数列与数学归纳法的应用（5篇）

第一篇：数列与数学归纳法的应用

数列与数学归纳法的应用

4an1(n≥2).试回答： 3an1

(1)求出a2,a3,a4,并猜出an,利用数学归纳法加以证明;(2)求liman 1.设有无穷数列{an},满足a1=1, an=n

2.已知f(x)=x29(x≤－3),–1若u1=1,un=－f(un–1)(n≥2),试归纳出un的表示式,并用数学归纳法

3.在数列{an}中,a1=1,对于任意自然数n,当an为有理数时,an+1=

n22n).an;当an为无理数时,an+1=2an－(22(1)求a2、a3、a4;(2)猜想{an}的通项公式并证明;(3)求lim(a1＋a2＋…＋an).1323n3an2bnc4.是否存在常数a、b、c使等式()()()对一切nN成立?证明你的结论.nnnn

5.已知正数数列{an}的前n项和Sn满足

6.已知数列{an}的通项公式是an4Sn4S14S2＋＋…＋=Sn,求an与Sn.a12a22an21，(n∈N)，记bn=(1－a1)(1－a2)…(1－an)2(n1)

(1)写出数列{bn}的前三项；

(2)猜想数列{bn }通项公式，并用数学归纳法加以证明；

27.已知数列{an}满足an+1＞an,且a1=1,(an+1－an)－2(an+1＋an)＋1=0.(1)求a2,a3,a4；(2)猜想an,并用数学归纳法证明.28.在数列{an}中,a1=1,Sn是它的前n项和,当n≥2时,2Sn=2an·Sn－an.(1)求a2、a3、a4的值,并推测{an}的通项公式.(2)用数学归纳法证明所得的结论.9.已知数列{an}满足a1=a，an＋1=1 2an

(1)求a2，a3，a4；

(2)推测通项an的表达式，并用数学归纳法加以证明。

10.已知正数数列{an}满足2Snan1，(n∈N)，(1)求a1，a2，a3；(2)猜测an的表达式，并证明你的结论。

11.已知数列{an}满足a1＝1，an1an，1an

(1)计算a2，a3，a4；(2)猜测an的表达式，并用数学归纳法加以证明。

12、证明n2nn1(nN).

第二篇：数列的应用教案

第十四教时

教材：数列的应用

目的：引导学生接触生活中的实例，用数列的有关知识解决具体问题，同时了解处

理“共项” 问题。

过程：

一、例题：

1．《教学与测试》P93 例一）大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设

在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则

Sa(12k1)0[12(nk)]

a[k(n1)kn2n

2]

当n为奇数时，取kn

1S达到最小值

当n为偶数时，取kn2或n

2S达到最大值

2．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？

解：不妨设an3n,bm4m1(m,nN*)，则{cp}为{ an }与{ bn }的公共项构成的等差数列(1000≤cp≤2000)

∵an = bm ,即：3n=4m+1令n=3 , 则m=2∴c1=9且有上式可知：d=12 ∴cp=9+12(p1)(pN*)

由1000≤cn≤2000解得：83

712p1661112

∴p取84、85、„„、166共83项。

3．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人

口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)解：1991年、1992年、„„2000年住房面积总数成AP

a1 = 6×500 = 3000万m2，d = 30万m2，a10 = 3000 + 9×30 = 3270

1990年、1991年、„„2000年人口数成GP

b1 = 500 , q = 1% ,b9105001.015001.0937546.8

∴2000年底该城市人均住房面积为：

3270

.8

5.98m2546 4．（精编P175例3）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1

kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水，问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 kg ,a2=1×0.2 kg ,a3=(1)222×0.2 kg

由此可见：an=(12)n1×0.2 kg ,a5=(11

2)51×0.2=(2)4×0.2=0.0125 kg

2.由1.得{an}是等比数列a1=0.2 ,q=

1Sa(1q6)0.2(11

616)1q

0.3937kg11

50.40.393750.00625

0.0062520.003125

二、作业：《教学与测试》P94练习3、4、5、6、7

《精编》P1775、6

第三篇：数列的实际应用

一、基本概念：

1、数列的定义及表示方法：

2、数列的项与项数：

3、有穷数列与无穷数列：

4、递增（减）、摆动、循环数列：

5、数列{an}的通项公式an：

6、数列的前n项和公式Sn:

