：B 2 在Z77中，关于4的平方根所列出的同余方程组有几个？ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

我的答案：D 3 在Z77中，4的平方根都有哪些？ A、1、2、6、77 B、2、-2 C、2、9、68、75 D、2、-

2、3、-3 我的答案：C 4 Z77中4的平方根有几个 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 Z100中4的平方根有几个 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 6 Z7中4的平方根有几个 A、0.0 B、1.0³ C、2.0 D、3.0 我的答案：B 7 在Z77中，6是没有平方根的。我的答案：√ 8 二次多项式在Zp中至少有两个根。我的答案：³ 9 Z7和Z11的直和，与Z77同构。我的答案：√

Z﹡m的结构

（一）已完成 1 非空集合G中定义了乘法运算，如果G是一个群，则它需要满足几个条件？ A、6.0 B、5.0 C、4.0³ D、3.0 我的答案： 2 当群G满足什么条件时，称群是一个交换群？ A、乘法交换律 B、加法交换律 C、除法交换律 D、减法交换律 我的答案：A 3 Z12*只满足哪种运算？ A、加法 B、乘法 C、减法 D、除法 我的答案：B 4 非空集合G中定义了乘法运算，如有有ea=ae=a对任意a∈G成立，则这样的e在G中有几个？

A、无数个 B、2个

C、有且只有1一个 D、无法确定 我的答案：C 5 群具有的性质不包括 A、结合律 B、有单位元 C、有逆元 D、分配律 我的答案：D 6 群有几种运算 A、一 B、二³ C、三 D、四

我的答案： 7 Z12*= A、{1,2,5,7} B、{1,5,9,11} C、{1,5,7,11} D、{3,5,7,11} 我的答案：C 8 在Z12*所有元素的逆元都是它本身。我的答案：√ 9 Z12*是保加法运算。我的答案：³ 10 Z12*只有一种运算。我的答案：√

Z﹡m的结构

（二）已完成 1 Zm*的结构可以描述成什么？ A、阶为φ(m)的交换群 B、阶为φ(m)的交换环 C、阶为φ(m)的交换域 D、阶为φ(m)的交换类 我的答案：A 2 若a∈Z9*，且为交换群，那么a的几次方等于单位元？ A、1.0 B、3.0 C、6.0 D、任意次方 我的答案：C 3 Zm*是交换群，它的阶是多少？ A、1.0 B、φ(m)C、2m D、m2 我的答案：B 4 Z9*的阶为 A、2.0 B、3.0³ C、6.0 D、9.0 我的答案： 5 Z12*的阶为 A、2.0 B、4.0 C、6.0 D、8.0 我的答案：B 6 Z24*的阶为 A、2.0 B、4.0³ C、6.0 D、8.0 我的答案： 7 在群G中，对于一切m,n为正整数，则aman=amn.我的答案：³ 8 Z5关于剩余类的乘法构成一个群。我的答案：³ 9 Zm*是一个交换群。我的答案：√

Z﹡m的结构

（三）已完成 1 设G是n阶交换群，对于任意a∈G，那么an等于多少？ A、na B、a2 C、a D、e 我的答案：D 2 Z9*中满足7n=e的最小正整数是几？ A、6.0 B、4.0 C、3.0 D、1.0 我的答案：C 3 群G中，对于任意a∈G，存在n,n为正整数使得an=e成立的最小的正整数称为a的什么？ A、阶 B、幂 C、域 D、根

我的答案：A 4 Z6中4的阶是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：C 5 Z5*中2的阶是 A、1.0 B、2.0³ C、3.0 D、4.0 我的答案： 6 Z5*中3的阶是 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 7 如果G是n阶的非交换群，那么对于任意a∈G，那么an=任意值。我的答案：³ 8 设G是n阶群，任意的a∈G，有a^n=e。我的答案：√ 9 在整数加群Z中，每个元素都是无限阶。我的答案：³

