立体几何基本概念回归课本复习材料

第一篇：立体几何基本概念回归课本复习材料

立体几何基本概念回归课本复习材料

一．基础知识:

1.．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为二直线同与第三条直线平行；

（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直；（4）转化为面面平行.2．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为线线平行；（2）转化为面面平行.3．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为线面平行；（2）转化为线面垂直.4．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.5．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直.12.球的半径是R，则

其体积V43

R,其表面积S4R2．

13.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.14．柱体、锥体的体积

V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.V1

锥体Sh（S是锥体的底面积、h3

是锥体的高）.17直线和平面所成的角：

（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

（2）范围：[0,90]；（3）求法：作出直线在平面上的射影；20．几个定理

1.两直线平行的判定：

（1）公理4：平行于同一直线的两直线互相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

2、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；

（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线

和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。

3、直线与平面平行的判定和性质：

①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行； ②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。

4、直线和平面垂直的判定和性质：

（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

5、两个平面平行的判定和性质：

（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。）

第二篇：回归课本专题五 不等式、立体几何

一、不等式：

1．不等式的基本概念和性质

不等（等）号的定义：ab0ab;ab0ab;ab0ab.例1．（1）设a∈R且a≠-2,比较

（2）若不等式|x-1|

回归课本专题五：不等式、立体几何

（2）已知a1a2a30，则使得(1aix)21(i1,2,3)都成立的x取值范围是____.4.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.常用不等式的放缩法：①

1111111

2(n2)

nn

1n(n

1)nn(n1)n1

n

22a

与2-a的大小．







n1)

5.不等式的应用

例5：已知f(x)对一切实数x,y都有f(xy)f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＜0（1）证明f(x)为奇函数且是R上的减函数；（2）若关于x的不等式

a|0,a20

222

2（2）若a、bR,则ab2ab(或ab2|ab|2ab)（当仅当a=b时

（1）若aR,则|

取等号）

（3）如果a，b都是正数，那么

ab.（当仅当a=b时取等号）

2

f[cos2(x)]f[sin2(x)]f(m)对一切x0,恒成立，求m的取值范围.662

6.练习：

1、不等式4xxx解集是___________.2最值定理：若x,yR,xyS,xyP,则： ○1如果P是定值，那么当x=y时，S的值最小；即积定和最小○2如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大．即和定积最大利用最值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等

.abc(4)若a、b、cR,则a=b=c时取等号）

3ba

(5)若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab



(6)a0时，|x|ax2a2xa或xa;

（7）若a、bR,则||（8）如果a,b都是正数，那么

2|x|ax2a2axa

（当仅当a=b时取等号）

a||b|||ab||a||b|

ab

2ab

即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：特别地，2

2的定义域为_____________.log2(x24x3)2xy40x

13．设命题甲为:;命题乙为:;则甲是乙的___________条件.0xy32y

34．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)0的x的取值范围是_____________.2．函数f(x)

5．设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是__________.．．．．（1）|ab||ac||bc|（2）a2（3）|ab|

1a

2ab2abab2a2b2)ab）ab()（当a = b时，(2222

＋

例2：（1）设a，b R，且a+b =1，则2a12b1的最大值是__________.（2）若0a1a2,0b1b2,且a1a2b1b21，则下列代数式中值最大的是_____.A．a1b1a2b2B．a1a2bb12C．a1b2a2b1D．

3.不等式的解法

2例3：（1）设p:x2x200,q:1x0，则p是q的_________.a

a

2（4）a3a1a2a ab6、若不等式|x-1|

9、设函数f(x)xsinx,x[,]，若f(x1)f(x2)，则x1与x2的关系为____________.2210、若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为.|x|

