数学高一年级北师大版必修1第二章第四节第2小节二次函数的性质教学设计

第一篇：数学高一年级北师大版必修1第二章第四节第2小节二次函数的性质教学设计

《二次函数的性质》教学设计

【教学内容解析】

本节课《二次函数的性质》是北师大版高中数学必修一第二章第四节第二课时，本节教学课时为两课时．本节是初中所学二次函数图像与性质的再研究，本节是在上一节二次函数图像研究的基础上，通过数形结合对其性质进行再研究。通过对典型函数模型性质的研究为以后进行具体函数的研究做了基础性和工具性的准备。

在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用．因此教材突出数与形的有机结合。本节知识教材设臵较为抽象，教材先对二次函数的一般式给出了抽象的字母形式的配方，然后在a>0时对函数的单调性进行了证明，对学生综合能力要求较高，意即让学生体会研究知识是由具体到抽象的发展过程，本证明教师应把握好分寸，可带领学生尝试完成。教材设臵例题也比较综合，有一定的难度，注重了函数应用思想的渗透，对日常生活中发现的问题，如何用学过的知识描述它、将其抽象成数学建模，从而分析、解决问题。【教学目标设臵】

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：

（1）掌握二次函数的定义域、值域、单调性、最值等性质及图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等。（2）能够借助于具体的二次函数，应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质的方法。

2、过程与方法：

通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法探究二次函数的性质，渗透数形结合的思想，培养学生观察、归纳、再抽象的能力和语言表达能力。

3、情感、态度、价值观

（1）让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；

(2)选用浅显易懂的例子出发，引发学生探求数学知识的欲望，突出学生主观能动性，激发学生的学习兴趣

（3）通过知识的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。【学生学情分析】

学生在初中阶段已对二次函数性质、图像有了初步的认识，会将二次函数的一般式化为顶点式，进入高中又对函数的单调性、二次函数的图像进行了再研究，对以数形结合的方法研究函数的图像，解决具体问题已有一定的意识，这些都为本节知识的学习奠定了基础。课本给出的三个例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。但是作为普通高中的学生，学生整体基础较差，对配方法，解方程、甚至正确画出二次函数的图像大多数同学都存在困难，致使课程进度较慢，教学内容设臵不宜过于抽象，这就要求教学内容应突出基础，重点内容深入浅出。使学生夯实基础、学会方法、不断探究、不断提高。切实激发学生学习兴趣，为以后的学习奠定坚实基础。【教学策略分析】

1、本节课的内容是二次函数性质再的研究之二次函数的性质。教材首先从二次函数的开口、顶点坐标、对称轴、单调区间、最值等五个方面对其性质进行了分析理解，在本设计中首先通过一个具体的函数f(x)＝－2x－4x＋9在以上五个方面的性质，进一步探索一般二次函数的性质，有利于学生对新知识的理解、掌握，同时再一次复习巩固了配方法。由于一般二次函数的单调性证明较抽象，在此处要求学生先课后自学，讨论，另行讲解。这样学生带着问题去思考，而后讲解有利于学生掌握，并降低了难度。接下来研究了一个具体函数的性质，目的一学会做二次函数大致图像的方法（五点作图法），正确的作图有利于问题的正确解决。二通过数形结合研究函数的性质，对函数最值的取得受其距对称轴距离影响等性质获得直观感受。有利于性质的抽象概括。不断强化有利于学生将典型函数的模型印记在脑海之中。最后设计了二次函数在闭区间最值的求法，通过三个典型函数值域

2的求法，抽象出二次函数最值的取得与其对称轴在区间的位臵有关的结论。本题的设计旨在总结规律，渗透数形结合与分类讨论的思想。

2、结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：

（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。【教学过程】

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始通过对二次函数f(x)＝－2x－4x＋9顶点式的回顾，引出本节“我们研究函数主要从哪几个方面来研究呢？ 你能说出函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值吗？”一系列问题，通过之前的学习，学生容易回答。

【设计意图：一方面学生能否准确配方，能否说出该函数的五个基本性质，是对之前所学知识回顾检测，可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方

2面的信息。在学生积极参与教学后，教师再次设问，把问题引向深入。】

你能画出f(x)＝－2(x ＋ 1)＋11的大致图像吗？ 要求学生按照自己画二次函数大致图像的方法独立完成。一学生板演

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出五点法作图的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：“四定点一动点”即五点法作二次函数图像，并演示过程。

