实际生活中的反比例函数(含教案和单元试题)

第一篇：实际生活中的反比例函数(含教案和单元试题)

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www.xiexiebang.com 实际生活中的反比例函数

教学目标：

知识与技能要求

1.能列反比例函数关系式。

2.能运用反比例函数的性质解释实际问题。

过程与方法要求

1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。

2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。

情感态度与价值观要求

1.积极参与交流，并积极发表意见。

2.体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具。二.重点、难点：

教学重点：

列函数关系式以及利用反比例函数的性质解释实际问题，是本节的重点，也是难点。三.学法指导：

1.要善于发现实际问题中变量之间的关系，进一步建立反比例函数模型。

2.通过本节课的学习，要注意体会数学与现实生活的联系，增强应用意识，认识到数学是解决问题的重要工具。

3.在应用反比例函数的性质解决问题时，要注意变量的取值不能使实际问题失去意义。四.主要内容：

（一）反比例函数的性质：

反比例函数yk（k是常数，k0）

x当k0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限。在每一个象限内，y的值随x值的增大而减小。

当k0时，图象的两个分支分别位于第二、四象限。在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大。

（二）能利用反比例函数及其性质解决实际问题，解释一些生活中的现象，体会数学的价值。

比如：使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

因为在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（Pa）与它的体积V（m3）的乘积是一个常数k。

即pV＝k（k为常数，k>0）

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www.xiexiebang.com 2（2）当S16.mm时

∴当面条粗1.6mm2时面条的总长度为80m。y12880（m）16.3k的图象相交于第一、三

例5.已知正比例函数y=(k+1)x的图象与反比例函数yx象限。

（1）求出满足上述条件的k的整数值。

（2）任取一个你求出的k值，代入两个函数关系式，求出这两个函数的交点坐标。

分析：略

解：（1）y(k1)x与y3k相交于第一、三象限x

k10

3k0

1k3

满足条件的k的整数值为0，1，（2）当k=0时

两个函数的关系式分别是yx，y3x

yx解方程组3yx 

x13得y1 x23y23

函数yx与y

3的两个交点坐标分别是（3，3）（3，3）x

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【模拟试题】

单元测试题

（答题时间：60分钟）

一.选择题：

1.已知点（－5，2）在反比例函数

A.（－5，－2）

C.（2，－5）

2ykx的图象上，下列不在此函数图象上的点是（）

B.（5，－2）

D.（－2，5）

2.如果三角形的面积为5cm，则如图中表示三角形一边a与这边上的高h的函数关系的图象是（）

a a a a O h O h O h O h A B C D

3.已知反比例函数y8上有三点A（x1，2），B（x2，1），C（x3，－3），则下x列关系正确的是（）

A.x1x2x3

C.x2x1x3

二.填空题：

1.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的1，若下底长为x，高为y，则y与x的函

B.x1x2x3 D.x2x1x3

3数关系式是__________________。

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32.现有一水塔，装满水后，每小时放水10m，4小时可以放完，已知放水时间t(h)与每小时放水量x（m）之间的函数关系式为______________，当t=8h时x=_____________。3.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25 米，则眼镜度数y（度）与镜片焦距x（米）之间的函数关系式为__________。4.请在实际生活中找出一个反映反比例函数的例子：__________________。三.解答题：

1.某件商品的成本价为15元，据市场调查知，每天的销售量y（件）与销售价格x（元）有下列关系： 3 销售价格x 销售量y 20 15 25 12 30 10 50 6

仔细观察，你能发现什么规律？你能写出y与x的关系式吗？它们之间是什么函数关系？画出它的图象。

2.在某一电路中保持电压不变，电流I（A）与电阻R（）将如何变化？若已知当电阻R5时，电流I=2A。

（1）求I与R之间的关系式。

（2）电阻是8时，电流是多少？

（3）如果要求电流的最大值为10A，那么电阻R的最小值是多少？

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www.xiexiebang.com R10101()

电阻R的最小值是1

3.解：如图（1）∵点A（－2，1）在反比例函数图象上

m212反比例函数的解析式为y2x又点B（1，n）在反比例函数图象上

n212

∴B（1，－2）

又点A（－2，1），B（1，－2）在一次函数ykxb的图象上

2kb1k1b2解得kb1

一次函数的解析式为yx1

（2）一次函数值大于反比例函数的值，即直线在双曲线上的部分

由图知：x2或0x1

4.解：如图（1）∵平行四边形ABCD中，AD//BC

∴△ADE∽△FCE ADDE

CFCE AB4，BC1，DEx，BFy1xy14x整理得：xy4

即y4x（1x4）

（2）

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www.xiexiebang.com 【励志故事】

可敬的第四名

这是一次残酷的长跑角逐。参赛的有几十个人，他们都是从各路高手中选拔出来的。然而最后得奖的名额只有三个人，所以竞争格外激烈。

一个选手以一步之差落在了后面，成为第四名。

他受到的责难远比那些成绩更差的选手多。

“真是功亏一篑，跑成这个样子，跟倒数第一有什么区别？”