2回归课本专题五 不等式、立体几何 第 1 页

11、已知点（x0，y0）在直线ax+by=0，(a，b为常数)上，则(x0a)(y0b)的最小值为

＋

2例:⑴给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面,的四个命题：

①m,lA,点Am,则l与m不共面；

②l、m是异面直线，l//,m//,且nl,nm,则n； ③若l//,m//,//,则l//m；

④若l,m,lm点A,l//,m//，则//.其中真命题是.（填序号）⑵已知两条直线m,n，两个平面,，给出下面四个命题： ①m//n,mn②//,m,nm//n ③m//n,m//n//④//,m//n,mn 其中正确命题的序号是2.常用定理:

.12、设a，b R，且a+b =1，则2a12b1的最大值是__________.二、解答题：

13、设f(x)是定义在[1,1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x=1对称，而当x[2,3] 时，g(x)x24x4．（1）求f(x)的解析式；（2）对于任意的 x1,x2[0,1]且x1x2,求证：f(x2)f(x1)2x2x1;（3）对于任意的x1,x2[0,1]且x1x2,求证：f(x2)f(x1)1.14、已知f(x)loga(x1)，点P是函数y=f(x)图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.（1）当0

（2）当a>1，x∈0,1时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立，求m的范围.a//b

//

a//；aa// ①线面平行ba//；

a

aa

//

a//baaa//ba//b；②线线平行:a；；a//bc//b 

a//cbbb

a,b

//a

abO//// //；③面面平行:；

//aa//,b//

PO

a0

④线线垂直:ab；所成角90；aaPA

b

aAO

a//

2a

2a0

15、解关于x的不等式：xxa9

二、立体几何： 1.位置和符号:

①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法 ②直线与平面: a∥α、a∩α=A(aα)、aα ③平面与平面:α∥β、α∩β=a

a,b//a//bab ⑤线面垂直:abOl；la；；

aa

la,lba,al

aa//

 ⑥面面垂直：二面角90；a；

a

（提醒：在书写时，要注意定理条件使用的准确）

2.求空间角:

①异面直线所成角的求法：（1）范围：(0,

]；（2）求法：平移以及补形法、向量法.(主

要以向量法为主)

如（1）正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____；

（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____；

②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角：





回归课本专题五 不等式、立体几何 第 2 页

（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；

如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面

AA1C1C所成的角的正弦值为______；

（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角的余弦值是______；

③二面角：二面角的求法：（主要以向量法考查）；

3.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系

三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?;

4.空间距离:（要注意在求体积时）①异面直线间距离:找公垂线;②平行线与面间距离(两平行

PAn

面间距离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法h.n

5.平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;6.从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；

7.常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题；②将空间图展开为平面图； ③割补法；④等体积转化；⑤线线平行线面平行面面平行；⑥线线垂直线面垂直面面垂直；⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化.8.练习

1、已知直线l⊥平面，直线m平面，有下面四个命题：

（1）∥βl⊥m（2）⊥βl∥m（3）l∥m ⊥β（4）l⊥m∥β 其中正确命题的序号是

2、给出下列关于互不相同的直线m,n,l和平面,的四个命题：（1）m,lA,点Am,则l与m不共面；

（2）l、m是异面直线，l//,m//,且nl,nm,则n；（3）若l,m,lm点A,l//,m//，则//

（4）若l//,m//,//,则l//m其中真命题是（填序号）

3、已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为cm.4、矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则四

面体ABCD的外接球的体积为

５．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为。

６、如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A,B点）直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：(1)PA//平面MOB;(2)MO//平面PAC(3)OC平面PAB;（4）平面PAC平面PBC，其中正确的命题是_____________

B

C

７、设P,A,B,C是球O表面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，且PAPBPC1，则球的表面积为.８．已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.(1)求证:PF⊥FD；

(2)设点G在PA上,且EG//平面PFD,试确定点G的位置.９.如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD

4，BD，AB2CD8．

（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥PABCD的体积．

P

HD

CF

回归课本专题五 不等式、立体几何 第 3 页

第三篇：高考数学回归课本教案：立体几何

高考数学回归课本教案

立体几何

一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：aa．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面． 推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直．

定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．

定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．

定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角． 结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．

定理4(三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca．逆定理：若ca，则cb．

定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行 定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b． 结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．

