【精编整理】江苏省泰州市2021-2022学年中考数学模仿试题（二模）
（原卷版）
一、选一选（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合标题要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的地位上）
1.在－4，－6，0，2四个数中，最小的实数是（）
A.－6
B.－4
C.0
D.2
2.下列各运算中，计算正确的是（）
A
4a2﹣2a2=2
B.（a2）3=a5
C.a3•a6=a9
D.（3a）2=6a2
3.在下列平面图形中，既是轴对称图形又是对称图形是（）
A.B.C.D.4.如图，是由相反小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）
A.B.C.D.5.一组数据1，2，4，x，6，8的众数是1，则这组数据的中位数是（）
A.2
B.3
C.4
D.6
6.当x=m和n（m A << B.>> C.>> D.>> 二、填 空 题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应地位上） 7.|-3|=_________ 8.泰州市2017年完成地区生产总值约为4745亿元，增长8.2%，增速居全省首位，其中的4745用科学记数法表示为___ ． 9.已知a﹣3b=3，则6b+2（4﹣a）的值是_____． 10.“任意打开一本100页的书，正好是第30页”，这是__（选填“随机”或“必然”或“不可能”）． 11.如图，AB∥CD，AF＝EF，若∠C＝62°，则∠A＝___度． 12.已知一个圆锥形的零件的母线长为5cm，底面半径为3cm，则这个圆锥形的零件的侧面积为___cm2．（用π表示）． 13.设a、b是方程x2+x-2018=0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为________． 14.某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米． 15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=5．若DE是△ABC的中位线，延伸DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，且DF=9，则CE的长为___． 16.如图点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接DE、AF相交于P点，作PN⊥CD于N点，PM⊥BC于M点，连接MN，则MN长的最小值为__． 三、解 答 题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字阐明、证明过程或演算步骤） 17.（1）计算：+(－)－1×sin45°+30 （2）解分式方程： +=1.18.某校为了解九年级先生体育测试情况，以九年级（1）班先生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你图中所给信息解答下列成绩： （阐明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下） （1）请求出样本中D级的先生人数，并把条形统计图补充残缺； （2）若该校九年级有500名先生，请你用此样本估计体育测试中75~100分的先生人数． 19.一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相反． （1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？ （2）搅匀后从中摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀再次摸出一个球，记下颜色，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率． 20.如图在△ABC中，∠ABC=90°． （1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作 图痕迹）； （2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长． 21.如图，直线AB：y=−x−b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB∶OC=3∶1． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC函数关系式； （3）若点P（m，2）在△ABC的内部，求m的取值范围． 22.某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产，预备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 设每周生产空调器x台、彩电y台、冰箱z台． （1）用含z的代数式分别表示出x与y的值，请写出求解过程； （2）每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值？产值是多少？（以千元为单位） 23.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的延伸线交于点E，且ED∥BC，连接AD交BC于点F． （1）求证：∠BAD=∠DAE； （2）若DF=，AD=5，求⊙O的半径． 24.在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．作AP⊥AB，交BC于P点． （1）如图1，若AB=3，求BC的长； （2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE． ①如图2，当点E落在AC边上时，求证：CE=2BD； ②如图3，当AD⊥BC时，直接写出的值． 25.