第一篇：2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第八节不等式的证明 理
lg 3＋lg
52(3)利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<＝lg215 2 n＋n＋ n＋<； (4)利用常用结论： 1①＋1<； ＋1＋k211111111②2－2－程度大)； kkk－k－1kkkk＋kk＋1111111③2 2(程度小)． kk－1k－k＋2k－1k＋1 六、换元法 换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简．常用的换元有三角换元和代数换元．如： 已知x2＋y2＝a2，可设x＝acos θ，y＝asin θ； 已知x2＋y2≤1，可设x＝rcos θ，y＝rsin θ(0≤r≤1)； x2y 22＋21，可设x＝acos θ，y＝bsin θ.ab 七、构造法 通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式． 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点． 八、判别式法 含有两个字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，可考虑判别式法． 九、数学归纳法 可用于证明与正整数n有关的不等式．(见下一节) 基础自测 1．lg 9×lg 11与1的大小关系是()A．lg 9×lg 11＝1B．lg 9×lg 11<1 C．lg 9×lg 11>1D．lg 9×lg 11≥1 lg 9＋lg 112＝lg 992<lg 1002＝1，故选B.解析：因为lg 9×lg 11< 222 答案：B 2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则()A．a>bB．a 解析：因为(m＋1)(n＋4)－(mn＋2)＝(2m－n)≥0，所以a≥b.故选D.答案：D x3x2 3．已知实数x，y满足1≤2≤3，则xy的取值范围是__________． yy x31y21 解析：由已知得1≤2≤ y3x2 两式相乘得≤xy≤2.31答案：2 3 2222 4．已知实数a，b，x，y满足a＋b＝1，x＋y＝3，则ax＋by的最大值为________． 解析：设a＝sin α，b＝ cos α，x＝3sin β，y＝3cos β，则ax＋by＝3sin αsin β＋3cos αcos β＝3(sin αsin β＋cos αcos β)3cos(α－β)≤3，故其最大值是3.答案：3 1．(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－a2b.33222222 证明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b) ＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2．(2012·重庆卷)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列； (2)若a2>－1，求证：Sn≤a1＋an)，并给出等号成立的充要条件． 证明：(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a1a2＋a1，即a2＝a2a1.n a2a1 又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1,两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1.an＋2 由a2≠0，知an＋1＝a2.an＋1 an＋1 ＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列.an n (2)当n＝1或2时，显然Sn＝a1＋an)，等号成立.因a2≠0，故a1＝1＝a2.n－1 设n≥3，a2>－1且a2≠0.由(1)知，a1＝1，an＝a2，所以要证的不等式化为：1＋a2＋ nn－1－1 a2≤(1＋an)(n≥3)，2＋„＋a22 n 即证1＋a2＋a22＋„＋a2≤ n＋1 当a2＝1时，上面不等式的等号成立.＋an2)(n≥2)． n－r 当－1 －r 当a2>1时，ar2－1与an－1(r＝1,2，3，„，n－1)同为正． 2 n－r 因此当a2>－1且a2≠1时，总有(ar－1)>0，2－1)·(a2 rn－rn 即a2＋a2<1＋a2(r＝1,2,3，„，n－1).n－r 上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a2)<(n－1)(1＋an2)，2＋„＋a2 2nn＋1n 由此得1＋a2＋a2＋„＋a2<＋a2)． 综上所述，当a2>－1且a2≠0时，有Sn≤a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号 成立.112 1．设0 2m1－2m 解析：由题可知k＋.m1－2m 12221－2m2m又＋[2m＋(1－2m)]＝4＋2≥8，m1－2m2m1－2m2m1－2m 当且仅当2m＝1－2m，即m＝.故k的最大值为8.答案：8 2．(2013·广州调研)若函数f(x)对任意的实数x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2 －x1|，则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”． (1)判断g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由； (2)若数列{xn}对所有的正整数n都有|xn＋1－xnyn＝sin xn，求证： n＋2 |yn＋1－y1|<4 (1)解析：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，但h(x)＝x2－x不是区间R的“平缓函数”；设φ(x)＝x－sin x，则φ′(x)＝1－cos x≥0，则φ(x)＝x－sin x是实数集R上的增函数，不妨设x1 又y＝x＋sin x也是R上的增函数，则x1＋sin x1 由①，②得－(x2－x1) 取x1＝3，x2＝2，则|h(x1)－h(x2)|＝4>|x1－x2|，n 因此，h(x)＝x2－x不是区间R上的“平缓函数”． (2)证明：由(1)得：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，则|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，所以|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.