这就是众人的看法。

这个选手若无其事地说：“虽然没有得奖，但是在所有没得到名次的选手中，我名列第一！”

对于人们不负责任的嘲笑，我不想理论，因为势利者的偏见根本不值一驳。但是对这个谈笑自若的选手，我却充满了由衷的敬意，他这种幽默达观的心态，远比名次和奖品更为珍贵。

赛场之内，他不是等闲之辈；赛场之外，他更具竞争力——赢得起，也输得起。

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第二篇：反比例函数教案[模版]

反比例函数

教学目标：

1.能够写出实际问题中反比例关系的函数解析式，从而解决实际问题。

2.用描点法画出反比例函数的图象，当k0时，双曲线的两支在一、三象限；当k0时，双曲线的两支在二、四象限，双曲线是关于原点的对称图形，这一点在作图时很重要。

3.用一元方程求解反比例函数的解析式，学习中与正比例函数相类比。

4.掌握反比例函数增减性，k0时，y随x的增大而减小，k0时，y随x的增大而增大。

5.熟练反比例函数有关的面积问题。

二.重点、难点

重点：反比例函数的定义、图象性质。

难点：反比例函数增减性的理解。

典型例题：

例1.下列各题中，哪些是反比例函数关系。

（1）三角形的面积S一定时，它的底a与这个底边上的高h的关系；

（2）多边形的内角和与边数的关系；

（3）正三角形的面积与边长之间的关系；

（4）直角三角形中两锐角间的关系；

（5）正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系；

（6）有一个角为30的直角三角形的斜边与一直角边的关系。

解：成反比例关系的是（1）、（5）

点拨：若判断困难时，应一一写出函数关系式来进行求解。



例2.在同一坐标系中，画出

y8x和y2x的图象，并求出交点坐标。

点悟：y8x的图象是双曲线，两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小。并且每一支都向两方无限接近x、y轴。而y2x的图象是过原点的直线。