7、等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、等比数列、公比q、等比数列的结构：

9、无穷递缩等比数列的意义及公比q的取值范围：

二、基本公式：

S1(n1)

12、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= SS(n2)n1n13、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)dan=ak+(n-k)d(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

14、等差数列的前n项和公式：Sn=na1n(a1an)n(n1)n(n1)dSn=dSn=nan222当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

15、等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

16、等差中项公式：A=S2n1 2n1ab（有唯一的值）

217、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

18、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1(是关于n的正比例式)；

aanqa1(1qn)当q≠1时，Sn=Sn=1 1q1q19、等比中项公式：G=ab（ab>0，有两个值）

三、有关等差、等比数列的结论

23、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4mS3m、„„仍为等比数列。

25、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。

26、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、an1、仍为等比数列。

bnbn

27、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

28、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

29、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d，a+d,a+3d30、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)

31、{an}为等差数列，则c(c>0)是等比数列。an32、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn}(c>0且c1)是等差数列。

四、其他方法

33、拆项法求数列的和，如an=2n+3n34、错位相减法求和，如an=(2n-1)2n35、分裂项法求和，如an=1/n(n+1)

n36、反序相加法求和，如an=nC10037、求数列{an}的最大、最小项的方法：

01an19n(n1)21(an>0)如an=①an+1-an=„„0如an=-2n+29n-3②nan1010

③ an=f(n)研究函数f(n)的增减性 如an=

n n2156

“数列的实际应用”专题讲练

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.某商品价格前两年每年递增20％,后两年每年递减20％,这四年后的价格与原来的价格相比较,变化的情况是()

A.不增不减B.约增1.4％C.约减9.2％D.约减8％

2.一个工厂的产值平均每月增长率为m,则在一年中十二月份产值比一月份产值增长的百分数是()

A.mB.(1+m)11－1C.12mD.(1+m)1

23.计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格低1/3,现在价格5400元的计算机经过15年的价格为

()

A.200元B.600元C.1600元D.2400元

4.某商品降价10％后,要恢复原价,则应由现价提价()

1A.10％B.9％C.11％D.11％ 9

5.某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次(一次分裂两个)，经过3个小时，这种细菌由1个可以繁殖为()

A．511个B．512个C．1023个D．1024个

6.某企业在今年初贷款a万元，年利率为r(计算复利)，从今年末开始，每年末偿还一定金额，预计5年内还清，则每年应偿还的金额(万元)为()

ar(1r)5ar(1r)5ara(1r)

5A．B．C．D．(1r)51(1r)5(1r)51(1r)4

1二、解答题：本题要求写出解答过程和演算、证明步骤。

7.有200根相同的圆钢，将其中一些堆放成横截面为正三角形的垛，要求剩下的尽可能的少，这时剩余的圆钢有多少根？

8.从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?

9.已知某市1993年底人口为100万,人均住房面积为5平方米,如果该市每年人口平均增长率为2％,到2000年底该市人均住房面积要达到8平方米, 那么每年平均新建住房面积约为多少万平方米?(查表计算.精确到0.01万平方米)

10.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?

(精确到1平方公里.lg0.991.9956,lg0.81661.912)

11.资料表明,2000年我国工业废弃垃圾达7.4×108吨,共占地740平方公里.若环保部门每回收或处理一吨废旧物资,则相当于处理和减少了4吨工业废弃垃圾.设环保部门2001年共回收处理了10吨废旧物资,且以后每年的回收量递增20％.(1)2005年能回收多少吨废旧物资?(2)从2001年到2005年底可节约多少平方公里土地?(精确到1平方公里)

12.某林场有荒山3250亩，从2001年开始，每年春季在荒山上植树造林，第一年植树100亩，计划以后每一年比上一年多植树50亩（假定全部成活）.(1)在哪一年可将荒山全部绿化?(2)已知新植树苗每亩木材量2m3,树木每年的自然增长率为10％,设荒山全部绿化后的那年木材总量为S,求S的最简表达式,并估算约为多少立方米(精确到1万立方米)?



13.在一容器内装有浓度为r％的溶液a升,注入浓度为p％的溶液11a升,搅匀后再倒出溶液a升,这叫一4

4次操作.设第n次操作后容器内溶液浓度为xn(每次注入溶液的浓度都是p％).(1)计算x1 ,x2 , x3;(2)推证xn的公式.14.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?