（二）师生互动、探究新知

思考：二次函数根据开口方向共分为两类，当系数变为参数是我们应怎样入手

结合图像让学生归纳出f(x)＝ax＋bx＋c在a>0和a<0时的性质 学生：当a>0时，图像开口向上，对称轴为x＝-b/2a,顶点坐标（-b/2a，4ac-b/4a），在区间（-≦，-b/2a]上单调递减，在[-b/2a，+≦）上单调递增，当x＝-b/2a时，函数有最小值，最小值为（4ac-b）/4a.当a<0时，单调性反之，在顶点处取得最大值。

【设计意图：通过前面对具体函数性质的研究，根据图像学生很容易总结出二次函数的性质，再次渗透数形结合思想的优势，使学生易于理解掌握，获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

题型一：二次函数图像的对称性

例

1、已知函数f(x)＝－x＋2x＋3(1)求图像的开口方向，对称轴、顶点坐标，与x轴的交 点坐 标，画出该函数图像。

(2)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(3)若x1

（4）由图象判断x为何值时，f(x)>0，f(x)＝0，f(x)<0.（5）已知f(0)＝3，不计算函数值，求f(2)

222在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师根据学生回答情况做出总结）： 【设计意图：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】 题型二：二次函数的值域（最值）

[例2]（1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x－2x－3的最大和最小值。

(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x－x＋1的最大值和最小值。(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围。思路点拨： 画图像——看顶点——看单调性——求最值 要求学生能正确作出各函数图像，注意区间对图像的影响，进而影响函数值域，教师重点引导学生分析，函数在给定区间有无最值，最值在何处取得？

在分析函数最值时借助课件演示，让学生直观感受，且节约时间。

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：

22对于二次函数f(x)＝a(x-h)＋k(a>0)在[m，n]上的最值(1)找对称轴

(2)判断对称轴与区间的关系后,求最值．

若对称轴x＝h在区间[m，n]左侧。即h﹤m时，f(x)f(n), max =

2f(x)min = f(m)若对称轴x＝h在区间[m，n]右侧。即h>n时，f(x)f(m), max = f(x)min = f(n)若对称轴x＝h在区间[m，n]之间，即m < h< n时, f(x)min

= f(h)= k，f(x)max = ?(分情况讨论，端点m、n哪个距对称轴距离远，最大值将会在该点取得)在得出二次函数在闭区间最值求法的一般性规律后，为了强化对这个规律的认识和理解，教师可以安插几道小练习题。

课堂训练 ：

1.函数f(x)＝2x－6x＋1在区间[－1,1]上的最小值是 ________，最大值是________． ．函数y＝x ＋4ax ＋ 2 在（－ ≦，6] 上是减少的，则实 数a的取值范围是()A．a≥3

B．a≤3 C．a ≥ －3 D ．a≤－3 3 ．已知函数f(x)＝4x-m x＋1，在（－ ≦，－2]上递减的，在[-2, + ≦)上是增加的，则f(x)在 [1,2]上的值域是

22师：求二次函数最值时，应判断开口方向、对称轴与区间的关系，若系数中含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要善于运用数形结合的思想。

【设计意图：学生自主探究、小组讨论、发现知识间的内在联系．教师针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，让学生真正实现知识的迁移，形成较为完整的新的认知体系。鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．】

课时小结

（1）五点作图法作二次函数的图象（2）二次函数性质的研究方法

（3）二次函数在闭区间如何去求值域（以对称轴是否在该区间内为依据分类讨论

作业：

思考：若函数y＝－x－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值

范围是()A．0≤a≤1

B．0≤a≤2 C．－2≤a≤0

D．－1≤a≤0

七、教学反思

21．本节课课堂上通过学生探究、讨论、问答等交流形式，发现其思维过程，恰当地运用一些鼓励性评价手段和方法，肯定学生思维中的有效成分，课堂上通过学生练习检测学生知识掌握情况，及时作出了肯定性评价；通过课后作业与课堂小结及时反馈信息，查漏补缺。让学生从不同的角度去研究二次函数的性质，体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。

3．在教学过程中不断向学生渗透数形结合的研究方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

第二篇：高一数学二次函数教学设计24

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2.5函数、方程与不等式

第一课时

二次函数、二次方程与二次不等式

教学进程

一、问题情景

．初中代数问题：二次函数图象与x轴的位置关系。

画出下列函数的图象，并观察所画的图象与x轴有几个公共点？

y=x2-2x-3

y=x2-2x+1

y=x2-2x+3

2．问题1。在函数y=x2-2x-3的图象上任取一点P,观察当点P在抛物线上移动时,随着点P的横坐标的变化,P的纵坐标有什么变化?

