数学文科均值不等式做题方法或思路（5篇）

第一篇：数学文科均值不等式做题方法或思路

均值不等式：

a2b

2一般公式ab当且仅当a=b时，ab有最大值 2

22这是基本的公式，主要运用的就是我们以前常学的(ab)2=a2abb0，这个式子

a2b倒一下你可以看出2ababab 2222

还有几个特殊的不等式ababba（此时的要求是a、b〉0)还有几个2(ab0)2ab

ab2a2b

2ab()（此时都是当且仅当a=b时，有最值或者最小值，这都是看是求那22

个了，是点乘还是加。

1）先说求不等式的最大值或最小值，例如证明题

已知：a,b,c,d〉0，求证adbcbcad4，在此题里就看是否能出现我们已知的一些bdac

均值不等式的公式，一次来证明，先看不等式左边，分母为单数没有加减，分母有加和，那么分母分别除以分子会怎么样？你可以试试·····

得出的结果应该是等式左边=abacbd然后你看看。然后其他两个，你看有什babdac

么公式能求出个不等式结果来····

另一类就是让你比较两个等式的大小，那么你看题型，能均值不等式，你就先均值不等式，然后看另一个等式的大小，你可以通过画图、求导、来确定最值，然后比较大小。

还有一种是给你了一个立体几何图形等，有两个未知数，让你求某个阴影面积的最大或者最小值，在这类题里说到最大最小值，如果只出现了一个未知数，那么不说别的先按求面积方法求出面积来，如果最后是一个未知数的二次不等式，就用二次不等式的求法求值：如果出现的是一个未知数的多次幂，就面积求导，然后根据导数为0，求此时的x，然后根据判断极值是最大值还是最小值，但此时一定要注意x的定义域：若面积的最后结果是两个未知数时，就看能否进行均值不等式求法：第一题中是否满足均值不等式的要求，如果满足了可以尝试通过均值不等式求面积的最大值或者最小值；如果不能满足均值不等式的要求，就看这个式子是在三角函数里还是在等边三角形等，是否有限制，如果有限制，从限制里入手，根本还是不等式

再有就是一类题型，在含有x的不等式中还有未知系数k，让你求未知数k的最大值或者最小值或者取值范围，在这类题里他应该会给你说明他的单调性或者第一问里让你求他的单调性了，那么在这一问里你就要用到这么东西，根据单调性求出这个含有未知系数的最值，然后在有它＞（＜）0来求，这个一般很繁琐，看你的逻辑了，还有一种就是求导或者换元法求解。

还有一类证明题就是给出你一个f(n)=·······的式子，让你求它的最大或者最小值 或者最后大于一个数

在这里的解题方法太多没办法全部列出来，就说几个一般出现的，第一个方法是：看他的等式是否能化简，例如111111，即，有这类情况出现时，你可以2323n(n1)nn1

写出f(n-1)或者f(n+1)，然后相加或者相减，最后会出现一个式子整合或者均值不等式求出最后结果。第二种：就是添加后配出一种规律，但是要记得最后要减掉你添加的项，但要记得书写的格式问题。还有一种叠加类的这是要有很明显的规律在的情况下，这个要视题目来定。第三种：放缩法，原理就是添加或者减去某个数字什么的，使等式更加的有规律，但是大小的变化你也要随之写出来，添加或者减去不等号另一边的变化不能丢。

还有一种被某数整除的问题，这类题就是要让你最后写出被整除的倍数的式子。

运用在小题里的不等式就是比较大小，求值域或者极值还有就是线性规划问题，这个上次给你说了，就是画图，根据你画出的图的范围，然后移动要求的直线，与临界点相遇时的值，然后判断那个是要求的最值。

运用在大题里德不等式就是求面积的最值，或者让你求取值范围，在这里你就要用到很多，比如求导（求导是个好玩意，用好啊），均值不等式，画图·····注意图形结合，别太懒啊！

还有那些问题，要及时说，我想不到那么多，你问了我能解说的给你解说!现在不是学习，是查漏补缺，补你的漏洞，能补多少补多少····

第二篇：高三数学均值不等式

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3.2 均值不等式 教案

教学目标：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用

教学重点：

推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理

利用均值定理求极值

教学过程

一、复习：

1、复习不等式的性质定理及其推论

1：a>b2：3：a>b(1)：a+b>c(2)：

4、若(1)、若(2)、若(3)、若23aⅱ）a2b22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,bⅲ）3以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使C作垂直于直径