解：

x-4-2-4 11 2216 2 4 4 2 y x-2-16

8x12yx22xy14y4y2x

，2

y8x与直线y2x相交于（2，4），（2,4）两点。

双曲线

点拨：本题求解使用了“数形结合”的思想。

例3.当n取什么值时，y(n2n)x2n2n1是反比例函数？它的图象在第几象限内？在每个象限内，y随x增大而增大或是减小？

点悟：根据反比例函数的定义：

yk(k0)2n2n1y(n2n)xx，可知是反比例22函数，必须且只需n2n0且nn11

2ny(n2n)x

解：2n2n02

nn11

2n1是反比例函数，则

n0且n2

n0或n1

即n1

2n

故当n1时，y(n2n)x2n1表示反比例函数

1x

k10

双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大而增大。y

点拨：判断一个函数是否是反比例函数，惟一的标准就是看它是否符合定义。

m22m1yx

例4.若点（3，4）是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（）

A.（2，6）

C.（4，－3）

B.（2，－6）

D.（3，－4）

（2002年武汉）

点悟：将点（3，4）代入函数式求出m的值。

解：将点（3，4）代入已知反比例函数解析式，得

34m2m1

即m2m112，m2m13 222m22m113112yxxx

将A点坐标代入满足上式，故选A。

点拨：本题中求m2m的值的整体思想是巧妙解题的关键。2y122x2a7a14是反比例函数？求函数解析式？

例5.a取哪些值时，2a3a

解：2a7a141

2解得a132，a25

当a3332a23a2()23()02时，22

当a5时，2a3a25350

y165y22x2a7a14是反比例函数，其解析式为x

当a5时，函数2a3a

点拨：反比例函数可写成ykx，在具体解题时应注意这种表达形式，应特别注意对k0这一条件的讨论。

2mm3y(mm)x

例6.若函数是反比例函数，求其函数解析式。

2

1解：由题意，得

2mm312

mm0

m12,m21

得m0且m1

m2

故所求解析式为y6x16x

点拨：在确定函数解析式时，不仅要对指数进行讨论，而且要注意对x的系数的条件的讨论，二者缺一不可。

2例7.（1）已知yy1y2，而y1与x1成反比例，y2与x成正比例，并且x1时，y2；x0时，y2，求y与x的函数关系式；

（2）直线l：ykxb与y2x平行且过点（3，4），求l的解析式。

解：（1）y1与x1成反比例，y2与x成正比例

y1k12x1，y2k2x

k1k2x2x1

yy1y2

把x1，y2及x0，y2代入

k12k22

得2k10

k12

k21

2yx2x1

（2）ykxb与y2x平行

k2

又ykxb过点（3，4）

3kb4，b2

直线l的解析式为y2x2

点拨：这是一道综合题，应注意综合应用有关知识来解之。

3.kg/m

例8.一定质量的二氧化碳，当它的体积V5m时，它的密度198

3（1）求与V的函数关系式；

（2）求当V9m时二氧化碳的密度。3

解：（1）由物理知识可知，质量m，体积V，密度之间的关系为

mV。由198.kg/m3，V5m3，得

.59.9(kg)

mV198

9.9V

3（2）将V9m代入上式，得

点拨：这是课本上的一道习题，它具有典型性，其意义在于此题与物理知识、化学知识形成了很好的结合，且V的取值可变化。

例9.在以坐标轴为渐近线的双曲线上，有一点P（m，n），它的坐标是方程9.911.(kg/m3)9

t24t20的两个根，求双曲线的函数解析式。

ykx的图象是以坐标轴为渐近线的双曲线。所以，不妨设所

点悟：因为反比例函数求的函数解析式为2ykx。然后把双曲线上一点的坐标代入，即可求出k的值。

解：由方程t4t20解得

t126，t226

P点坐标为（26,26）或（26,26）

设双曲线的函数解析式为

ykx，则

将x26，y26代入

ykx，得k2 kx，得k2

将x26，y26代入

y

故所求函数解析式为

y2x

点拨：只需知道曲线

ykx上一点即可确定k。

例10.如图，RtABC的锐角顶点是直线yxm与双曲线点，且SAOB（1）求m的值

（2）求SABC的值

ymx在第一象限的交

解：（1）设A点坐标为（a，b）（a0，b0）

则OBa，ABb

SAOB1ab32，ab6

ymx上

又A在双曲线

bma，即abm，m6

（2）点A是直线与双曲线的交点

6ba1315a2315ab3151

ba6或b2315

a0,b0

A（315,315）

由直线知C（－6，0）

OC6，OB315，AB315

SABC1(OBOC)AB2

1(3156)(315)12315 

点拨：三角形面积和反比例函数的关系，常用来求某些未知元素（如本例中的m）

模拟试题：

一.选择题

m2m9y(m2)x

1.函数是反比例函数，则m的值是（）

2A.m4或m2

B.m4

C.m2

D.m1

2.下列函数中，是反比例函数的是（）

A.yx2 B.y12x

C.y11x D.y1x2

3.函数ykx与ykx（k0）的图象的交点个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.不确定

4.函数ykxb与yk(kb0)x的图象可能是（）

A

B

C

D

5.若y与x成正比，y与z的倒数成反比，则z是x的（）

A.正比例函数

B.反比例函数

C.二次函数

D.z随x增大而增大

6.下列函数中y既不是x的正比例函数，也不是反比例函数的是（）

A.y19x

B.10x:5y

C.y4x

二.填空题

1xy2D.5

7.一般地，函数__________是反比例函数，其图象是__________，当k0时，图象两支在__________象限内。

8.已知反比例函数y2x，当y6时，x_________

a22a

49.反比例函数y(a3)x的函数值为4时，自变量x的值是_________

10.反比例函数的图象过点（－3，5），则它的解析式为_________

11.若函数y4x与

三.解答题 y11x的图象有一个交点是（2，2），则另一个交点坐标是_________

3kyx相交于B、C两点，12.直线ykxb过x轴上的点A（2，0），且与双曲线1已知B点坐标为（2，4），求直线和双曲线的解析式。ykx的图象的一个交点为P（a，b），且P

