湘教版九上 1.3 一元二次方程的应用(第1课时) 教案

第一篇：湘教版九上 1.3 一元二次方程的应用(第1课时) 教案

课题

一元二次方程的应用

（一）学习目标：

１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。学习过程：

一、自主平台

１、列一元二次方程解应用题的一般步骤是：

（１）______________________________________________；（２）______________________________________________；（３）______________________________________________；（４）______________________________________________；（５）______________________________________________；（６）______________________________________________。

２、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程。

３、列方程的关键是准确找出_______________关系。

二、新知探索

例１、一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大３，百位上的数字等于个位上的数字的平方。已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上的数字的积的２５倍大２０２，求这个三位数。思考：（１）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？

（２）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。这个三位数可表示为_________。解：

例２、如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。思考：

如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_____，长是________。

从而可以根据相等关系：______________，可以列出方程求解。解：

三、知识应用

１、两个数的和为１６，积为４８。求这两个数。

２、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大６，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为３６２７。求这个两位数。

３、一个直角三角形的三边长是连续整数。求这三条边长。

４、一个多边形有１４条对角线，那么这个多边形的边数是多少？

５、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。

６、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3 无盖的长方体盒子。求截去小正方形的边长。

７、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了１８２件。求全组人数。

四、拓展延伸

如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。

第二篇：湘教版九上 1.3 一元二次方程的应用(第2课时) 教案

课题：一元二次方程的应用

（二）教学目标

1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

教学重点：

学会用列方程的方法解决有关增长率问题．

教学难点：

有关增长率之间的数量关系． 教学过程：

一、新课引入：

（1）原产量+增产量=实际产量．

（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．

二、新课讲解：

例1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？

分析：设月平均增长的百分率为x．

注意以下几个问题：

（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．

练习1.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

练习2．教材P.96中3．

练习3．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．

（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．

（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．

（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．

以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：

设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为_________，增长两次后的产值为__________，„„„„增长n次后的产值为____________．

例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？

分析：设每次降价的百分数为x．

（A）

mm2元

（B）1.2元

（C）元

（D）0.8mm元 220.81.23.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是()222

2A、(1-x)=15% B、(1+x)=1+15% C、(1-x)=1+15% D、(1-x)=1-15%

二、填空题：

4.某林场

9.某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。

10.某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。求这种债券的年利率。

11.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。

第三篇：21.1一元二次方程(第1课时)

21．1一元二次方程（第1课时）

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教学重难点关键

1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程．

问题（1）详见课本P25页，题略。

解：设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为（100-2x）cm，宽为（50-2x）cm，则有：（100-2x）(50-2x)=3600.整理，得x75x3500①

问题（2）如图，如果2ACCB，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． ABAC

.cn

如果假设AB=1，AC=x，那么BC=2-x，根据题意，得：x2(2x)

整理得：x2x40．②

问题（3）要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 解：设应邀请x个队参赛，每个队要与其他（x-1）个队各赛1场，由于甲对对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛时同一场比赛，所以全部比赛共221x(x1)场。则有： 2

1x(x1)28整理，得x2x560③ 2

思考：方程①②③有什么共同点？

二、探索新知

学生活动：请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．

解：略

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．

解：略

三、巩固练习

教材P32练习1、2

补充练习:判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3(2)x2=4(3)3x2-5=0(4)x2-4=(x+2)2(5)ax2+bx+c=0 x

四、应用拓展

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1

∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0

∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

• 练习: 1.方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什

么条件下此方程为一元一次方程？

／4m／-42.当m为何值时,方程(m+1)x+27mx+5=0是关于的一元二次方程

五、归纳小结（学生总结，老师点评）

本节课要掌握：

（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

六、布置作业

1．教材P34习题22．11(2)(4)(6)、2．

2m-12．选用作业设计．补充:若x-2x+3=0是关于x的一元二次方程,求m的值。

第四篇：实际问题与一元二次方程(第1课时)教案

21.3实际问题与一元二次方程（1）

课型：新课 课时：1 主备人：林玲 教学目标：

知识与技能：1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．

2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．

过程与方法：经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述

情感态度价值观：通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．

教学重难点

教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题 教学难点：发现传播问题中的等量关系 教学方法：引导发现法 教学过程

