有理数基础知识
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数
正数：比0大的数
0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“
没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
⑵按正、负来分
正整数
正整数
整数
0
正有理数
负整数
正分数
有理数
有理数
0
（0不能忽视）
正分数
负整数
分数
负有理数
负分数
负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶0的绝对值是0.可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=a；
②如果a<0，那么|a|=-a；
③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═>
|a|=a
（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═>
|a|=-a
（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0
<═>
|a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时，|a|=a；
②当a≤0时，|a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b>0时，a+b>a
⑵当b<0时，a+b ⑶当b=0时，a+b=a 4.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 5.有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和” ②按运算意义读作“负8减7减6加5” 6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） --+-+- 原式=(--)+(-+)+(+-) =-1+0- =-1 Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） (+0.125)-(-3)+(-3)-(-10)-(+1.25) 原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) =+3-3+10-1 =(3-1)+(-3)+10 =2-3+10 =-3+13 =10 Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -3+10-12+4 原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) =-1++ =-1++ Ⅵ.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69 原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69) =0 Ⅶ.先拆项后结合（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 有理数的乘除法 1.有理数的乘法法则 法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） 法则二：任何数同0相乘，都得0； 法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.2.倒数 乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 注意：①0没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。 3.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab)c=a(bc).⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。即a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 （1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。 （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 （2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 有理数的乘方 1.乘方的概念 求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，a 叫做底数，n 叫做指数。 2.乘方的性质 （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。 （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。 有理数的混合运算 做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法。
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