13.已知一次函数yx2与反比例函数到原点的距离是10，求a、b的值及反比例函数的解析式。

14.已知函数y(m2m)x2m2m12是一次函数，它的图象与反比例函数

ykx的图

1象交于一点，交点的横坐标是3，求反比例函数的解析式。

试题答案：

一.1.B 2.B 3.A

4.A

5.A

6.C 二.7.ykx，k0；双曲线；

二、四

y15x

111.（2，2）

1

8.3 9.1

10.31三.12.由题意知点A（2，0），点B（2，4）在直线ykxb上，由此得

30kb241kb2



k2

b3

1kyx上

点B（2，4）在双曲线4

k12，k2

y2x

双曲线解析式为

13.由题设，得

ba2kba22ab100 

a16a28b18b26

k48，k48

a6，b8或a8，b6

14.由已知条件

2m2m02

mm10 y48x

m0,m2m2或m1



m1使y3x2

代入y2kx

3x2xk0

因图象交于一点，0

即412k0

1y3x

k

第三篇：反比例函数第一节教案

教学目标

(一)教学知识点

1．从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相似关系，加深对函数概念的理解．

2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．

(二)能力训练要求

结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式．

(三)情感与价值观要求

结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达形式，形成反比例函数概念的具体形象，是从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维；同时体验数学活动与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．

教学重点

经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．

教学难点

领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．

教学方法

教师引导学生进行归纳．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

[师]我们在前面学过一次函数和正比例函数，知道一次函数的表达式为y＝kx+b其中k，b为常数且k≠0，正比例函数的表达式为y＝kx，其中k为不为零的常数，但是在现实生活中，并不是只有这两种类型的表达式，如从A地到B地的路程为 1200 km，某人开车要从A地到月地，汽车的速度v(km／h)和时间t(h)之间的关系式为vt＝1200，则t＝中，t和v之间的关系式肯定不是正比例函数和一次函数的关系式，那么它们之间的关系式究竟是什么关系式呢？这就是本节课我们要揭开的奥秘．

Ⅱ．新课讲解

[师]引我们今天要学习的是反比例函数，它是函数中的一种，首先我们先来回忆一下什么叫函数？

1．复习函数的定义

[师]大家还记得函数的定义吗？

[生]记得．

在某变化过程中有两个变量x，y．若给定其中一个变量x的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称y是x的函数．

[师]大家能举出实例吗？

[生]可以．

例如购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与铅笔数n(个)的关系是y＝0.4n，这是一个正比例函数．

等腰三角形的顶角的度数y与底角的度数x的关系为y=180-2x，y是x的一次函数．

[师]很好，我们复习了函数的定义以及正比例函数和一次函数的表达式以后，再来看下面实际问题中的变量之间是否存在函数关系，若是函数关系，那么是否为正比例或一次函数关系式．

2．经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式．

[师]请看下面的问题．

电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U＝IR，当U＝220 V时．

(1)你能用含有R的代数式表示I吗？

(2)利用写出的关系式完成下表：

当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？

(3)变量I是R的函数吗？为什么？

请大家交流后回答．

[生](1)能用含有R的代数式表示I．

由IR=220，得I=．

(2)利用上面的关系式可知，从左到右依次填11，5.5，3.67，2.75，2.2．

从表格中的数据可知，当电阻R越来越大时，电流I越来越小；当R越来越小时，I越来越大．

(3)变量I是R的函数．

由IR＝220得I＝因此I是R的函数．

．当给定一个R的值时，相应地就确定了一个I值，[师]这位同学回答，的非常精彩，下面大家再思考一个问题．

舞台灯光为什么在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼的？请大家互相交流后回答．

[生]根据I＝灯光较亮．，当R变大时，I变小，灯光较暗；当R变小时，I变大，所以通过改变电阻R的大小来控制电流I的变化，就可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变成白昼．

京沪高速公路全长约为 1262 km，汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车行完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v(km／h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？

[师]经过刚才的例题讲解，大家可以独立完成此题．如有困难再进行交流．

[生]由路程等于速度乘以时间可知1262＝vt，则有t＝．当给定一个v的值时，相应地就确定了一个t值，根据函数的定义可知t是v的函数．

[师]从上面的两个例题得出关系式

I=和t=．

它们是函数吗？它们是正比例函数吗？是一次函数吗？

[生]因为给定一个R的值，相应地就确定了一个I的值，所以I是R的函数；同理可知t是v的函数．但是从表达式来看，它们既不是正比例函数，也不是一次函数．

[师]我们知道正比例函数的关系式为y=kx(k≠0)，一次函数的关系式为y＝kx+b(k，b为常数且k≠0)．大家能否根据两个例题归纳出这一类函数的表达式呢？

[生]可以．由I＝

[师]很好．

与t=可知关系式为y=(k为常数且k≠0)．

一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝的形式，那么称y是x的反比例函数．

(k为常数，k≠0)