一、复习引入

1、解一元二次方程都是有哪些方法？

2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？

①审题；②设未知数；③找相等关系；④列方程；⑤解方程；⑥答

说明：为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．

二、合作探究 【探究1】

有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

思考：（1）本题中有哪些数量关系？

（2）如何理解“两轮传染”？

（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？

设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感；

在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.（4）根据等量关系列方程并求解

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：

1+x+x(1+x)=121 解方程得

x1=10，x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．

(5)为什么要舍去一解？

（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？

说明：使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验． 【探究2】

两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？

思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？

（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．

依题意，得5000（1-x）2=3000 解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）

（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。

设乙种药品成本的平均下降率为y．

则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6 解得：y≈0.225 答：两种药品成本的年平均下降率一样大

（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？

三、巩固练习

说明：通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路

四、课堂小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。

2.用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1x)nb（常见n=2）

作业：练习册

板书设计： 实际问题与一元二次方程（1）

1.归纳

2.实际问题探究 3.小结 4.作业

教学反思：

第五篇：第15课时一元二次方程的应用2

初三代数教案 第十二章：一元二次方程

第15课时：一元二次方程的应用

（二）教学目标：

1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．

教学重点：

会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用题．

教学难点：

找等量关系．

教学过程：

初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决，但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，而是一元二次方程，这就是我们本节课要研究的一元二次方程的应用——有关面积和体积方面的实际问题．

本小节是“一元一次方程的应用”的继续和发展．由于能用一元一次方程（或一次方程组）解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需用一元二次方程来解的应用题，一般说是不能用算术法来解的，所以，讲解本小节可以使学生认识到用代数方法解应用题的优越性和必要性．

从列方程解应用题的方法来说，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意，作出正确的答案．列出一元二次方程，其应用相当广泛，如在几何、物理及其他学科中都有大量问题存在；本节课的内容是关于面积、体积的实际问题．

通过本节课学习，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及用数学的意识，渗透转化的思想、方程的思想及数形结合的思想．

一、新课引入：

（1）列方程解应用题的步骤？

（2）长方形的周长、面积？长方体的体积？

二、新课讲解：

例1 现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长是多少

2的小正方形才能做成底面积为77cm的无盖长方体型的纸盒？

解：设需要剪去的小正方形边长为xcm，则盒底面长方形的长为（19-2x）cm，宽为（15-2x）cm，据题意：（19-2x）（15-2x）=77．

2整理后，得x-17x+52=0，解得x1=4，x2=13．

∴ 当x=13时，15-2x=-11（不合题意，舍去．）

答：截取的小正方形边长应为4cm，可制成符合要求的无盖盒子． 本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．

2（1）因为要做成底面积为77cm的无盖的长方体形的盒子，如果底面的长和宽分别能用含未知数的代数式表示，这样依据长×宽=长方形面积，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．

（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，本题如果截取的小正方形边长为13时，得到底面的宽为-11，则不合题意，所以x=13舍去．

（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．

练习1．章节前引例． 学生笔答、板书、评价． 练习2．教材P.42中4． 学生笔答、板书、评价．

注意：全面积=各部分面积之和． 剩余面积=原面积-截取面积．

3例2 要做一个容积为750cm，高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长及宽应该各是多少（精确到0.1cm）？

分析：底面的长和宽均可用含未知数的代数式表示，则长×宽×高=体积，这样便可得到含有未知数的等式——方程．

解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，解：长方体底面的宽为xcm，则长为（x+5）cm，据题意，6x（x+5）=750，整理后，得x+5x-125=0．

解这个方程x1=9.0，x2=-14.0（不合题意，舍去）． 当x=9.0时，x+17=26.0，x+12=21.0．

答：可以选用宽为21cm，长为26cm的长方形铁皮． 引导，学生板书，笔答，评价．

三、课堂小结：

1、有关面积和体积的应用题均可借助图示加以分析，便于理解题意，搞清已知量与未知量的相互关系．

2、要深刻理解题意中的已知条件，正确决定一元二次方程的取舍问题，例如线段的长不能为负．

3、进一步体会数字在实践中的应用，培养分析问题、解决问题的能力．

四、作业：

教材P.43中A4、5、6、7． 教材P.43中B1． 2