而|xn＋1－xn|≤，n＋2 11111 所以|yn＋1－yn|≤－.2<2 n＋4n＋4n4nn＋1 因为|yn＋1－y1|＝|(yn＋1－yn)＋(yn－yn－1)＋(yn－1－yn－2)＋„＋(y2－y1)|，所以|yn＋1－y1|≤|yn＋1－yn|＋|yn－yn－1|＋„＋|y2－y1|.所以|yn＋1－y1|≤ 111111－＋－＋„＋1－ 4nn＋1n－1n2111＝1－<4n＋14 第六章不等式、推理与证明 本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明． 不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式的证明与应用． 推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展 1趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小． 广东高考在这一章的命题上呈现以下特点： 1．考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题也会有高档题出现． 2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查． 3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，偶尔会对数学归纳法进行考查，注重知识交汇处的命题． 预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查． 本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意： 1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据． 2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度． 3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来． 4．注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用． 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解． 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏． 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法． 在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视． 5．强化不等式的应用． 高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力． 如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误． 6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”． 7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系． 对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实． 归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的． 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可 以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现． 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景.知识梳理 一、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式． 二、实数运算性质与大小顺序关系 1．a>b⇔a－b>0；2.a＝b⇔a－b＝0；3.a 三、不等式的基本性质 双向性： 1．定理1(对称性)：a>b⇔b 2．定理2(传递性)：a>b，b>c⇒a>c.3．定理3(同加性)：a>b，c为整式或实数⇔a＋c>b＋c.4.定理3推论(叠加性)： a>bc>d}⇒a＋c>b＋d.5．定理4(可乘性)： a>bc>0}⇒ac>bc； a>bc<0}⇒ac nn* 7．定理4推论2(可乘方性)：a>b>0⇒a>b(n∈N且n>1)． 8．定理5(可开方性)：a>b>0⇒ 四、不等式性质成立的条件 n n ＞b(n∈N*且n>1)． 1例如，重要结论：a＞b，ab＞0⇒，不能弱化条件得a＞b⇒.abab 五、正确处理带等号的情况 如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，当且仅当a＝b且b＝c时，才会有a＝c.注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别． 基础自测 1．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是() aaaabbbbaaaaC.2＞aD.＞a＞2 bbbb A．a＞B.＞a 解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，验证知2a成立．也可用作差比较法． 答案：C 2．若0 C．log2a＋log2b＋ 1322 3D．log2(a＋ab＋ab＋b) 2解析：特殊值法．取a＝，b＝，则log2b＝log2 ＝1－log23>1－log24＝－1；log2b 333 －(log2a＋log2b＋1)＝－1－log21＋log23>0； 3223 计算可知，b>a＋ab＋ab＋b，3223 ∴log2b>log2(a＋ab＋ab＋b)．故选B.答案：B 3．已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是____________． a1a1b 22 ①＞1 ②a＞b ③lg(a－b)＞0 ④＜b22 aa bb 解析：令a＝2，b＝－1，则a＞b，＝－2，故＞1不成立；令a＝1，b＝－2，则a abab 1x222 ＝1，b＝4，故a＞b不成立；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0；f(x)＝在R 2 1a1b 上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)，即＜.故④正确． 22 答案：④ bab＋ma＋n 4．a>b>0，m>0，n>0，则，由大到小的顺序是____________． aba＋mb＋n b1ab＋m2a＋n3 解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，则＝2，a2ba＋m3b＋n2 aa＋nb＋mb∴>bb＋na＋ma aa＋nb＋mb答案：>> bb＋na＋ma 1．