问题2.y=0时，x的取值集合是

y>0时，x的取值集合是

y<0时，x的取值集合是

二、学生活动

要求学生画出函数的图象，引导学生根据图象回答问题.三、数学理论

.问题3.一般地,二次函数y=ax2+bx+c与相应的二次方程与二次不等式有下列关系:

=b2-4ac

0

=0

0

y=ax2+bx+c 的图象

ax2+bx+c=0 的根

ax2+bx+c>0 的解集

ax2+bx+c<0 的解集

2.二次函数y=ax2+bx+c的零点.三、数学应用

.例题

例题1.求下列不等式的解集

3x2+5x<0

4x2-4x+1>0

–x2+2x-3>0

2.练习

求下列不等式的解集

x2-3x-10>0

–3x2+5x-4>0

x>x+1

3.例题2如图是一个二次函数y=f的图象.写出这个二次函数的零点.写出这个二次函数的解析式.确定ff、ff的符号.四、建构数学

问题5

由例题2的图象可以发现零点附近的函数值有什么特点?

问题6

若x0是二次函数y=ax2+bx+c的零点,且m

五、回顾反思

三个二次的关系;

一元二次不等式的解法;

函数f=0的零点概念及其特点.思考题：若方程x2+2mx+3=0的两根都小于1，试求m的取值范围。

六、课外作业

P76、P81.1,2,

第三篇：数学北师大版九年级下册22.2.1《二次函数》教学设计

22.2.1《二次函数》教学设计

一、教学目标：

1、经历根据具体问题的数量关系探索二次函数的模型的过程，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。

2、通过二次函数概念和概括过程，进一步培养学生观察、分析、概括和特化的能力以及准确的运算能力。

3、理解二次函数的概念和解析式。

教学重难点：

重点：二次函数的概念

难点：通过提出问题、建立二次函数的数学模型。

二、学情分析：

九年级学生面临中考的压力大与七八年相比部分学生热情高、主动参与性强，但经过初中两年学生学习、两极分化明显、能力差异较大、整体上不如七八年学生爱积极发言、比较沉默，不过学生在八年级已经学习了一次函数和反比例函数，有了一定的函数基础，因此在教学时，教师一要激发学生的学习兴趣，二要在学生数形结合的思想的培养上，应鼓励学生自主探究，合作交流。

三、教学内容分析：

二次函数是在学习一元二次议程，一次函数等基础上学习的它是一种非常基本的初等函数，也是一种数学建模的方法。二次函数中模型与实际生活紧密相连，学好二次函数，可以解决实际生活中的一些问题，提升学生的数学应用能力，同时也是学好高中数学的奠基过程。

四、教学媒体资源的选择与应用：

学习二次函数，要紧扣数学建模思想努力让学生会从实际问题中获取信息，建立数学，分析问题和解决问题，因此首先以学生感兴趣的实际问题为背景，借助动画Flash的媒体，吸引学生注意力，引发学生对问题的思考建模二次函数，通过合作探究，得出二次函数的概念归纳出二次函数的解析式。

五、教学过程：

一、创设问题情境：

播放Flash《阿凡提智斗财主巴依》

阿克逊湖是牧民的母亲湖牧民世代生活居位在湖边。财主巴依为了征收更多的赋税，逼迫交不出钱的牧民离开阿克逊湖。路过此地阿凡提知道了这件事，决心帮助牧民，教训财主巴依。阿凡提拿出随身携带的珠宝送给财主巴依，请他拾可怜的牧民五张羊皮可以圈住的土地，让他们世代居住。财主巴依想既不是骆驼皮也不是，马皮，小小的五张羊皮能有多大地方。垂涎珠宝的财主一口答应了阿凡提的请求，并且立字为据，请所有牧民作证。