如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点． （1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标； （3）当△ABC为等边三角形时，点C坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式． 26.如图，抛物线T1：y=－x2－2x+3，T2：y=x2－2x+5，其中抛物线T1与x 轴交于A、B两点，与y轴交于C点．P点是x轴上一个动点，过P点并且垂直于x轴的直线与抛物线T1和T2分别相交于N、M两点．设P点的横坐标为t． （1）用含t的代数式表示线段MN的长；当t为何值时，线段MN有最小值，并求出此最小值； （2）随着P点运动，P、M、N三点的地位也发生变化．问当t何值时，其中一点是另外两点连接线段的中点？ （3）将抛物线T1平移，A点的对应点为A＇(m－3，n)，其中≤m≤，且平移后的抛物线仍C点，求平移后抛物线顶点所能达到的点的坐标． 【精编整理】江苏省泰州市2021-2022学年中考数学模仿试题（二模） （解析版） 一、选一选（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合标题要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的地位上） 1.在－4，－6，0，2四个数中，最小的实数是（） A.－6 B.－4 C.0 D.2 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】根据实数的大小比较法则，负数大于0，0大于负数，两个负数相比，值大的反而小进行比较即可得.【详解】在－4，－6，0，2四个数中，2是负数，-4、-6是负数，|-4|=4，|-6|=6，4<6，所以有：-6<-4<0<2，即最小的数是-6，故选A.【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键.2.下列各运算中，计算正确的是（） A.4a2﹣2a2=2 B.（a2）3=a5 C.a3•a6=a9 D.（3a）2=6a2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：A、合并同类项，系数相加字母部分不变，故A错误； B、幂的乘方，底数不变指数相乘，故B错误； C、同底数幂相乘，底数不变指数相加，故C正确； D、3的平方是9，故D错误； 故选C． 考点：1、幂的乘方与积的乘方；2、合并同类项；3、同底数幂的乘法． 3.在下列平面图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是（） A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【详解】【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念逐一进行判断即可得.【详解】A、是轴对称图形，不是对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形也是对称图形，故符合题意； C、是对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，不是对称图形，故不符合题意，故选B.【点睛】掌握好对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻觅对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，对称图形是要寻觅对称，图形旋转180°后与原图形重合.4.如图，是由相反小正方体组成的立体图形，它的主视图为（） A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看可得到共有4列，每一列小正方形的个数从左到右依次为3、1、1、2，观察只要D选项符合，故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，纯熟掌握主视图是从物体的正面看得到的图形是解题的关键． 5.一组数据1，2，4，x，6，8的众数是1，则这组数据的中位数是（） A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】先根据众数的概念确定出x的值，再根据中位数的概念进行确定即可得.【详解】∵一组数据1，2，4，x，6，8的众数是1，∴x=1，∴这组数据从小到大排序为：1，1，2，4，6，8，∴中位数为：=3，故选B.【点睛】本题次要考查了众数与中位数意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新陈列后，最两头的那个数（最两头两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数，难度适中． 6.当x=m和n（m A.<< B.>> C.>> D.>> 【答案】D 【解析】 【详解】【分析】令y= x2－4x+3，先找出二次函数y=x2-4x+3=（x-2）2-1的对称轴为x=2，再由已知确定出m+n=4，再根据二次函数的性质进行比较即可.【详解】令y= x2－4x+3，则有二次函数y=x2-4x+3=（x-2）2-1的对称轴为x=2，∵当x=m和n（m 空 题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应地位上） 7.|-3|=_________ 【答案】3 【解析】 【详解】分析：根据负数的值等于这个数的相反数，即可得出答案． 解答：解：|-3|=3． 故答案为3． 8.泰州市2017年完成地区生产总值约为4745亿元，增长8.2%，增速居全省首位，其中的4745用科学记数法表示为___ ． 【答案】4.745×103 【解析】 【详解】【分析】科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数，按此方式把所给的数表示出来即可.