设a，b为实数，则“0 a A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当0 aa 是“b<”的既不充分也不必要条件．故选D.a 答案：D 2．已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则() A．x 111111 解析：x＝ln π>ln e＝1，y＝log52 22e42e 可得，y＜z＜x.故选 D.答案：D22 1．(2013·江门一模)若x＞0、y＞0，则x＋y＞1是x＋y＞1的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析：先看充分性，222 可取x＝y＝，使x＋y＞1成立，而x＋y＞1不能成立，故充分性不能成立； 若x＋y＞1，因为x＞0，y＞0，22222 所以(x＋y)＝x＋y＋2xy＞x＋y＞1，∴x＋y＞1成立，故必要性成立． 综上所述，x＋y＞1是x＋y＞1的必要不充分条件． 答案：B 2．(2013·北京西城期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式： 22ab－1332 ①a>b ②2>2 ③a－b>a－b ④a＋b>2ab.其中一定成立的不等式为________． 解析：由a>b>0可得a>b，①成立； xab－1 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2>2，②成立； ∵a>b>0，∴a>b，22 ∴(a－b)－(a－b)＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③成立； 332332 若a＝3，b＝2，则a＋b＝35,2ab＝36，a＋b<2ab，④不成立． 答案：①②③ 第九节 数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知识梳理 数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确 *性．先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证 明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法． 用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1，n0＝2等)时结论正确； *(2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正 确． 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确． 用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． 基础自测 n21．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取() A．2B．3C．5D．6 n2n2解析：当n≤4时，2>n＋1不成立，n≥5时，2>n＋1成立，所以取n0＝5.答案：C *2．下列代数式中(其中k∈N)，能被9整除的是() kk－1A．6＋6×7B．2＋7 kk＋1C．3(2＋7)D．2(2＋7) k解析：(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7)能被9整除． *nn＋1n(2)假设当k＝n(n∈N)命题成立，即3(2＋7)能被9整除，那么3(2＋7)＝21(2＋7) －36，这就说明，当k＝n＋1时命题也成立．故选C.答案：C 1111113113．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>，1＋＋＋„＋1＋223237223 11115*＋„＋>2,1＋＋„＋n个不等式为________(n∈N)． 1523312 111n234解析：3＝2－1,7＝2－1,15＝2－1，可猜测：1＋＋„＋n>.232－12 1 111n 答案：1＋＋„＋> 232－12 4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式 是________． 1111111 解析：a1＝，a2＝＝a3＝＝，猜想an＝.31×3153×5355×7n－n＋ 答案：an＝ n－n ＋ 111．已知f(x)＝x－.x2 (1)若x≥1时，证明：f(x)≥ln x； 111n (2)证明：1＋>ln(n＋1)＋n≥1)． 23nn＋ x1111x－2x＋1 证明：(1)设g(x)＝f(x)－ln x＝－－ln x(x≥1)，则g′(x)＝2－＝2 22x2xx22x x－2 ＝≥0(x≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当x≥1时，g(x)≥g(1)＝0，2x 即f(x)≥ln x.1111(2)(法一)由(1)有f(x)＝x－≥ln x(x≥1)，且当x＞1时，x－＞ln x.2x2x 1k＋1k＋11k＋1k11 令x＝ln －1＋－1－，kk2kk＋12kk＋1 111 即ln(k＋1)－ln k＜，k＝1,2,3，„，n.2kk＋1 将上述n个不等式依次相加，得 11111 ln(n＋1)＜＋„＋223nn＋111n 整理得1＋＞ln(n＋1)＋.23nn＋ (法二)用数学归纳法证明． (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋＜1，不等式成立． * (2)假设n＝k(k≥1，k∈N)时，不等式成立，即 111k1＋＋ln(k＋1)＋23kk＋ 1111k1 那么n＝k＋1时，1＋＞ln(k＋1)＋＋ln(k＋1)＋ 23kk＋1k＋k＋1 k＋2 k＋ 11由(1)有f(x)＝x－≥ln x(x≥1)． x2 k＋21k＋2k＋1k＋2 －，得≥ln＝ k＋12k＋1k＋2k＋1 ln(k＋2)－ln(k＋1)． k＋2k＋1 ∴ln(k＋1)＋k＋2)＋k＋k＋ 1111k＋1∴1＋＋„＋ln(k＋2)＋.23kk＋1k＋这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立． * 根据(1)，(2)，可知不等式对任何n∈N都成立． 令x＝ 2．(2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标． (1)证明：2≤xn (1)证明：因为f(4)＝4－8－3＝5，故点P(4,5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直线PQn斜率一定存在.故有直线PQn的直线方程为y－5fxn－5x2－54xn＋3n－2xn－8＝x－4)．令y＝0，可求得－5＝x－4)⇔＝x－4⇔x＝.xn－4xn－4xn＋2xn＋2 4xn＋3 所以xn＋1＝.xn＋2 下面用数学归纳法证明2≤xn<3.