欧拉定理循环群

（一）已完成 1 若整数a与m互素，则aφ(m)模m等于几？ A、a B、2.0 C、1.0 D、2a 我的答案：C 2 Zm*是循环群，则m应该满足什么条件？ A、m=2,4,pr,2pr B、m必须为素数 C、m必须为偶数 D、m必须为奇素数 我的答案：A 3 Z9*的生成元是什么？ A、1、7 B、2、5 C、5、7 D、2、8 我的答案：B 4 群G中，如果有一个元素a使得G中每个元素都可以表示成a的什么形式时称G是循环群？ A、对数和 B、指数积 C、对数幂³ D、整数指数幂 我的答案： 5 Z3*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：B 6 Z2*的生成元是 A、1.0 B、2.0³ C、3.0 D、4.0 我的答案： 7 Z4*的生成元是 A、0.0 B、2.0 C、3.0 D、6.0 我的答案：C 8 Z1*，Z2*，Z3*，Z5*，Z8*，Z9*，Z12*都是循环群。我的答案：³ 9 Z9*是一个循环群。我的答案：√ 10 Z9*的生成元是3和7。我的答案：³

欧拉定理循环群

（二）已完成 1 Z对于什么的加法运算是一个群？ A、整数 B、小数 C、有理数 D、无理数 我的答案：A 2 Zm*是具有可逆元，可以称为Zm的什么类型的群？ A、结合群 B、交换群 C、分配群 D、单位群 我的答案：D 3 Z12的生成元不包括 A、1.0 B、5.0 C、7.0 D、9.0 我的答案：D 4 Z16的生成元是 A、2.0 B、8.0 C、11.0 D、14.0 我的答案：C 5 Z15的生成元是 A、5.0 B、10.0 C、12.0 D、13.0 我的答案：D 6 环R对于那种运算可以构成一个群？ A、乘法 B、除法 C、加法 D、减法 我的答案：C 7 对于所有P，p为奇数，那么Zp就是一个域。我的答案：³ 8 整数加群Z是有限循环群。我的答案：³ 9 Zm*称为Zm的单位群。我的答案：√

素数的分布

（一）已完成 1 素有总共有多少个？ A、4.0 B、21.0 C、1000.0 D、无数多个 我的答案：D 2 大于10小于100的整数中有多少个素数？ A、21.0 B、27.0 C、31.0 D、50.0 我的答案：A 3 对于a，a为大于10小于100的整数，a的素因素都有哪些？ A、2、3、7、9 B、2、3、5、7 C、1、2、3、5 D、5、7、9 我的答案：B 4 小于10的素数有几个 A、1.0 B、2.0 C、3.0 D、4.0 我的答案：D 5 不超过100的素数有几个 A、24.0 B、25.0 C、26.0 D、27.0 我的答案：B 6 大于10而小于100的素数有几个 A、20.0 B、21.0 C、22.0 D、23.0 我的答案：B 7 丘老师使用的求素数的方法叫做拆分法。我的答案：³ 8 97是素数。我的答案：√ 9 87是素数。我的答案：³

第三篇：初高中学生数学思维方式的衔接

市教育科学“十二五”规划优秀论文

评选申报表

论文名称：初高中学生数学思维方式的衔接

作者姓名：高凤玲

联系方式：***

通讯地址：武汉市蔡甸区实验高中

工作单位：武汉市蔡甸区实验高中

合作者姓名：

论文内容分类：各学科类教育教学研究(J)

初高中学生数学思维方式的衔接

摘要：随着新课改的深入发展，初、高中衔接问题越来越受到人们的重视，初高中知识点方面的衔接已成为社会热点。本文旨在根据初高中学生的数学思维发展特征，结合现有的高中数学教材，在学生的思维层面进行衔接，让学生在学习中逐步形成数学观念。关键词：新课改 思维方式 衔接

近几年来由于新课标的实施，初高中教材都降低了难度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受高考的限制，教师都不敢降低难度，造成了高中数学实际难度没有降低。因此，从一定意义上讲，调整后的教材不仅没有缩小初高中的教材内容的难度差距，反而加大了。数学语言在抽象程度上发生突变，思维方法向理性层次跃迁，使相当一部分成绩中等及偏下的学生陷入困境，认为数学高不可攀，不可接近。再加上初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普遍适应不了高中教师的教学方法。针对此情况，教师要采用渐进式、螺旋上升式的方法做好思维方式的过渡。

