第十章
相交线、平行线和平移
10.1
相交线
第2课时 垂线及其性质
一、教学目标
1．理解并掌握垂线的概念及性质；
2．了解点到直线的距离；
3．能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题．
二、教学重点及难点
重点：掌握垂线的定义与性质；
难点：垂线的应用.三、教学用具
多媒体课件．
四、相关资料
微课，动画，图片．
五、教学过程
【情景引入】
同学们观察教室周围，黑板相邻两边的夹角，两面墙的夹角都等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关系？
学生讨论回答.设计意图：从一个简单的小问题来引出今天的知识点，激发兴趣，增强学生的学习热情．
【探究新知】
垂线的定义与性质
定点P在直线AB外,动点O在直线AB上移动,当PO最短时,∠POA= 90° ,这时线段PO所在的直线是AB的 垂线 ,线段PO的长叫做点P到直线AB的 距离.【合作探究】
教师将学生分成组布置任务，小组讨论得出结果再向全班汇报，并根据实际情况分别给各组打分．
问题：已知OA⊥OC,OB⊥OD,∠AOB∶∠BOC=32∶13,求∠COD的度数.学生交流，回答.解析：解:由OA⊥OC知,∠AOC=90°,即∠AOB+∠BOC=90°,由∠AOB∶∠BOC=32∶13,设∠AOB=32x,则∠BOC=13x,列方程:32x+13x=90°,∴x=2°.∴∠BOC=13×2°=26°,又∵OB⊥OD,∴∠BOD=90°,∴∠COD=90°-26°=64°.方法总结：垂直是相交的一种特殊情况,特别注意垂线段性质的应用.【典型例题】
1.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
解析：要求∠AOM的度数，可先求它的余角．由已知∠EON＝20°，结合∠BOE＝∠NOE，即可求得∠BON.再根据对顶角相等即可求得；要求∠NOC的度数，根据邻补角的定义即可．
答案：∵∠BOE＝∠NOE，∴∠BON＝2∠EON＝2×20°＝40°，∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.∵AO⊥BC，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.方法总结：(1)由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于90°；(2)在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识．
2.如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB和OD的位置关系，并说明理由．
解析：由于OA⊥OC，根据垂直的定义，可知∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°，又∠AOB＝∠COD，则∠COD＋∠BOC＝90°，即∠BOD＝90°，再根据垂直的定义，得出OB⊥OD.答案：OB⊥OD，理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的角为直角，可得这两条直线互相垂直．判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于90°.3.如图，平面上有三点A、B、C.(1)画直线AB，画射线BC
(不写作法，下同)；
(2)过点A画直线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H.解析：根据垂线的画法“一落、二过、三画”画图即可．
答案：如图所示．
方法总结：“一落、二过、三画”：“一落”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上；“二过”是指使三角板的另一条直角边过已知点；“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线．
【新知应用】
1.如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5.(1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离；
(2)点C到直线AB的距离是多少？你能求出来吗？
解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)
过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得．
答案：(1)点A到直线BC的距离是3，点B到直线AC的距离是4；
(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.三角形ABC的面积＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，所以CD＝.所以点C到直线AB的距离为.方法总结：点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离．
【随堂检测】
1.如图所示，修一条路将A，B两村庄与公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．
解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．
答案：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．
方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．
设计意图：通过学生练习，使教师及时了解学生对知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．
【课堂小结】
1．垂线的概念
两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
4．点到直线的距离
设计意图：将本节课所学的知识点进行集中的梳理，归纳总结出本节课的重点知识．
【板书设计】
10.1
相交线
第2课时 垂线及其性质
1．垂线的概念
两条直线相交所成的4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2．垂线的作法
3．垂线的性质
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．
在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．
4．点到直线的距离
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