定理7(等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．

定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交． 定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β.定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．

定义7(二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范围是[0，π]． 特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即αβ.定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内． 定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直． 定义8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．

定义9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 定理13(凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则 V+F-E=2．

定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．

定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．

定义11(经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经． 定理15(祖

原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理16(三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600．

定理17（面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4πR2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=πrl.4定理18（体积公式）半径为R的球的体积为V球=3R3；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为1sh.V=3

定理19 如图12-1所示，四面体ABCD中，记∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH平面ABC于H。

（1）射影定理：SΔABD•cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H为Ф。

sinsinsinBsin.（2）正弦定理：sinAsinC（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.V13DH•SΔABC

2（4）四面体的体积公式1abc1coscos22=6cos2coscoscos

aa1dsin162（其中d是a1, a之间的距离，是它们的夹角）

3aSΔABD•SΔACD•sinθ(其中θ为二面角B—AD—C的平面角)。

二、方法与例题 1．公理的应用。

例1 直线a,b,c都与直线d相交，且a//b,c//b，求证：a,b,c,d共面。

[证明] 设d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交，两者确定一个平面，设为a.又因为a//b，所以两者也确定一个平面，记为β。因为A∈α，所以A∈β，因为B∈b，所以B∈β，所以dβ.又过b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一个平面，所以aα.同理cα.即a,b,c,d共面。

例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？

[解] 充要条件。先证充分性，设图12-2中PQRSTK是长方体ABCD-A1B1C1D1的正六边形截面，延长PQ，SR设交点为O，因为直线SR平面CC1D1D，又O∈直线SR，所以O∈平面CC1D1D，又因为直线PQ平面A1B1C1D1，又O∈直线PQ，所以O∈平面A1B1C1D1。所以O∈直线C1D1，由正六边形性质知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ

CRSRRO为正三角形，因为CD//C1D1，所以

C1R=1。所以R是CC1中点，同理Q是B1C1的中点，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。2．异面直线的相关问题。

例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？

[解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线12×4=48对，而每一

48对异面直线被计算两次，因此一共有224对。

例4 见图12-3，正方体，ABCD—A1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。

[解] 连结AC，B1C，因为A1A边形，所以A1C1////B1B

//C1C，所以A1A

//C1C，所以A1ACC1为平行四AC。

所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1与AB1所成角为600。

3．平行与垂直的论证。

例5 A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都是直角，求证：四边形ABCD是矩形。

[证明] 若ABCD是平行四边形，则它是矩形；若ABCD不共面，设过A，B，C的平面为α，过D作DD1α于D1，见图12-4，连结AD1，CD1，因为ABAD1，又因为DD1平面α，又ABα，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。同理BCCD1，所以ABCD1为矩形，所以∠AD1C=900，但AD1

例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。

[证明] 见图12-5，设四面体ABCD的高线AE与BF相交于O，因为AE平面BCD，所以AECD，BF平面ACD，所以BFCD，所以CD平面ABO，所以CDAB。设四面体另两条高分别为CM，DN，连结CN，因为DN平面ABC，所以DNAB，又ABCD，所以AB平面CDN，所以ABCN。设CN交AB于P，连结PD，作CM'PD于M'，因为AB平面CDN，所以ABCM'，所以CM'平面ABD，即CM'为四面体的高，所以CM'与CM重合，所以CM，DN为ΔPCD的两条高，所以两者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ΔABE折起，并使AC=AD，见图12-6。求证：平面ABE平面BCDE。

[证明] 取BE中点O，CD中点M，连结AO，OM，OD，OC，则OM//BC，又CDBC，所以OMCD。又因为AC=AD，所以AMCD，所以CD平面AOM，所以AOCD。又因为AB=AE，所以AOBE。因为ED≠BC，所以BE与CD不平行，所以BE与CD是两条相交直线。所以AO平面BC-DE。又直线AO平面ABE。所以平面ABE平面BCDE。