2AB的弦DD′,那么CDCACB，即CDab

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这个圆的半径为ababab，其中当且仅当点C与圆，显然，它不小于CD，即2

2心重合；即a=b应用例题：

例

1、已知a、b、c∈R，求证：

不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。

例

2、若

a,例3证明：∵222∴abcabbcca 例

4、已知a,b,c,d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd

分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞

得abcdacbd

0,0.2

2由不等式的性质定理4的推论1，得

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(abcd)(acbd)abcd.4即(abcd)(acbd)4abcd

归纳小结

定理：如果a,b是正数，那么abab(当且仅当ab时取“”号).22、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。巩固练习

P71 练习A，P72 练习B。

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第三篇：2013高考数学均值不等式专题

均值不等式归纳总结

ab(ab

2)2ab

222(当且仅当ab时等号成立）

(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”.(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一：求最值

例：求下列函数的值域

1（1）y＝3x 2（2）y＝x2xx

211解：(1)y＝3x 2 ≥2x 213x· 2＝6∴值域为6，+∞）2x 2

1(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥x1x＝2； x

1x·－2 x11当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧

技巧一：凑项

例:已知x，求函数y4x24514x5的最大值。

4x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，x

54,54x0不是常数，所以，y4x2

1154x4x554x12313 1。当且仅当54x54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数

例1.当时，求yx(82x)的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。

评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。变式：设0

x

32，求函数y4x(32x)的最大值。

2x32x9

解：∵0x∴32x0∴y4x(32x)22x(32x)2

222

当且仅当2x32x,即x技巧三： 分离常数 例3.求y

x7x10

x

13

0,时等号成立。42

(x1)的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即

时,y59（当且仅当x＝1

时取“＝”号）。

技巧四：换元法

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

y

(t1)7(t1）+10

t

=

t5t

4t

t4t5

59（当t=2

当,即t=时,y即x＝1时取“＝”号）。

Ag(x)

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

B(A0,B0)，g(x)恒正

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数f(x)的单调性。

例：求函数y因t0,t

x

ax

x52的值域。

t(t

2)，则y

1t

t

1t

(t2)

1，但t1t

1t

解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故

y

52。

5所以，所求函数的值域为,。

2



技巧六：整体代换 例：已知x0,y0，且解：x0,y0,19

x

1x



9y

1，求xy的最小值。

16。

19y9x

10610161，xyxy

xyxyy

当且仅当

yx



9xy

时，上式等号成立，又

1x



9y

1，可得x4,y12

时，xymin

变式：（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,yR且ab

x

y

1，求xy的最小值

技巧七：消元法

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y 的最小值.ab

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不

等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b

法一：a，ab ·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t 2＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t ≥

ttt

t＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥ ab

令u则u2＋22 u－30≤0，－2 ≤u≤32

≤2，ab≤18，∴y≥

18点评：①本题考查不等式

ab2



ab（a,bR）的应用、不等式的解法及运算能力；



②如何由已知不等式aba2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到

ab与ab

之间的关系，由此想到不等式

ab

2

ab（a,bR），这样将已知条件转



换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.技巧八：平方法

已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，很简单

3x 2y2 3x）22y）2 x＋2y ＝25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W＞0，W2＝3x＋2y＋3x ·y ＝10＋23x y ≤10＋3x)2·y)2

a＋b

a 2＋b 2，本题

＝10＋(3x＋2y)＝20 ∴ W20 ＝5变式:

求函数y

y2

x

52)的最大值。

解析：注意到2x1与52x的和为定值。

44(2x1)(52x)8

y2

又y

0，所以032

当且仅当2x1=52x，即x

时取等号。

故ymax



评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2

bc

abbcca

2.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 3.已知a、b、cR，且abc1。求证：

11

1118 abc

1分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“

2”连乘，又111abca

a

a

a，可由此变形入手。

bca

a

11a

abc1。

解：b、cR，a、1

a

a。

同理11

b

b

1c

c

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当1118

3abcabc

时取等号。

应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知x0,y0且

1x9y

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。

9xky

1

解：令xyk,x0,y0,1x



9y

1，

xykx



9x9yky

1.