思 考：

1、你知道阿凡提的智谋吗？请向大家介绍。、明确阿凡提把并羊皮撕成，尽可能细的细条，连结成一根长的绳，然后利用湖岸，把细绳与湖岸连成圆形，一下子圈出了很大的一片土地来。牧民们欢呼崔跃，财主吐血而亡。

2、这个故事包含了哪些数学知识？

（1）为什么他们要把羊皮绳围成圆形？

（2）如果利用湖岸，把羊皮绳圈成矩形。假如羊皮绳的长度为1000米，短形的长为X米，矩形的面积为Y平方米，你能用含X的代数式表示Y吗？X的值是否可以任意取？有限定范围吗？

探究*明确：

当矩形的长X的值确定后，矩形的面积Y的值也随随确定，Y 是X的函数。代数式为：

110000＜x＜10000 y?(10000?x)x 23

110000＜x＜10000…… y??x2?500x 23

设计意图：

激发学生学习积极性，初步感受二次函数的模型来自于生活

二、自主学习（PPt显示）

1、正方体的六个面都是 的棱长为x，表面积为y，请思考：

（1）当正方体的棱长确定之后，正方体的表面积是否也随*确定了？y是x的函数吗？

y?6x2(x＞0）

（2）x的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求它的范围。（x的值有能任意取，其范围是x?0）

2、多边形的对角线?与多边形的边数有什么关系？

思考：

（1）如果多边形有几条边，那么它有 个顶点，从一个顶点出发，连结与这个顶点不相邻的各顶点，可以作 条对角线。

（2）对角线的总数是多少？你能用含有n的代数式表示吗？ 1明确：n(n?3)2

（3）当多边形的边数确定之后，多边形的对角线数是否也随之确定了？?是n的函数吗？ 1是函数关系为??n(n?3)(n?3)2

1??n(n?3)(n?3)2

（4）n的值是否可以任意取？如果不能任意取，请求出它的范围。设计意图：

加深学生对函数模型能解决实际问题的认识

三、合作探究

1、仔细观察函数关系式①②③（PPt显示）

110000① y??x2?500x ＜x＜10000 23

② y?6x2（x＞0）

123n?n（n＞0）22 思 考：

（1）函数关系式①②③的自变量各有几个？

（各有一个）

113（2）多项式n2?5000x、6x2、n2?n分别是几次多项式？ 222

（分别是二次多项式）

2、PPt出示二次函数的定义： ③ a?

形如y?ax2?bx?c（a、b、c是常数，a?0）的函数叫做x的二次函数。a叫做二次的系数，b叫做一次项的系数，c叫做常项。

3、思考：

①概念中的二次项的系数a为什么不能是0？b和c可以是0吗？

②如果b和c有一个为0，上面的函数式可改成怎样？你认为它还是二次函数吗？

③如果b和c全为0，上面的函数式可改成怎样？你认为它还是二次函数吗？

④ 由上你认为，一个函数是二次函数，关键是看什么？

设计意图：

突出本课的重点，明确二次函数的特征、掌握二次函数的定义

四、巩固拓展：（PPt显示）

1、下列函数中，哪些是二次函数？（口算）

（1）y?5x?1（2）y?4x2?1（3）y?2x2?3x2

5（4）y?5x4?3x?1（5）y?（6）s?2t4?1t?2 x

x2?3（7）y?12?5x（8）y? 24

2、求m为何值时，函数y?(m?2)xm2?2是二次函数。

3、用20米的篱笆围一个矩形的花圃，美化火车站旁边的空地。假设靠墙的一边长为x，矩形的面积为y，求：

（1）y关于x的函数关系式

（2）当x=3时，矩形的面积为多少？

设计意图：

巩固二次函数解析式的特点，强化二次二数函数的模型能建构并解决实际生活问题

五、课堂小结：（PPt显示）

教学评价及反思：

（1）二次函数的定义：y?ax2?bx?c(a、b、c是常数）

（2）二次函数的特征：

（3）数学建模的方法

1、本课是从阿凡提的故事入手，通过Flash激发学生兴趣，引出对新知识的好奇与思考。

体验用函数思想去描述研究变量之间变化规律的意义，帮助学生建构二次函数的概念。

2、对于学生来说，学习新概念都有一家难度，所以这节课教师不去灌溉输，得出二次函数的特征，掌握二次函数的定义。

3、新知识学生是否掌握教师通过学题来检验，巩固学生数学建模的方法和步骤，掌握二次函数定义和意义为下节课学习二次函数的图象做准备。

第四篇：[初中数学]二次函数的图象和性质教学设计 人教版

《二次函数的图象和性质》教学设计

四、教学目标

根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：

1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够借助于具体的二次函数应用所学知识解决简单的函数问题，理解和掌握从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质和从函数解析式性质去研究函数图象这两种从不同角度研究函数的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。