①当n＝1时，x1＝2，满足2≤x1<3.4xk＋35 ②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，2≤xk<3成立，则当n＝k＋1时，xk＋1＝＝4－，xk＋2xk＋2 55115 由2≤xk<3⇔xk＋2<5⇔1<2<≤4－即2≤xk＋1<3也成立． xk＋244xk＋2 综上可知，2≤xn<3对任意正整数恒成立． 下面证明xn 4xn＋34xn＋3－xn－2xn－xn－＋4 由xn＋1－xn＝xn＝＝ xn＋2xn＋2xn＋2 由2≤xn<3⇒0<－(xn－1)＋4≤3，故有xn＋1－xn>0，即xn 3＋4xn (2)解析：由(1)及题意得xn＋1＝2＋xn 151111设bn＝xn－3，则＋1，5＋，bn＋1bnbn＋14bn4113 所以数列＋是首项为－，公比为5的等比数列． 4bn4 1134n－1 因此＋·5，即bn＝－，－1 bn443·5＋1 4* 所以数列{xn}的通项公式为xn＝3－n∈N)． n－1 3·5＋1 1．观察下表：2 3 4 3 4 5 6 74 5 6 7 8 9 设第n行的各数之和为Sn，则Sn＝______________.解析：第一行，1＝1，第二行，2＋3＋4＝9＝3，第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝5，第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝7，归纳：第n行的各数之和Sn＝(2n－1).答案：(2n－1) 2．(2013·揭阳一模改编)已知函数f(x)＝ ax ax>0，a为常数)，数列{an}满足：a1 1＋x 1*＝an＋1＝f(an)，n∈N.2 (1)当a＝1时，求数列{an}的通项公式； * (2)在(1)的条件下，证明对∀n∈N有： nn＋ a1a2a3＋a2a3a4＋„＋anan＋1an＋2n＋n＋ 1 (1)解析：当a＝1时，an＋1＝f(an)＝，两边取倒数，得＝1，故数列是 1＋anan＋1anan an 111* 以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，an＝n∈N.a1ann＋1 (2)证明：(法一)由(1)知an＝，故对k＝1,2,3，„，n＋11 akak＋1ak＋2＝ k＋k＋k＋111 k＋k＋k＋2k＋ 所以a1a2a3＋a2a3a4＋„＋anan＋1an＋2 11111＝＋＋„＋ 22×33×43×44×5 11 n＋n＋n＋n＋ 111nn＋＝＝n＋n＋22×3n＋n＋ (法二)①当n＝1时，等式左边＝＝ 2×3×424 ＋1 等式右边＝，左边＝右边，等式成立； ＋＋24 ②假设当n＝k(k≥1)时等式成立，kk＋即a1a2a3＋a2a3a4＋„＋akak＋1ak＋2＝ k＋k＋ 则当n＝k＋1时，a1a2a3＋a2a3a4＋„＋akak＋1ak＋2＋ak＋1ak＋2ak＋3 ＝kk＋k＋k＋＋1 k＋k＋k ＋＝kk＋k＋＋12k3＋9k2＋20k＋12k＋k＋k＋＝ k＋2k＋k＋＝k2 k＋＋k＋k＋k＋k＋k＋ ＝k＋k＋k ＋k＋k＋k＋ ＝k＋k＋＋5] k＋＋k＋＋3] 这就是说当n＝k＋1时，等式成立，综①②知对于∀n∈N* 有： ann＋5 1a2a3＋a2a3a4＋„＋anan＋1an＋2＝12n＋2n＋ XX届高考数学第一轮不等式专项复习教 案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址课 件www.xiexiebang.com 第六章不等式 ●网络体系总览 ●考点目标定位 .理解不等式的性质及应用.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单地应用.3.掌握比较法、分析法、综合法证明简单的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●复习方略指南 本章内容在高考中，以考查不等式的性质、证明、解法和最值方面的应用为重点，多数是与函数、方程、三角、数列、几何综合在一起被考查，单独考查不等式的问题较少，尤其是不等式的证明题.借助不等式的性质及证明，主要考查函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想方法.含参数不等式的解法与讨论，不等式与函数、数列、三角等内容的综合问题，仍将是今后高考命题的热点.本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此复习中应注意： .复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据.2.不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧宾夺主.3.解（证）某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来.4.注意重要不等式和常用思想方法在解题中的作用.5.利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.对于含有绝对值的不等式（问题），要紧紧抓住绝对值的定义实质，充分利用绝对值的几何意义.7.要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数方程的对比与联系.6.1不等式的性质 ●知识梳理 .比较准则：a－b＞0a＞b； a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性质：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0 ＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性质成立的条件.例如，重要结论：a＞b，ab＞0 ＜，不能弱化条件得a＞b ＜，也不能强化条件得a＞b＞0 ＜.4.要正确处理带等号的情况.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，当且仅当a=b且b=c时，才会有a=c.5.性质（3）的推论以及性质（4）的推论可以推广到两个以上的同向不等式.6.性质（5）中的指数n可以推广到任意正数的情形.特别提示 不等式的性质从形式上可分两类：一类是“”型；另一类是“”型.要注意二者的区别.●点击双基 .若a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是 A.＞ B.2a＞2b c.|a|＞|b| D.（）a＞（）b 解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a•＜b•，即＞成立； 由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是减函数，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B 2.