【详解】确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的值与小数点挪动的位数相反．当原数值>1时，n是负数；当原数的值<1时，n是负数，4745=4.745×103，故答案为 4.745×103.【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示方式为a×10n的方式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 9.已知a﹣3b=3，则6b+2（4﹣a）的值是_____． 【答案】2 【解析】 【详解】【分析】把所求的式子去括号后，进行整理，然后将a-3b作为一个全体代入进行求值即可.【详解】∵a-3b=3，∴-2(a-3b)=-6，∴6b+2(4-a)=6b+8-2a=-2（a-3b）+8=-6+8=2，故答案为2.【点睛】本题考查了代数式的求值，利用了“全体代入法”求代数式的值． 10.“任意打开一本100页的书，正好是第30页”，这是__（选填“随机”或“必然”或“不可能”）． 【答案】随机 【解析】 【详解】【分析】根据不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的，可得答案． 【详解】任意打开一本100页的书，正好是第30页，这个可能发生，也可能不发生，因此这个是随机，故答案为随机.【点睛】考查了随机，处理本题需求正确理解必然、不可能、随机的概念．必然指在一定条件下一定发生的．不可能是指在一定条件下，一定不发生的．不确定即随机是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的． 11.如图，AB∥CD，AF＝EF，若∠C＝62°，则∠A＝___度． 【答案】31 【解析】 【详解】【分析】根据AF=EF，可得∠A=∠E，再根据平行线性质可得∠EFB=∠C=62°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得∠EFB=∠A+∠E，从而可得∠A=31°.【详解】∵AF=EF，∴∠A=∠E，∵AB//CD，∴∠EFB=∠C=62°，∵∠EFB是△AEF的外角，∴∠EFB=∠A+∠E，∴∠A=31°，故答案为31.【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，纯熟掌握各性质是解题的关键.12.已知一个圆锥形的零件的母线长为5cm，底面半径为3cm，则这个圆锥形的零件的侧面积为___cm2．（用π表示）． 【答案】15π 【解析】 【详解】【分析】根据圆锥的侧面积公式进行求解即可得.【详解】依题意知母线长l为5cm，底面半径r=3cm，则由圆锥侧面积公式得： S=πrl=π×3×5=15π（cm2），故答案为15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键.13.设a、b是方程x2+x-2018=0的两个不等的实根，则a2+2a+b的值为________． 【答案】2017 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2018、a+b=-1，将其代入a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）中即可求出结论． 【详解】∵a，b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，∴a2+a=2018，a+b=-1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2018-1=2017． 故答案为2017.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=2018、a+b=-1是解题的关键． 14.某人沿着坡度为1:3的山坡向上走了200m，则他升高了________米． 【答案】20 【解析】 【详解】【分析】根据坡度等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了xm，则程度距离为3xm，再根据勾股定理求得答案． 【详解】设升高了xm，根据坡比为1：3，则可得程度距离为3xm，∴由勾股定理得x2+（3x）2=2002，解得x=20，故答案为20． 【点睛】本题考查了解直角三角形的运用，坡度坡角成绩，纯熟掌握坡比等于坡角的正切是解题的关键.15.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=5．若DE是△ABC的中位线，延伸DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，且DF=9，则CE的长为___． 【答案】6.5 【解析】 【详解】【分析】根据DE是△ABC的中位线，可得DE//BC，DE=BC，再由CF平分∠ACM可推得EC=EF，根据DF以及BC的长即可求得CE的长.【详解】∵DE是△ABC的中位线，∴DE//BC,DE=BC=5=2.5，∵DF=9，∴EF=DF-DE=9-2.5=6.5，∵CF平分∠ACM，∴∠ECF=∠FCM，∵DF//BC，∴∠EFC=∠FCM，∴∠DFC=∠ECF，∴CE=EF=6.5，故答案为6.5.【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用三角形中位线定理、掌握等腰三角形的判定与性质.16.如图点E、F分别是边长为2的正方形ABCD边BC、CD上的动点，且BE=CF，连接DE、AF相交于P点，作PN⊥CD于N点，PM⊥BC于M点，连接MN，则MN长的最小值为__． 【答案】 【解析】 【详解】【分析】连接CP，由题意易得四边形PMCN是矩形，从而有PC=MN，由正方形的性质及条件可判断△ADF≌△DCE，从而可得∠DAP=∠EDC，根据∠EDC+∠ADP=∠ADC=90°，可得∠DAP+∠ADP=90°，从而有∠APD=90°，继而可知点P的路径是一段以AD为直径的圆弧，设AD的中点为O，连接CO交弧于点P，此时CP的长度最小，求出CO、PO的长度，即可求出CP的最小值，即MN的最小值.