学好数学的正确途径是掌握数学的思维方式。数学的思维方式是先观察客观现象，在纷繁复杂的现象中抓住事物的主要特征，从而抽象出概念或建立模型，再运用自觉判断、归纳、类比、联想等方法进行探索，进而猜测可能有的规律，然后通过深入分析，逻辑推理、计算等方法进行论证，最终揭示出事物的内在规律。数学思维方式直接影响到物理、化学、信息技术、经济等学科，它已渗透到社会生产、生活的方方面面，遵循这样的思维模式本身也是一个不断创新的过程，对我们来说，终身受益。

心理学研究表明，人的智力与能力发展具有年龄特征，数学思维的发展也呈现年龄特征，要经历直观行动思维、具体形象思维、抽象逻辑思维（包括辩证思维）等阶段。小学阶段处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段；整个中学阶段以抽象逻辑思维占主导地位，但初中阶段主要是以经验型为主的抽象性逻辑思维为主，高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维。其中，小学四年级（10~11岁）是从以具体形象成分为主要形式到以抽象逻辑成分为主要形式的转折点；初中二年级（13~14岁）是从经验型向理论型发展的开始；高中二年级前后（16~17岁），思维和智力发展基本成熟。显然，思维与智力发展的年龄特征，是考虑螺旋上升地安排教学内容的重要依据。结合学生实际，根据学生发展的可能性，教师运用“最近发展区”理论，“建构主义学习”理论，实现学生知识学习的顺应与同化，积极引导

学生向前发展。

在高一的教学中可以用“函数”作为素材（人教A版必修1），很好地实现思维方式的衔接，使学生感受到解决数学问题的思维方式，并在此过程中逐步向学生渗透以下数学思想：函数思想、分类思想、数形结合思想、化归思想。教师在数学思想方法的教学上还要注意有序性策略、过程性策略、变式策略的使用。

在初中阶段，函数是描述变化的一种数学工具，用来表示某些问题中变量之间的关系，并解决一些实际问题。学生学习了一次函数、反比例函数、二次函数，还会用函数观点看一元二次方程。用以图识性、数形结合的思想研究了函数的最大、小值，函数的增减性，方程的根和函数图象与x轴交点间的关系。而高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。要求学生学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。对比教材内容，不然发现高中教材的抽象性、逻辑性加强，新知识量多，难度加大，同时我们也发现必修1的教材安排上已体现知识循序渐进、螺旋式上升的特点。下面分五个部分进行说明。

1.函数概念

函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是先学习映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。在此过程中，培养学生的抽象概括能力，易于抽象符号f(x)的理解。然后结合学生熟知的一次函数、反比例函数、二次函数对概念加深理解。在后续的学习中，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。

数学概念和原理（特别是那些核心概念）的形成过程是进行数学思想方法教学的最重要载体。教师要精心设计，有意识地安排从中领悟思想方法过程。数学思想方法重在“悟”，悟

就需要过程，有一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程。

2.函数的基本性质

这一部分教学内容的呈现方式上体现了以图识性、数形结合的思想，基本按照“作图观察——理性思考——得出具体结论——一般化”的方式编写。必修1中函数的基本性质在初中函数的增减性与最大（小）值的基础上进一步深化出增（减）函数、单调性、单调区间的概念，给出最大（小）值的定义。高中严密的逻辑性开始体现。学生接触、学会推证函数单调性后，抽象意识增强，接着很自然过渡到奇偶性。通过函数的单调性和奇偶性研究抽象函数相关问题，符号抽象性运算、逻辑推理可进一步加强。作函数的图像也不仅仅是列表、描点、连线，还可利用单调性、奇偶性，进一步提高思维层次。

3.基本初等函数（Ⅰ）

通过函数概念与基本性质的学习，知道研究函数的一般方法与步骤，图像、定义域、值域、单调性、奇偶性。再把一般方法运用到实际问题中，先抽象出指数函数、对数函数的概念，再研究它们的图像和性质。数学的思维方式在不停的运用着，潜移默化地影响学生。指、对数函数中分类讨论的思想必不可少，抽象逻辑思维很常见。