从y＝中可知x作为分母，所以x不能为零．

3．做一做

1．一个矩形的面积为 20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

2．某村有耕地346．2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷／人)是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？

3． y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：

(1)写出这个反比例函数的表达式；

(2)根据函数表达式完成上表．

[生]由面积等于长乘以宽可得xy＝20．则有y＝．变量y是变量x的函数．因为给定一个x的值，相应地就确定了一个y的值，根据函数的定义可知变量y是变量x的函数．再根据反比例函数的表达式可知y是x的反比例函数．

[生]根据人均占有耕地面积等于总耕地面积除以总人数得m=．给定一个n的值，就相应地确定了一个m的值，因此m是n的函数，又m＝合反比例函数的形式，所以是反比例函数．

符

[师]在做第3题之前，我们先回忆一下如何求正比例函数和一次函数的表达式，在y=kx中．要确定关系式的关键是求得非零常数k的值，因此需要一个条件即可；在一次函数y＝kx+b中，要确定关系式实际上是要求得b和k的值，有两个待定系数因此需要两个条件．同理，在求反比例函数的表达式时，实际上是要确定k的值．因此只需要—个条件即可，也就是要有一组x与y的值确定k的值．所以要从表格中进行观察．由x＝−1，y＝2确定k的值，然后再根据求出的表达式分别计算．x或y的值．

[生]设反比例函数的表达式为y=

(1)当x＝−1时，y＝2；

∴k＝−2．

∴表达式为y = −

(2)当x＝−2时，y＝1．

当x = −时，y＝4；

当x =时．y = −4；

当x＝1时，y = −2．

当x＝3时，y = −；

当y＝时，x = −3；

当y = −1时，x = 2．

因此表格中从左到右应填−3，1，4，−4，−2，2，−

Ⅲ．课时小结

本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y＝(k为常数．k≠0)，自变量x不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变最之间的关系是否是函数，是什么函数．

板书设计

§5．1 反比例函数

—、1．复习函数的定义．

2．经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳反反比例函数的表达式．

3．做一做

二、课时小结

第四篇：第26章 反比例函数单元教学计划

第26章

反比例函数单元教学计划

一、“课标要求”

1、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

2、结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。

3、能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

4、能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。

5、能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。

6、结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。

7、结合具体情景体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定函数的表达式。

8、能画出反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解K>0与K<0时图像的变化。

9、能用反比例函数解决简单实际问题。

二、教材分析：

本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象、本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题、反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础。本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。

三、教学目标 知识与技能：

(1)领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。（2）能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式。（3）掌握反比例函数的图象的性质。（4）能利用反比例函数的图象的性质解决实际问题。

过程与方法：经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程。运用反比例函数的解析式和图像表示问题情景中成反比例的量之间的关系，进而利用反比例函数的图像及性质解决问题。

情感态度与价值观：

体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识，体会数形结合的数学思想。培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力。

四、教学重点、难点

反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法、反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点。

反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点。

五、教学措施

（1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识、生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”、所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处。（2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的、教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等。（3）本章是实践性、应用性很强的内容，联系“科学”的知识特别多、这一方面体现教材的横向联系，又体现本章内容的实用价值、如密度、压强与体积、杠杆原理、欧姆定理、电功率计算等、若学生在这方面有缺陷，则直接影响到本章的学习、建议老师在教前在同学中广泛了解学生的基础，若有问题应给予补充说明。（4）在画反比例函数的图象时充分发挥“自主探索—合作学习”这种学习方式的作用。在按课本顺序指导学生画完图后，让学生回顾画图的全过程．体现课标要求“性质的探索过程——根据图象和解析表达式探索并理解其性质”。引导学生分清：①两个分支是一个函数的图象，不是函数有两个图象。②画曲线时，必须将自变量从小到大的顺序在各个象限里用光滑曲线连结起来，不能跨象限连结．③在图象所在的每个象限内，当k＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大。（5）在教学中应充分利用，注意各章节之间的内在联系。在这里就尽量用图形变换的思想叙述性质、用图形变换的角度观察、分析图形之间的联系．如反 比例函数的图象是关于原点成中心对称，利用这一性质可以简化画图过程；x·y＝1的图象与x y＝－1的图象关于坐标轴对称，我们可以通过图形变换来作另一函数的图象。（6）本章还渗透了建模的思想。具体过程可概括为：由实验获得数据---用描点法画出图象---根据图象和数据判断或估计函数的类别---用待定系数法求出函数的关系式---用实验数据验证。随着社会的发展和科学技术的不断进步，数学的应用已越来越被人们所重视，培养学生分析问题、解决实际问题的能力已成为当今数学教育的主流。中学数学建模正顺应了这一时代发展的潮流，是对陈旧的数学教育观下的数学教育的有力冲击．中学数学建模从学生所经历，所接触到的客观实际中提出问题，对学生了解社会，认识社会都有积极作用。通过数学建模，对数学的广泛应用有了进一步认识，促使学生在积极思考中，在问题的解决中发现数学的价值与美。同时数学建模的复杂性，决不是凭个人的力量可以完美解决的，因此强调群体的协作．通过实际考察、实验统计、演义推理、总结提炼，最后又相互交流，共同探讨，共同解决。解决问题过程中充分体现高度的协作精神，教科书中的渗透正是体现了这种思想。