15.学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格购买大米,每次购进大米需支付劳务费100元,已知食堂每天需用大米1吨,贮存大米的费用为每吨每天2元,假定食堂每次均在用完大米的当天购买.该食堂每隔多少天购买一次大米,能使平均每天支付的费用最少?

16.某企业向银行贷款2000万元投入一项生产设施的建设,年利率为8％(不计复利),期限10年.预计该设施建设时间为2年,建成投产后的八年内第一年可获利400万元,以后每年都比上一年增加利润5％.试问:该企业用这项设施产生的利润能否如期还清贷款本息?说明理由.17.容器A中盛有12％的食盐水300克,容器B中盛有6％的食盐水300克,从A、B中分别取出100克食盐水,将A中取出的倒入B中, 将B中取出的倒入A中,这样进行一次,叫做一次“操作”.(1)操作一次后,A、B中含食盐各多少克?(2)操作n次后, A、B中含食盐的浓度分别为an％和bn％,证明an+bn为定值.并求an和bn.18.某医院用100万元购进一台医疗仪器,该仪器第n年保养、维修费为an1.40.2(n-1)万元(n∈N),第n-1n年管理、操作人员的工资费用为bn5(15％)万元(n∈N).平均每年有1000人次病员用该仪器作检

查.如果计划20年收回全部投资(购机、维修、工资等),问每次检查至少应收多少元?(精确到1元.当0x0.05时,可用(1x)n1nxn(n1)2x计算)2

第四篇：(教案)数列综合应用

专题三：数列的综合应用

备课人：陈燕东 时间： 备课组长

[考点分析]

高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；

（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

【例题精讲】

【题型1】求和，求通项

例1．设数列an的前n项和Sn=2n+1-2，数列bn满足bn（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Tn．

1．(n1)log2an变式训练1：已知数列an是公差不为0的等差数列，a12，且a2，a3，a41成等比数列．（1）求数列an的通项公式；（2）设bn

2，求数列bn的前n项和Sn．

nan2变式训练2．已知数列{an}的各项均为正数，Sn是数列{an}的前n项和，且4Snan2an3．（1）求数列{an}的通项公式；

（2）已知bn2n,求Tna1b1a2b2anbn的值．

2备选例题1．已知数列an的前n项和为Sn，且2Snnn.2（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn12an1,(nN*)求数列{bn}的前n项和Sn.anan

1备选例题2．已知数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。，数列错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。．（1）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；（2）求数列错误！未找到引用源。的通项错误！未找到引用源。；

（3）若错误！未找到引用源。，求数列错误！未找到引用源。的前错误！未找到引用源。项和错误！未找到引用源。．

【题型2】证明题

例2.已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数，（I）证明：an2an；

（II）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.变式训练．已知函数fx123xx，数列an的前n项和为Sn，点n,SnnN均在函数22yfx的图象上.（1）求数列an的通项公式an；（2）令cn

【题型3】创新题型

例

3、设正项等比数列an的首项a11anan1，证明：2nc1c2cn2n.2an1an1，前n项和为Sn，且210S30(2101)S20S100。2（Ⅰ）求an的通项；（Ⅱ）求nSn的前n项和Tn。

备选例题： 1.在等差数列{an}中，公差d0,a2是a1与a4的等比中项.已知数列a1,a3,ak1,ak2,,akn,成等比数列，求数列{kn}的通项kn.【题型4】数列与不等式的综合题

例

4、已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn，且an1＝，其中常数a＞1．(a1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1）（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若a＝22，┅，2k），求数列{bn}的通项公式；（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－

【题型5】数列与函数的综合题

例

5、设数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(nN)均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn有nN都成立的最小正整数m。

本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。22k1，数列{bn}满足bn＝

1log2(a1a2an)（n＝1，n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k1－|＋|b2k－|≤4，求k的值． 2222m3，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn对所

20anan1

第五篇：数列在生活中的应用

数列在生活中的应用

摘要：

数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。

关键词：数列应用分期付款资源利用

众所周知，数列是数学知识中的一个重要环节，以具体问题为基础，进行答案的解析是数列学习中的一个重要部分，这就注定了数列是以解决实际问题为目的而存在的。数列在经济生活和资源计算等领域，有着广泛的使用，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况。