4.函数与方程

学生回顾二次函数图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系，由此推广到一般函数，很自然给出零点概念，再深入研究函数的零点存在性问题。这一部分研究方法主要是特殊到一般，具体到抽象。用二分法求不可解方程的近似解体现了极限思想。讨论不可解方程的根的个数又用到转化思想和数形结合思想。

5.函数模型与应用

教师引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。让学生深切感受到数学是身边的数学，数学是有用的数学，增强学习积极性。

教材中呈现出“具体——抽象与概括——具体”的顺序符合学生思维活动顺序，教师要

把教材提供的逻辑顺序转化为数学活动顺序，结合学生的数学思维发展水平，设计恰当的课堂教学情境和数学思维活动过程，使学生大致经历原数学研究活动的进程，学生的思维活动充分展开，让学生已有的数学认知结构和新知识之间充分的相互作用。

参考文献

【1】曹才翰，章建跃.数学教育心理学（第二版）(M).北京：北京师范大学出版社，2006 【2】朱占奎.初高中数学教学衔接的几个问题.http://wenku.baidu.com/view/0abc5ff7f61fb7360b4c6578.html 【3】高中数学新课程标准http://wenku.baidu.com/view/27b9fb25aaea998fcc220e69.html 【4】初中数学新课程标准

http://wenku.baidu.com/view/f327fded998fcc22bcd10d09.html

第四篇：改变情感思维方式

改变情感思维方式 ——从《怒海潜将》观后感谈起

丁亮

李伟科

组织学生看了电影《怒海潜将》，观影后我让学生复述故事的内容。所有的同学都能回答影片讲述了美国第一位黑人船长卡尔的故事，怎样引导学生将粗象的观影情感化成细腻的语言文字呢？我改变原有的思维模式，和学生进行了这样的一场对话。

师：你们喜欢故事里面的哪一个人物？不喜欢哪一个人物？为什么？

生1：我们喜欢卡尔，因为他很坚强，很努力，特别是他被截肢后还能坚持完成训练，完成不可能完成的任务，我很感动。

生2：我不喜欢山岱，虽然他是优秀的潜水员，但他酗酒，而且总是为难卡尔。

生3：我喜欢卡尔的妻子，感觉她很优秀，帮助卡尔过了海军潜水员的文化考试，而且还得了94分。

师：如果卡尔不能在水里完成组装任务，会怎样？ 生：他会被赶出海军学校，回到家乡，种地。

师：是的，在种族歧视极其严重的社会环境下，卡尔最后不能坚持9个多小时，完成不可能完成的组装任务，那么他将回到家乡，重复父辈们的生活，我们也就看不到这么精彩的电影了！

师：如果你是首席士官山岱，你会那样对卡尔吗？

生：如果我是山岱，我也会那样对卡尔，因为他是黑人。我希望我们白人是这批队员中最优秀的。

师：是的，山岱不是对士兵们不够好，只是对卡尔不够好，他不是坏人，只是一开始不够爱卡尔罢了。而后面的结果也证明了，他不是坏人，但他酗酒，这一点的确不可爱。（做个小鬼脸）

师：卡尔最后为什么能成为首席士官？ 生：因为他坚强，因为他勇敢，因为他有毅力。师：除了自身的因素，还有别的吗？

生1：他有一个好父亲，他的父亲希望他有不一样的生活。生2：他最后得到了山岱的帮助。

生3：他有一个很漂亮，很有文化的女朋友，帮助他学习。师：同学们说得很好。卡尔之所以能够成功，因为他受到了良好的家庭教育，有一位特有人生想法的父亲，所以他从小就有梦想。那同学们想不想将来也成为这样优秀的父亲呢？

生：（大笑）

师：除了有良好的家庭教育，卡尔还遇到了他人生中的伴侣。这位姑娘帮助卡尔完成了学业，默默地支持着他完成人生的梦想。试想一想，他遇到的爱人是一个除了漂亮什么都不会的女人他会成功吗？

