云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学下册《6.5 三角形内角和定理的证明》教学设计 北师大版

第一篇：云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学下册《6.5 三角形内角和定理的证明》教学设计 北师大版

三角形内角和定理的证明

一、内容及其分析

1、教学内容：三角形的内角和。

2、内容分析：

本节课要学的内容是《三角形内角和定理的证明》，指得是利用平行线的相关知识来推导三角形内角和定理的证明及简单应用。理解它关键是探求证明思路及写出证明过程。学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的。通过上一节课的学习，学生对于简单几何证明是比较熟悉的，他们已经具有初步的几何意识，形成了一定的逻辑思维能力和推理能力，本节课安排《三角形内角和定理的证明》旨在利用平行线的相关知识来推导出新的定理以及灵活运用新的定理解决相关问题。三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础。而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理。教学的重点是三角形内角和定理的证明及应用。

二、目标及其分析

（一）教学目标

（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。（2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

（二）内容分析

1.掌握三角形内角和定理的证明，是指不仅从内容上知道，还要明白其来历；能够结合相关条件，由已知的公理和定理证明，并写出每一步的因果关系。

2.灵活运用三角形内角和定理解决相关问题，就是是指结合具体事例，从它们的表示形式上、结合其图像或性质，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程或解答过程。

三、问题诊断分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是三角形内角和定理的应用，主要有两个方面：计算角度的大小，判断三角形的形状；证明角的相等关系。原因是在应用过程中，同学必须记住一些常见的基本图形特点和相关定理。要解决这一问题，关键是理解定理的推理过程，在证明题时每一步都注明用到的公理或定理，加强练习，从而克服可能遇到的困难。

四、教学过程

0问题1：我们知道三角形的内角和等于180，还记得这个结论的探索过程吗？ 根据前面给出的公理和定理，你能用严谨的推理来论证三角形内角和定理？ 看哪个同学想的方法最多？

设计意图：用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。

师生活动：添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。方法一：过A点作DE∥BC

∵DE∥BC

∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°

∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

∵CE∥BA

∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD=180°

∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代换)

例1：已知：△ABC中，∠C＝∠B＝2∠A。

(1)求∠B的度数；

(2)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。

变式练习：1.△ABC中可以有3个锐角吗？3个直角呢？2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

2．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝？ 3．∠A＝50°，∠B＝∠C，则△ABC中∠B＝？

4．三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角。5．任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角。6．三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？

设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏．

师生活动：同学独立完成，请部分同学上黑板做，无论对错，要求同学言必有据。五.课堂小结

证明三角形内角和定理有哪几种方法？辅助线的作法技巧；三角形内角和定理的简单应用。

第二篇：云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学上册《2.3 立方根》教学设计 北师大版

立方根

一、教学内容与分析：

（一）内容：探索立方根的概念、计算和简单性质．

（二）分析：本节的重点是立方根的概念及计算．主要是通过对立方根与平方根的比较与归类，探索立方根的概念、计算和简单性质．（如知道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根运算，掌握求一个数的立方根的方法和技巧）

二、教学目标与分析：

（一）目标：

1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．

2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算． 3．了解立方根的性质． 4．区分立方根与平方根的不同．

（二）分析：．经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根的一些基本方法和策略．在学习了平方根的基础上，用类比的方法学习立方根的有关知识。

三、教学支持条件分析：

四、问题诊断分析：本节中学生可能出现的问题是平方根与立方根的区别。所以在教学中应强调一个数总有立方根，但未必总有平方根，只有非负数才有平方根。

五、教学过程：

（一）复习引入、类比学习提问：

（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a（a≥0）的平方根?（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？

（3）平方和开平方运算有何关系？

（4）算术平方根和平方根有何区别和联系？

强调：一个正数的平方根有两个，且互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根是0.（5）为了前面场景的问题中，需要引出一个新的运算，你将如何定义这个新运算？ 1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）.32．一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a,那么这个数x就叫做a的立方根（cube root, 也 叫做三次方根）．如：2是8的立方根，－3是－27的立方根，0是0的立方根．