一、例述数列在生活中的应用

数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：

在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。

解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn，则：An+1=0.8An+0.3Bn;

Bn+1=0.2An+0.7Bn;

由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An）

=60+0.5An；

则An+1-120=0.5（An-120）；

可得，{An-120}是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列；假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则

An=0.5^（n-1）*（a-120）+120

当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。

上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。

二、银行储蓄与分期付款中的数列应用

储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。

在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。

设储户每期存入银行的金额为M，利率设为p，储户连续存入n期，那么到第n期期末时，本金数额为nM，在这个过程中，第一期存款利率为pMn，第二期的存款利率为PM(n-1)以此类推，到了第（n-1）期时存款利率为2pM，第n期存款利率为pM。对上述各阶段的利息求和可得：

Sn=Mp+2Mp+……+Mp(n-1)+Mpn

=Mp(1+2+……+n-1+n)

=1/2n(n+1)Mp

期间，纳税金额为：1/2n(n+1)Mp*20%=1/10n(n+1)Mp

最后，实际取出金额为：nA*1/2n(n+1)Mp-1/10n(n+1)Mp

=M[n+2/5n(n+1)p]

这是学生在练习中接触到的一种银行金融储蓄计算方式，是数列应用深入生活，影响生活方面的直接体现。随着社会经济的发展，人们的理财观念也渐渐发生了转变，小额贷款成为了社会生活中的一个热门话题。这就是数列在生活中的第二个应用。

例：某客户为购买房屋，向工商银行贷款n万元，采用分期还款的方式进行偿还，共分m期偿还完毕，每一期所偿还的本金数额相同，请计算每一期应当偿还的贷款数额。

设每期还款x元，各期所付给的款额到贷款全部还清时不会产生利息，贷款期利率为p，则第一期应当付给本金额为n/m元，利息为np，于是：

第一期总共还款金额x=n/m+np元；同理，第二期付本金n/m元，利息（n-n/m）p,第二期所偿还的总金额x=n/m+(n-n/m)p=n/m+np-n/m*p元；第三次偿还贷款总金额为x=n/m+np-n/m*2p元……以此类推，第m期x=n/m+np-n/m*(m-1)p元。

对上述总金额求和得：

Sn=n/m+np+n/m+np-n/m*p+n/m+np-n/m*2p……n/m+np-n/m*(m-1)p

=n/m*m+np*m-[n/m*p+n/m*2p+n/m*3p……n/m*(m-1)p]

=n/m*m+np*m-n/m*p[1+2+3+……(m-1)]

=n+mnp-n(m-1)/

2另外一种较为常用的还款方式为等额本息还款法，即为：贷款n元，采用分期还款的方式进行偿还，每期还款金额相同，分m期还完，则每期应当偿还的总金额计算方式为：

设每期还款x元，各期所付款额到贷款全部还清时会产生利息（利息额按期以复利进行计算），每期利率为p，则首付金额为x元；第二期付本金x元，利息xp元，第二次总付款金额为x+xp元；第三期总付款金额为x(1+p)^2元……以此类推，第m期所付款总金额为x(1+p)^(m-1)，各项之间呈现等比数列的样式，合计付款金额为：x+x(1+p)+x(1+p)^2+……+x(1+p)^(m-1)=n(1+p)^m

经整理得：x[1+(1+p)+(1+p)^2+……+(1+p)^(m-1)]=n（1+p）^m

易得x=np(1+p)^m/[(1+p)^m-1]

则总还款金额为mx=mnp(1+p)^m/[(1+p)^m-1]

三、环境资源利用中的数列应用

进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首要问题。在土地资源、森林资源、某些再生资源的利用方面，我们可以运用所学

到的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。

在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的解答；在生物保护方面的植物研究，数列中的斐波那契数列对于植物叶序与深层组织结构关系的研究也提供了相应的指导；数列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水资源与森林资源的开采与控制等方面都有着不同程度的应用。

四、总结

除了上文中涉及的几个方面外，数列在生活的其他领域都有着广泛的应用。同时，通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析，教师或学生对数列知识在社会生活方面的广泛应用及重要地位也有了初步的了解。只要在以后的学习中，善于学习，善于利用已经学习掌握的知识处理生活中的问题，我们的数学教学就达到了学以致用的目标，数学教学因此也就变得生动而有意义。

参考文献：

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