4．直线与平面成角问题。

例8 见图12-7，正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。

//22221[解]设边长AB=2，因为EF

AD，又ADAB。所以EFAB，所以BG=2BF125，又AEEF，BEEF，所以∠AEB=1200。过A作AMBE于M，则∠AEM=600，112，AM=AEsin600=2ME=2AE232.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BM•BGcos∠53519533222344252MBG= =2，所以MG=

2.因为EFAE，EFBE，所以EF平面AEB，所以EFAM，又AMBE，所以AM平面BCE。所以

3264。所以AG与平面EBCF∠AGM为AG与平面EBCF所成的角。而tan∠AGM=2arctan64.所成的角为例9 见图12-8，OA是平面α的一条斜角，ABα于B，C在α内，且ACOC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。证明：cosα=cosβ•cosγ.[证明] 因为ABα，ACOC，所以由三垂线定理，BCOC，所以OAcosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以OAcosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ•cosγ.5．二面角问题。

例10 见图12-9，设S为平面ABC外一点，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C为直角二面角，求∠ASC的余弦值。

[解] 作CMSB于M，MNAS于N，连结CN，因为二面角A—SB—C为直二面角，所以平面ASB平面BSC。又CMSB，所以CM平面ASB，又MNAS，所以由三垂线定理的逆定理有CNAS，所以SC•cos∠CSN=SN=SC•cos∠CSM•cos∠ASB，所以cos

2∠ASC=cos450cos600=4。

例11 见图12-10，已知直角ΔABC的两条直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=

7时，求二面角P—AC—B的大小。

[解] 过P作PDAC于D，作PECP交BC于E，连结DE，因为A—CP—B为直二面角，即平面ACP平面CPB，所以PE平面ACP，又PDCA，所以由三垂线定理知DEAC，所以∠PDE为二面角P—AC—B的平面角。设∠BCP=θ，则cos∠ECD=cosθ

232272•cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB=

223112，所以sinθcosθ=2，2所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ=4，设CP=a，则PD=2a,PE=a.所以tan∠PE2.PDE=PD

2。所以二面角P—AC—B的大小为arctan6．距离问题。

例12 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求对角线AC与BC1的距离。

[解] 以B为原点，建立直角坐标系如图12-11所示。设P，Q分别是BC1，CA上的点，BP13BC1,CQ13CA且，各点、各向量的坐标分别为A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，13CA13BC1BC13BA13BC13BC13BB113BC13BA13BB1PQBQBPBC1111113(a,a,a)PQBC1PQCA|PQ|a3333a×a+3a×a=0, 3a3,所以，所以1×a-3a×a=0.所以PQBC1,PQCA。所以PQ为AC与BC1的公垂线段，所以两者3a.距离为3

例13 如图12-12所示，在三棱维S—ABC中，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面，E，D分别是BC，AB的中点，求CD与SE间的距离。

[分析] 取BD中点F，则EF//CD，从而CD//平面SEF，要求CD与SE间的距离就转化为求点C到平面SEF间的距离。

[解] 设此距离为h，则由体积公式

13SCSCEFVSCEF13hSSEF.h233.计算可得SΔSEF=3，SCEF3.所以

7．凸多面体的欧拉公式。

例14 一个凸多面体有32个面，每个面或是三角形或是五边形，对于V个顶点每个顶点均有T个三角形面和P个五边形面相交，求100P+10T+V。

[解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因为T+P个面相交于每个顶点，每个顶点出发有T+P条棱，所以2E=V(T+P).由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60.由于每个三

VTVP角形面有三条棱，故三角形面有3个，类似地，五边形有5个，又因为每个面或者是三

PTV5=32，角形或者是五边形，所以3由此可得3T+5P=16，它的唯一正整数解为T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。

8．与球有关的问题。

例15 圆柱直径为4R，高为22R，问圆柱内最多能装半径为R的球多少个？

[解] 最底层恰好能放两个球，设为球O1和球O2，两者相切，同时与圆柱相切，在球O1与球O2上放球O3与球O4，使O1O2与O3O4相垂直，且这4个球任两个相外切，同样在球O3与球O4上放球O5与球O6，……直到不能再放为止。先计算过O3O4与过O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为