（三）初步探究

1、做一做：怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

（）＝－（）＝0.001 ；（2）（1）

2、议一议：（1）正数有几个立方根？（2）0有几个立方根

33273（）＝0.；（3）

641

（3）负数呢？

（1）每个数a都只有一个立方根，记为“3a”，读作“三次根号a”．例如x=7时，x是7

3的立方根，即37=x；与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“±”符号，但根指数3不能省略．

（2）正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．

（3）求一个数a的立方根的运算叫做开立方(extrction of cubic root), 其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．

（三）巩固练习

例1求下列各数的立方根：

（1）－27；（2）383 ；（3）3 ；（4）0.216 ；（5）－5.1258（－3）＝－27，所以－27的立方根是－3，即3－27＝－3； 解：（1）因为828282（2）因为，所以的立方根是，即3＝；

125512555125（）＝（3）因为333232733333＝3，所以3的立方根是，即33＝； 888282（0.6）＝0.216，所以0.216的立方根是0.6，即30.216（4）因为＝0.6；

（5）－5的立方根是3－5.例2 求下列各式的值：

（1）38;（2）30.064;（3）338；（4）12539．

33解：（1）38=322；（2）30.064=30.40.4；

282（3）3=3；（4）

51255

（四）环节：深入探究

想一想：

（1）3a表示a的立方根，那么

39=9．

33a等于什么？

333a3呢？

（2）3－a与－3a有何关系？

六、课时小结：

1、提问通过本节课的学习你学到了哪些知识？归纳、总结学生的回答，得出下列内容： 1．了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数的立方根．

2．在学习中应注意以下5点：

（1）符号3a中根指数“3”不能省略；

（2）对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；

（3）平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

（4）灵活运用公式：(3a)=a, 3a3a，3－a=－3a；（5）立方与开立方也互为逆运算．我们也可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根．

七、目标检测：

1、求下列各数的立方根：30.125；364；

2、课本P46随堂练习

364；353； 3163.－

第三篇：云南省昆明市艺卓高级中学八年级数学下册《2.3 运用公式法》教学设计 北师大版

运用公式法

一、教学内容与分析

1、教学内容：运用平方差公式分解因式

2、内容分析：本节是因式分解的第3小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历通过整式乘法的平方差公式的逆向运用得出因式分解的平方差公式的过程，发展学生的观察能力和逆向思维能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。初学者往往不会根据一个多项式的特点灵活的选择一个公式，所以分两个课时在处理公式法分解因式。

二、目标与分析

1、教学目标：会用平方差公式进行因式分解

2、目标分析：（1）学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

（2）在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法．

三、问题诊断分析

可能有些学生平方差公式掌握得不是很好，造成用平方差公式分解的时候出现错误，或者是滥用公式。教师要注意让学生认清平方差公式使用的形式。另外学生理解当公式中的a和b为多项式的时候可能会有困难。

四、教学过程分析 第一环节 练一练 问题1：填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根据上面式子填空：

22（1）9m–4n= ；

22（2）16x–y= ；

2（3）x–9= ；

2（4）1–4x= ．

设计意图：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

师生活动：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，所以第一题很快可以回答，但是第二题会出现困难，所以教师要学生通过观察与对比，得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系，然后完成填空。第二环节 想一想

问题2：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？

22结论：a–b=（a+b）（a–b）

设计意图：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平1

方差公式的特征．

师生活动：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成，可以让学生发言后教师再加以纠正。

第四环节 议一议

问题4：将下列各式因式分解：

223（1）9（x–y）–（x+y）（2）2x–8x 设计意图：

22（1）让学生理解在平方差公式a–b=（a+b）（a–b）中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，向学生渗透换元的思想方法；

（2）使学生清楚地知道提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式． 师生活动：在教师的引导下，首先把多项式的两项写成二次幂的形式，把底数说出来，在教师引导下学生能逐步理解平方差公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，最后让学生回答结果。

第五环节 反馈练习

1、判断正误：（1）x+y=（x+y）(x–y)()22（2）–x+y=–（x+y）(x–y)()22（3）x–y=（x+y）(x–y)()22（4）–x–y=–（x+y）(x–y)()