（XX年春季北京，7）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 A.0 B.1 c.2 D.3 解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，两端同除以ab，得－＞0.同样由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D 3.设α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范围是 A.（0，） B.（－，） c.（0，π） D.（－，π） 解析：由题设得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D 4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，的由大到小的顺序是____________.解析：特殊值法即可 答案：＞＞＞ 5.设a=2－，b=－2，c=5－2，则a、b、c之间的大小关系为____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a ●典例剖析 【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范围.剖析：∵a+b，a－b的范围已知，∴要求2a+3b的取值范围，只需将2a+3b用已知量a+b，a－b表示出来.可设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系数法求出x、y.解：设2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得 ∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.评述：解此题常见错误是：－1＜a+b＜3，① 2＜a－b＜4.② ①+②得1＜2a＜7.③ 由②得－4＜b－a＜－2.④ ①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤ ③+⑤得－＜2a+3b＜.思考讨论 .评述中解法错在何处? 2.该类问题用线性规划能解吗?并试着解决如下问题： 已知函数f（x）=ax2－c，满足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1 【例2】（XX年福建，3）命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则 A.“p或q”为假 B.“p且q”为真 c.p真q假 D.p假q真 剖析：只需弄清命题p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.又函数y=的定义域为|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q为真.答案：D 【例3】比较1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2.当①或②时，logx＜0.解①得无解，解②得1＜x＜，即当1＜x＜时，有logx＜0，1+logx3＜2logx2.当x=1，即x=时，有logx=0.∴1+logx3=2logx2.综上所述，当0＜x＜1或x＞时，1+logx3＞2logx2； 当1＜x＜时，1+logx3＜2logx2； 当x=时，1+logx3=2logx2.评述：作差看符号是比较两数大小的常用方法，在分类讨论时，要做到不重复、不遗漏.深化拓展 函数f（x）=x2+（b－1）x+c的图象与x轴交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.当t＜x1时，比较t2+bt+c与x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c与x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闯关训练 夯实基础 .（XX年辽宁，2）对于0＜a＜1，给出下列四个不等式： ①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是 A.①③ B.①④ c.②③ D.②④ 解析：∵0＜a＜1，∴a＜，从而1+a＜1+.∴loga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②与④成立.答案：D 2.若p=a+（a＞2），q=2，则 A.p＞q B.p＜q c.p≥q D.p≤q 解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A 3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=则A、B、c、D按从小到大的顺序排列起来是____________.解析：取特殊值a=－，计算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c 4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3） 5.已知a＞2，b＞2，试比较a+b与ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时，求证：A≥B.证明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x） =x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得 当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0； 当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.培养能力 7.设0＜x＜1，a＞0且a≠，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①当3a＞1，即a＞时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）| =3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②当0＜3a＜1，即0＜a＜时，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］ =3log3a（1－x2）＞0.综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.设a1≈，令a2=1+.（1）证明介于a1、a2之间； （2）求a1、a2中哪一个更接近于； （3）你能设计一个比a2更接近于的一个a3吗？并说明理由.（1）证明：（－a1）（－a2）=（－a1）•（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之间.