(3R)R222R。设共装K层，则(22-2)R<2R(K-1)+2R≤22R，解得K=15，因此最多装30个。9．四面体中的问题。

例16 已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱锥S—ABC的体积。[解] 由题设，AH平面SBC，作BHSC于E，由三垂线定理可知SCAE，SCAB，故SC平面ABE。设S在平面ABC内射影为O，则SO平面ABC，由三垂线定理的逆定理知，COAB于F。同理，BOAC，所以O为ΔABC垂心。又因为ΔABC是等边三角形，故O为ΔABC的中心，从而SA=SB=SC=23，因为CFAB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂线定理知，EFAB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，122333故∠EFC=300，所以OC=SCcos600=

13,SO=3tan600=3，又OC=3AB，所

93以AB=3OC=3。所以VS—ABC=34×32×3=4。

例17 设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h是四面体的最小高的长，求证：2d>h.[证明] 不妨设A到面BCD的高线长AH=h，AC与BD间的距离为d，作AFBD于点F，CNBD于点N，则CN//HF，在面BCD内作矩形CNFE，连AE，因为BD//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距离为BD与AC间的距离d。在ΔAEF中，AH为边EF上的高，AE边上的高FG=d，作EMAF于M，则由EC//平面ABD知，EM为点C到面ABD的距离（因EM面ABD），于是EM≥AH=h。在RtΔEMF与RtΔAHF中，由EM

hAHFGAEEFAFEFEF≥AH得EF≥AF。又因为ΔAEH∽ΔFEG，所以d≤2。所以2d>h.注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。

三、基础训练题

1．正三角形ABC的边长为4，到A，B，C的距离都是1的平面有__________个.2．空间中有四个点E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的__________条件。

3．动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P运动的最大距离为__________。

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面ADD1A1、面ABCD的中心，G为棱CC1中点，直线C1E，GF与AB所成的角分别是α，β。则α+β=__________。

5．若a,b为两条异面直线，过空间一点O与a,b都平行的平面有__________个。

6．CD是直角ΔABC斜边AB上的高，BD=2AD，将ΔACD绕CD旋转使二面角A—CD—B为600，则异面直线AC与BD所成的角为__________。

17．已知PA平面ABC，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点且AC=2AB，则二面角A—PC—B的大小为__________。

8．平面α上有一个ΔABC，∠ABC=1050，AC=2(6使得SA=SB=SC=

2)，平面α两侧各有一点S，T，41，TA=TB=TC=5，则ST=_____________.9．在三棱锥S—ABC中，SA底面ABC，二面角A—SB—C为直二面角，若∠BSC=450，SB=a，则经过A，B，C，S的球的半径为_____________.10．空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________.11．异面直线a,b满足a//α,b//β,b//α,a//β，求证：α//β。

12．四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面积，求证：

S0S1S2S3.2222

13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC侧面AA1C1C，（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。

四、高考水平训练题

1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1B1的中点，N为B1C与BC1的交点，平面AMN交B1PB1C1于P，则PC1=_____________.1332.空间四边形ABCD中，AD=1，BC=3，且ADBC，BD=2BD所成的角为_____________.，AC=2，则AC与3．平面α平面β，αβ=直线AB，点C∈α，点D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CDAB，则直线AB与平面ACD所成的角为_____________.4．单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小为_____________.5．如图12-13所示，平行四边形ABCD的顶点A在二面角α—MN—β的棱MN上，点B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影为为菜，则二面角α—MN—β=_____________.6．已知异面直线a,b成角为θ，点M，A在a上，点N，B在b上，MN为公垂线，且MN=d，MA=m，NB=n。则AB的长度为_____________.7．已知正三棱锥S—ABC侧棱长为4，∠ASB=450，过点A作截面与侧棱SB，SC分别交于M，N，则截面ΔAMN周长的最小值为_____________.8．l1与l2为两条异面直线，l1上两点A，B到l2的距离分别为a,b，二面角A—l2—B大小为θ，则l1与l2之间的距离为_____________.9．在半径为R的球O上一点P引三条两两垂直的弦PA，PB，PC，则PA2+PB2+PC2=_____________.10．过ΔABC的顶点向平面α引垂线AA1，BB1，CC1，点A1，B1，C1∈α，则∠BAC与∠B1A1C1的大小关系是_____________.11．三棱锥A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B为直角二面角。（1）求直线AC与平面ABD所成的角；（2）若M为BC中点，E为BD中点，求AM与CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12．四棱锥P—ABCD底面是边长为4的正方形，PD底面ABCD，PD=6，M，N分别是PB，AB的中点，（1）求二面角M—DN—C的大小；（2）求异面直线CD与MN的距离。13．三棱锥S—ABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为ΔABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP，证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为D'，则D'为三棱锥S—ABC外接球球心。