2、把下列各式因式分解：

222（1）4–m（2）9m–4n

22222（3）ab－m（4）(m－a)－(n＋b)

443（5）–16x＋81y（6）3xy–12xy

3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示

剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．

a设计意图：通过学生的反馈练习，使教师能全面 了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差

公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教b师能及时地进行查缺补漏．

师生活动：给出一定时间后请学生回答，在回答问题时要学生说出将多项式写成哪两个幂的形式，或者让学生上台板演。在实际应用中，可能部分学生对于第3题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，利用计算器硬生生地计算出来，教师要指出这种方法的不当。第六环节 学生反思，课堂小结

从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？ 学生可能认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式； 只要学生能够用自己的话说出即可，没有说出的教师加以补充。

第四篇：八年级数学下册《 三角形内角和定理的证明》教案 北师大版

第六课时 6.5 三角形内角和定理的证明

教学目标

1、知识与技能目标

（1）掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。（2）灵活运用三角形内角和定理解决相关问题。

2、过程与方法

用多种方法证明三角形定理，培养一题多解的能力

1、情感与态度目标

对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用． 教学重点：掌握定理证明的方法 教学难点:添加辅助线 教学准备：多媒体课件 教学过程：

第一环节：情境引入

活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果

（1）（2）（3）（4）

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

第二环节：探索新知 活动内容：

① 用严谨的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？

A D A

E

E B B C

C

D

方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)第三环节：反馈练习活动内容：

（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

(a)求∠B的度数；

(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？

第四环节：课堂小结 活动内容：

① 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ ② 辅助线的作法技巧.③ 三角形内角和定理的简单应用.第五环节：布置作业

1、第239页随堂练习；第241页习题6.6第1，2，3题

2、创新设计 板书设计：大屏幕 教学反思

第五篇：《三角形内角和定理的证明》教学设计

冀教版七年级下册数学

9.2《三角形内角和外角》

——三角形内角和定理证明教学设计

一．教材分析：

(一)教材的地位和作用：

这节内容是在前面学生对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤演绎证明，旨在让学生从实践操作转移到理性思维上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。

三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，既是今后几何推理的重要依据，又是计算角度的重要方法。教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形了成新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用。

(二)教学目标：

1.知识与技能目标：掌握三角形内角和定理的证明，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。

2.过程与方法目标：

（1）对比过去折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

（2）通过一题多证、一题多变体会思维的多向性。

（3）引导学生应用运动变化的观点认识数学。

3.情感与态度目标：通过一题多证激发学生勇于探索的精神，感悟逻辑推理的价值。

（三）教学重难点：

1.重点：探索证明三角形内角和定理的不同方法

2.难点：应用运动变化的观点认识数学，从拼图过程中发现并正确引入辅助线是本节课的关键。

二．教学方法：引导发现法、尝试探究法。

三．教学过程：

一、创设情景、提出问题：

在小学，我们已经知道三角形内角和是180°，那它是怎么来的呢？你能给出说理吗？

二、探究新知

（一）动手操作、探索解法：

画出一个三角形，并将它的内角剪下，做拼角实验

归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线，为书写证明过程做好铺垫。

（二）议一议，开阔思野：

1.‘搬三个角’的特点：把角‘搬’到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义。

在证明三角形内角和定理时，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗？引导学生思考。

已知：如图，△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：过A点作DE∥BC

C D A E

∵DE∥BC

∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）

∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)

那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢？集中在内部任意一点上呢？外部呢？引导学生开阔思维，大胆探索证明方法。

2.应指出辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。

已知：如图，△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)

四．教学反思 ：C D

本课以撕纸法验证得出“三角形内角和是180°”后，启发学生还可利用添加辅助线的方法去证明三角形内角和定理。

课堂教学充分发挥课件辅助教学的作用，将知识形象化、生动化、具体化。重视数学思想方法的引导，并及时指导归纳总结。

为了突出重点、突破难点，我对教材做了少量的补充和扩展，利用多媒体直观形象、节省时间的特点，动画演示再现学生拼图过程、解题过程，引导学生从动态角度直观地思考问题，帮助学生理解运动变化的观点。