一个重要_数列的极限存在问题_的证明总结完成

第一篇：一个重要_数列的极限存在问题_的证明总结完成

一个重要数列的极限存在问题的证明总结

摘要：用两种方法对一个重要的数列的极限存在问题的证明总结，这个重要的数列是{yn=(1+1n)} n

关键词：数列，极限，存在问题

在《数学通报》，2006.6一期中，有一篇《一个重要的极限的证 明》。对数列{yn=(1+)n}的极限的存在问题给出了一种新的简明证 法。下面，我对这个极限的存在问题的证法进行总结。

n

1n*(n1)1n*(n1)(n2)3*2*11yn=1+n*+*2++ nn2!n!nn

11112112=1+1+(1-)+(1-)(1-)++（1-）（1-）2!nnnn!nn3!n1（1-）n1n证法一：对{yn=(1+)n}应用二项式展开，可得：

yn-1=1+1+

1-1111211(1-)+(1-)(1-)++(1-)(2!n13!n1n1n1(n1)!2n)(1-)n1n1

11但，(1-)﹤(1-)nn1

22(1-)﹤(1-)nn1 

n1n1（1-）﹤（1-）nn1

所以,yn中的每一项都小于yn+1中的相应项,而yn+1中还多出最后一项.且,这项显然大于零,因此,yn﹤yn+1故{yn}是单调

增加数列.现在来证明{yn}的有界性,因 yn的展开式的每一项括号内的因子都是小于1的,所以有, 0﹤yn﹤1+1+

111111+++﹤1+1+ +++2!3!n!1*22*3(n1)*n

=1+1+（1-）+（-）++（=1+1+1-

1n

12112311-）n1n

)ne 存在。即,{yn}为有界数列,根据夹值定理, lim(1n

证法二:预备知识：基本不等式——a1*a2*an（n

1n

a)(ai0)

ii1

n

n

令xn=(1+)n则由基本不等式——a1*a2*an（nn111nnn11

（n+1+*n）]n+1 [n1n1n+1

=(1+)

n1

a)

ii1

n

n

得，xn=1*（1+）（1+）（1+）

=xn+1

于是，数列{xn}单调不减

令zn=（1+）n+1则再由上面的不等式有：（n1n*(n1)n+2）n+1[(1+)] n1n1n2

n2n+2 =()n1

1n

又由于幂级数的运算法则——“底数颠倒，指数反号，其值不变”，有，yn =（1+）n+1 >=（nn2n+2)n1

= yn+1

于是，对任意给定的 n 属于N,均有yn4，又由于

xn=(1+

1n1)（1+）n+1= yn+1 nn

故数列{xn}单调不减且有上界（上界为4）根据数列极限的 存在准则，数列{xn=(1+

1n)}极限存在 n

由于这个极限首先被瑞士科学家欧拉（L.Euler

)ne 1707-1783）记为e,因此有：lim(1n

1n

参考文献：陈传璋等编，《数学分析》（第二版）上册，高等教育出版

社，1983年7月 《数学通报》 2006年6月

第二篇：数列极限的证明

例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n

xn1xn（Ⅱ）计算lim。n

xn

解（Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界，由0x1，得

0x2sinx1x1，设0xn，则

0xn1sinxnxn，所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。

n

记alimxn，由xn1sinxn得

x

asina，所以a0，即limxn0。

n

（Ⅱ）解法1 因为

sinxlimx0

x

1xlime

x0

1sinxlnx2x

lime

x0

1cosx1



2xsinxx

xsinx6x2

xcosxsinx

lime

x0

2x3

lime

x0

e



又由（Ⅰ）limxn0，所以

n

1xn

xn1sinxnxn2

limlimnnxxnn

sinx

limx0x

解法2 因为

1xxe



sinxx

sinxx



sinxx1x

xsinxx



x3，又因为

limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x

xnxsinxxe，sinx6所以lim，ex0x1

故

11xlimn1nxnxnsinxnlimnxn

sinxlimx0xxn1x e1

6.

第三篇：数列极限的证明

例1 设数列xn满足0x1,xn1sinxnn1,2,。（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

n1xn1xn2（Ⅱ）计算lim。nxn解（Ⅰ）用归纳法证明xn单调下降且有下界，由0x1，得

0x2sinx1x1，设0xn，则

0xn1sinxnxn，所以xn单调下降且有下界，故limxn存在。

n记alimxn，由xn1sinxn得

xasina，所以a0，即limxn0。

n（Ⅱ）解法1 因为

sinxlimx0x1x2limex01sinxlnx2xlimex01cosx12xsinxx

xsinx6x2xcosxsinxlimex02x3limex0e16又由（Ⅰ）limxn0，所以

n12xn1xn1sinxnxn2limlimnnxxnn1

sinxlimx0x解法2 因为

1x2x2e16sinxxsinxxsinxx1xxsinxxx3，又因为

limsinxx1sinxx,lim1x0x36x0x12xnxsinxxe，sinx6所以 lim，ex0x1故

11xlimn1nxn2xnsinxnlimnxnsinxlimx0x2xn1x2

e16.

第四篇：数列极限的证明

数列极限的证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A;|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;……

|X2-A|<|X1-A|/A;向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化)=[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。②证明{x(n)}有上界。x(1)=1<4，设x(k)<4，则

x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>

1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞

(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞

(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞

(4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。Lim就省略不打了。。

第五篇：数列极限的证明

数列极限的证明

X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限

求极限我会

|Xn+1-A|<|Xn-A|/A

以此类推，改变数列下标可得|Xn-A|<|Xn-1-A|/A;

|Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A;

……

|X2-A|<|X1-A|/A;

向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n)

2只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。

用数学归纳法：

①证明{x(n)}单调增加。

x(2)=√=√5>x(1);

设x(k+1)>x(k)，则

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②证明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，设x(k)<4，则

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3当0

当0

构造函数f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，则：t>

1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

则：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分别求导)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，对于数列n*a^n，其极限为0

用数列极限的定义证明

3.根据数列极限的定义证明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n个9

5几道数列极限的证明题，帮个忙。。Lim就省略不打了。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了

第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行

第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)

第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0

不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0