（2）解：|－a2|=|－1－|=|| =|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，则a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究创新 9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比较（1+x）n与1+nx的大小.解：设f（x）=（1+x）n－（1+nx），则（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.当x∈（－1，0）时，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上递减.当x∈（0，+∞）时，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增.∴x=0时，f（x）最小，最小值为0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.评述：理科学生也可以用数学归纳法证明.●思悟小结 .不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，这是比较两数（式）大小的理论根据，也是学习不等式的基石.2.一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意解题中灵活、准确地加以应用.3.对两个（或两个以上）不等式同加（或同乘）时一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.●教师下载中心 教学点睛 .加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算.2.通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd.3.强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系.拓展题例 【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比较m+n与0的大小； （2）比较f（）与f（）的大小.剖析：本题关键是如何去掉绝对值号，然后再判断差的符号.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴log22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）•log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴log2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.当m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）时，由函数y=f（x）的单调性知x∈（－1，0］时，f（x）为减函数，x∈［0，+∞）时，f（x）为增函数，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m•n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭准备利用假期到某地旅游，有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案，甲旅行社的方案是：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集体票，可按七五折优惠.如果甲、乙两家旅行社的原价相同，请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算？ 解：设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总金额分别为y1和y2.一张全票价格为a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴当x＞1.25时，y1＜y2； 当x＜1.25时，y1＞y2.又因x为正整数，所以当x=1，即两口之家应选择乙旅行社； 当x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.课 件www.xiexiebang.com XX届高考数学知识点不等式证明——比 较法复习教案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 www.5y kj.co m【§5.3不等式证明——比较法】班级姓名学号 例1．a、b、c≥0，求证a3+b3+c3≥3abc.例2．a、b、c是△ABc的三边，求证a2+b2+c2<2.例3．已知m、n∈N，求证：.例4．若x∈（0，1）,a>0且a≠1，求证：|loga|>loga|.【备用题】 x,y,z∈R，A、B、c是△ABc三内角，求证：x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosc 【基础训练】 ．设m=，则m、N的大小关系是 （） A．m>N B．m=N c．m D．不确定 2．设正数a、b、c、d满足a+d=b－c，且|a－d|<|b－c|，则ad和bc的大小关系是 （） A．ad=bc B．ad c．ad>bc D．不确定 3．已知a,b∈R+，则与的大小关系是 （） A．x>y B．x≥y c．x≤y D．不确定 4．设a,b∈R+，且a+b=2，则的最小值是_________________.5．对任意锐角θ，都有，恒成立，则的最大值是_________________.6．若a>b>c>1，P=，是P与Q中的较小者是____________.【拓展练习】 用比较法证明下列不等式 ．x,y∈R，x≠y，求证：x4+y4>x3y+xy3.2．x∈R，求证：1+2x2≥2x3+x2.3．x∈R，x≠－1，求证：.4．b>a>0，求证：.5．x,y,z∈R，求证：x2+y2+xy+7z2≥2xz+5yz.6．x>0,n∈N，求证：xn+x－n≥xn－1+x1－n.7．a>0,b>0,m、n∈N，m>n，求证：2≥（am－n+bm－n）.8．a、b、c∈R+，求证：≥2.9 ． a>b>c>0,a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.0．a、b∈R+，①求证：之间 ②问这二个数哪一个更接近于.www.5y kj.co m 求 证 ：第二篇：【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义 第六章 第一节不等关系与不等式 理
第三篇：【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义 第六章 第九节数学归纳法 理
第四篇：XX届高考数学第一轮不等式专项复习教案
第五篇：XX届高考数学知识点不等式证明——比较法复习教案
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