五、联赛一试水平训练题

1．现有边长分别为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分52别为6，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。

2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这两个多面体

m的内切球的半径之比是一个既约分数n，那么mn=_________。

03．已知三个平面α，β，γ每两个平面之间的夹角都是

2，且=a,b,c，命题甲：的_________条件。

3；命题乙：a,b,c相交于一点。则甲是乙4．棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MAAB，如果ΔAMD的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________.5．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_________。

6．空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有_________条。7．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_________。8．由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的V1体积为V2，则V2_________。

9．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆围上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C—HPC体积最大时，OB=_________。

10．OA,OB,OC是三个互相垂直的单位向量，π是过点O的一个平面，A',B',C'分别是A，B，C在π上的射影，对任意的平面π，由OA'OB'OC'构成的集合为_________。11．设空间被分为5个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。

12．在四面体ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂线的垂足S是ΔABC的垂心，试证：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并说明等号成立时是一个什么四面体？

13．过正四面体ABCD的高AH作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面夹角为α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。

六、联赛二试水平训练题

1．能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四面体？

cosPAQ1.2

2222．P，Q是正四面体A—BCD内任意两点，求证：已知锐角，试确定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。3．P，A，B，C，D是空间五个不同的点，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，这里θ为4．空间是否存在有限点集M，使得对M中的任意两点A，B，可以在M中另取两点C，D，使直线AB和CD互相平行但不重合。

5．四面体ABCD的四条高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H点（A1，B1，C1，D1分别为垂足）。三条高上的内点A2，B2，C2满足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1在同一个球面上。

6．设平面α，β，γ，δ与四面体ABCD的外接球面分别切于点A，B，C，D。证明：如果平面α与β的交线与直线CD共面，则γ与δ的交线与直线AB共面。

第四篇：立体几何复习

一、线线平行的证明方法

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、反证法。

3、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

4、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面

三、面面平行的证明方法

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面平行。

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。

2、点在面内的射影。

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直

第五篇：立体几何专题复习教学设计

立体几何专题教学设计

【考情分析】立体几何主要培养学生的发展空间想像能力和推理论证能力。立体几何是高考必考的内容，试题一般以“两小题一大题或一大题一小题”的形式出现，分值在17—22分左右。近三年的试题中必有一个选择题是以三视图为背景，来考查空间几何体的表面积或体积。立体几何在高考中的考查难度一般为中等，从解答题来看，立体几何大题所处的位置为前4道，有承上启下的作用。主要考查的知识点有： 1.客观题考查的知识点：

(1)判断：线线、线面、面面的位置关系；

(2)计算：求角(异面直线所成角、线面角、二面角)；求距离(主要是点面距离、球面距离)；求表面积、体积；

(3)球内接简单几何体(正方体、长方体、正四面体、正三棱锥、正四棱柱)(4)三视图、直观图（由几何体的三视图作出其直观图，或由几何体的直观图判断其三视图）

2.主观题考查的知识点：

(1)有关几何体：四棱锥、三棱锥、(直、正)