生：（不好意思的笑）

师：其实每个人的成功都离不开另一半的理解、支持与付出。能够相伴到老的一定是理解你，支持你，懂你的人，他/她不一定漂亮，但一定足够睿智。你们希望遇到这样的伴侣吗？又或者你们想成为别人这样的伴侣吗？ 生：（害羞的笑）

师：这样的爱情，总有一天，你们都会遇到的，过早的尝试，就是一场尴尬的糟糕的恋爱，像你们看到镜头里两人接吻一样尴尬。老师希望你们到了能够恋爱的年龄，都能够恋爱，都能够找到终生的伴侣。记住，一定要到适当的年龄哦！

生：（很认真的思考着）

师：我们说过，山岱最初不爱卡尔，折磨卡尔，但在卡尔失去双腿后，是谁又给了卡尔信念呢？是的，是他。很多时候，敌人都是我们自己假想的，其实，他只不过是一个强有力的对手罢了。所以一个人的成长离不开强有力的对手，希望你们能将对手变成自己的朋友，因为成功离不开朋友的帮助。

师：下面请同学们想一想，如果卡尔在被折磨，被羞辱，失去一条腿之后，放弃又会怎样？

生：他就不可能成为美国历史上的第一位黑人船长了。师：说得很好。如果卡尔自己放弃，就算有父亲的鼓励，有山岱的帮助，有女友的支持，他还是不能成功的。是谁决定了他成为一个国家的历史人物？

生：是他自己。

师：很好。就算所有的人都不爱他，都不给他机会，这也没能够改变卡尔爱自己，就是因为爱自己，他才可能寻找自己希望拥有的东西。如果将来，有一天，你们觉得全世界都不爱你了，你该怎么办？

生：爱自己。师：是的，爱自己。没有一个人能够阻止你爱自己，如果你觉得别人不够爱你，你要加倍的珍爱自己；如果别人不给你机会，你要加倍的给自己机会；如果，你真的爱自己，就会为了自己找到自己需要的东西，没有人可以阻止卡尔想当潜水员的梦想，没有人可以阻止他当上首席士官长，也没有人能够阻止你们的梦想对不对？

生：（鼓掌）

师：最后一个问题，你们愿意给自己一个创造历史的机会吗？ 生：愿意

师：相信你们当中将来会出现卡尔式的英雄男人或者英雄女人。你们相信吗？

改变以往的让学生谈感想的方式之后，我发现，这一堂课的内容丰富多了，很多学生都有的新的触动与想法，写出来的文字有了真正的深度。其实要想改变学生的情感思维方式，教师首先要改变自己的情感思维方式，给学生适当的情感引导，让学生明白道理的同时能够有更深入的人生思考。也许不能一下子改变，但我们教师可以努力，慢慢地去渗透，慢慢地改变。

第五篇：经济学思维方式读后感

《经济学的思维方式》读后感

自去年11月收到书至今已有3个多月，其间我断断续续地阅读了美国保罗〃海恩的《经济学的思维方式》，利用寒假终于在开学前读完。这本书总体而言，深入浅出，回避了高深的数学模型，从身边简单的事例出发，语言浅显易懂，深刻阐述了经济学的基本原理和分析框架。虽然以前读大学时，我也读过一些经济学书籍，比如《政治经济学》、《西方经济学》、《宏观经济学》、《微观经济学》等，但《经济学的思维方式》完全不同于前述经济学著作，它探究的应该不仅仅是经济学，更主要的应该是经济学背后的思维方式。我理解，经济学思维方式的核心就是研究经济资源的配置效率，即权衡预期的额外成本和预期的额外收益之后进行理性选择与决策，经济学称之为节约，即有经济效率。经济分析的本质就是边际分析。经济学思维方式无处不在，学习和运用好经济学思维方式，能够促进人们更有效地学习、工作和生活，提高理性决策的水平。