10k



ykx



1

10k

2

3k

。k

16，m,16

应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若a

b1,P

lgalgb,Q

(lgalgb),Rlg（ab2)，则P,Q,R的大小关系

是.分析：∵a

Q

b1 ∴lga0,lgb0

（lgalgb)

ab2)lg

lgalgbp

lgabQ

Rlg(ab

∴R>Q>P。

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）y

x3x1

x,(x0)（2）y2x

1x3,x3

(3)y2sinx2．已知0

1sinx,x(0,)（4）ysinx

2sinx,x(0,)

x

x

1，求函数y的最大值.；3．0，求函数y的最大值.3.若实数满足ab2，则3a4.若log4xlog4

y2，求

3

b

1x



1y的最小值.并求x,y的值.5.已知x，y为正实数，且x 2＋ ＝1，求1＋y 2 的最大值.26.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值.7.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.y 2

第四篇：均值不等式的证明方法

柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong（数学之家）

本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。一般的均值不等式我们通常考虑的是AnGn: 一些大家都知道的条件我就不写了

x1x2...xn

n



x1x2...xn

我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出：

二维已证，四维时：

abcd(ab)(cd)2ab2cd4八维时:

(abcd)(efgh)4abcd4efgh8abcdefgh

abcd

4abcd

这样的步骤重复n次之后将会得到

x1x2...x2n

n



n

x1x2...x2n

令x1x1,...,xnxn;xn1xn2...x2

n

x1x2...xn

n

A

由这个不等式有

A

nA(2n)A

nn



n

x1x2..xnA

2n

n

(x1x2..xn)2A

n

1

n2

n

即得到

x1x2...xn

n



n

x1x2...xn

这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子：

例1：

n

若0ai1(i1,2,...,n)证明

i1

11ai



n

1(a1a2...an)n

例2：

n

若ri1(i1,2,...,n)证明

i1

1ri1



n

1(r1r2...rn)n

这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：

给出例1的证明：

当n2时11a1



11a2



(1

a1a2)2(1a1)(1a2)

设pa1a2,q

(1q)(2p)2(1pq)

p2qpq2qp(1q)2q(q1)p2q，而这是2元均值不等式因此11a1



11a22

n



11a3



11a4



此过程进行下去

n



因此

i1

1ai

1(a1a2...a2n)2

n

令an1an2...a2n(a1a2...an)nG

n

有

i1n

11ai

11ai

(2n)

n

11G



n

n2n

n



n

1(GG



n1G

n)

n

1G

即

i1

例3：

已知5n个实数ri,si,ti,ui,vi都1(1in),记RT

n

1n

n

r,S

ii



1n

n

s

i

i

1n

n

t,U

ii



1n

n

u

i

i,V

1n

n

v，求证下述不等式成立：

ii



i1

（risitiuivi1risitiuivi1)（RSTUV1RSTUV1)

n

要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式

其实由均值不等式，以及函数f(x)ln因此

e1e1

x

x

是在R上单调递减

RSTUV



（RSTUV1RSTUV1)

n

我们要证明：

n

(rstuv

i1

iii

i

risitiuivi1

i

1)

证明以下引理：

n

(x

i1

xi1

i

x21x21

n

1)

n2时，(令A

x11x11)（）2

A(x1x21x1x2)(x1x21x1x2)

2A(x1x2x1x21)A(x1x21x1x2)(1x1x2x1x2)2A(x1x21x1x2)

(A1)(x1x21)2A(x1x21)显然成立

2n

n

n

因

此（i1

xi1xi1

n)（G1G1)

2n

n

（GGGG

n

n

n

n

11

2n2

n)，G

n

（G1G1

n)

因此（i1

xi1xi1

n)

所以原题目也证毕了

这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:

f(x1)f(x2)

f（x1x2)，则四维：

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)2f（x1x2)2f（x3x4)4f（x1x2x3x4)

一直进行n次有

f(x1)f(x2)...f(x2n)

n

f（x1x2...x2n

n),令x1x1,...,xnxn;xn1xn2...x2

n

x1x2...xn

n

n

A

有

f(x1)...f(xn)(2n)f(A)

n

n

f（nA(2n)A

n)f(A)

所以得到

f(x1)f(x2)...f(xn)

n

f（x1x2...xn

n)