三、四棱柱；

(2)研究的几何结构关系：以线线、线面(尤其是垂直)为主的点线面位置关系；(3)研究的几何量：二面角、线面角、异面直线所成角、线线距、点面距离、面积、体积。其中，解答题的第二问一般都是求一个空间角，而且都能通过传统方法（几何法）和空间向量两种方法加以解决。【课时安排】本专题复习时间为三课时：

例2．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m⊥α，nα，则m⊥n；

②若mα，nα，m//β，n//β，则α//β；

③若α⊥β，α∩β＝m，nα，m⊥n，则n⊥β；

④若m⊥α，α⊥β，m//n，则n//β．

其中所有正确命题的序号是．

解决策略：培养学生善于利用身边的工具与情境（如纸笔、桌面、墙角等）构造具体模型，充分利用正方体这个有力的载体，将抽象问题具体化处理，提高他们的空间想象能力．本类题为高考常考题型，其本质实为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选多选． 基本题型三：空间中点线面位置关系的证明（解答题）

例3．如图，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．

（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；

（2）求证：PC1∥面MNQ．

解决策略：证明或探究空间中线线、线面与面面平行与垂直的位置关

系，一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见A1 B

1证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面M

平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综

合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求学生注意表述规范，推

理严谨，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论．此外，要特A N P B 别注重培养学生的空间想象能力，会分析一些非常规放置的空间几何

体（如侧面水平放置的棱锥、棱柱等），会画空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形．

基本题型四：运用空间向量证明与计算（解答题）

例4.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．

P（1）在平面PAD内求一点F，使得EF平面PBC；

（2）求二面角FPCE的余弦值大小．

解决策略：要注意培养学生对空间几何体合理建系的意识，会求平面的法向量；要求学生理解用向量判定空间线面位置关系、求解夹角与

E 距离的原理，并掌握一般求解步骤．其中，线线角、线面角与二面角

是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在探究点的位置

等问题中，要引导学生根据共线向量，用已知点的坐标表示未知点的坐标，根据题设通过解方程（组）来解决问题的方法．

【复习建议】 A B C

1．三视图是新课标新增的内容，考查形式越来越灵活，因此与三视图相关内容应重点训练。

2．证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路，必须根据所依据的大前提把具体问题中的小前提写

完整。

3．空间角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“一作二证三求”的有机统一。解题时注意各种角的范围，异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，其方法是平移法和向量法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影、法向量法；二面角的范围是0°≤θ≤180°，其主要方法有：定义法、三垂线定理法、射影面积法、法向量法。鼓励学生用多种方法解决问题，既要想到用向量法，也要有意识的去用几何法求解。

4.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【复习指导】

1．回归课本，抓好基础落实

系统地掌握每一章节的概念、性质、法则、公式、定理、公理及典型例题，这是高考复习必须做好的第一步,高考题“源于课本,高于课本”，这是一条不变的真理，所以复习时万万不能远离课本，必要时还应对一些课本内容进行深入探究、合理延伸和拓展。

2．注重规范，力求颗粒归仓

网上阅卷对考生的答题规范提出更高要求，填空题要求：数值准确、形式规范、表达式(数)最简；解答题要求：语言精练、字迹工整、完整规范。

考生答题时常见问题：如立几论证中的“跳步”，缺少必要文字说明，忽视分类讨论，或讨论遗漏或重复等等。这些都是学生的“弱点”，自然也是考试时的“失分点”，平时学习中，我们应该引起足够的重视。

3．加强计算，提高运算能力

“差之毫厘，缪以千里”，“会而不对，对而不全”，计算能力偏弱，计算合理性不够，这些在考试时有发生，对此平时复习过程中应该加强对计算能力的培养；学会主动寻求合理、简捷运算途径；平时训练应树立“题不在多，做精则行”的理念。

4．整体把握，培养综合能力

对于综合能力的培养，我们坚持整体着眼，局部入手，重点突破，逐步深化原则；适度关注创新题。高考数学考查学生的能力，势必设计一定的创新题，以增加试题的区分度，平时复习应注重数学建模、直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力的培养。