六、课时安排

26.1

反比例函数

4课时

26.2

实际问题与反比例函数

4课时

第26章

单元小结章与单元测试

1课时

第五篇：《实际问题与反比例函数》参考教案

26.2 实际问题与反比例函数（1）

教学目标

一、知识与技能

1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．

2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．

二、过程与方法

1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．

2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

三、情感态度与价值观

1．积极参与交流，并积极发表意见．

2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．

教学重点

掌握从实际问题中建构反比例函数模型． 教学难点

从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

教学过程

一、创设问题情境，引入新课 活动1 问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境．

(1)请你解释他们这样做的道理．

(2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?(3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么： ①用含S的代数式表示P，P是S的反比例函数吗?为什么?

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②当木板面积为0.2m2时，压强是多少? ③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大? ④在直角坐标系中，作出相应的函数图象．

⑤请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流． 设计意图：

展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣．

师生行为：

学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一．

教师可以引导、启发学生解决实际问题． 在此活动中，教师应重点关注学生：

①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题； ②能积极地与小组成员合作交流； ③是否有强烈的求知欲．

生：在物理中，我们曾学过，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S的增大，人和木板对地面的压强p将减小．

生：在(3)中，①p＝

(S＞0)p是S的反比例函数；②当S＝ 0.2m2时．p＝3000Pa；③如果要求压强不超过6000Pa，根据反比例函数的性质，木板面积至少0.1m2；那么，为什么作图象在第一象限作呢?因为在物理学中，S＞0，p＞0．④图象如下图

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师：从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实．从这节课开始我们就来学习“17．2实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．

二、讲授新课 活动2 [例1]市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)．

设计意图：

让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．

师生行为：

先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动． 在此活动中，教师有重点关注： ①能否从实际问题中抽象出函数模型； ②能否利用函数模型解释实际问题中的现象； ③能否积极主动的阐述自己的见解．

生：我们知道圆柱的容积是底面积×深度，而现在容积一定为104m3，所以S·d＝104．

变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S＝所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．

．

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生：根据函数S＝，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值．

题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S＝500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S＝ 500m2时，d＝?m．根据S＝,得500＝，解得d＝20．

即施工队施工时应该向下挖进20米．

生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石．为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d＝15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d＝15m，S＝?m2呢? 根据S＝，把d＝15代入此式子，得S＝≈666.67．

当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要． 师：大家完成的很好．当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解，三、巩固提高 活动3 练习：如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗．

(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少? 设计意图：

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让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望．

师生行为：

由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注：

①学生能否顺利建立实际问题的数学模型；

②学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣；

③学生能否注意到单位问题．

生：解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．

所以，S·d＝1000，S＝

． ,中，得100＝，d＝30(cm)．(2)根据题意把S＝100cm2代入S＝所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm． 活动4 练习：(1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式．(2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少?(3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 设计意图：

进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么? 师生行为

由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价． 生：解：(1)根据矩形的面积公式，我们可以得到20＝xy． 所以y＝，即长y与宽x之间的函数表达式为y＝

．

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(2)当矩形的长为12cm时求宽为多少?即求当y＝12cm时，x＝?cm，则把y＝12cm代入y＝中得12＝，解得x＝(cm)．

当矩形的宽为4cm，求长为多少?即当x＝4cm时，y＝?cm，则 把x＝4cm代入y＝

中，有y＝

＝5(cm)．

所以当矩形的长为12cm时，宽为cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm．

(3)y＝小于8cm，此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不即y≥8cm，所以 即宽至多是m．

≥8cm，因为x＞0，所以20≥8x．x≤(cm)．

四、课时小结

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．

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