3、情感、态度、价值观：让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，使学生获得研究函数的规律和方法；培养学生主动学习、合作交流的意识。

五、教学重点与难点

教学重点：使学生掌握二次函数的概念、图象和性质；熟悉从不同的角度研究函数的性质与图象的方法。

教学难点：借助于二次函数的解析式通过配方对函数性质的研究来分析推断二次函数的图象。

六、教学过程：

（一）创设情景、提出问题

本节课一开始我就让学生直接总结出二次函数的性质与图象，并指出如何得到函数的相关性质。学生在初中学习的基础上很容易就完成。就在学生回答后，教

师提出一个让大家意想不到的问题：既然大家已经学习也掌握了二次函数的图象和性质，那我们今天还有必要再重复吗？编者的失误？还是另有用意呢？

【设计意图：一方面可以激发学生学习热情和探索新知的欲望；另一方面也给学生传递一个学习目标方面的信息。在学生感觉很疑惑的时候，教师再次设问，把问题引向深入。】

【学情预设：学生可能很疑惑，或者有一些猜测】 你能独立完成问题2吗？。

问题2:试作出二次函数的图象。

要求学生按照自己处理二次函数的方法独立完成。

【设计意图：充分暴露学生的问题，突出本节课的重要性，激发学生学习的动力。】

【学情预设：一部分学生使用描点法作图；另一部分学生只确定对称轴和开口、只利用对称轴和y轴的交点等不是很规范的方法作图。】

在总结交流的基础上教师指出：有的同学用描点作图的方法作出函数的图象，从方法上没有问题，但是需要描出大量的点才能得到较为准确的图象；有的同学只是找到函数的对称轴判定开口方向就画出一个图象，或者是找到函数的对称轴和y轴的交点确定开口方向就画出函数的图象等等，这种不是很规范的作图方法，感觉很快，但是往往得到的图象不是很准确的，为什么呢？

（学生稍作思考）

师：实质上函数的性质是函数自身特殊对应关系的体现，而体现函数的对应关系的方法有解析式法、图象法和列表法。既然能够用解析式结合图象得到函数的性质，那么能否借助于解析式直接分析其性质，然后推断出图象的特征呢?在推断函数的图象时要考虑函数的哪些主要性质呢？我想这也是今天这节课的意图所

在，如何利用函数性质的研究来推断出较为准确的函数图象，大家是否有兴趣和能力来探讨这个问题呢？

带着这样的问题我带领学生进入下一个环节——师生互动、探究新知。

（二）师生互动、探究新知

在这个环节上，我引用课本所给的例题1请同学们以学习小组为单位尝试完成。

例

1、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：按照解析式----性质----推断函数图象的过程来探讨，【设计意图是：以便于学生在对比中进一步理解函数性质的应用，突破应用函数的性质来推断函数图象这一难点。同时体验分析障碍和获得成功的快乐，激发学生的学习兴趣。】

在学生学习小组的一番探讨后，教师选小组代表做总结发言，要求说出利用解析式得到性质的分析过程。

（其他小组作出补充，教师引导从以下几个方面完善）：

（1）定义域（2）开口方向（3）值域（顶点）及最值（4）对称轴（5）单调性（6）奇偶性（7）零点（8）图象

【设计意图是：让学生在师生互动，共同探讨的过程中逐步实现知识的迁移，基本上形成新的认知。】

【学情预设：因为是第一次尝试利用解析式分析性质并推断图象，学生对于某些性质不能准确的阐述出分析过程，对对称轴的确定、单调区间及单调性的分析等可能存在困难。】

这时教师可以利用对解析式的分析结合多媒体引导学生得到分析的思路和解决的方法，进而突破教学难点。

根据实际情况教师可以引导学生从二次函数的配方结果来分析：（1）单调性的分析：

在=时，自变量越小，中当

就越大，时，就越大，即

取得最小值-2，当就越大；当就越大； 时，自变量越大，就越大，就越大，即这样单调性及单调区间（分界点）自然可以解决，结合单调性的定义可给出严格的证明；同时也可以帮助我们说明开口的方向是向上的。（2）对称性的分析：