【详解】连接CP，∵∠PNC=∠PMC=∠C=90°，∴四边形PMCN是矩形，∴PC=MN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=BC=CD，又∵BE=CF，∴EC=FD，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAP=∠EDC，∵∠EDC+∠ADP=∠ADC=90°，∴∠DAP+∠ADP=90°，∴∠APD=90°，∵在运动过程中∠APD=90°保持不变，∴点P的路径是一段以AD为直径的圆弧，设AD的中点为O，连接CO交弧于点P，此时CP的长度最小，即MN长度的最小值，∵∠APD=90°，OAD中点，∴PO=OD=AD=1，在Rt△COD中，CO=，∴CP=CO-OP=-1，即MN长的最小值是-1，故答案为-1，【点睛】本题为四边形的综合运用，涉及到全等三角形，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，确定出点P的运动路径，从而得出什么时分CP有最小值是处理本题的关键，本题考查知识较多，综合性较强，难度较大.三、解 答 题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字阐明、证明过程或演算步骤） 17.（1）计算：+(－)－1×sin45°+30 （2）解分式方程： +=1.【答案】（1）1（2）1 【解析】 【详解】【分析】（1）分别进行分母有理化、负指数幂的计算、角的三角函数值、0次幂的计算，然后再按顺序进行计算即可； （2）两边同乘（x-2）(x+2)，化为整式方程，解整式方程后进行检验即可得.【详解】（1）原式=-2×+1=1； （2）两边同时乘以（x-2）(x+2)，得 x(x+2)+6(x-2)=（x-2）(x+2)，解得：x=1，检验：当x=1时，（x-2）(x+2)≠0，所以x=1是原方程的根，所以方程的解为：x=1.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解分式方程，实数混合运算的关键是要掌握角的三角函数值，负指数幂的运算法则，0次幂的运算法则等，解分式方程时要记得进行检验.18.某校为了解九年级先生体育测试情况，以九年级（1）班先生的体育测试成绩为样本，按A、B、C、D四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你图中所给信息解答下列成绩： （阐明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下） （1）请求出样本中D级的先生人数，并把条形统计图补充残缺； （2）若该校九年级有500名先生，请你用此样本估计体育测试中75~100分的先生人数． 【答案】（1）样本中D的先生人数为5人，补图见解析；（2）估计有330人.【解析】 【详解】【分析】（1）根据A的人数以及所占的百分比可以求得样本人数，然后用样本人数减去A、B、C的人数即可得到D的人数，然后补全图形即可； （2）根据题意用A、B所上比例的和乘以九年级的先生数500即可得.【详解】（1）10÷20%=50（人），50-10-23-12=5（人），即样本中D的先生人数为5人，补图如图所示； （2）500×（20%+46%）=500×66%=330（人），答：估计体育测试中75~100分的先生人数为330人． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，用样本估计总体，比较简单，图形找到相关信息是解题的关键.19.一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其他都相反． （1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？ （2）搅匀后从中摸出一个球，记下颜色，放回后搅匀再次摸出一个球，记下颜色，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】【分析】（1）袋中一共3个球，其中有2个白球，根据概率的公式即可得摸到白球概率； （2）画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】（1）袋子中装有2个白球，1个红球，共3个球，从中摸出一个球，摸到白球的概率是P（一个球是白球）=； （2）树状图如下： ∴一共有9种可能的结果，两次摸出的都是白球的有4种，∴P（两个球都是白球）=． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不反复不遗漏的列出一切可能的结果，合适于两步完成的．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20.如图在△ABC中，∠ABC=90°． （1）用直尺和圆规作AC的垂直平分线交AB于D、交AC于E点（不要求写作法，保留作 图痕迹）； （2）若（1）中AB=4，BC=3，求AD的长． 【答案】（1）图形见解析（2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、C为圆心，以大于AC长为半径画弧，在AC两侧有两个交点，过这两点作直线与AB交于点D，与AC交于点E； （2）连接DC，由DE是AC的垂直平分线，可得DC=AD，在Rt△BCD中，利用勾股定理即可得.【详解】（1）如图所示，DE即为所求； （2）连接DC，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC=AD，∵∠B=90°，∴在Rt△BCD中，CD2 =BD2+BC2，设AD=x，则x2=32+(4－x)2，解得x=，即AD的长为.【点睛】本题考查的是基本作图及勾股定理的运用，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键． 