一、机会成本不容忽视

该书进一步加深了我对成本相关概念的理解。关于成本概念，美国会计学会（AAA）所属成本与标准委员会是这样定义的：成本是指为达到特定目的而发生或与应发生的价值牺牲，它可用货币单位加以衡量。可见，成本不仅是指耗费已经发生的实际成本，而且还包括可能发生的预计成本，以及进行预测决策所需的固定成本、变动成本、边际成本和机会成本等。成本与我们的行为选择相关，不同的行为选 择就会有不同的成本，成本天然地与某个个体的选择和决策相关，这就是经济学的思维方式告诉我们的现实。比如从一个城市到另外一个城市，乘坐飞机需要2小时，乘坐火车需要18小时，我们发现一个律师会选择乘坐飞机，而外出打工的农民工则选择乘坐火车，乘坐火车的成本对他们有什么不同吗？对于农民工可能只是火车的票价，对于律师则要加上坐火车多花费的16小时他可能取得的收益，假设一个律师一小时收费可达200元，坐火车对律师而言将是成本极高的行为。可见同一行为对不同的人有不同的成本，成本是对某个具体主体而言的成本，对于律师他需要对因坐火车多花的16小时赋予的价值3200元计入乘坐火车的成本，所以他理性性选择了乘坐飞机。又如，飞机取代了马车，不是因为飞机的“技术”比马车更先进，而是因为在长距离运输方面，飞机的“机会成本”比马车更便宜。至于短距离的交通，比如到邻街买一瓶酱油，马车就显然比飞机合算。同样，航天飞机的技术虽然比飞机更先进，但由于它的成本太高，所以人们不会坐航天飞机越洋。不管怎么选择，都只是取决于成本，而不是技术。这就是机会成本的力量。

鱼，我所欲也；熊掌，亦我所欲也。二者不可兼得，舍鱼而取熊掌也。选择做一件事，必然会放弃另外一件事，那个被放弃的机会所带来的可能收益在经济学上被称为“机会成本”。机会成本就是用来衡量取得一个机会必然舍弃的另一个机会的相当价值。虽然人人在行动上都按照这个规律去做事，但自觉地理解这个概念的人，却并不很多——甚至很少。一件事情的成本，并不是为了做这件事直接付出的代价，而是因为做这件事而不得不放弃的其他事情中，价格最贵的那个。说起来有些绕，举例解释一下就清楚了。你晚上去看电影，成本不仅仅是那张电影票和来回交通费，更主要的成本是，如果去看 2 电影，那你晚上就不能做别的事情了。那晚上你可能做的其他事情，其中最重要的那个，再加上电影票等费用，才是你看电影的全部成本。如果那晚你本来可以和巴菲特一起吃饭聊天的，那么，你看电影的成本就很高了，高到很少有人能承受，因此，现实中，我们不会见到有人为了看电影而放弃和巴菲特共进晚餐。机会成本这个概念中，包含有“比较”的含义。理解了机会成本这个经济学概念以后，人们在思考问题时，就会具备一种经济学的思维方式：如果一个方案被否定了，被取消了，那么，取而代之的是什么？这个替代方案，和原来那个方案相比，是更好了，还是更差了？ 没有理解机会成本概念的人，往往不具备这种“比较”的意识。他们的“常识性”思维是这样的：某种方案有许多弊端，那么，就应该取消它，这样，就消除了弊端。我称这种人为线性思维者。他们的思维只能沿着一条线进行，从不左顾右盼。机会成本，或者说“比较”的意识，之所以重要，是因为世界上的任何事务，都是利弊兼备的，任何方案，必然兼具成本和收益。人们要想得到这个收益，就必须付出那个成本。想要在人群中生活，就必须忍受别人的存在。想要中大奖，就必须买彩票并准备好不中彩。想要看电影，就得对着银幕呆呆地看上一两个小时。没办法让成本为零。当然，人们可以通过制度变革、技术创新等手段来减少成本、增加收益。世界就是这样变得越来越好的。