在=时，即，=

也就是，则

中当和时，如果

成立。

时，一定有也就是因此可以令成立，这就是说二次函数应的点为对称中心的两个点对应的两个数的自变量在轴上取两个关于-4对和

时，函数值

对称。总是成立的，这就说明函数的图象关于直线在对解析式分析的同时借助于几何画板课件演示，让学生直观感受：

然后在教师的引导之下推广并得出一般结论：如果函数任意都有

成立，则函数

对定义域内的对称。的图象关于直线在得出对称性的一般结论这一副产品后，为了强化对这个结论的认识和理解，教师可以安插一个练习题：

练习：试用以上结论来概括函数___________________________.应该满足的结论是在完成以上各环节后，教师再次提出任务：既然我们把二次函数的相关性质都分析完成，那么根据以上性质请同学们再次分析如何利用二次函数的性质推断出二次函数的图象? 用二次函数的性质推断函数的图象时需要研究分析二次函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

【设计意图是：学生自主探究、小组讨论、发现知识间的内在联系．教师针对学生的讨论，对学生思维上进行恰当的启迪，方法上进行及时的点拨，让学生真正实现知识的迁移，形成较为完整的新的认知体系。鼓励学生积极、主动地探究，以顺利地完成整个探究过程．】

各学习小组再次探讨后，请学习小组代表回答，教师引导完成图象：

在这个过程中，考虑到各学习小组的水平可能有所不同，有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线等问题，教师要说明其实这也是研究函数要考虑的一个重要的性质，是函数的凹凸性，后面我们将要给大家介绍，有兴趣的同学可以阅读课本第110页的探索与研究。

【设计意图是：为后面的探索与研究打下伏笔，同时也给学生留下一个思考与探索的空间，培养学生课外阅读、自主研究的能力，增强学生学习数学的积极性．】

【学情预设：有同学可能提出图象为什么是曲线而不是直线的质疑。】 在得到函数的图象之后，教师再请同学们以学习小组为单位，分析讨论利用二次函数解析式结合图象分析性质和利用解析式分析性质然后推断函数图象的两种研究过程的流程图.学习小组代表回答，教师引导完成以下内容：

【设计意图是：①把具体的数学问题进一步梳理并加以提炼、抽象、概括，使问题得以升华，拓宽学生的思维，形成新的认知。

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论）的有机渗透。】

在学生形成认知的基础上，为了让学生抓住问题的本质，把这种方法真正的内化，拓宽学生的认知结构，教师再次提出问题：

教师提出问题：研究函数（比如今天的二次函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角度研究？特别是：如果用函数的性质推断函数的图象时需要研究分析函数的哪些主要性质才能比较准确地画出图象？

在教师的引导中得出结论：可以根据具体的函数从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

【设计意图是：在教师的组织引导下通过合作交流、共同探索,使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．最终寻求到解决问题的方法。】

（三）独立探究，巩固方法

师：既然通过上面的学习使我们认识到学习研究函数的性质与图象可以从不同的角度完成，那么同学们是否可以按照例1的方法---先分析性质再推断图象来独立完成下一个问题呢？由此将带领学生进入本节课的第三个环节——独立探究，巩固方法，这也是本节课所要突破的一个难点。

例

2、试述二次函数的性质，并作出它的图象。

要求：每位同学都按照从解析式出发、分析研究性质从而推断图象。最后将研究所得到的结论写出来以便交流。

【设计意图：例2在题目的设置上变换二次函数的开口方向，目的是一方面使学生加深对知识的理解，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．学生在例1的基础上从极值点，零点，单调区间，对称性等方面目标明确地研究性质再比较准确的画出图象，使新知得到有效巩固．强化方法的同时训练学生灵活应用的意识和能力。通过自主探索、不仅让学生充当学习的主人更可让学生充分经历知识的形成过程，从而加深每位同学对所得到结论的理解和认识。形成自己对本节课难点的理解和解决策略，培养学生的直觉和感悟能力。让学生上台汇报研究成果，是让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养。】