所以基本上用Jensen证明的题目都可以用柯西的这个方法来证明

而且有些时候这种归纳法比Jensen的限制更少

其实从上面的看到，对于形式相同的不等式，都可以运用归纳法证明

这也是一般来说能够运用归纳法的最基本条件

第五篇：2012届高三文科数学不等式专题

2012届高三文科数学不等式专题练习

一、选择题

1．设a,bR，若ab0，则下列不等式中正确的是（）

A．ba0B．ba0C．a3b30D．a2b20

２．设ａ，ｂ是非零实数，若ａ＜ｂ，则下列不等式成立的是（）

Ａ．a2b2Ｂ．ab2a2bＣ．

1ab21ab2Ｄ．baa

b

3．下列函数中，ｙ的最大值为４的是（）Ａ．yx

4x Ｂ．y2(x3)

x222Ｃ．ysinx4sinx(0x)Ｄ．ye4exx

4．不等式x1

x2的解集为()

A．[1,0)B．[1,)C．(,1]D．(,1](0,)

5．设f(x)为奇函数, 且在(-∞, 0)内是减函数, f(-2)= 0, 则x f(x)<0的解集为()

A(-1, 0)∪(2, +∞)B(-∞,-2)∪(0, 2)C(-∞,-2)∪(2, +∞)D(-2, 0)∪(0, 2)

二、填空题

2xy

x2y6．若变量x,y满足x

y405000，则z3x2y的最大值是＿＿＿＿．

7．已知函数f(x)x2,x0

x2,x0，则不等式f(x)x2的解集为＿＿＿＿．

8．x,y,zR,x2y3z0,*y

2xz的最小值为＿＿＿＿＿．若y1，则xz的最小值为——————．

29．已知Ax/xa4,Bx/x6x50,且对任意mR,mAB恒成立,则a的取值范围

是_________．

10．若二次函数yf(x)的图象过原点，且1f(1)2,3f(1)4,则f(2)的取值范围是．

三、解答题

11．某收购站分两个等级收购小麦，一等每千克ａ元，二等每千克ｂ元（ａ＞ｂ），现有一等小麦ｘ千克，二等小麦ｙ千克，若以两种价格的平均价收购合理吗？请说明理由．

2212．已知命题p：方程axax20在1,1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式

2x2ax2a0,若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．

13． 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经

1测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用．）

建筑总面积

14．已知不等式ax23xb0的解集为x/x1或xb．

(1)求a,b;

(2)解不等式ax2(acb)xbc0．

15．函数f(x)对任意m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时，f(x)>1．

(1)求证f(x)是R上的增函数；

(2)设f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2．

16．已知函数f(x)=ax+x

2x1(a>1)．

(1)证明：函数f(x)在(－1，+∞)上为增函数；

(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根．

参考答案

一、BＣD A C

二、6．707．1,18．３；

三、11．axby(xy)(ab)

21329．1,510．6,10，因此(ab)(xy)

（１）若ｘ＞ｙ，则收购站受益；

（２）若ｘ＝ｙ，则两种方式的付款额相等；

（３）若ｘ＜ｙ，则收购站吃亏．

12．-1

13．设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则

fx5604x821601000010800560x4x10,xZ 2000xxf(x)560248x

当且仅当48x10800

x10800x2000,，即 x15时f(x)min2000；

答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．

14．(1)．a1,b2;(2)c2时,解集为c,2；c2时, 解集为2,c；c2时, 解集为．

15．(2)-3

16．证明：(1）设－1＜x1＜x2＜+∞,则x2－x1>0, ax

∴axaxax(ax21122x1>1且ax>0, 1x11)>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴x22

x21x12

x11(x22)(x11)(x12)(x21)

(x11)(x21)

x22

x21x12x113(x2x1)(x11)(x21)>0, 于是f(x2)－f(x1)=axax+21 >0．

∴f(x)在(－1，+∞）上为递增函数．

(2）证法一：设存在x0＜0(x0≠－1)满足f(x0)=0,则ax0x02

x01，且由0＜ax＜1得 0

0＜－x02

x01＜1，即1

2＜x0＜2与x0＜0矛盾，故f(x)=0没有负数根．

证法二：设存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,则x02

x01＜－2,ax＜1,∴f(x0)＜－1与0

f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,则x02

x01>0, ax>0，∴f(x0)>0与f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0没有负数根． 0