21.如图，直线AB：y=−x−b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB∶OC=3∶1． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的函数关系式； （3）若点P（m，2）在△ABC的内部，求m的取值范围． 【答案】（1）（0，6）；（2）y=3x+6；（3）− 【详解】【分析】(1)直接将点的坐标代入可得；（2）用待定系数法可得；（3）把y=2分别代入直线AB和直线BC的解析式，确定关键点的坐标，图形，从而求出m的取值范围.【详解】（1）将点A（6，0）代入直线AB的解析式可得：0=−6−b，解得：b=−6，∴直线AB的解析式为y=−x+6，∴B点坐标为（0，6）.（2）∵OB∶OC=3∶1，∴OC=2，∴点C的坐标为（−2，0），设BC的解析式是y=kx+6，则0=−2k+6，解得：k=3，∴直线BC的解析式是：y=3x+6.（3）把y=2代入y=−x+6得x=4；把y=2代入y=3x+6中得x=，图象可知m的取值范围是． 故正确答案为：（1）（0，6）；（2）y=3x+6；（3）− 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 设每周生产空调器x台、彩电y台、冰箱z台． （1）用含z的代数式分别表示出x与y的值，请写出求解过程； （2）每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值？产值多少？（以千元为单位） 【答案】（1）x=z，y=360－z（2）当z=60时，w为1050千元．每周应生产空调器30台、彩电270台、冰箱60台 【解析】 【详解】【分析】（1）每周生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，根据每周按120个工时计算，生产空调器、彩电、冰箱共360台，即可建立三元方程组，将z看作已知数，解方程组即可得； （2）设总产值为w千元，则总产值w=4x+3y+2z=1080-，由于每周冰箱至少生产60台，即z≥60，根据函数的性质即可确定出w的值，即可求得具体的x，y，z的值． 【详解】（1）由题意得：x+y+z=360，++=120，解得x=，y=360－； （2）设总产值为w千元，则w=4x+3y+2z=1080-，其中z≥60，由于－<0，所以w随z的增大而减小，所以当z=60时，w为1050千元，z=60时，x==30，y=360－=270，答：每周应生产空调器30台、彩电270台、冰箱60台才能使产值，产值是1050千元.【点睛】本题考查了函数的运用，正确得出总产值与产量间的关系式是解题的关键.23.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D在⊙O上，过点D作⊙O的切线与AC的延伸线交于点E，且ED∥BC，连接AD交BC于点F． （1）求证：∠BAD=∠DAE； （2）若DF=，AD=5，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明见解析（2）3 【解析】 【详解】【分析】（1）连接OD，由ED为⊙O的切线，根据切线的性质得到OD⊥ED，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据平行线的判定和性质得到角之间的关系，又由于OA=OD，得到∠BAD=∠ADO，推出结论∠BAD=∠DAE； （2）连接BD，得到∠ADB=90°，证明△DBF∽△DAB，可得=，从而得BD2=DF•AD=×5=11，在Rt△ADB中，利用勾股定理求得AB=6，即可得⊙O的半径为3.【详解】（1）连接OD，∵ED为⊙O的切线，∴OD⊥ED，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC∥ED，∴∠ACB=∠E=∠EDO=90°，∴AE∥OD，∴∠DAE=∠ADO，∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO，∴∠BAD=∠DAE； （2）连接BD，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=∠DAE=∠CBD，∠ADB=∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴=，∴BD2=DF×AD=×5=11，在Rt△ADB中，AB==6，∴⊙O的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的性质、类似三角形的判定与性质等，图形、已知条件恰当地添加辅助线是解题的关键.24.在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°．作AP⊥AB，交BC于P点． （1）如图1，若AB=3，求BC的长； （2）点D是BC边上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE． ①如图2，当点E落在AC边上时，求证：CE=2BD； ②如图3，当AD⊥BC时，直接写出的值． 【答案】（1）3+3（2）①CE=2BD② 【解析】 【详解】【分析】（1）过点A作AH⊥BC于H，在Rt△AHB中，求出BH的长，在Rt△AHC中，求出CH的长即可得； （2）①连接PE，证明△ABD≌△APE，从而可以推导得出∠EPC=90°，再根据∠C=30°，即可得CE=2PE=2BD； ②如图，连接PE，根据已知条件可得四边形ADPE是正方形，设AD=m，则有BD=PD=EP=m，CP=CD-PD=（-1）m，利用勾股定理分别求出AB2=2m2，CE2= 5m2-2m2，即可得.