我们在做任何事情之前，都要仔细考虑一下机会成本，仔细权衡一下这种选择是否就是最好的对策。如果事实证明这是最好的选择的话，其机会成本就最低。按照经济学的思维方式，机会成本作为一项行为的成本是人们赋予次优机会的价值，人们在选择这一行为时以次优机会为代价。但机会成本是无形的，在现实决策中容易被忽视。例 3 如，企业业绩评价在19世纪以利润为主要衡量指标，在20世纪初至70年代，以投资回报率、净资产收益率与每股盈利为主要衡量标准，直到20世纪80年代才转为追求价值最大化，开始以经济增加值（EVA）为衡量标准。企业业绩必须从股东的角度来衡量，股东追求的是超过股东投入部分的价值最大化。而利润最大化与效益最大化无法衡量股东的价值。EVA由于考虑了股东的机会成本，能够更有效地衡量当期经营者创造的股东价值。EVA的核心理念是：股东投资有机会成本，企业只有利润高于资本成本才能为股东创造价值。企业有利润不一定创造了经济增加值，而企业产生了经济增加值一定是赢利的。世上没有免费的午餐，企业在衡量业绩、投资等决策中应充分考虑机会成本。书中提到，经济效率的概念就是权衡预期的额外成本和预期的额外收益，而边际收益或边际成本就是额外的收益或成本。所有的机会成本都是边际成本，所有边际成本都是机会成本。因此，不考虑机会成本，就无法进行边际收益和边际成本的权衡与分析，从而无法理性决策，工作就缺乏效率。

二、沉没成本与决策无关

如果一项开支已经付出而且不论做出何种选择都不能收回，这类支出在经济学上称为沉没成本。沉没就是指已经发生无法收回，它是历史成本的一部分，不可恢复。按照经济学的思维方式，沉没成本是与经济决策无关的。沉没成本是历史的一部分，因为它不能代表未来的选择机会。决策过程中唯一重要的成本是边际成本，即额外的成本，除了边际收益和边际成本，其他的都不重要。书中尤其强调别把边际 成本和平均成本搞混，这一点很重要。经济学的思维方式告诉我们，如果你是理性的决策者，那就不应该在决策时考虑沉没成本，因为决策是要往前看，是你当前应该怎样选择，沉没成本已经成为历史，已经与当前无关了，不应该作为当前我们决策时考虑的因素。道理似乎非常简单，但做到假设过去是零成本的心态其实很难。比如，赌博，赌徒总是在输钱后想着如何翻本，结果越赌越输，输得精光。其实输掉的钱已经沦为沉没成本，是否继续赌博的决策不应与此相关，而应该基于对输赢概率的判断，但人们是非理性的，输得越多越爱冒险。其原因就是你基于沉没成本来衡量输赢影响了眼前的判断和决策。

按照经济学的思维方式，我们要慎重对待具有高沉没成本的领域。比如，具有明显规模效益和庞大硬件投入的资本密集型产业，如能源、通讯、汽车、交通等，其超额回报可谓诱人，但其惊人的初始投入使许多投资者望而却步，高沉没成本吓跑了潜在的投资者，才使得现有参与者能够保持垄断地位，获得垄断利润。对于个人来讲高沉没成本的选择有哪些呢?职业和婚姻应该首当其冲,因此在面对这些问题的选择时我们需要格外慎重和理性。

世界上没有“成本价”这回事。传统上是这样理解“成本价”的：假设中国电信铺设固网花了1000亿元人民币，那么这是成本。把这成本分摊到每分钟的通话服务上，那就是每分钟的通话成本。不妨假设那是1毛钱，这1毛钱就是通话服务的“成本价”。有些专家认为，如果中国电信收取用户的资费低于1毛钱的成本价，它就要涉嫌“倾销”或“不正当竞争”了，但这样理解是错的。经济分析应该这样： 早在中国电信的投资上马以前，即在项目的策划阶段，那1000亿元人民币的确是成本，因为成本就是最大的代价。这笔钱如果不用来铺设固网，还可以用来做别的事情。所以，在投资实施前，铺设固网的成本，就是那些本来可以做而没有做成的事情。但是，一旦固网竣工，那么固网本身就不再是中国电信提供通话服务的成本！为什么？因为固网除了提供通话服务外，不能转作他用，所以用户利用固网打电话是无成本的！正因为这样，中国电信的收费底线，接近于零。中国电信当然想漫天要价了，实际上就是这样，中国电信的资费依然很高，至今名列世界前茅。这么高的资费，跟成本是没有什么关系的。但同时也要明白，它收费的底线远远没有那么高，相反，是接近于零！这跟当初的成本一样没什么关系。只要用户肯给一丁点钱，中国电信就愿意给你打电话，因为线路已经铺好，不能转作他用，闲着也是闲着！那么，实际的资费是怎样定出来的呢？答案是：用户能承受多少，厂商就索取多少。中国电信是根据用户的需求来制定资费标准的。这就是价格理论的神来之笔：厂商对最终用户的收费高低，取决于最终用户的需求有多强烈，而与厂商既往的生产成本无关。一旦掌握了经济学的基本原理，我们就可以知道，中国电信话费还有很大的降价空间，但能否真正的降价取决于全国人民的需求，自从手机普及后，人民对固定电话的需求一直再降，所以中国电信话费的下降趋势已经形成，不可逆转。