【学情预设：考虑到各位同学的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别同学可做适当的指导。】

在学生分析解决的过程，教师巡视，帮助有困难的同学，之后进行交流总结。师：下面我们分享各位同学的研究成果!教师选择一些具有代表性的同学上台展示研究成果。对于从解析式、性质推断函数图象的研究，某些同学可能对于某些环节仍有问题，需要老师进一步引导完善。

通过前面几个环节，学生已基本掌握了本节课的相关知识，教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析。但对二次函数的奇偶性的分析，有同学可能提出质疑，教师可利用奇偶性的定义同时借助于几何画板的演示，得出一般性结论。为此我将带领学生体验运用新知识去解决问题的乐趣，进入本节课的下一个环节——强化训练，加深理解。

（四）强化训练，加深理解

例

3、求函数的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？它的奇偶性如何？

学生独立完成，教师最后做出点评分析。

【设计意图是：把教科书的例3进行改变．在教学过程中，利用函数奇偶性的定义，借助于多媒体的演示，引导学生分析函数中的参数b对奇偶性的影响，既解决了学生对二次函数的奇偶性的质疑，也强化了学生对函数的奇偶性的理解及运用，同时也把具体的函数问题推广到一般模式，使学生巩固了新知识，灵活运用了所学知识，培养了学生思维的深刻性和灵活性．】 【学情预设：①首先对于函数的值域、对称轴及单调性的确定问题不会太大；

②对二次函数的奇偶性的分析，有同学可能提出质疑，教师可借助于几何画板演示，得出一般性结论。】

通过本例题的探讨，学生不仅对二次函数的奇偶性有个新的认识，对本节课所强调的借助于函数解析式研究性质进而推断函数图象的研究方法基本内化，同时对函数奇偶性概念也会有更为深刻的理解。本节课的教学目标基本完成，紧接着我将带领学生进入下一个环节----小结归纳，拓展深化

（五）小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下几个方面进行小结：

师：通过本节课的学习，你对二次函数有什么认识？研究二次函数的方法有哪些？你有什么收获？

师生共同总结二次函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

在收获方面教师强调拓展今天所学习的方法实际上是研究函数性质图象的一般方法，对于一些陌生的或较为复杂的函数只要借助于合适的方法得到相关的性质就可以推断出函数的图象。

【设计意图：①让学生再一次复习条理对函数的研究方法（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。】

【学情预设：学生可能只是把二次函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】

（六）布置作业，提高升华

作

业：课本62页习题2．2A组第4、5题。

探究作业：已知抛物线的对称轴

（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；（2）求函数的最值及单调区间。

【设计意图是：作业分层落实.巩固题让学生复习解题思路，完善解题格式，以便举一反三．探究题通过对教材例题的改编,供学有余力的学生自主探索，提高他们分析问题、解决问题的能力．】

七、教学反思

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到二次函数的性质，更

重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用几何画板可以动态地演示出二次函数的系数的动态过程，让学生直观观察系数对二次函数单调性、对称性、奇偶性的影响。

3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

第五篇：北师大版高一数学必修1教案-函数解析式的求法

京翰高考网：http://gaokao.zgjhjy.com/

§2.23函数解析式的求法

教学目标：让学生了解函数解析式的求法。

重点：对f的了解，用多种方法来求函数的解析式

难点：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法等方法的运用。

教学过程

例1.求函数的解析式

(1)f9[（x+1)=, 求f(x);答案：f(x)=x2－x＋1（x≠1）练习1：已知f(+1)= x+2,求f(x)答案：f(x)=x2－1(x≥1)

(2)f(x)= 3x2+1, g(x)= 2x －1 , 求f[g(x)];答案：f[g(x)]＝12x2－12x 练习2：已知：g(x)=x+1,f[g(x)]=2x2+1,求f(x-1)答案：(3)如果函数f(x)满足af(x)+f()=ax,x∈R且x≠0,a为常数，且f 案：f(x)=(x∈R且x≠0)

练习3： 2f(x)－ f(－x)= lg(x+1), 求 f(x).答案：f(x)=lg(x+1)+lg(1－x)例2.已知f(x)是，并且满足-＝2x+17,求f(x).答案：f(x)=2x+7.练习4：已知f(x)且f(x+1))=x +, 求f(x-1)的表达式.3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足f[g(x)]= g[f(x)] 的x的值为多少？

4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)] = 9x+4,求f(x).教后反思：略

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