【详解】（1）过点A作AH⊥BC于H，∴∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△AHB中，∵AB=3，∠B=45°，∴BH=ABco=3，AH=ABsi=3，在Rt△AHC中，∵∠C=30°，∴AC=2AH=6，CH=ACcosC=3，∴BC=BH+CH=3+3； （2）①连接PE，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，∴AE=AD，∠DAE=90°，∵∠BAP=90°，∠B=45°，∴∠APB=45°=∠B，∴AP=AB，∴∠BAD=∠PAE，∴△ABD≌△APE，∴BD=PE，∠B=∠APE=45°，∴∠EPB=∠EPC=90°，∵∠C=30°，∴CE=2PE，∴CE=2BD； ②如图，连接PE，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，∴AE=AD，∠DAE=90°，∵∠BAP=90°，∠B=45°，∴∠APB=45°=∠B，∴AP=AB，∴∠BAD=∠PAE，∴△ABD≌△APE，∴BD=PE，∠B=∠APE=45°，∠AEP=∠ADB=90°，∴∠EPB=∠EPC=90°，∴四边形ADPE是正方形，设AD=m，则有BD=PD=EP=m，CD==m，CP=CD-PD=（-1）m，∴AB2=AD2+BD2=2m2，CE2=PE2+CP2=5m2-2m2，∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形的运用等，精确添加辅助线是解题的关键.25.如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点． （1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标； （3）当△ABC为等边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式． 【答案】（1）-2；（2）（-3，-2）；（3）mn=18.【解析】 【详解】【分析】（1）直接把A点坐标代入反比例函数解析式即可得； （2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，可证得△ADO≌△OEC，由y=－x和y=－解得x＝±2，y＝±3，从而可得A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，从而可得C（-3，-2）； （3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，可得△ADO∽△OEC，根据类似三角形的性质进行推导即可得.【详解】（1）把（a，3）代入=－，得，解得a=－2； （2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－x和y=－解得，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）； （3）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE⊥y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，∵△ABC为等边三角形，∴CA=CB，∠ACB=60°，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，∴△ADO∽△OEC，∴，∵∠ACO=∠ACB=30°，∠AOC=90°，∴，∵C的坐标为（m，n），∴CE=-m，OE=-n，∴AD=－n，OD=－m，∴A（n，－m），代入y=－中，得mn=18.【点睛】本题考查了反比例函数与函数的综合，涉及到全等三角形的判定与性质、类似三角形的判定与性质等，根据题意图形添加正确的辅助线是解题的关键.26.如图，抛物线T1：y=－x2－2x+3，T2：y=x2－2x+5，其中抛物线T1与x 轴交于A、B两点，与y轴交于C点．P点是x轴上一个动点，过P点并且垂直于x轴的直线与抛物线T1和T2分别相交于N、M两点．设P点的横坐标为t． （1）用含t的代数式表示线段MN的长；当t为何值时，线段MN有最小值，并求出此最小值； （2）随着P点运动，P、M、N三点的地位也发生变化．问当t何值时，其中一点是另外两点连接线段的中点？ （3）将抛物线T1平移，A点的对应点为A＇(m－3，n)，其中≤m≤，且平移后的抛物线仍C点，求平移后抛物线顶点所能达到的点的坐标． 【答案】（1）当t=0时，MN有最小值为2（2）当t为或-1或2时，P、M、N三点其中一点是另外两点连接线段的中点（3）(，) 【解析】 【详解】【分析】（1）分别表示出点M、N的坐标，从而可得MN=＝2t2+2，即可得到MN的最小值； （2）P、M、N三点中一点为另外两点连接线段的中点，分情况进行讨论即可得； （3）根据抛物线平移后点A的对应点的坐标，可得平移的规律，从而可得平移后的解析式，将点C坐标代入再根据m的取值范围即可得.【详解】（1）由题意可得M(t，t2－2t+5)，N(t，－t2－2t+3)，∴MN= t2－2t+5－（－t2－2t+3）＝2t2+2，∴当t=0时，MN有最小值为2； （2）当N点是线段MP的中点时，MN=NP，2t2+2=－t2－2t+3，解得：t1=－1，t2=； 当P点是线段MN的中点时，MP=NP，t2－2t+5=－(－t2－2t+3)，解得t=2； M点不可能是线段PN的中点，所以当t为或-1或2时，P、M、N三点其中一点是另外两点连接线段的中点； （3）由于y=－x2－2x+3=－(x+1)2+4，所以顶点坐标为(－1，4)，由于A(－3，0)平移后的对应点为A＇(m－3，n)，所以顶点(－1，4)的对应点为(－1＋m，4＋n)，所以平移后的抛物线为y=－(x+1－m)2+4+n，将C（0，3)代入得：3=－(1－m)2+4+n，所以4＋n=3+(m－1)2，又由于≤m≤，∴当m=时，4＋n有值为，此时顶点坐标为(，).即：平移后抛物线顶点所能达到的点的坐标为(，).【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数的最值，二次函数的平移，线段的中点等，纯熟运用所学知识并且能针对具体成绩进行分类讨论是解题的关键.
点击咨询