经济学的思维方式对当前的财务工作有很大启示。反思生活中，让沉没成本参与当前决策的例子不胜枚举。跳出沉没成本的陷阱，需 要良好的自省和向前的生活态度，培养豁达大度的品质，正视沉没成本，理性与沉没成本说再见，截断错误，轻装上阵，这就是经济学的思维方式带给我们的智慧。比如，某公司在决策某项业务是否应该继续开展，假设为开展该项业务，公司前期已进行工程设备投资并形成资产1000万元，资产使用年限为10年，则每年折旧费用为100万元，假设该业务当年收入为150万元，新增的成本费用为80万元。从历史全成本概念出发，该项业务为亏损业务（收入150-折旧费用100-新增成本费用80=-30万元），可能会给出亏损业务不宜开展的决策建议，显然这是错误的建议。因为资本投入已经成为沉没成本，在未来的决策中不应考虑。而采用边际分析法，由于该业务边际收入150万元大于边际成本80万元，该项业务应该继续开展。因此相关分析人员应尽快转变思维方式，研究如何进行边际收入和边际成本的分析，这才是对未来决策有用的信息，而历史完全成本的分析只能用于事后的回顾和相关考核、评价。

任何时候你都不应该这么想：若早知如此，我当时本来是会这么做的，那么我现在就这么做吧。相反，你应该这么想才对：无论过去怎么样，在现有的情况下，继续做下去是否值得——这叫“不究既往”原则。它适用于人生的任何决策。

《经济学思维方式》是一本面面俱到的书，内容既涵盖经济学自创立以来涉及的所有课题，也涵盖了我们生活中所遇到的几乎所有经济问题。个体行为群体合作，交换，产权，游戏规则，构成了《经济学的思维方式》的立论基础。而散落于书前书中书尾大量的真知灼见，又使整本书充满了智慧的光芒。这些我眼里的真知灼见包括但不限 于：其一，社会经济现状是个体选择和群体合作的无意结果，这个结果并不为我们掌控，其中却包含了每个个体的参与，为个体的理性选择所促成。其二，明晰的产权是市场经济健康运行的前提。个人对私产的完全处置权和必要的游戏规则，构成了健康经济环境两个不可缺少的方面。其三，工作和收益是根据能力和需求进行分配的，这种分配又是在人们普遍理解和接受的游戏规则之下进行。其四，政府政策并不总是由公共利益引导的，而往往受到特殊利益的支配。其五，交换——贸易是另一种形式的生产方式。其六，“财富是指人们认为有价值的任何东西。”这个定义说明财富具有很大的主观性，不等同于实物和货币。等等。

随着《经济学的思维方式》草草读完，一个关于经济社会生活新理念在我的心里得以初步显现，它对于我今后的工作生活必定大有助益。我觉得为这种阅读花费时间，是非常值得的！如果人人都能学习一些经济学的基本原理，学会用经济学的思维方式考虑问题，社会会更和谐，工作会更有价值，生活会更有趣味。今后我将在进一步深入学习的基础上，着重思考如何在工作中运用好这些好的理念和原理，真正将经济学的思维方式融入实际工作中，努力为单位发展创造更大的价值。